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山东省菏泽市单县第一中学2024 2025学年高一下学期第一次调研考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数的虚部为（ ）
A．i B． C．1 D．－1
2．已知向量，向量．若向量与向量垂直，则（ ）
A． B． C．3 D．5
3．已知复数满足，复数（为虚数单位），则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．在中，的面积为，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单．如图，某测量小组为测量该塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D，现测得，，米，在C点测得塔顶A的仰角为，则该塔的高度AB约为（取）（ ）
A．32.75米 B．33.68米 C．33.94米 D．34.12米
6．我国南宋时期杰出的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，其内容为：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”把以上文字写成公式，即（其中S为面积，a，b，c为的三个内角A，B，C所对的边）.若，且，则利用“三斜求积”公式可得的面积（ ）
A． B． C． D．
7．已知三条边上的高分别为3，4，6，则最小内角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，设，是平面内夹角为的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序数对叫做点在坐标系中的坐标.在该坐标系下，，，为不共线的三点，下列结论错误的是（ ）

A．线段中点的坐标为 B．重心的坐标为
C．，两点的距离为 D．若，则，，三点共线
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数，，为共轭复数，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．为实数 B． C． D．
10．已知平面向量，，则（ ）
A．，不可能垂直 B．，不可能共线
C．不可能为5 D．若，则在方向上的投影向量为
11．下列说法正确的是（ ）
A．已知内有一点满足，则向量与的夹角为直角
B．已知分别为内角的对边，且，，则使得有两组解的的取值范围是
C．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为
D．若虚数是关于的实系数方程的一个根，则-2
三、填空题（本大题共3小题）
12．一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为
13．若，则复数的虚部为
14．费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点．当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为．已知点为的费马点，角所对的边分别为，若，，边上的中线长为，则的值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知单位向量满足
(1)求的值；
(2)设与的夹角为，求的值；
16．已知的内角的对边分别为，满足
(1)求角；
(2)是的角平分线，若的面积为，求的值．
17．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集．
(1)若复数，求；
(2)在复平面内复数，对应的向量分别是，，其中是原点，求向量对应的复数．
18．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)为边上一点，，，求的面积.
19．在中，，，对应的边分别为，，，
(1)求；
(2)若为线段内一点，且，求线段的长；
(3)法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在（1）的条件下，若，求：的最小值；
参考答案
1．【答案】C
【详解】解：，故复数的虚部为；
故选C.
2．【答案】A
【详解】因为，向量与垂直，
所以，所以，即，
∴.
故选A.
3．【答案】D
【详解】由已知，由复数模的三角不等式可得.
故选D.
4．【答案】D
【详解】因为，所以，即
所以
所以
故选D.
5．【答案】C
【详解】设米，则，
由，，得，
在中由正弦定理，即，
所以（米）.
故选C.
6．【答案】B
【详解】因为，由余弦定理可得，解得，
又因为，由正弦定理可得，且，即，解得，
所以.
故选B.
7．【答案】D
【详解】由题意，不妨设的三边上对应的高的长度分别为3，4，6，
由三角形的面积公式可得：，
解得：，
设，
则，
可得c为三角形最小边，C为三角形的最小内角，
由余弦定理得：
故选D.
8．【答案】C
【详解】根据题意，，，，
对于A，设的中点为，则，
故线段中点的坐标为，故A正确．

对于B，设重心为，则
，
故重心的坐标为，故B正确；
对于C，，
所以
=
即该坐标系中，两点间的距离为：
，故C错误；
对于D，，，
若，易得，则、、三点共线，
若，变形可得，所以，
所以，所以、、三点共线，
综合可得：若，则，，三点共线，故D正确．
故选C．
9．【答案】AC
【详解】设，
对于A，，所以A正确，
对于B，因为，，所以 ，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，
因为，所以，所以D错误，
故选AC
10．【答案】ACD
【详解】，A选项正确；
若向量，共线，则，解得，所以向量，可能共线，B选项错误；
因为，所以，C选项正确；
若，则，，所以在方向上的投影向量为，D选项正确；
故选ACD．
11．【答案】ABC
【详解】A. ，则，则，
，，
即，即，故A正确；
B.在内正弦定理得，则，
有两组解，则且，则，故B正确；
C. ，则由正弦定理可得，
，因，则，
即，得，
因，故，故，，故，则，则，当且仅当，即时等号成立，因，则，故C正确；
D. 是的一个根，则也是其根，则，则，故D错误.
故选ABC.
12．【答案】16
【详解】由题意得：，
，
则合力对该质点所做的功为.
13．【答案】
【详解】设，
由，
则，
即，
即，解得或，
所以或.
则复数的虚部为.
14．【答案】/
【详解】
由，则，
因为，故，
则，即，
即，，
则，故，故的三内角都小于，
则P点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为；
又，则，
则，解得，故，
因为，
即，
所以，
则.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为为单位向量，所以，
所以，得到，
则，
则
（2）因为，所以，
而
所以，
即
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，
即，整理得，
化简得，由余弦定理得，又，则；
（2）由面积公式得，解得；
即
，
所以．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知，
，
，
所以，
所以．
（2）因为，
所以．
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，由正弦定理得：，
∴，即，
则.
（2）由题可知为等边三角形，则，，
∵，在中，由余弦定理可得：
，
即，解得，
∴的面积为.
19．【答案】(1)
(2)
(3)48
【详解】（1）因为
所以，
由正弦定理，
所以
即：，又，所以；
（2）（方法一）因为，所以，
所以，
所以
，及
（方法二）以AB所在的直线为轴，A为坐标原点建立坐标系，如图，
则
则：
所以；
（3）根据柯西不等式：

（当且仅当为正三角形时取等号）
即：的最小值为48.

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