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2024-2025 学年广东省广州中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知在复平面内， 是原点，向量 , 对应的复数分别为 3 5 ， 2 + 4 ，那么向量 对应的复数的
虚部是( )
A. 9 B. 1 C. D. 9
2.下列说法正确的是( )
A.空间中两直线的位置关系有三种：平行、垂直和异面
B.若空间中两直线没有公共点，则这两直线异面
C.和两条异面直线都相交的两直线是异面直线
D.若两直线分别是正方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则这两直线可能相交，也可能异面
3. 在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 =( )
A. 34
1 4
B. 1 3 4 4
C. 3 1 1 3 4 + 4 D. 4 + 4
4.如图所示，正方形 ′ ′ ′ ′的边长为 2 ，它是水平放置的一个平面图形
的直观图，则图形的周长是( )
A. 4 + 4 3 B. 8 2 C. 8 D. 16
5.已知在△ 中， = 3， = 4， = 58，则
=( )
A. 34 B.
3
2 C.
3
2 D.
3
4
6.如图，为了测量河对岸的塔高 ，某测量队选取与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 .现测量得
∠ = 120°， = 30 米，在点 ， 处测得塔顶 的仰角分别为 30°，45°，则塔高 =( )
A. 30 米
B. 30 2米
C. 30 3米
D. 15 2米
7.已知△ 的外接圆的圆心为 ，且 2 = + ，| | = 3| |，则向量 在向量 上的投影向量
为( )
A. 1 B. 2 C. 2 1 3 3 3 D. 3
8.已知△ 的内角 ， ， 2 1 1 2的对边分别为 ， ， ，且 + = 3 ， + = ，则 =( )
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A. 6 B. 10 C. 15 D. 214 5 6 7
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )
A.若 // ， // ，则 //
B.若 // ， // ，则 //
C.若 ， ，则 ， 是异面直线
D.若 // ， ， ，则 // 或 ， 是异面直线
10.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是( )
A.若 + + > 0，则△ 一定为锐角三角形
B.若 > 0，则△ 是锐角三角形
C.若 > ，则 >
D.若 = 60°， = 3， = 2 2，则△ 有两解
11.如图， 为圆锥 底面圆 的直径，点 是圆 上异于 ， 的动点， =
= 2，则下列结论正确的是( )
A.圆锥 的侧面积为 8 2
B.三棱锥 8体积的最大值为3
C. ∠ 的取值范围是( 4 , 3 )
D.若 = ， 为线段 上的动点，则 + 的最小值为 2( 3 + 1)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设向量 = ( , 1)， = ( , 2)，若 // ，则 = ．
13.已知直三棱柱 1 1 1的底面为直角三角形，且两直角边长分别为 1 和 2 3，此三棱柱的高为 3，
则该三棱柱的外接球的体积为 ．

14.在△ 中， = 9，sin( + ) = ， △ = 6

， 为线段 上的动点，且 =
|
+
|
2+ 1，则 的最小值为______．
| |
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
已知复数 1 = 1 + (其中 ∈ 且 < 0， 为虚数单位)，且 21为纯虚数．
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(1)求实数 的值；
(2)若 2 =
1
1+ + 2，求复数 2的共轭复数．
16.(本小题 12 分)
已知 = (3, 2)， = (2,1)， 为坐标原点．
(1)若 + 与 2 的夹角为钝角，求实数 的取值范围；
(2)当 ∈ [ 1,1]时，求| |的取值范围．
17.(本小题 12 分)
△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 = ， = 2 3．
(1)求 ；
(2) 3 3若△ 面积为 4 ，求 边上中线的长．
18.(本小题 12 分)
2
已知正方体 1 1 1 1中， 、 分别为对角线 、 1上的点，且 =1
= 3．
(Ⅰ)求证： //平面 1 1 ；
(Ⅱ) 若 是 上的点，当 的值为多少时，能使平面 //平面 1 1 ？请给出证明．
19.(本小题 12 分)
三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于 1816 年首次发现.当△ 内一点 满足条件∠ = ∠ =
∠ = 时，则称点 为△ 的布洛卡点，角 为布洛卡角.如图，在△ 中，角 ， ， 所对边长分别
为 ， ， ，记△ 的面积为 ，点 为△ 的布洛卡点，其布洛卡角为 ．
(1)若 = 30°.求证：
① 2 + 2 + 2 = 4 3 ；
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②△ 为等边三角形．
(2)若 = 2 求证：sin2 = ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13.32 3
14.11 + 612 3
15.解：(1) ∵ 1 = 1 + ，
∴ 21 = 1 2 + 2 ，
∵ 21为纯虚数，
∴ 1
2 = 0，解得 = 1 或 = 1(舍去)，
2 ≠ 0
∴ = 1．
(2)由(1)得： 1 = 1
∴ = 12 1+ + 2 =
1
1+ + 2 = 2 ，

