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浙江省山海联盟2025年初中学业水平考试模拟（二）数学试卷
1．（2025九下·浙江模拟）小明的手机上步行记录显示：10012步，估计他行走10012步的距离是（　　）
A．0.7公里 B．7公里 C．70公里 D．700公里
【答案】B
【知识点】数学常识
【解析】【解答】解：初中生的平均步长约为0.7米，
0.7×10012≈7000米=7公理.
故答案为：B.
【分析】以初中生的平均步长约为0.7米，乘以步数计算求解.
2．（2025九下·浙江模拟）2024年上半年浙江全省规模以上文化及相关产业企业实现营业收入7803亿元，同比增长，增速高于全国平均数2.8个百分点．其中数据7803亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：7803亿=7.803×1000×108=.
故答案为：C.
【分析】先将“亿”转换为以10为底的幂次，再用科学记数法表示，再作出选择.科学记数法的标准形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数.
3．（2025九下·浙江模拟）正六边形的每个内角度数为（　　）
A．60° B．120° C．135° D．150°
【答案】B
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：根据多边形的内角和定理可得：
正六边形的每个内角的度数＝（6﹣2）×180°÷6＝120°．
故答案为：B．
【分析】利用多边形的内角和公式求出总和再除以6即可即可。
4．（2025九下·浙江模拟）某校9年级期中考试中5名学生的语文作文成绩（满分40分）分别是33，36，27，36，38，这组数据的中位数和平均数分别为（　　）
A．27，36 B．27，34 C．36，36 D．36，34
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：将成绩从低到高排列为27，33，36，36，38，所以中位数为36，故可以先排除A与B，答案在C与D中选择；这5名学生的语文作文成绩的平均数为（27+33+36+36+38） ÷5=34 ，故可排除C，选项D符合.
故答案为：D.
【分析】先根据中位数的意义求出中位数，再求出平均数，然后作出选择.
5．（2025九下·浙江模拟）如图，为的对角线上一点，过点作，的平行线，分别交，，，于四点，连结．若的面积为，则的面积为（　　）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴S△ABD=S△CBD·
∵EF//AB，GH//BC，
∴EF//AB//CD，GH//BC//AD，
∴四边形AEPG、四边形PHCF、四边形GPFB和四边形BDEP都是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴.
∴，
∴S△PFH=S△APE.
∴△APE的面积为2.5，
∴△APE的面积为2.5，
故答案为：B.
【分析】先根据平行四边形的性质，得出AB//CD，AD//BC，从而可是S△ABD=S△CBD，再证明四边形AEPG、四边形PHCF、四边形GPFB和四边形BDEP都是平行四边形，从而可得，，，，结合，可得S△PFH=S△APE，从而可求得△APE的面积为2.5，也就可得△APE的面积为2.5.
6．（2025九下·浙江模拟）若，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，∴可取m=2，n=1，∴2-1=1，∴不成立，故A错误；
∵，∴可取m=2，n=1，∴-2+1=-1，∴不成立，故B错误；
∵，∴可取m=1，n=-2，∴，，此时，∴不成立，故C错误；
∵，∴，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用不等式的性质，对四个选项逐一分析作出判断.
7．（2025九下·浙江模拟）如图，一次函数图象与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为和1．当时，的取值范围是（　　）
A． B．或
C．或 D．
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 一次函数图象与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为和1 ，
∴ 当时， -21.
故答案为：C.
【分析】结合函数的图象，找出一次函数的图象位于反比例函数的图象上方时，x的取值范围即可.
8．（2025九下·浙江模拟）如图，为的外接圆，为边上的高线，为直径．若，则的半径为（　　）
A．4.8 B． C．2.4 D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连结CE，
∵为边上的高线，
∴∠ADB=90°，
∵为直径 ，
∴∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠ADB90°，
又∠AEC=∠ABD，
∴△AEC∽△ABD，
∴，
∵，
∴，解得：AE=4.8，
∴的半径为.
故答案为：C.
【分析】先证明△AEC∽△ABD，再根据相似三角形的性质列出比例式，求出AE，再求出圆的半径.
9．（2025九下·浙江模拟）当时，二次函数有最小值，记作，随着的变化，的最大值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵，
∴当时，取最小值m，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，m有最大值8.
故答案为：A.
