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2024-2025学年山东省菏泽市高一下学期 4月期中考试
数学试卷(A)
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 4+2 .复数 = 3 2 在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知一个水平放置的 用斜二测画法得到的直观图如图所示，且 ′ ′ = 3， ′ ′ = 6，则原平面
图形的面积是( )
A. 16 B. 18 C. 2 2 D. 36
3.如果 , 是空间中两条直线，下列说法正确的是( )
A. , 要么相交，要么平行 B. , 要么相交，要么异面
C. , 要么平行，要么垂直 D. , 不相交时，要么平行，要么异面
4.若 = ( 1,2)， = (2, )，若 // ，则 =( )
A. 4 B. 2 5 C. 3 5 D. 5
5.已知三棱柱 1 1 1的 6 个顶点都在球 的球面上，且 = 3, = 4, ⊥ ， 1 = 12，则球
的半径为( )
A. 5.5 B. 6 C. 6.5 D. 7
6.已知非零向量 ， 满足 2 = ，向量 在 方向上的投影向量为 2 ，则 cos , 6 =( )
A. 2 B. 2 5 23 3 C. 3 D. 6
7.一艘海轮从 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40°的方向直线航行，2 小时后到达 处，在 处
有一座灯塔，海轮在 处观察灯塔，其方向是南偏东 70°，在 处观察灯塔，其方向是北偏东 65°，那么 ，
两点间的距离是( )
A. 40 2海里 B. 40 3海里 C. 80 3海里 D. 80 2海里
8.已知 为 的内心，三个角对应的边分别为 , , ， ， ，已知 = 3， = 2 3， = 5，则 =( )
A. 6 7 B. 2 C. 2 3 8 D. 3 2 9
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列说法错误的有( )
A.平行四边形的直观图还是平行四边形 B.菱形的直观图还是菱形
C.梯形的直观图可能不是梯形 D.正三角形的直观图不一定是等腰三角形
10 5 5 .已知复数 1 = 2+ ， 2 = 3 4 ， 3 = (4 + 5 )(1 )，则( )
A.若 1， 2， 3的虚部依次为 ， ， ，则 2 = +
B.若 1， 2， 3的实部依次为 ， ， ，则 2 =
C. 1 + 2 = 4 + 7
D. | 2 | = 10 1 2
11.如图，在 中， 与 交于点 ， 是 的靠近 的三等分点， 是 的中点，且有 = + ，
, ∈ (0, + ∞)，则( )
A. = 12
B. = 13
C. = 3 3 4 4
D.过 作直线 分别交线段 , 于点 , ，设 = ， = ( > 0, > 0)，则 + 2 的最小
值为 2．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知向量| | = 3，| | = 4，且 = 6，则|2 | = ．
13.如图，圆锥 的底面圆半径为 1，侧面积为 3 ，一只蚂蚁要从 点沿圆锥侧面爬到 上的 点，且 =
1
3
，则此蚂蚁爬行的最短路径长为 ．
14.在正四面体 中， 为 边的中点，过点 作该正四面体外接球的截面，记最大的截面面积 ，最

小的截面面积为 ，则 = ；若记该正四面体内切球和外接球的体积分别为 1和 2，则
2
= ．1
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 中，内角 , , 的对边分别为 , , ，且 sin = 3 cos ．
(1)求角 ；
(2)在 中， = 2 3，求 周长的最大值．
16.(本小题 15 分)
已知 = (1,2)， = ( 3,4)， = + ( ∈ ).
(1)当 为何值时， 最小？
(2)当 为何值时， 与 的夹角最小？
17.(本小题 15 分)
请按所学立体几何相关内容，解答下面 2 个问题：
(1)一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
(2)已知正四棱台的上、下两底的底面边长分别为 2 和 4 ，侧棱长为 2 ，求该棱台的体积．
18.(本小题 17 分)
已知：①任何一个复数 = + i 都可以表示成 cos + isin 的形式.其中 是复数 的模， 是以 轴的非负
半轴为始边，向量 所在射线(射线 )为终边的角，叫做复数 = + i 的辐角， cos + isin 叫做复数
= + i 的三角形式．
②eix = cos + isin 被称为欧拉公式，是复数的指数形式．
③方程 = 1( 为正整数)有 个不同的复数根．
(1) 1 3设 = + i，求 20242 2 ；
(2)试求出所有满足方程 6 = 1 的复数 的值所组成的集合．
19.(本小题 17 分)
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔 德 费马(1601 1665)于 1643 年提出的平面几何极值问题：“已知一
个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已
知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ 的三个内角均小于120 时，则使得∠ =
∠ = ∠ = 120 的点 即为费马点.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 2 cos ，且 cos =
cos
.若 是△ 的“费马点”， = 2 3， < ．
(1)求角 ;
