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江西省宜春市宜丰县宜丰中学2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．（ ）
A． B． C． D．
2．函数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是（ ）
A． B．
C． D．
4．一个扇形的弧长与面积的数值都是，则这个扇形的中心角大小为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，为边上的中线，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，且三点共线，则（ ）
A． B．1 C．2 D．4
7．已知向量，满足，，与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
8．设函数，若对于任意实数，函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．（多选）下列结果为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，设，当时，定义平面坐标系为的斜坐标系．在的斜坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设，是分别与轴，轴正方向相同的单位向量，若，则记．下列结论正确的是（ ）
A．设，，若，则
B．设，，若，则
C．设，则
D．设，，若与的夹角为，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．的内角，，的对边分别为，，，，，， 则等于 .
13．如图所示，在四边形中，，则 .

14．已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．若角的终边经过点，求角的正弦值、余弦值以及正切值.
16．函数的部分图象如图：
(1)求解析式；
(2)写出函数在上的单调递减区间.
17．已知向量.
(1)若向量与共线，求实数的值；
(2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
18．已知的夹角为，，，，
(1)若，求实数t的取值范围；
(2)是否存在实数t，使得，若存在，求实数t.
19．如图，圆C的半径为3，其中A，B为圆C上两点.
(1)若，当k为何值时，与垂直？
(2)若G为的重心，直线l过点G交边AB于点P，交边AC于点Q，且，求 最小值.
(3)若的最小值为1，求的值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由题意得，．
故选C．
2．【答案】C
【详解】易知当时，函数取得最大值为3.
故选C.
3．【答案】D
【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，
就是变为原来的2倍进行变换，即得到函数的解析式为：.
故选D.
4．【答案】B
【详解】设扇形的弧长、面积和中心角分别为，扇形的半径为，
因为，所以，由题有，解得，
故选B.
5．【答案】C
【详解】如图，
故选C.
6．【答案】A
【详解】因为三点共线，所以，
因为，
所以，解得.
故选A.
7．【答案】D
【详解】因为与的夹角为，故，故，
故选D.
8．【答案】C
【详解】因为为任意实数，故函数的图象可以任意平移，从而研究函数在区间上的零点问题，即研究函数在任意一个长度为的区间上的零点问题，
令，得，则它在轴右侧靠近坐标原点处的零点分别为，，，，，，
则它们相邻两个零点之间的距离分别为，，，，，
故相邻四个零点之间的最大距离为，相邻五个零点之间的距离为，
所以要使函数在区间上至少有3个零点，至多有4个零点，则需相邻四个零点之间的最大距离不大于，相邻五个零点之间的距离大于，
即，解得.
故选C.
9．【答案】BCD
【详解】对于A：
，故选项A不正确；
对于B：
，故选项B正确；
对于C：
，故选项C正确；
对于D：
，故选项D正确.
故选BCD
10．【答案】ABD
【详解】根据诱导公式四，，A正确；
对于B，，B正确；
根据诱导公式五，，C错；
根据诱导公式三，，D正确.
故选ABD.
11．【答案】BD
【详解】对于A，若，则，
，故A错误；
对于B，若，则，
则，所以，故B正确；
对于C，，，故C错误；
对于D，，
即，
解得，所以，故D正确．
故选BD.
12．【答案】
【详解】在中，
由正弦定理，
即，解得.
13．【答案】
【详解】因为在四边形中，，
所以
.
14．【答案】
【详解】等价于在上的投影，
如图1，在单位圆圆上任取两点、，
则对任意的，当与反向共线时，在上的投影取最小，
作于点，设，取中点，有，
则，，则，
由，故；
如图2，在单位圆圆上任取两点、，
则对任意的，当与同向共线时，在上的投影取最大，
作于点，设，取中点，有，
则，，则，
由，故；
综上所述，.
15．【答案】.
【详解】由三角函数的定义可得，，
.
16．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题设，可得，且，
所以，又，
所以，且，可得，则；
（2）在上，则上单调递减，
所以，可得，
所以在上的单调递减区间为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可得，，
若向量与共线，可得，
解得.
（2）若向量与的夹角为锐角可得且与不共线，
即可得，
解得且，
即实数的取值范围为且
18．【答案】(1)
(2)存在，
【详解】（1），的夹角为，且，，
.
由，得
，解得；
（2）由，得存在，使得，
即，解得
所以存在实数，使得.
19．【答案】(1)
(2)2
(3)
【详解】（1）因为，
所以由余弦定理得，即，所以.
若与垂直，则，
所以，所以，
解得，即时，与垂直；
（2）因为为的重心，所以，
又因为，所以，
由于三点共线，所以存在实数使得，所以，
化简为，所以，所以.
显然，则，
当且仅当时，即时，取最值.
则的最小值为2.
（3）设与的夹角为，在中，，
所以，
又
，
所以当时，有最小值，所以，解得，
即取最小值1时，．

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