∴ 2= 2 + ．
16.解：(1)根据题意， = (3, 2)， = (2,1)，
则 + = (3 + 2, 2 + 1)， 2 = ( 1, 4)，
若 + 与 2 的夹角为钝角，
则有( + ) ( 2 ) = 3 2 + 8 4 = 5 6 < 0，且 4(3 + 2) ≠ ( 2 + 1)，
< 6解得 5且 ≠
1
2，即 的取值范围为( ∞,
1 1 6
2 ) ∪ ( 2 , 5 )；
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(2)根据题意， = (3 2 , 2 )，
则| |2 = (3 2 )2 + ( 2 )2 = 5 2 8 + 13，
所以| | = 5 2 8 + 13，
1 ≤ ≤ 1 7 5又 ，则 5 ≤ | | ≤ 26，
即| | 7 5的取值范围是[ 5 , 26].
17.解：(1) ∵ = ，∴ = ，
∵ ≠ 0，
∴ = ，
∴ = 或 + = (舍)，
又∵ = 2 3，
∴ = 6；
(2) ∵ = 2 6， = ， =3 6，
∴ = ，
∴ 1△ = 2 ，
即3 3
4 =
1
2
2 3，2
得 = = 3，

由正弦定理 = ，
= 得 = 3，
设 边的中点为 ，连接 ，如下图：
∵ 2 = + ，
即(2 )2 = ( + )2，
即 4 2 = 2 + 2 + 2 ，
解得 = 21．2
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18.解：(Ⅰ)证明：连结 并延长与 的延长线交于 点，
因为四边形 为正方形，所以 // ，
2
故△ ∽△ ，所以 = = 3，
= = 2 2又因为 1 3，所以
=
1
= 3，所以 // 1．
又 1 平面 1 1 ， 平面 1 1 ，故 //平面 1 1 ．
(Ⅱ) 3当 的值为5时，能使平面 //平面 1 1 ．
3 2
证明：因为 = 5，即有 = 3，故 = ，所以 // ．
又 平面 1 1 ， 平面 1 1 ，
所以 //平面 1 1 ，又 ∩ = ， //平面 1 1 ．
所以平面 //平面 1 1 ．
19.证明：(1)①若 = 30°，
则 = △ =
1 1 1
△ + △ + △ = 2 + 2 + 2
= 12 ( + + ) =
1
4 ( + + )，
所以 + + = 4 ，
在△ ，△ ，△ 中，
分别由余弦定理得：
2 = 2 + 2 2 ，
2 = 2 + 2 2 ，
2 = 2 + 2 2 ，
三式相加整理得 2 ( + + ) = 2 + 2 + 2，
即 3 × 4 = 2 + 2 + 2，
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所以 2 + 2 + 2 = 4 3 ；
②由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，
则 2 + 2 + 2 4 3 = 2 2 + 2 2 2 4 3
= 2 2 + 2 2 2 2 3
= 2 2 + 2 2 4 ( + 6 ) ≥ 4 4 = 0，
当且仅当 = 且 sin( + 6 ) = 1 时取等号，
又 ∈ (0, ) 7 ，所以 + 6 ∈ ( 6 , 6 )，所以 + 6 = 2，所以 = 3，

即当且仅当 = 且 = 3时取等号，
即当且仅当△ 为等边三角形时取等号，
所以 2 + 2 + 2 ≥ 4 3 ，当且仅当△ 为等边三角形时取等号，
又由①知 2 + 2 + 2 = 4 3 ，
所以△ 为等边三角形；
(2)由(1)得 = 1△ = 2 ( + + )，
所以 + + = 2 △ sin
2 + 2 + 2 = 2 ( + + )，
2 + 2 + 2 = 2 2 △ = 2 2 所以 2sin sin = 4 ，
又由余弦定理可得 2 + 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 (cos2 sin2 )，
所以 2 2 + 2 (cos2 sin2 ) = 4 2 ，
所以 2 = (sin2 + cos2 )，所以 2 = ，
由正弦定理可得sin2 = ．
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