(2)若 + + + 4 = 0，求 的值;
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(3)在(2)的条件下，设 ( ) = 9 3 + (| | + | | + | |)2，若当 ∈ [1,2]时，不等式 ( ) ≥ 0 恒成立，
求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 19
13. 13
14.23；27
15.(1)在 中，由正弦定理可得 sin sin = 3sin cos ，
因为 sin > 0，所以 sin = 3cos ，即 tan = 3，
因为 0° < < 180°，所以 = 60°．
(2) = 2 3，故 12 = 2 + 2 2 cos = ( + )2 3 ≥ 1 24 ( + ) ，
故 + ≤ 4 3，当且仅当 = = 2 3时等号成立，
故周长的最大值为 6 3．
16.(1)因 = (1,2), = ( 3,4)，则 = (1 3 , 2 + 4 )，
于是得| |2 = (1 3 )2 + (2 + 4 )2 = 5 + 10 + 25 2 = 25( + 15 )
2 + 4，
当 = 15时，| |最小，此时 = (
8
5 ,
6
5 )， = ( 3,4) (
8
5 ,
6
5 ) = 0，则
⊥ ，
1
所以当 = 5时，| |最小为 2．
→ →
(2)设 与 的夹角为 ，有 ∈ [0, π]，而 cos 在 ∈ [0, π]上单调递减，
要 最小，则当且仅当 cos 最大，
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显然 cos 的最大值为 1，此时 = 0，即 与 共线同向，
由(1)的向量坐标可得 1 × (2 + 4 ) = 2(1 3 )，故 = 0，
→ →
所以 = 0 时， 与 的夹角最小．
17.(1)设正方体的棱长为 ，圆柱底面半径为 ，母线长为 ，
2
则 2 = π 2 2π 且 4 2 = 2π ，故 = π， = π = 2 ，
3 π 3 π
故正方体的体积与圆柱的体积之比为π 2 = 2 ×π 2 = 2 ．
(2)
如图，连接 1 1, ，则 1 1 = 2 2, = 4 2，
2
2 22 4 2 2 2由侧棱长为 可得正四棱台的高为 2 = 2，
1 × 2 × 22 + 42 + 22 × 42 = 28 2故该棱台的体积为3 3 ．
18.(1) = 1+ 3 i = cos 2π
2π
依题意， 2 2 3 + isin
2π
3 = e
i 3 ，
所以 2024 = (ei
2π 4048π
3 )2024 = ei = cos 4048π3 3 + isin
4048π
3
= cos 4π 4π 1 33 + isin 3 = 2 2 i．
(2)设 = cos + isin ( > 0)，
6
则 6 = 6 cos + isin 6 = 6 ei = 6 cos6 + isin6 = 1，
故 6cos6 = 1, 6sin6 = 0，故 = 1, cos6 = 1, sin6 = 0
故 6 = 2 π, ∈ Z，解得 = π3 , ∈ Z，
π 2π 4π 5π
由终边相同的角的意义，取 = 0,1,2,3,4,5，则对应的 依次为 0, 3 , 3 , π, 3 , 3，
1 3 1 3 1 3 1
因此对应的 依次为 1, 2 + 2 i, 2 + 2 i, 1, 2 2 i, 2
3
2 i，
1 3
所以所求的集合是 1, 2 + 2 i,
1 + 32 2 i, 1,
1
2
3
2 i,
1 32 2 i ．
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19. 2 cos cos 解：(1)由已知得：cos = ，
即 cos = 2 cos cos ，
由正弦定理得：sin cos + cos sin = 2sin cos ，
即 2sin cos = sin( + ) = sin ，
因为 0 < < ，sin > 0，
cos = 1所以 2， = 60°．
(2)因为 = 60°，
所以三个内角均小于120 ， 为费马点，且∠ = ∠ = ∠ = 120 ，
设| | = ，| | = ，| | = ，
则 + + = ( 1 ) + ( 1 ) + ( 12 2 2 ) = 4，
所以 + + = 8，
由 △ + △ + △ = △ ，
1 3
得：2 2 +
1
2
3 1 3 1
2 + 2 2 = 2 sin 3，所以 = 8，
(3)由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos ，
即 12 = 2 + 2 2 × 12 =
2 + 2 ，
由(2)知 = 8，所以 2 + 2 = 20，
2 2
又 < ，联立 + = 20，
= 8
解得 = 4， = 2，
在△ ，△ ，△ 中，
2 + 2 + = 16
由余弦定理得 2 + 2 + = 4 ，
2 + 2 + = 12
因为 + + = 8，
所以 2 + 2 + 2 = 12，
所以 2( + + ) + 2 + 2 + 2 = ( + + )2
= (| | + | | + | |)2 = 28，
所以 ( ) = 9 3 + (| | + | | + | |)2 = 9 3 + 28 ≥ 0，
≤ 3 + 28即 3 ，令 = 3
， ∈ [3,9]，
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由对勾函数的性质知 = + 28 在 ∈ [3,2 7]上单调递减，[2 7, 9]上单调递增，
≤ ( + 28所以 )min = 4 7，
即 的取值范围为( ∞,4 7].
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