【分析】先求出顶点坐标，再利用非负数的性质求解.
10．（2025九下·浙江模拟）如图，分别是等边三角形的边上的点，与相交于点，连结．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，CD=a(a>0），
则BD=ma，BC=BD+CD=ma+a，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=BC=ma+a，∠ABD=∠BCE=60°，
∴△ABD≌△BCE，
∴CE=BD=ma，∠ADB=∠BEC，
∵PC=CE，
∴∠EPC=∠CEB，
∴∠ADB=∠CPE，
又∠ADB=∠CPD+∠DCP，∠CPE=∠CBP+∠DCP，
∴∠CPD=∠CBP，
∴△CPD∽△CBP，
∴，
又CP=CE，
∴，
∴，解得：，（舍去），
即BC=.
故答案为：B.
【分析】先证明△ABD与△BCE全等，再利用全等三角形的性质得出CE=BD=ma，∠ADB=∠BEC，然后利用等边对等角可得∠CPE=∠BEC，从而可得∠ADB=∠CPE，再利用三角形的外角性质可得∠CPD=∠CBP，接着可证出△CPD与△CBP相似，利用相似三角形的性质，列出关于x的方程求解即可.
11．（2025九下·浙江模拟）　 　.
【答案】
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解： 3.
故答案为：3.
【分析】根据绝对值的意义，可得-3的绝对值等于3，即可求解.
12．（2025九下·浙江模拟）如图，是菱形的对角线，，点在的延长线上，则　 　．
【答案】104
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵是菱形对角线，，
∴∠DAB=2∠BAC=76°，
又四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，∠DCE=∠ABC，
∴∠DCE=180°-∠DAB=104°.
故答案为：104.
【分析】先利用菱形的性质求得∠DAB，和AB//CD，AD//BC，再根据平行线的性质，分别得出∠DAB+∠ABC=180°和∠DCE=∠ABC，从而可求得∠DCE.
13．（2025九下·浙江模拟）已知，则的值为　 　．
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，解得：ab=6.
故答案为：6.
【分析】将两式相减，减去平方项，得到4ab=24，求出ab的值.
14．（2025九下·浙江模拟）小明和小华想一起报学校开设的兴趣班，他俩经过讨论发现共同喜爱的不同的兴趣班有4个，而他们只能选择其中一个兴趣班．如果随机报班，那么他俩分到同一个兴趣班的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设这四个兴趣班分别为A，B，C，D，
画树状图，
共有16种等可能结果，其中他俩分到同一个兴趣班有4种情况，
所以他俩分到同一个兴趣班的概率是，
故答案为：.
【分析】先画出树状图，求出所有等可能结果数及符合条件的结果数，再利用概率公式求解.
15．（2025九下·浙江模拟）如图，在四边形中，．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥CD于点H，则∠AHC=∠AHD=90°，
∵，
∴四边形ACBD是圆内接四边形，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵AD=4，BD=2，
∴AB=，
∴，
∵，
∴△AHD是等腰直角三角形，
∴AH=DH=AD=，
∴，
∴CD=CH+DH=.
故答案为：.
【分析】先证明四边形ACBD是圆内接四边形，再求出，然后利用勾股定理求得AB，再利用等腰直角三角形的性质求得AC，接着利用勾股定理求得CH，利用等腰直角三角形的性质求得AH，从而可求得CD.
16．（2025九下·浙江模拟）如图，在中，．以为边在的同侧作正方形、正方形，则点在上，与相交于点，连接，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点F作FP⊥CD于点P，则∠FPH=∠FPB=∠ACB=90°，
∵Rt△ABC中，AB=13，BC=5，
∴AC=，
∵四边形ABFG是正方形，四边形ACDE是正方形，
∴∠EAC=∠E=∠D=∠ABF=∠ACD=∠ACB=90°，AG=AB=BF=13，AE=AC=DE=12，
∴Rt△AEG≌Rt△ACB（HL），
∴EG=BC=5，
∴DG=DE-EG=7，
∵∠BAC=∠FBP=90°-∠ABC，AB=BF，
∴△ABC≌△BFP（AAS），
∴PF=BC=5，
∵∠FPH=∠D=90°，∠PHF=∠DHG，
∴△PHF∽△DHG，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求得AC，再利用正方形的性质，结合全等三角形的判定证明Rt△AEG≌Rt△ACB，根据全等三角形的性质可求得DG，再利用AAS证明△ABC≌△BFP，利用全等三角形的性质可求得PF，再证明△PHF∽△DHG，列出比例式，求得GH与HF的比，再求得三角形的面积比.
