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2024-2025 学年四川省泸州市合江县马街中学校高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. + =( )
A. B. C. D.
2.sin210 的值为( )
A. 3 B. 32 2 C.
1 D. 12 2
3.设复数 = 1 + i，则 的共轭复数 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. i D. i
4.已知 为锐角，且 tan = 3sin ，则 cos2 =( )
A. 7 B. 19 3 C.
1 7
3 D. 9
5.在 中， = π6 , = 2, = 2，则 大小为( )
A. π 2π π 3π π π3或 3 B. 4或 4 C. 3 D. 4
6.若 tan , tan 是方程 3 2 + 5 7 = 0 cos( )的两个根，则sin( + ) =( )
A. 5 B. 44 5 C.
5
4 D.
4
5
7.已知函数 ( ) = sin 3 (1 < < 4)满足

6 = 0，将函数 ( )图象向左平移 ( > 0)个单位后其
图象关于 轴对称，则 的最小值为( )
A. 5 12 B. 3 C. 4 D. 12
8 1.在平行四边形 中， 为 的中点， = 3
， 与 交于点 ，过点 的直线分别与射线 ，
交于点 ， ， = ， = ，则 + 2 的最小值为( )
A. 1 B. 8 C. 97 7 D.
9
5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角 的终边经过点 ( 3,4)，则( )
A. cos = 3 B. tan = 4 4 π 45 3 C. cos( + π) = 5 D. cos( 2 ) = 5
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10.欧拉公式：ei = cos + isin (i 是虚数单位，e = 2.718 ， ∈ )是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它
非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，令 = 可得ei + 1 = 0.它又将自然界中的两个重要的无
理数 和 、实数单位 1、虚数单位 以及复数中的 0 巧妙地结合在一起.被数学家们誉为“上帝公式”、“宇
宙第一公式”、“最美公式”等等.下列关于欧拉公式的叙述正确的有( )
A. e2025 i 1 = 0 B.复数e3 对应的点位于第二象限
C. e i = 1 D. ei = ei
11.下列命题中，正确的是( )
A.在△ 中，若 > ，则 >
B.在锐角三角形 中，不等式 > 恒成立
C.在△ 中，若 = ，则△ 必是等腰直角三角形
D.在△ 中，若 = 60 ， 2 = ，则△ 必是等边三角形
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1.(1 i)2 = ．
13.已知向量 = (1,2), = (4,3)，则向量 在 上的投影向量的坐标是 ．
14.将余弦函数 = cos 1的图象向左平移3个单位，再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的 > 0 得
到函数 ( )的图象，若 ( )在区间 0, 上恰有 1 个最小值和 3 个零点，则 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
= 4 2π已知 ， = 8， 与 的夹角 = 3 ．
(1)求 2 ；
(2)若 + 2 与 3 + 共线，求 的值．
16.(本小题 15 分)
已知锐角 ， 2，且满足 sin( ) = 10，cos =
5
5 ．
(1)求 sin ;
(2)求 + ．
17.(本小题 15 分)
在 中，角 的对边分别为 cos ，且cos = 2 + ．
(1)求角 的大小；
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(2)若 = 2 3, 为 边上的一点，_____.且 = 1，求 的面积.在下列两个条件中任选一个，补充在
上面的横线上，并加以解答.①若 是∠ 的平分线；②若 为线段 的中点．
18.(本小题 17 分)
如图，在梯形 中， // ， ⊥ ， = 2 = 4， 、 分别为 、 的中点，且 = 2，
是线段 上的一个动点．
(1)若 = + ，求 的值；
(2)求 的长；
(3)求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知向量 = (sin , cos )， = (cos , 3cos )，其中 > 0，函数 ( ) = 32 ，且 ( )的图象上
π
两条相邻对称轴的距离为2．
(1)求函数 = ( )的解析式；
(2)求函数 = ( )在[0, π]上的单调递增区间；
(3) π π π π若对 ∈ [0, 2 ]，关于 的不等式 ( 6 ) > 2[ ( 2 24 ) cos( 4 )]成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. i2
13.(2,4)
14. 13 86 , 3
→ →
15. → →(1) ∵ = cos = 32cos 2π3 = 16，
2 2
∴ 2 = 2 = 2 4 + 4 = 16 4 × ( 16) + 4 × 64 = 336 = 4 21

(2) ∵ + 2 与 3 + 共线，

∴存在唯一实数 ，使得 + 2 = (3 + )

即( 3 ) + (2 ) = 0，
→ →
又∵ 与 ∴ 3 = 0不共线， 2 = 0 ,
解得 =± 6
16.解：(1) ∵ ∴ 0 < < ， 是锐角， 2，0 < <

