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河南省驻马店高级中学2024 2025学年高一下学期第三次考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知复数，则（ ）
A．的虚部为 B．
C． D．
3．已知向量，，且．则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A． B． C． D．．
4．设，向量，，，且，，则 ＝
A． B． C． D．10
5．已知，则“”是“”的（ ）条件．
A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要
6．设，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高为（ ）米.
A． B．
C． D．
8．已知向量，且．若，则的最小值为（ ）．
A． B．26 C． D．24
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知两个非零向量的夹角为，定义运算，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．若，则的最小值为
10．已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，则
C．若，则是锐角三角形
D．若，则是钝角三角形
11．下列各式中值为的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知点，，则与向量同方向的单位向量的坐标是 ．
13．已知全集，集合或，则 .
14．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图所示，摩天轮的半径为，最高点距离地面高度为，摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要.甲，乙两游客分别坐在，两个座舱里，且他们之间间隔个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点).

（1）求劣弧的弧长(单位：)；
（2）设游客丙从最低点处进舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于时间的函数解析式；
（3）若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.
16．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求B的大小；
(2)若，求外接圆的半径；
(3)若点M在线段AC上，，求的最小值．
17．已知
(1)求在上的投影向量的坐标.
(2)若 与 的夹角为钝角，求实数的取值范围.
18．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，内角,，的对边分别为，，，且满足________．
(1)求；
(2)若的面积为，，求的周长．
19．已知函数，．
(1)若，求的对称轴方程；
(2)若在上恰取得一次最大值和一次最小值，求的取值范围；
(3)若在轴右侧的第一个零点为，令，且在内恰有6个零点，求实数．
参考答案
1．【答案】D
【详解】当时，恒成立，则；
当时，，解得，
所以实数的取值范围为.
故选D.
2．【答案】C
【详解】由已知可得的虚部为，故错误；
，故错误；
，故正确；
虚部不为0的复数不能比较大小，故错误.
故选C.
3．【答案】A
【详解】因为，，则，
所以，则，
所以在方向上的投影向量为
.
故选A.
4．【答案】B
【详解】试题分析：∵，∴，即，∵，∴，即，
∴，∴，∴．
考点：向量的垂直、平行的充要条件，向量的模．
5．【答案】C
【详解】由题意，，
由，即，则或，
由，则，
所以“”是“”的必要非充分条件．
故选C.
6．【答案】A
【详解】因为，所以，且，所以，则
故选A．
7．【答案】B
【详解】由题知，，，则，，
又，所以，所以，，
在中，，
根据正弦定理有，
且，
则，
在中，.
所以山高为米.
故选B.
8．【答案】B
【详解】作正方形，连接对角线，令、分别为对角线、边上一点，使得，，，.
故.
9．【答案】AC
【详解】对于A，由，得，而，因此，
又，则或，所以，A正确；
对于B，，当时，，
当时，，B错误；
对于C，因为，所以，所以，
因为，所以，所以，C正确；
对于D，由，得，由，得，
两式平方相加得，则，
当且仅当时取等号，D错误.
故选AC.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，由余弦定理得，
得，得，故A正确；
对于B，由及正弦定理，得，解得，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，所以A为锐角，但无法确定B和C是否为锐角，故C错误；
对于D，因为的三个角满足，
所以由正弦定理化简得，
设，，，c为最大边，
由余弦定理得，
所以C为钝角，所以是钝角三角形，故D正确；
故选ABD.
11．【答案】BC
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误.
故选BC.
12．【答案】
【详解】点，，
，可得，
因此，与向量同方向的单位向量为：.
13．【答案】或
【详解】在数轴上表示出全集,集合,
根据补集的概念可知或.
14．【答案】/-0.2
【详解】分别表示与方向的单位向量，故所在直线为的平分线所在直线，
又，故的平分线与垂直，
由三线合一得到，取的中点，
因为，故，

以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，，
则，
当时，取得最小值，最小值为.
15．【答案】（1）；（2），其中；（3）.
【详解】（1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着个座舱，
故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，
故.
（2）建立如图所示的平面直角坐标系，设，
由题意知，，所以，
又由，所以，
当时，可得，所以，
故关于时间的函数解析式为，其中.
（3）令，即，
令，解得，
因为甲乙两人相差，
又由，所以有甲乙都有最佳视觉效果.
1、已知函数模型求解数学问题；
2、把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题；
3、根据实际问题转化为已知条件转化为三角函数的解析式和图象，然后在根据数形结合思想研究三角函数的性质，进而加深理解函数的性质.
16．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由，
可得，
由正弦定理可得，
因为，所以，又因为，所以；
（2）由余弦定理可得，
因为，所以，
解得，所以，
所以外接圆的半径为；
（3）因为，，所以，
又，故，
所以，所以，
所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，，故在上的投影向量为
（2）依题意，，，
由与 的夹角为钝角，得，且与不共线，
则且，解得，且，
所以实数的取值范围是
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，
选①：，则，
则由正弦定理得，则，
又，所以.
选②：，则，
利用正弦定理得，则，
又，所以.
选③：，则利用正弦定理得，
则，则，
又，所以.
（2）的面积为，则，即，
又，则由余弦定理可得，即，即，
故，则，
则的周长为.
19．【答案】(1)；
(2)
(3)
【详解】（1）易知
，
因为，所以，
令，即可得，
所以的对称轴方程为；
（2）因为，，所以，
又因函数在上恰有1个最大值和1个最小值，
所以有，
解得，
所以的取值范围为；
（3）由题知，，所以，，
又因，所以，
所以；
又因，
即在内有6个根，
令，则有，
显然，所以有两不等实根，不妨设为，，
则有，，显然，异号，
不妨设，，
①若，易知，，
结合图象易知，在上有2个根，在上有4个根，
所以符合题目要求；
②若，结合图象易知，在上有4个根，
故需在上有2个根，易知此时；
代入方程得，，
综上所述，.

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