17．（2025九下·浙江模拟）下面是小畅解方程的解答过程．
解：去分母，得．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
两边同除以，得．
小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】解：有错误.
正确的解答过程 ：去分母，得：．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
两边同除以，得．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】去分母时漏乘等号右边的式子，写出正确的解答过程.
18．（2025九下·浙江模拟）某校组织全体学生参加一次大型知识竞赛，从中随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．所有学生的竞赛成绩分为四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．现根据抽取的学生的竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据信息，解答下列问题：
抽取的学生的竞赛成绩条形统计图
抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图
（1）在抽取的样本中，等级、等级的各有多少人？请把条形统计图补充完整．
（2）在扇形统计图中，求等级所对应的圆心角的度数．
（3）若知识竞赛成绩等级为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩优秀的人数．
【答案】（1）解：共抽取的总人数为94÷47%=200（人），
则A等级人数为200×25%=50（人），
C等级人数为200-50-94-16=40（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）解：D等级所对应的圆心角的度数为360°×16/200=28.8°；
（3）解：1500×25%=375（名），
答：估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩优秀的人数为375名.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据B组人数除以B组所占的百分比即可求出抽取的学生总人数，进而求得A等级、C等级的人数即可；
（2）先求出D级人数所占的百分比，再利用360°乘以这个百分比，即可求出D级对应扇形的圆心角的度数.
（3）根据总人数乘以成绩优秀学生所占的百分比即可求出本次竞赛的学生中成绩为优秀的学生人数.
19．（2025九下·浙江模拟）如图，在中，，，线段的长为．
（1）作出的高线．（要求：尺规作图，不写作图步骤，保留作图痕迹）
（2）求的值．
【答案】（1）解：如图，线段AD即为所求作.
（2）解：设AD=x，
∵∠ADB=∠ADC=90°，∠B=30°，
∴，
，
∵，
∴，
，
∵ 线段的长为 ，
∴CD+BD=，解得：x=4，
∴AB=8，AC=4，
∴
【知识点】尺规作图-垂线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤画图即可；
（2）设AD=x，利用锐角三角函数分别求得AB、AC即可求解.
20．（2025九下·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点与的延长线相交于点．
（1）若的面积为6．
①求反比例函数的表达式．
②当时，求自变量的取值范围．
（2）已知，求的长．
【答案】（1）解：①由题意，设点C的坐标为C（a，b)(a>0，b>0)，
∵CE⊥x轴于点E，
∴OE=a，CE=b，
∵△OCE的面积为6，
∴OE·CE=ab=6.
∴ab=12，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k=ab=12，
∴反比例函数的表达式·
②当y=4时，x==3，
∵反比例函数中的12＞0，x＞0，
∴反比例函数的图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴当y≤4时，x≥3.
（2）解：∵反比例函数的图象位于第一象限，
∴k>0，
∵点C，D都在反比例函数y=(x＞0)的图象上，CE⊥x轴于点E，DB⊥x轴于点B，CE=4，BD=4/3，
∴C(，4).D(，)
∴OE=，OB=，
∵CE⊥x轴于点E，DB⊥x轴于点B，
∴CE Il DB，
∴△OAB~ △OCE，
∴，
∴，
∴AB=12.
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；A字型相似模型
【解析】【分析】（1）①设点C的坐标为C（a，b)（a>0，b>0)，根据三角形的面积公式可得ab=12，再将点C（a，b)代入反比例函数的解析式即可得；②先求出当y=4时，x的值，再根据结合函数图象即可得；
（2）先得出k>0，再用k表示出C，D的坐标，然后用k表示出OE，OB，再证明OAB～OCE，根据相似三角形的性质求解即可得.