2，
∵ 5为锐角， = 25 ，sin + cos
2 = 1 2 5，∴ = 5 ，
∵ 2 < < 0，

2 < <

2，sin( ) =
2
10，
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∴ cos( ) > 0 7 2，即 cos( ) = 1 sin2( ) = 10 ，
= sin[( ) + ] = sin( ) + cos( ) = 2 × 5+ 7 2 × 2 5 = 15 10 3 10则 10 5 10 5 50 = 10 ．
(2) ∵ 3 10是锐角，由 = 10 ，∴ = 1 sin
2 = 1 ( 3 10 )2 = 10 = 1010 100 10 ，
由 0 < < 2，0 < <

2，得 + ∈ (0, )，
cos( + ) = = 10 5 3 10 2 510 × 5 10 × 5 =
2
2 ，
∵ + ∈ (0, ) + = 3 ， 4．
17.(1) cos 由正弦定理知，由cos = 2 +
cos sin
得cos = 2sin +sin ，
所以 2sin cos + cos sin = sin cos ，
所以 2sin cos = sin cos cos sin ，
所以 2sin cos = sin( + )，
所以 2sin cos = sin ，
1
又在三角形中 sin > 0 所以 cos = 2．
又 0 < < π，所以 = 23π．
(2)①：由 平分∠ 得， = + ．
∴ 1 2π 1 π 1 π2 sin 3 = 2 × 1 × sin 3 + 2 × 1 × sin 3，即 = + ．
在 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos 2π3 ,
又 = 2 3, ∴ 2 + 2 + = 12，
= +
联立 2 2 + 2 + = 12得( ) 12 = 0，
解得 = 4, = 3(舍去)，
∴ = 1 sin 2π = 1 × 4 × 3 2 3 2 2 = 3．
②：因为 = 1
2
+ , = 1 ( +
2 2
2 4 )
2 = 1 4 + 2
+ ．
1 = 1 24 + 2 cos
2π
3 +
2 ，得 2 + 2 = 4，
2π
在 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos 3，
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即 2 + 2 + = 12，
2
联立 +
2 = 4
2 ，可得 = 4， + 2 + = 12
∴ =
1
2 sin
2π 1 3
3 = 2 × 4 × 2 = 3．
18.解：(1)由 , 分别为 , 的中点，
则 // 1， = 2 ，
1 1
由图可得 = 2 = 2
= + ，
则 = 12 , =
1 1
2，所以 = 4；
(2) (1) 1 1 1由 可知 = 2 2
， = 2
+ ，
由 ⊥ ，则 = 0，
= 1 + 1 1 = 1
2 2
2 2 2 4
1
2
= 2，
2
可得 4 1 = 2，解得 2 = 2；
(3)由图可得 = + + = + + 1 = 1 + 4 4 ，
1 1
= + = 1 + = 1 + 2 2 +
+
= 1 1 + 1 + 1 = 3 + 1 2 2 4 4 2 ，

1 3 1
= [( 4 )
+ ][(4 )
+ 2 ]
1 3 1
= ( 4 )(4 )|
|2 + 22 | |
= 3
2
16 +
2 × 16 + 12 × 4 = 16
2 16 + 5 = 16 12 + 1，
由 0 ≤ ≤ 1，则 ∈ 1,5 ．
19.(1)依题， ( ) = 32 = sin cos + 3cos
2 32
1 1+ cos2 3 π
= 2 sin2 + 3 2 2 = sin(2 + 3 )
π π
由题知2 = 2，∴ = 1，∴ ( ) = sin(2 + 3 )．
(2) π π由 2 π 2 ≤ 2 + 3 ≤ 2 π +
π
2可得 π
5π π
12 ≤ ≤ π + 12， ∈ Z，
∴ ∈ [0, π] ( ) π 7π时， 的单调递增区间为[0, 12 ]，[ 12 , π]．
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(3)因 ( π π π6 ) > 2[ ( 2 24 ) cos( 4 )]

在 ∈ [0, 2 ]恒成立，
则 sin[2( π π π π π6 ) + 3 ] > 2 sin[2( 2 24 ) + 3 ] 2cos( 4 )
化简得 sin2 > ( 1)(sin + cos )，
sin2 = 2sin cos 即sin +cos sin +cos > 1 在 ∈ [0, 2 ]恒成立
记 = sin + cos = 2sin( + π4 )，
∵ ∈ [0, 2 ]，∴ +
π π 3π
4 ∈ [ 4 , 4 ]，∴ ∈ [1, 2]，
又 2sin cos = (sin + cos )2 1 = 2 1
2
设 ( ) = 1 =
1
，则根据对勾函数性质知 ( )在 ∈ [1, 2]上单调递增，
∴ ( )min = (1) = 0，
∴ 1 < 0，即 < 1．
故 的取值范围为( ∞,1)．
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