资源简介

民勤四中2024-2025学年度第二学期期中考试
高二 数学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 函数，则
A. B. C. D.
2. 以下四个命题中，正确的是
A．向量a＝(1，－1，3)与向量b＝(2，4，1)垂直
B．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
C．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a＋b，b＋c，c＋a构成空间的另一基底
D．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|
3. 若向量，且与的夹角余弦值为，则等于
A. B. C. D.
4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是
A. B. C. D.
正四棱锥中，，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为
A. B. C. D.
6. 已知是的极值点，则在上的最大值是
A． B． C． D．
7. 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马中，侧棱底面，且，，则点到平面的距离为
A． B． C． D．
8. 若，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每个题所给的四个选项中，有多个选项符合题目要求. 全部选对的得6分，有选错的得0分.
9. 如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是
A．
B．
C．
D．
10. 已知函数的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表：
－1 0 4 5
1 2 2 1
的导函数的图象如下图所示，则下列关于的命题正确的是
A．函数是周期函数
B．函数在[0，2]上是减函数
C．函数的零点个数可能为0，1，2，3，4
D．当时，函数有4个零点
11. 如图甲，在正方形中，分别是的中点，将，△，△分别沿折起，使三点重合于点(如图乙)，则下列结论正确的是　　
A．
B．平面⊥平面
C．平面与平面夹角的余弦值为
D．点在平面上的投影是△的外心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在处的切线的方程为_________.
13. 已知，，，点，若平面，则点的坐标为________．
14. 已知函数则满足的的取值范围是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知空间中的三点,设.
（1）若与互相垂直，求的值；
（2）求点到直线的距离.
16．已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
17. 如图,在多面体中，平面，四边形是正方形，，，，.
（1）求证：直线平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18.（本题12分） 某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.
（1）求函数的解析式；
（2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.
如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB＝2，∠ABC＝60°，M是AB的中点．
(1)求证：EM⊥AD；
(2)在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．期中测试卷参考答案
答案D 【详解】.
2.答案C 【详解】A项，因为，所以a＝(1，－1，3)和b＝(2，4，1)不垂直，故A错误；B项，△ABC为直角三角形只需一个角为直角即可，不一定是∠A，所以无法推出·＝0，故B错误；C项，因为{a，b，c}为空间的一个基底，设a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，即无解，所以a＋b，b＋c，c＋a不共面，故C正确；D项，若a·b＝0即可得出此项错误，故D错误．
3. 答案A 【详解】由已知有：，解得，由已知得，所以.
4, 答案C 【详解】由已知有：当时，，当时，，结合图象可得选C.
答案B 【详解】建立空间直角坐标系，利用公式可得.
答案 A 【详解】 由题意, 且
则 ,
当 时,单调递减; 当 或 时, 单调递增,
在上,单调递增; 当单调递减,
又因为，所以，所以，
在上最大值是.
答案B 【详解】依题意得，建立空间直角坐标系则
设法向量解得
8. 答案B 【详解】由题设可得，
设，则，即在上单调递增，而，
∴，要使，只需恒成立，
令，则：当时，即递减；当时，即递增；
∴，故只需，即. 故选：B
9. 答案ACD 【详解】根据向量的加法、减法法则即可判断.
10. 答案BC 【详解】对于A，题目只给出函数在定义域[－1，5]的4个对应值，不能得到函数是周期函数，故A错误．
对于B，由图象可得函数在[0，2]上小于等于0，所以函数在[0，2]上是减函数，故B正确．
对于C，由于函数在[－1，0]，[0，2]，[2，4]，[4，5]分别单调递增，单调递减，单调递增和单调递减，如右图所示：当时，函数的零点个数为0；
当，时，函数的零点个数为1；当时，
函数的零点个数为2；
当时，若，则函数的零点个数为3，若，则函数的零点个数为4. 故函数的零点个数可能为0，1，2，3，4，故C正确．
对于D，如果，时，此时函数有2个零点，故D错误．故选BC.
答案AB 【详解】对于A，如图 ，取的中点，连接，由△和△为等腰三角形，得，，又， 平面，所以⊥平面，又 平面，所以，故A正确．
对于B，根据折起前后，可知三线两两垂直，于是可证平面 ⊥平面，故B正确．
对于C，将图乙翻转并建立如图所示的空间直角坐标系，设图甲中的＝2，则，(0，0，1)，(1，0，0)，(0，2，0)，故＝(1，0，－1)，＝(－1，2，0)．易知＝(0，2，0)为平面的一个法向量，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝2，则y＝1，z＝2，则n＝(2，1，2)为平面的一个法向量，
|cos〈，n〉|＝＝＝，所以平面与平面夹角的余弦值为.故C错误．
对于D，由于，故点在平面上的投影不是△的外心，故D错误．
对于C，补充一种解法（几何法），解法如下：设正方形边长为2，依题意得：
在中，则
同理，在中，则
即为面与面所成角的二面角.
在中，由余弦定理得，
所以平面与平面夹角的余弦值为. 故C错误．
答案 【详解】，所以切线方程为.
答案 【详解】依题意得，由
得.
14.答案【详解】由题设可得：，所以为递增函数，由可得，得.
15. 【详解】由题意可求得,.
（1）可得 因为,
所以有, 整理得,解得
所以的值为
（2）设直线的单位方向向量为,则.
由于，所以，.
所以点到直线的距离
16.【详解】（1）定义域R，令
0 2
- 0 + 0 -
单调递减 极小值 单调递增 极大值0 单调递减
当时，有极小值，极小值为；当时，有极大值，极大值为.
（2）
x 0 2 3
- 0 + 0 -
16 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以 .
17.【详解】(1)证明：因为平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设平面的法向量为，，，，
则，取，可得，
所以，，
平面，所以，平面.
(2)解：设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
.
因此，平面与平面夹角的余弦值为.
18．【详解】（1）由题意可知，当时，，即，
解得， 所以.
（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则
，令，得或（舍去），
所以当时，为增函数；
当时，为减函数，
故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，
即时函数取得最大值.
所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.
19.【详解】连接MC，∵EM⊥平面ABCD，∴EM⊥MC，
∵△ABC是正三角形，∴MC⊥AB，∴MB，MC，ME两两垂直．
建立如图所示空间直角坐标系M－xyz.
则M(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0，，0)，E(0,0，)，
＝(－1，，0)，＝(－1,0，)，
假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，
＝(1,0，)，＝(0，，－)，
设＝λ＝(0，λ，－λ)，0<λ≤1，则＝＋＝(1，λ，－λ)，
∵直线AP与平面ABE所成的角为，平面的法向量，
∴＝|cos〈，n〉|＝＝＝，
解得，满足，
∴在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且

展开更多......

收起↑