21．（2025九下·浙江模拟）如图，在矩形中，点在边上，，作，点，恰好在直线上．
（1）求证：．
（2）求线段的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAD=∠CDE=90°，
∴∠BAM=∠CDN=90°，
∵∠AMB=∠DNC=60°，
∴△BAM ≌△CDN(AAS)，
∴BM=CN；
（2）解：设BM=CN=2x，
∵∠AMB=∠DNC=60°，
∠BAM=∠CDN=90°，
∴∠MBA=∠NCD=30°
∴AM=DN=x
∵∠AMB=∠DNC=∠BEC=60°，
∴∠BED=60°+∠MBE=60°+∠NEC，
∴∠MBE=∠NEC，
∴△MBE∽△NEC，
∴，
∵AE=1， DE=2，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴BM=2x=.
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据“AAS”证明△BAM≌△CDN即可证得结论；
（2）先根据含30度角的直角三角形的性质得到AM=DN=x，再利用三角形的外角性质和相似三角形的判定得到△MBE～△NEC，然后列出比例式，得到关于x的方程求解.
22．（2025九下·浙江模拟）
（1）【公式探索】
计算　 　；　 　；　 　
（2）【公式建构】
根据上面的计算结果，请用含（为正整数）的代数式来表示这些等式的一般规律，并给出证明．
（3）【迁移应用】
如图，已知在四边形中，，若，，，求外接圆的半径．
【答案】（1）；；
（2）解：，
，
，依次类推得：.
证明：
=
=.
（3）解：∵∠C=90°，AC=9cm，BC=10cm，
∴AB2=AC2+BC2=92+102，
∵∠ABD=90°， BD=90cm
∴AD2=AB2+ BD2=92+102+902=(90+1)2=912，
∴AD=91或AD=-91（舍去），
∵△ABD是以AD为斜边的直角三角形，
∴△ABD外接圆的半径为AD=45.5cm.
【知识点】三角形的外接圆与外心；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律；数形结合
【解析】【解答】解：(1)；
；
；
故答案为：9，49，169.
【分析】（1）先计算乘方，再计算加法即可得；
（2）根据（1）中的三个等式可得等号左边的第二项比第一项大1，第三项等于第一项与第二项的乘积，等号右边比等号左边的第三项大1，由此即可得；再利用完全平方公式即可得证；
（3）利用勾股定理可得计算AB2，AD2的式子，再利用（2）中的规律即可得AD2的值，从而可得AD的值，再根据直角三角形的外接圆的半径等于其斜边的一半即可得.
23．（2025九下·浙江模拟）在平面直角坐标系中，抛物线（为实数）的顶点为．
（1）当时，求抛物线的顶点坐标与对称轴．
（2）求证：无论取任何实数，抛物线与轴总有两个不同的交点．
（3）若以为一个顶点作抛物线的内接等边三角形（点，均在抛物线上），直接写出的面积．
【答案】（1）解：当k=2时，抛物线的解析式为y=x2-4x=(x-2)2-4，
所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线.
（2）证明：∵当y=0时，x2-2kx+4k-8=0，
∴△=（-2k)2-4（4k-8）=4k2-16k+32=4(k-2)2+16>16>0，
∴无论k取任何实数，这个方程都有两个不相等的实数根，
∴无论k取任何实数，抛物线与x轴总有两个不同的交点.
（3）解：如图，
，
∴顶点工的坐标为（k，-k2+4k-8），对称轴为直线x=k，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，
∴点M，N关于这个抛物线的对称轴对称，
如图，不妨设点M在对称轴左侧的抛物线上，点N在对称轴右侧的抛物线上，MN与对称轴的交点为点E，则AE垂直平分MN，
设点M的横坐标为k-t(t>0)，
则点N的横坐标为k+t，
∴MN=k+t- (k-t)=2t，
∴ME=MN=t，
当x=k-时，y=(k-t-k)2-k2+4k-8=t2-k2+4k-8，
∴M(k-t，t2-k2+4k-8)， N(k+t，t2-k2+4k-8)，
∴E(k，t2-k2+4k-8)，
∴AE=t2-k2+4k-8-(-k2+4k-8) =t2，
∵在等边△AMN中，AM=MN=2t，ME=t，AE⊥MN，
∴AE==3t，
∴t2=t，解得：t=或t=0（舍去），
∴MN=2t=2. AE=t=3，
∴△AMN的面积为MN·AE=×2×3=.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；等边三角形的性质；勾股定理；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将k=2可得抛物线的解析式，化成顶点式，由此即可得；
（2）当y=0时，x2-2kx+4k-8=0，利用一元二次方程根的判别式即可得证；
（3）先根据二次函数的对称性和等边三角形的性质可得点M，N关于这个抛物线的对称轴对称，再求出A点的坐标，设点M的横坐标为k-t(t>0)，可用k，t表示出M的坐标与N的坐标，从而可得AE的长，然后利用等边三角形的性质和勾股定理也可得AE的长，建立方程，解方程求出的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得.
