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2024-2025 学年山东省烟台市高一下学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 + 1 = 2i ，则 的虚部为( )
A. 1 2 1 23 B. 3 C. 3 i D. 3 i
2.若 tan = 3，则 sin2 2cos2 =( )
A. 2 B. 2 C. 65 5 5 D.
6
5
3.在平面直角坐标系中，已知 ( 1,2), (0,5)，则向量 在 上的投影向量为( )
A. (1,3) B. 2 , 3 2 12 2 C. 2 ,
3 10 3 10
2 D. 2 , 2
4.在 中，2 = ， 是 1上一点，且 = + 3
，则实数 的值为( )
A. 1 B. 2 2 13 3 C. 3 D. 3
5.斜拉桥(如图 1)是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主
塔 垂直于桥面，斜拉索 ， 与桥面所成角∠ = , ∠ = (如图 2)，主塔 的高度为 ，则
间的距离为( )
A. sin( ) sin sin( )sin sin B. sin
C. sin sin( ) D. sin sin sin sin( )
6.若函数 ( ) = 2sin 2 π π4 在 24 ,
2
上的最小值为 2 ，则 的最大值为( )
A. 7π 2π 13π12 B. 3 C. 24 D.
17π
24
7 3tan π+ cos π.若 6 3 = 8，则 sin 2
π
6 =( )
A. 13 B.
1
3 C.
7
9 D.
7
9
8. 的内角 , , 的对边分别为 , , ( > )，已知 sin + 2 = sin ，且 = 4, ， 边上的中线 ,
相交于点 ，且 = 13，则四边形 的面积为( )
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A. 1 B. 3 C. 2 D. 2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A.若向量 , , 满足 = 且 ≠ 0，则 =
B.对于任意向量 , ，都有 ≤
C.对于任意向量 , ，都有 + ≤ +
D.若向量 , 共线，则存在实数 ，使得 =
10 π.函数 ( ) = sin( + ) > 0, > 0, | | < 2 的部分图象如图所示，则( )
A.函数 ( ) 7π的图象关于点 12 , 0 对称
B.函数 ( ) π 5π在 3 , 6 上单调递减
C.函数 ( ) 2π 25π在 3 , 12 上恰有 6 个零点
D.若 ( ) = 32，在 0,2π 上有 个不同的解

1, 2, , ，则 tan =1 = 3
2
11 .已知 的面积为 ，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 2 = 3，则下列说法正确的有( )
A. tan = 2tan
B. sin cos = 3 = π若 6 ，则 3
C. = 5, = π若 4，则 =
3
2
D. 1 3 2tan + tan + tan 的最小值为 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1,2), = ( , 2)，且 ⊥ ，则 2 = ．
13 π 3π.已知 0 < < 4 < < 4 , sin2 =
12
13 , cos( ) =
4
5，则 cos( + ) = ．
14.如图，在四边形 = = = 2, ∠ = 2π中， 3， ⊥ , ⊥ ，设∠ = .①当 =
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2时， 的长为 ，②四边形 面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 21 = + 7 + 12 + ( + 3)i, ∈ , 2 = 1 + 2i．
(1)若 20251为纯虚数，求复数 1 的值；
(2)若 1 为虚数且在复平面内对应的点在直线 = 上，求 11 2 的值．2
16.(本小题 15 分)
一条东西方向的河流两岸平行，河宽 800 ，水流的速度为向东 4 / .河南岸有一码头 ，码头 正对面有
一货站 ( 与河的方向垂直)， 的正西方向且与 相距 600 另有货站 ，已知一货船匀速航行，当货船自
码头 航行到货站 航程最短时，合速度为 5 / ．
(1)求货船航行速度的大小；
(2)若货船从 出发垂直到达正对岸的货站 处，求货船到达 处所需时间．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3sin cos 2cos2 + 1( > 0) π图象的相邻两条对称轴间的距离为2．
(1)求 的值及函数 ( )的单调递增区间；
(2) π 1将函数 ( )的图象向右平移3个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的2 (纵坐标不变)，得到函数 =
( ) π的图象，若对任意的 ∈ 0, 4 ，不等式 ( ) <
2 恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
在 中，内角 , , 所对的边分别为 ， ， .从下面两个条件中任选一个作答，如果选择多个条件分别
π
解答，按第一个解答计分.① sin = cos 6 ；② 2 = sin tan 2．
(1)求角 ；
(2) + 若 > ，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
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= π在 中， 4 , 7sin( ) = sin ．
(1)求 sin ；
(2)若 的面积为 18，∠ 的平分线与边 交于点 ，求 的长．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 10
13.1665
14. 6+ 22 ；
15.解：(1)由 = 21 + 7 + 12 + ( + 3)i, ∈ 为纯虚数，
可得
2 + 7 + 12 = 0，解得 = 4，此时 1 = i， + 3 ≠ 0
则 2025 = i 20251 = i2025 = i．
(2) 1由 1为虚数且在复平面内对应的点在直线 = 2 上，
则( + 3) = 1 22 + 7 + 12 ，解得 = 2 或 = 3，
由于 1为虚数，所以 = 3 舍去，故 = 2,则 1 = 2 + ，

