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陕西省西安市雁塔区第二中学2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．若复数（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B． C． D．1
4．已知是不共线的向量，且，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线
5．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．已知，且关于的方程无实根，则向量与的夹角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，角，，的对边分别为，，，已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥BD，△BCD为边长为的等边三角形，点P为边BD上一动点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在中，角，，所对的边分别为，，，则由下列条件解三角形，其中只有一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．已知是夹角为的单位向量，且，则（ ）
A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为
11．在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若为锐角三角形，则
C．若，则为等腰三角形
D．若，则是等腰三角形
三、填空题（本大题共3小题）
12．设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于 ．
13．如图，在直角梯形中，，点在边上，且，则 ．

14．瑞云塔位于福清市融城东南龙首桥头，如图，某同学为测量瑞云塔的高度，在瑞云塔的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，瑞云塔顶部M的仰角分别为30°和45°，在A处测得瑞云塔顶部M的仰角为15°，瑞云塔的高度为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数（为虚数单位，）.
(1)若为实数，求的值;
(2)若为纯虚数，是关于的方程的一个根，求方程的另一根.
16．已知向量，.
（1）若向量与平行，求的值；
（2）若向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
17．记内角的对边分别为，已知，
(1)求；
(2)若，求的面积．
18．如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N.
(1)设，，试用，表示；
(2)求；
(3)设，，求的最小值.
19．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处的C处的缉私船奉命以的速度追截走私船.此时，走私船正以的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.
(1)求线段的长度；
(2)求的大小；
(3)问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船 最快需要多长时间 参考数值：，
参考答案
1．【答案】A
【详解】由题意，.
故选A.
2．【答案】B
【详解】由可得，
故复数z对应的点为，位于第二象限.
故选B.
3．【答案】A
【详解】，则，故其虚部为，
故选A
4．【答案】C
【详解】A：假设存在实数，使得，则三点共线.
，得，无解，所以假设不成立，故A错误；
B：假设存在实数，使得，则三点共线.
，得，无解，所以假设不成立，故B错误；
C：，
假设存在实数，使得，则三点共线.
，得，解得，所以假设成立，故C正确；
D：，
假设存在实数，使得，则三点共线.
，得，无解，所以假设不成立，故D错误.
故选C.
5．【答案】B
【详解】因，由正弦定理，，即,
因,则，故, ,即，故是等腰三角形.
故选B.
6．【答案】D
【详解】因关于的方程无实根，则，
设向量与的夹角为，则，
又，代入整理得：，因，故.
故选D.
7．【答案】B
【详解】因为，由正弦定理可得，
即，又，所以，
因为且，所以，所以
又，所以，.
故选B.
8．【答案】C
【详解】由题意可知，为等边三角形，则有，，
在中， ,；
如图以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则有，，由于，故可设P点坐标为,且，
所以，，
所以，
因为，当时，取得最小值 ，当 时，取得最大值为0，
所以，
故选C.
9．【答案】AB
【详解】对于A，因为，，，
则根据三角形全等（角边角）可知存在且唯一的，故A正确；
对于B，因为，，，
则根据三角形全等（边角边）可知存在且唯一的，故B正确；
对于C，由余弦定理有，即，
整理得，解得或，
所以满足条件的三角形有两个，故C错误；
对于D，由余弦定理有，即，
整理得，且，即无解，
所以此时三角形不存在，故D错误；
故选AB．
10．【答案】ABD
【详解】设与的夹角为，
对B，因为，B正确；
对A，，A正确；
对C，，
所以，C错误；
对D，在方向上的投影为，D正确.
故选ABD.
11．【答案】BD
【详解】对于A，由余弦定理可得，即，但无法判定A、C的范围，故A错误；
对于B，若为锐角三角形，则有，由正弦函数的单调性可得，故B正确；
对于C，若，由正弦函数的性质可得或，又，故或，所以C错误；
对于D，若，由正弦定理可得，结合两角和的正弦公式得
又，所以，故，所以D正确.
故选BD.
12．【答案】/
【详解】是实数，则，．
13．【答案】/0.5
【详解】

依题意，以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系.
则，设点，则，
于是，解得，
即.
14．【答案】m
【详解】在Rt中，，由题意可得，
由图知，，
所以，
在中，由正弦定理可得：
即，解得
在Rt中，如图可得.
15．【答案】(1)或
(2)3
【详解】（1）根据复数的定义可知若为实数，则或；
（2）根据复数的定义可知若为纯虚数，则，
则，
则由，得，所以另一个根为.
16．【答案】(1)或；(2).
【详解】由题知，，.
(1)若向量与平行，则，.
解得或.
(2) 若向量与的夹角为锐角，
由得，，.解得.
又由(1)知，当时，向量与平行.
所以若向量与的夹角为锐角，则的取值范围为.
17．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）在中，由及余弦定理，得，
解得，而，则，由，得，
又，所以.
（2）由（1），得，
由正弦定理得，
所以的面积为
18．【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由，得，所以.
（2）在等边中，，
由（1）得，
，，，
，
所以.
（3）由（1）知，，而，，
因此，而共线，则，
又，于是，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
19．【答案】(1)
(2)15°
(3)缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船，最快需要.
【详解】（1）在△ABC中，∠CAB＝45°+75°＝120°，
由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2ABACcos∠CAB，
所以，.
（2）在△ABC中，由正弦定理，得，
所以，sin∠ACB.
又∵0°＜∠ACB＜60°，
∴∠ACB＝15°.
（3）设缉私船用th在D处追上走私船，如图，
则有，BD＝10t.
在△ABC中，
又∠CBD＝90°+30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
.
∴∠BCD＝30°，
所以角度为北偏东，即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.
又，故，解得，
即最快需要.

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