24．（2025九下·浙江模拟）在中，直径与弦相交于点，连结．
（1）如图1，求证：为等腰三角形．
（2）如图2，连结为的中点，连结，交于点．若，求的值．
（3）在（2）的条件下，如图3，连结，交于点，连结．求证：．
【答案】（1）证明：设∠ABD=x，则∠ABC=2x，
∴∠ADC=∠ABC=2x，
∵AB是OO的直径，
∴∠ADB=90°
∴∠BAD=90° –∠ABD=90° –x，
∠BDC=∠ADB– ∠ADC=90° -2x
∠BCD=∠BAD=90°-x，
∠CEB=∠BDC＋∠ABD=90°-x，
∴∠BCD=∠CEB，
∴BC=BE，
∴△BCE为等腰三角形.
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∠ACB=90°，
∵AD=3，BD=9，
∴tan∠ABD=，
∵F为AC的中点，
∴AF=CF
∴∠CBF=∠ABF=∠ABC.
∵∠ABC=2∠ABD，
∴∠CBF=∠ABD
∴tan∠CBF=tan∠ABD=，
∵tan∠CBF==，
∴tan∠BPC==3.
（3）证明：如图，过点D作DM⊥AB于点M，
∵∠BAD=∠BCD=∠CEB，
∠AED=∠CEB，
∴∠BAD=∠AED，
∴AD= DE，
∴AM=AE，
∵F为的中点，
∴OF垂直平分AC，，
∴点G是AC的中点，∠CBF=∠ABF=∠ABC，
∴CH=EH，
∴GH是△ACE的中位线，
∴GH=AE=AM.
∵AB是OO的直径，DM⊥AB，
∴∠ADB=∠AMD=90°
∴△ADB~△AMD，
∴，
∴AD2= AM· AB·
∴AD2=GH·AB·
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）设∠ABD=x，可用x表示出∠ABC，先根据圆周角定理可得∠ADC=∠ABC=2x，∠ADB=90°，从而可得∠BAD=90°-x，∠BDC=90°-2x，再根据圆周角定理可得∠BCD=∠BAD=90°-x，根据三角形的外角性质可得∠CEB=90°-x，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）先解直角三角形可得tan∠ABD=，再根据弧与圆周角的关系可得∠CBF=∠ABF=∠ABC，从而可得∠CBF=∠ABD，则tan∠CBF=tan∠ABD=，然后根据正切的定义求解即可得；
（3）过点D作DM⊥AB于点M，先根据垂径定理可得OF垂直平分AC，再根据等腰三角形的三线合一可得CH=EH，根据三角形的中位线定理可得GH=AE=AM，然后证出△ADB~△AMD，根据相似三角形的性质可得AD2=AM·AB，由此即可得证.
1 / 1浙江省山海联盟2025年初中学业水平考试模拟（二）数学试卷
1．（2025九下·浙江模拟）小明的手机上步行记录显示：10012步，估计他行走10012步的距离是（　　）
A．0.7公里 B．7公里 C．70公里 D．700公里
2．（2025九下·浙江模拟）2024年上半年浙江全省规模以上文化及相关产业企业实现营业收入7803亿元，同比增长，增速高于全国平均数2.8个百分点．其中数据7803亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·浙江模拟）正六边形的每个内角度数为（　　）
A．60° B．120° C．135° D．150°
4．（2025九下·浙江模拟）某校9年级期中考试中5名学生的语文作文成绩（满分40分）分别是33，36，27，36，38，这组数据的中位数和平均数分别为（　　）
A．27，36 B．27，34 C．36，36 D．36，34
5．（2025九下·浙江模拟）如图，为的对角线上一点，过点作，的平行线，分别交，，，于四点，连结．若的面积为，则的面积为（　　）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．1.25
6．（2025九下·浙江模拟）若，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九下·浙江模拟）如图，一次函数图象与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为和1．当时，的取值范围是（　　）
A． B．或
C．或 D．
8．（2025九下·浙江模拟）如图，为的外接圆，为边上的高线，为直径．若，则的半径为（　　）
A．4.8 B． C．2.4 D．
9．（2025九下·浙江模拟）当时，二次函数有最小值，记作，随着的变化，的最大值为（　　）
A．8 B．6 C．4 D．2
10．（2025九下·浙江模拟）如图，分别是等边三角形的边上的点，与相交于点，连结．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九下·浙江模拟）　 　.