则 1 =
2+i = 2+i 5
2 1+2i 1+2i
= 5 = 1．
16.解：(1)以 为坐标原点，以东向方向为 轴，以垂直对岸的方向为 轴建立直角坐标系如图所示．
货船从码头 航行到货站 的最短路径要求合速度方向由 指向 ．
→ →
设货船在静水中的速度为 = ( , )，水流速度为 4 / 向东，即 = (4,0)，
→ → →
合速度为水流速度与船速的矢量和： = + = ( + 4, )
由题意，合速度方向与向量 = ( 0.6,0.8)同向，且大小为 5 / ．
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→
设合速度为 = ( 0.6,0.8)，则： ( 0.6 )2 + (0.8 )2 = 5 = 5.
→
因此，合速度为 = ( 3,4)．
+ 4 = 3
联立方程： = 4 = 7, = 4.
→
货船速度大小为： = ( 7)2 + 42 = 65 / .
(2)货船要垂直到达正对岸 ，需使合速度的东向分量为 0．
→
设船速为 ′ = ( , )，则： + 4 = 0 = 4.
→ →
由(1)知船速大小为 ′ = = 65，故：( 4)2 + 2 = 65 = 7 .
合速度的北向分量为 7 / 0.8 4，河宽 0.8 ，所需时间为： = 7 = 35小时.
17.解：(1)由 ( ) = 2 3sin cos 2cos2 + 1 = 3sin2 cos2 = 2sin 2 π6 ，
π 2π
由其图象的相邻两条对称轴间的距离为2，可知最小正周期为 = |2 | = π，
因为 > 0，所以 = 1，即 ( ) = 2sin 2 π6 ，
π π π
由 2 + 2 π ≤ 2 6 ≤ 2 + 2 π
π
， ∈ Z，解得 6 + π ≤ ≤
π
3 + π， ∈ Z，
π π
所以函数 ( )的单调递增区间为 6 + π, 3 + π ， ∈ Z．
(2) π π将函数 ( )的图象向右平移3个单位长度可得， 3 = 2sin 2
2π π
3 6 = 2sin 2
5π
6 ，
1
再把各点的横坐标缩小为原来的2 (纵坐标不变)，得到函数 = ( )的图象，
即 ( ) = 2sin 4 5π6 ，
∈ 0, π 4 5π ∈ 5π , π 5π 1对任意的 4 ，有 6 6 6 ，此时 sin 4 6 ∈ 1, 2 ，
此时有 ( ) = 2sin 4 5π6 ∈ [ 2,1]，
要使得不等式 ( ) < 2 恒成立，则只需要满足 2 < 2 ，解得 < 1 或 > 2，
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故实数 的取值范围这( ∞, 1) ∪ (2, + ∞)．
18.解：(1)选①：
由 sin = cos π6 ，利用正弦定理边化角得：sin sin = sin cos
π
6 ，
π 3 1
因为 sin > 0，所以有 sin = cos 6 = 2 cos + 2 sin ，
1 3
可得2 sin 2 cos = 0 sin
π
3 = 0，
π
因为 ∈ 0, π ，所以 3 = 0 =
π
3；
选②：
sin
由2 = sin tan 2，利用正弦定理边化角得：2sin = sin tan 2，
sin
因为 sin > 0 1 ，所以有2sin = tan 2 4sin

2 cos
2
2 × = 1，cos2
可得：4sin2 2 = 1,
π
因为2 ∈ 0, 2 ，所以 sin 2 =
1 π π
2，且2 = 6 = 3；
(2)若 > + ，求 的取值范围．
π 3 1 3
+ sin +sin sin +sin( + ) + sin + cos
用正弦定理边化角可得： 3 2 2 2 = sin = sin = sin

= 3 1+cos
2cos2
+ 1 = 3 × 2 + 1
cos
2 sin 2 2 =
3 × 2 + 1 = 3 × 1 + 1，
2sin 2cos
2 2
2 sin
2 2 tan 22 2
因为 > ，所以 > ，即 ∈ π3 ,
2π
3 ，
∈ π , π 3 1 3则2 6 3 ，所以 tan 2 ∈ 3 , 3 ，即 ∈ , 3 ，tan 32
+ 3 1 1
则 = 2 × + 2 ∈ (1,2)．tan2
19.(1)解：在 中，可得 + + = π，
所以 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
且 7sin( ) = 7(sin cos cos sin )，
因为 7sin( ) = sin ，可得 7(sin cos cos sin ) = sin cos + cos sin ，
所以 3sin cos = 4cos sin ，
= π又因为 4，所以 3sin = 4cos ，
因为sin2 + cos2 = 1，可得sin2 + 9 2 2 1616 sin = 1，解得sin = 26，
又因为 ∈ (0, π) 4，可得 sin > 0，所以 sin = 5．
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(2)解：由 1 1的面积为 18，可得2 sin = 2 ×
4
5 = 18，所以 = 45，
sin = 4 π因为 5，且 = 4，可得 为锐角，所以 cos =
3
5，
又由 + + = π，
所以 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin = 4 2 35 × 2 + 5 ×
2 7 2
2 = 10 ，
2
sin 5 5
由正弦定理，可得 =
2
sin = 7 2 = 7，即 = 7 ，
10
= 45
联立方程组 = 5 ，可得 = 3 7，7
因为 cos = 35，可得 sin
= 1 cos 2 2 =
1
5，
又因为∠ 的平分线与边 交于点 ，设 = ，
1 1
因为 = + ，所以2 × 5 +
1
2 ×
1
5 = 18，
即 = 36 5 36 5 36 5 21 5 + = + = 5 = = 35．
7 +

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