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湖南省湘西土家族苗族自治州吉首市第一中学2024 2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．12
3．下列说法正确的是（ ）
A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等
B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C．若，，则
D．向量与向量的长度相等
4．在中，点是的中点，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，满足，则（ ）
A．0 B．2 C． D．
6．已知函数是定义在上的奇函数，且，且当时，，则（ ）
A． B．0 C．2 D．
7．已知点在所在平面内，且，，，则点依次是的（ ）
A．外心、重心、垂心 B．重心、外心、垂心
C．重心、外心、内心 D．外心、重心、内心
8．已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列命题中，正确的有（ ）
A．在中，“”是“”的充要条件
B．指数函数，且与对数函数，且互为反函数
C．非零向量，则向量在向量上的投影向量为
D．函数的单调递减区间为
11．已知函数，且时，，则（ ）
A．
B．
C．的取值范围为
D．函数的最小值、最大值分别为1，
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为 ．
13．在中，点O为BC的中点，过O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N若，则的值为
14．在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知平面直角坐标系中，点为原点，，．
(1)求的坐标及；
(2)若，，求及的坐标；
(3)求．
16．如图，，分别是矩形的边和的中点，与交于点N.
(1)设，，试用，表示；
(2)若，，H是线段上的一动点，求的最大值.
17．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高.
(1)求两点AC间的长度；
(2)求山MN的高度.
18．在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积；
(3)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围．
19．已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围；
(3)已知函数在区间上单调递减.试判断：是否恒成立？请说明理由.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由，
故选C.
2．【答案】C
【详解】由，，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
故选C.
3．【答案】D
【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误.
两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误.
当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误.
向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确.
故选D.
4．【答案】C
【详解】由题意知在中，点是的中点，且，
故，
则在上的投影向量为
.
故选C
5．【答案】B
【详解】由得，，
∵，∴，即.
故选B.
6．【答案】B
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，
即函数关于点对称，所以，
又因为，则函数关于直线对称，
即，
所以，令，则，
，即，所以，
即，函数是周期为的周期函数，
又当时，，
则，，
则，，，
则
.
故选B
7．【答案】A
【详解】因为，即O到各顶点距离相等，所以O为的外心；
取的中点分别为，连接，
则有，
所以三点共线，三点共线，三点共线，
即N为的重心；
由，即，同理，
所以为垂线的交点，故为的垂心.
故选A
8．【答案】D
【详解】因为，
故可得，
由，故可得，
令，可得，
则或或或，，
因为在上有且仅有三个解，
，解得．
故选D.
9．【答案】ACD
【详解】对于A：因为零向量和任意向量平行，故A中向量不可作基底；
对于B：因为，故B中两个向量不共线，可以作为基底；
对于C：因为，所以C中两个向量共线，故C中向量不可作基底；
对于D：因为，所以D中两个向量共线，故D中向量不可作基底.
故选ACD.
10．【答案】BC
【详解】对于A，在中，，则A可取，此时，不成立，
故“”不是“”的充要条件，A错误；
对于B，指数函数，且与对数函数，且互为反函数，B正确；
对于C，非零向量，则向量在向量上的投影向量为，正确；
对于D，函数的单调递减区间为，两区间之间不能用并集符号，故D错误，
故选BC
11．【答案】ACD
【详解】作出函数的图象，
由图可知，若，
则，A正确；
∵，可得，∴，可得，B错误；
依题意，，得，
则，且当接近时，接近，接近4，
此时，且当接近时，无限增大，∴趋于负无穷，
则的取值范围为，C正确；
函数，，设，则，
则，，∴函数的值域为，D正确．
故选ACD．
12．【答案】
【详解】幂函数是偶函数，
，解得或，
当时，为奇函数，不符合题意，
当时，为偶函数，符合题意，
,在内单调递增，且为偶函数，
可化为，
两边取平方可得：，
整理的，解得，
的解集为.
13．【答案】2
【详解】试题分析：三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一．
∵M、O、N三点共线，
14．【答案】
【详解】在中，由余弦定理可得．
由平面向量数量积的定义可得，
在锐角中，点是线段的中点，则，
所以
．
由及正弦定理，得，，
所以
．
因为为锐角三角形，且，则，解得，
则，所以，
所以，所以．
所以线段的长的取值范围为．
15．【答案】(1)
(2)；
(3)
【详解】（1），.
（2），
.
（3）,.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）取AC的中点O，连OE，OF则，
因为，
所以.
（2）以A为原点，AB，AD分别为x， y轴，建立直角坐标系，
则，，，，
直线的方程为：，
设，
则，，
所以，
当时等号成立.
17．【答案】(1)
(2)200
【详解】（1）在中，因为，，，
所以，
（2）在中，因为，，可得，
因为，所以，
在直角中，可得.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
由正弦定理可得，
∴，
∵，则，∴，又，∴；
（2）因为，，
由余弦定理，即，
∴，解得，
∴；
（3）在中，由正弦定理，
∴，
∴
，
又为锐角三角形，∴，
∴，∴，
∴，∴，∴，
故周长的取值范围为
19．【答案】(1)
(2)
(3)恒成立，理由见解析
【详解】（1）由得，
又，即，所以，
解得，即不等式的解集为；
（2）当时，单调递减，又为增函数，
所以函数在区间上单调递减，
又时，，所以的值域为，
因为在区间上单调递减，所以的值域为.
若存在，使得成立，只需，即，
所以实数的取值范围是；
（3）恒成立，理由如下：
因为，
所以
，
因为在区间上单调递减，
所以当时，，所以，
即，即，
所以，
即恒成立.

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