12．（2025九下·浙江模拟）如图，是菱形的对角线，，点在的延长线上，则　 　．
13．（2025九下·浙江模拟）已知，则的值为　 　．
14．（2025九下·浙江模拟）小明和小华想一起报学校开设的兴趣班，他俩经过讨论发现共同喜爱的不同的兴趣班有4个，而他们只能选择其中一个兴趣班．如果随机报班，那么他俩分到同一个兴趣班的概率是　 　．
15．（2025九下·浙江模拟）如图，在四边形中，．若，则的长为　 　．
16．（2025九下·浙江模拟）如图，在中，．以为边在的同侧作正方形、正方形，则点在上，与相交于点，连接，则　 　．
17．（2025九下·浙江模拟）下面是小畅解方程的解答过程．
解：去分母，得．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
两边同除以，得．
小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
18．（2025九下·浙江模拟）某校组织全体学生参加一次大型知识竞赛，从中随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．所有学生的竞赛成绩分为四个等级，其中相应等级的得分依次记为100分，90分，80分，70分．现根据抽取的学生的竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．请你根据信息，解答下列问题：
抽取的学生的竞赛成绩条形统计图
抽取的学生的竞赛成绩扇形统计图
（1）在抽取的样本中，等级、等级的各有多少人？请把条形统计图补充完整．
（2）在扇形统计图中，求等级所对应的圆心角的度数．
（3）若知识竞赛成绩等级为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩优秀的人数．
19．（2025九下·浙江模拟）如图，在中，，，线段的长为．
（1）作出的高线．（要求：尺规作图，不写作图步骤，保留作图痕迹）
（2）求的值．
20．（2025九下·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点与的延长线相交于点．
（1）若的面积为6．
①求反比例函数的表达式．
②当时，求自变量的取值范围．
（2）已知，求的长．
21．（2025九下·浙江模拟）如图，在矩形中，点在边上，，作，点，恰好在直线上．
（1）求证：．
（2）求线段的长．
22．（2025九下·浙江模拟）
（1）【公式探索】
计算　 　；　 　；　 　
（2）【公式建构】
根据上面的计算结果，请用含（为正整数）的代数式来表示这些等式的一般规律，并给出证明．
（3）【迁移应用】
如图，已知在四边形中，，若，，，求外接圆的半径．
23．（2025九下·浙江模拟）在平面直角坐标系中，抛物线（为实数）的顶点为．
（1）当时，求抛物线的顶点坐标与对称轴．
（2）求证：无论取任何实数，抛物线与轴总有两个不同的交点．
（3）若以为一个顶点作抛物线的内接等边三角形（点，均在抛物线上），直接写出的面积．
24．（2025九下·浙江模拟）在中，直径与弦相交于点，连结．
（1）如图1，求证：为等腰三角形．
（2）如图2，连结为的中点，连结，交于点．若，求的值．
（3）在（2）的条件下，如图3，连结，交于点，连结．求证：．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数学常识
【解析】【解答】解：初中生的平均步长约为0.7米，
0.7×10012≈7000米=7公理.
故答案为：B.
【分析】以初中生的平均步长约为0.7米，乘以步数计算求解.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：7803亿=7.803×1000×108=.
故答案为：C.
【分析】先将“亿”转换为以10为底的幂次，再用科学记数法表示，再作出选择.科学记数法的标准形式为a×10n，其中1≤a<10，n为整数.
3．【答案】B
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：根据多边形的内角和定理可得：
正六边形的每个内角的度数＝（6﹣2）×180°÷6＝120°．
故答案为：B．
【分析】利用多边形的内角和公式求出总和再除以6即可即可。
4．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：将成绩从低到高排列为27，33，36，36，38，所以中位数为36，故可以先排除A与B，答案在C与D中选择；这5名学生的语文作文成绩的平均数为（27+33+36+36+38） ÷5=34 ，故可排除C，选项D符合.
