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海南省海口市第二中学2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，点M是线段上靠近B的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．
3．要得到函数的图象，只需将的图象（ ）
向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
4．已知非零向量，满足，且，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，都是锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在平面四边形ABCD中，若，，且，，则（ ）
A． B．8 C．10 D．3
7．已知函数，则下列说法中，正确的是（ ）
A．的最小值为
B．在区间上单调递增
C．的图象关于点对称
D．的图象可由的图象向右平移个单位得到
8．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．的图象关于直线对称
C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
11．如图，在中，为线段的中点，为线段的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（ ）

A．若为线段的中点，则
B．若为线段的中点，则
C．
D．的取值范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知角的终边经过点，则 ．
13．已知，且与的夹角为30°，为与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量为 ．
14．已知函数，把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.若，是关于x的方程在内的两根，则的值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知
(1)求的值；
(2)求的值：
(3)求的值.
16．已知向量的夹角为．
(1)求；
(2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
17．已知函数.
（Ⅰ）求的最小正周期：
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.
18．在中，为的中点，为边上的中点，交于，设，
(1)试用，表示；
(2)若，，，求的余弦值
(3)若在上，且，设，，，若，求的范围.
19．耸立在无锡市蠡湖北岸的“太湖之星”水上摩天巨轮被誉为“亚洲最高和世界最美”.如图，轮的半径为50m，点O距地面的高度为65m，摩天轮的圆周上均匀地安装着64个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲、乙两游客分别坐在P,Q两个座舱里，且他们之间间隔7个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点）.
(1)求劣弧PQ的弧长l（单位：m）；
(2)设游客丙从最低点M处进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于时间t的函数解析式；
(3)若游客在距离地面至少90m的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲、乙两位游客都有最佳视觉效果.
参考答案
1．【答案】D
【详解】.
故选D．
2．【答案】B
【详解】在中，点M是线段上靠近B的三等分点，则，
所以.
故选B.
3．【答案】D
【详解】,
所以要得到函数的图象，
只需将的图象向右平移个单位，
故选D.
4．【答案】B
【详解】因为，
所以．
设与的夹角为，则．
故选B.
5．【答案】D
【详解】，都是锐角，，，故，.
.
故选D.
6．【答案】B
【详解】
∵，，
∴，，
∴
.
故选B.
7．【答案】D
【详解】，
的最小值为,故A错误，
时，， 所以函数在不单调，故B错误；
，故的图象关于对称，C错误，
将函数的图象向右平移个单位得，故D正确．
故选D．
8．【答案】B
【详解】因为三点共线，
所以存在实数k，使，即，
又向量不共线，所以，
由，所以，
当且仅当时，取等号，
即的最小值为4.
故选B.
9．【答案】CD
【详解】，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D正确.
故选CD.
10．【答案】ABD
【详解】由题图可得，，故，所以，
又，即，
所以，，又，所以，所以．
对于A，当时，，故A正确；
对于B，当时，为最小值，
故的图象关于直线对称，故B正确；
对于C，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数：
的图象，故C错误；
对于D，当时，，
则当，即时，单调递减；
当，即时，单调递增，
因为，，，
所以方程在上有两个不相等的实数根时，
的取值范围是，故D正确．
故选ABD.
11．【答案】AC
【详解】由题，易知
对于选项A：，且，
两式相加，当为线段的中点时，，
故，故A正确；
对于选项B：，故B错误；
对于选项C：取DM中点G，则
，故C正确；
对于选项D：
，
又，所以，故D不正确.
故选AC.
12．【答案】
【详解】试题分析：由三角函数定义可得：，由二倍角公式可得:.
13．【答案】
【详解】由已知
则向量在向量上的投影向量为.
14．【答案】－/
【详解】其中，
因为把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
所以，
当时，，
因为，是关于x的方程在内的两根，
所以有，
因此.
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由有，
；
（2）所以；
；
（3）.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为向量与的夹角为，且，
所以，
所以；
（2）因为向量与的夹角为，且，
所以，
若，即，解得，
当与共线时，此时满足，解得，
此时与共线，且方向相反，
故与夹角为钝角时，且，
所以的取值范围是．
17．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）2，．
【详解】（Ⅰ）因为
，
故最小正周期为 .
（Ⅱ）因为，所以．
于是，当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值．
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意知，R是重心
∴
（2），
，
，
（3）设
∴
∵，
∴
解得
∴范围是
19．【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）解：由题知摩天轮的圆周上均匀地安装着64个座舱，
则两个相邻座舱所对的圆心角为：，
因为甲、乙之间间隔7个座舱，所以劣弧PQ所对的圆心角为：，
所以，
即劣弧PQ的弧长为；
（2）因为摩天轮距离地面高度是周期变化，且与三角函数有关，
不妨设开始转动t min后距离地面的高度，
由题可知，，
所以，
因为，所以，此时，
因为，代入有：，
解得，，
所以
，
综上：,；
（3）因为在距离地面至少90m的高度能够获得最佳视觉效果，
所以，，即，
解得：，即，解得，
则，即有的时间使游客有最佳视觉效果，
又因为劣弧PQ所对的圆心角为，所以甲乙相隔的时间为，
解得，当甲刚开始有最佳视觉效果时，乙需min后才有视觉效果，
即甲乙都有最佳视觉效果的时间为.

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