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(共23张PPT)
5.2.1 双曲线的标准方程
第 单元 椭圆、双曲线、抛物线
五
双曲线的
标准方程
5
情景引入
新知探究
典型例题
布置作业
归纳小结
4
3
1
2
双曲线的标准方程
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹叫作椭圆.
问题2：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”,那么动点的轨迹会发生怎样的变化？
情景引入
情景引入
巴西利亚大教堂
花瓶
情景引入
实验：取一条两边等长的拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线C.
新知探究
新知探究
新知探究
①如图(A)，
MF1-MF2=F1F2=2a
②如图(B)，
MF2-MF1=2a
上面 两条合起来叫作双曲线
由①②可得：
| MF1-MF2| = 2a
（差的绝对值）
(0<2a(0<2a(0<2a平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫作双曲线.
这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c>0)； 常数记为2a(a>0).
新知探究
思考：
定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0（即0<2a<2c）？如果不对常数加以限制 ，动点的轨迹会是什么？
新知探究
①若2a=2c,则轨迹是什么？
②若2a>2c,则轨迹是什么？
此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
此时轨迹不存在
F1
F2
分3种情况来看：
新知探究
③若2a=0,则轨迹是什么？
此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
F1
F2
新知探究
F2
2
F1
1
M
x
O
y
求曲线方程的步骤：
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系
2.设点
设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.限式
|MF1| - |MF2|=±2a
5.化简
1.．..建系
.
4.代换
新知探究
代数式化简得：
可令：c2-a2=b2
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
其中，c2=a2+b2
此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程
F2
2
F1
1
M
x
O
y
新知探究
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
O
x
y
F2
2
F1
1
M
x
O
y
若建系时,焦点在y轴上呢
新知探究
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
练习：写出以下双曲线的焦点坐标.
(二次项系数为正,焦点在相应的轴上)
练一练
（1）F ( ±5, 0)（2）F ( 0,±5 )
典型例题
例1
已知双曲线的焦点F1(-5，0)，F2(5, 0)，且双曲线上任意一点到它们的距离之差的绝对值是8,求双曲线的标准方程.
解： 根据已知条件，有c=5，2a=8，a=4，焦点在x轴上，
所以b2＝c2－a2=25-16=9
因此双曲线方程为
例2
已知双曲线的标准方程为 ，求出焦点坐标.
解： 根据双曲线的标准方程可知，
a2=7，b2=9
所以c2＝a2+b2=7+9=16，c=4
又因为双曲线的焦点在y轴上，
所以双曲线的焦点坐标为(0,-4)，(0,4).
典型例题
例3
设双曲线的一个焦点坐标F1(-10，0)，且 ，求双曲线的标准方程.
解： 根据已知条件，有
所以 a=6，b2＝c2-a2=100-36=64
又因为双曲线的焦点在x轴上，
典型例题
c=10,
所以双曲线的标准方程为
定 义
方 程
焦 点
a,b,c的关系 F（±c，0）
F（±c，0）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
a>b>0，a2=b2+c2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
椭 圆
双曲线
F（0，±c）
F（0，±c）
归纳小结
1.本节课你学习了哪些内容？
2.本节课学习的用途？
布置作业
阅读
教材章节5.2
书写
教材P165练习
思考
双曲线的几何性质
作
业
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