故答案为：D.
【分析】先根据中位数的意义求出中位数，再求出平均数，然后作出选择.
5．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴S△ABD=S△CBD·
∵EF//AB，GH//BC，
∴EF//AB//CD，GH//BC//AD，
∴四边形AEPG、四边形PHCF、四边形GPFB和四边形BDEP都是平行四边形，
∴，，，，
∵，
∴.
∴，
∴S△PFH=S△APE.
∴△APE的面积为2.5，
∴△APE的面积为2.5，
故答案为：B.
【分析】先根据平行四边形的性质，得出AB//CD，AD//BC，从而可是S△ABD=S△CBD，再证明四边形AEPG、四边形PHCF、四边形GPFB和四边形BDEP都是平行四边形，从而可得，，，，结合，可得S△PFH=S△APE，从而可求得△APE的面积为2.5，也就可得△APE的面积为2.5.
6．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，∴可取m=2，n=1，∴2-1=1，∴不成立，故A错误；
∵，∴可取m=2，n=1，∴-2+1=-1，∴不成立，故B错误；
∵，∴可取m=1，n=-2，∴，，此时，∴不成立，故C错误；
∵，∴，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用不等式的性质，对四个选项逐一分析作出判断.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 一次函数图象与反比例函数图象的两个交点的横坐标分别为和1 ，
∴ 当时， -21.
故答案为：C.
【分析】结合函数的图象，找出一次函数的图象位于反比例函数的图象上方时，x的取值范围即可.
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连结CE，
∵为边上的高线，
∴∠ADB=90°，
∵为直径 ，
∴∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠ADB90°，
又∠AEC=∠ABD，
∴△AEC∽△ABD，
∴，
∵，
∴，解得：AE=4.8，
∴的半径为.
故答案为：C.
【分析】先证明△AEC∽△ABD，再根据相似三角形的性质列出比例式，求出AE，再求出圆的半径.
9．【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵，
∴当时，取最小值m，
∴，
∵，
∴，
∴，
当时，m有最大值8.
故答案为：A.
【分析】先求出顶点坐标，再利用非负数的性质求解.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，CD=a(a>0），
则BD=ma，BC=BD+CD=ma+a，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=BC=ma+a，∠ABD=∠BCE=60°，
∴△ABD≌△BCE，
∴CE=BD=ma，∠ADB=∠BEC，
∵PC=CE，
∴∠EPC=∠CEB，
∴∠ADB=∠CPE，
又∠ADB=∠CPD+∠DCP，∠CPE=∠CBP+∠DCP，
∴∠CPD=∠CBP，
∴△CPD∽△CBP，
∴，
又CP=CE，
∴，
∴，解得：，（舍去），
即BC=.
故答案为：B.
【分析】先证明△ABD与△BCE全等，再利用全等三角形的性质得出CE=BD=ma，∠ADB=∠BEC，然后利用等边对等角可得∠CPE=∠BEC，从而可得∠ADB=∠CPE，再利用三角形的外角性质可得∠CPD=∠CBP，接着可证出△CPD与△CBP相似，利用相似三角形的性质，列出关于x的方程求解即可.
11．【答案】
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】【解答】解： 3.
故答案为：3.
【分析】根据绝对值的意义，可得-3的绝对值等于3，即可求解.
12．【答案】104
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵是菱形对角线，，
∴∠DAB=2∠BAC=76°，
又四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，∠DCE=∠ABC，
∴∠DCE=180°-∠DAB=104°.
故答案为：104.
【分析】先利用菱形的性质求得∠DAB，和AB//CD，AD//BC，再根据平行线的性质，分别得出∠DAB+∠ABC=180°和∠DCE=∠ABC，从而可求得∠DCE.
13．【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，解得：ab=6.
故答案为：6.
【分析】将两式相减，减去平方项，得到4ab=24，求出ab的值.
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：设这四个兴趣班分别为A，B，C，D，
画树状图，
共有16种等可能结果，其中他俩分到同一个兴趣班有4种情况，
所以他俩分到同一个兴趣班的概率是，
故答案为：.
