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(共26张PPT)
5.1.1 椭圆的标准方程
第 单元 椭圆、双曲线、抛物线
五
椭圆的标准方程
5
情景引入
新知探究
典型例题
布置作业
归纳小结
4
3
1
2
椭圆的标准方程
情景引入------嫦娥奔月
情景引入------嫦娥奔月
——仙女座星系
星系中的椭圆
情景引入
太 阳 系
Company Logo
情景引入
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情景引入
新知探究
探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一点, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离, 分别固定在图板的两点F1, F2, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲线
在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么
新知探究
新知探究
思考
(1)取一条细绳；
(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1，F2；
(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形
1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
新知探究
在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是：
移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1, F2的距离之和是定值, 并且这个定值大于两定点间的距离，即
由此可得椭圆的定义.
新知探究
我们把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之和等于常数
的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点的距离叫作焦距.
椭圆的定义:
（大于|F1F2|）
思考:当点M到F1、F2的距离之和不大于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？
新知探究
思考 动点的轨迹是椭圆应满足什么条件？
① 在平面内----(这是前提条件)；
② 动点M到两个定点F1, F2的距离之和是常数；
动点M的轨迹是线段F1F2 ；
动点M没有轨迹 .
③
新知探究
F1
F2
M


x
y
O
如图示, 建立平面直角坐标系.设M(x,y)是椭圆上任一点, 椭圆的焦距为2c(c>0), M与F1, F2的距离的和等于常数2a(a>0), 则
(x,y)
由定义知：
化简整理得
由椭圆定义知：
为了使方程形式更简单：
①
我们把方程①叫作椭圆的标准方程.
新知探究
椭圆的标准方程:
F1
F2
M


x
y
O
(x,y)
如图示, 若椭圆的焦点在x轴上, 则椭圆的标准方程为
其中焦点坐标为F1(－c,0), F2(c,0), c2＝a2－b2.
新知探究
思考1 观察图, 你能从中找出表示a,b,c的线段吗？
由图可知，
F1
F2
P


x
y
O
c
a
b
思考2 如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么
F1
F2
M


x
y
O
F1
F2
M


x
y
O
(x,y)
(焦点在x轴上)
(焦点在y轴上)
新知探究
如果已知椭圆的标准方程，如何确定焦点在哪条坐标轴上？
思考？
（1）焦点在x轴的椭圆，x2项分母较大.
（2）焦点在y轴的椭圆，y2 项分母较大.
新知探究
练习：下列方程哪些表示椭圆？若表示椭圆焦点在哪个轴上？（独立思考后回答）
巩固练习
哪个分母大，焦点就在哪个轴上
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等
于常数（大于F1F2）的点的轨迹
标准方程
相 同 点
焦点位置的判断
不 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
椭圆的标准方程
新知探究
例1
椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4, 0 )，( 4 , 0 )，
椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10,求椭圆的标准方程.
1
2
y
o
F
F
M
x
解： ∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为
∵ 2a=10, 2c=8
∴ a=5, c=4
∴ b2=a2－c2=52－42=9
∴所求椭圆的标准方程为:
典型例题
例2
已知椭圆的标准方程为 ，求出焦点坐标.
解： ∵a>b>0,根据椭圆的标准方程可知，
a2=12，b2=3
所以c2＝a2－b2=12-3=9
又因为椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的焦点坐标为(0,-3)，(0,3).
典型例题
求焦点坐标在x轴上，a=4,且经过点A 的椭圆的标准方程.
解： ∵焦点坐标在x轴上, a=4，所以椭圆的标准方程为
解得 b2=4 ， 椭圆方程为
因为椭圆经过点A
典型例题
例3
归纳小结
1.本节课你学习了哪些内容？
2.本节课学习的用途？
布置作业
阅读
教材章节5.1
书写
教材P151练习
思考
椭圆的几何性质
作
业
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