【分析】先画出树状图，求出所有等可能结果数及符合条件的结果数，再利用概率公式求解.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AH⊥CD于点H，则∠AHC=∠AHD=90°，
∵，
∴四边形ACBD是圆内接四边形，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵AD=4，BD=2，
∴AB=，
∴，
∵，
∴△AHD是等腰直角三角形，
∴AH=DH=AD=，
∴，
∴CD=CH+DH=.
故答案为：.
【分析】先证明四边形ACBD是圆内接四边形，再求出，然后利用勾股定理求得AB，再利用等腰直角三角形的性质求得AC，接着利用勾股定理求得CH，利用等腰直角三角形的性质求得AH，从而可求得CD.
16．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点F作FP⊥CD于点P，则∠FPH=∠FPB=∠ACB=90°，
∵Rt△ABC中，AB=13，BC=5，
∴AC=，
∵四边形ABFG是正方形，四边形ACDE是正方形，
∴∠EAC=∠E=∠D=∠ABF=∠ACD=∠ACB=90°，AG=AB=BF=13，AE=AC=DE=12，
∴Rt△AEG≌Rt△ACB（HL），
∴EG=BC=5，
∴DG=DE-EG=7，
∵∠BAC=∠FBP=90°-∠ABC，AB=BF，
∴△ABC≌△BFP（AAS），
∴PF=BC=5，
∵∠FPH=∠D=90°，∠PHF=∠DHG，
∴△PHF∽△DHG，
∴，
∴
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理求得AC，再利用正方形的性质，结合全等三角形的判定证明Rt△AEG≌Rt△ACB，根据全等三角形的性质可求得DG，再利用AAS证明△ABC≌△BFP，利用全等三角形的性质可求得PF，再证明△PHF∽△DHG，列出比例式，求得GH与HF的比，再求得三角形的面积比.
17．【答案】解：有错误.
正确的解答过程 ：去分母，得：．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
两边同除以，得．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】去分母时漏乘等号右边的式子，写出正确的解答过程.
18．【答案】（1）解：共抽取的总人数为94÷47%=200（人），
则A等级人数为200×25%=50（人），
C等级人数为200-50-94-16=40（人），
补全条形统计图如图所示：
（2）解：D等级所对应的圆心角的度数为360°×16/200=28.8°；
（3）解：1500×25%=375（名），
答：估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩优秀的人数为375名.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）根据B组人数除以B组所占的百分比即可求出抽取的学生总人数，进而求得A等级、C等级的人数即可；
（2）先求出D级人数所占的百分比，再利用360°乘以这个百分比，即可求出D级对应扇形的圆心角的度数.
（3）根据总人数乘以成绩优秀学生所占的百分比即可求出本次竞赛的学生中成绩为优秀的学生人数.
19．【答案】（1）解：如图，线段AD即为所求作.
（2）解：设AD=x，
∵∠ADB=∠ADC=90°，∠B=30°，
∴，
，
∵，
∴，
，
∵ 线段的长为 ，
∴CD+BD=，解得：x=4，
∴AB=8，AC=4，
∴
【知识点】尺规作图-垂线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤画图即可；
（2）设AD=x，利用锐角三角函数分别求得AB、AC即可求解.
20．【答案】（1）解：①由题意，设点C的坐标为C（a，b)(a>0，b>0)，
∵CE⊥x轴于点E，
∴OE=a，CE=b，
∵△OCE的面积为6，
∴OE·CE=ab=6.
∴ab=12，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴k=ab=12，
∴反比例函数的表达式·
②当y=4时，x==3，
∵反比例函数中的12＞0，x＞0，
∴反比例函数的图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴当y≤4时，x≥3.
（2）解：∵反比例函数的图象位于第一象限，
∴k>0，
∵点C，D都在反比例函数y=(x＞0)的图象上，CE⊥x轴于点E，DB⊥x轴于点B，CE=4，BD=4/3，
∴C(，4).D(，)
∴OE=，OB=，
∵CE⊥x轴于点E，DB⊥x轴于点B，
∴CE Il DB，
∴△OAB~ △OCE，
∴，
∴，
∴AB=12.
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；A字型相似模型
【解析】【分析】（1）①设点C的坐标为C（a，b)（a>0，b>0)，根据三角形的面积公式可得ab=12，再将点C（a，b)代入反比例函数的解析式即可得；②先求出当y=4时，x的值，再根据结合函数图象即可得；
（2）先得出k>0，再用k表示出C，D的坐标，然后用k表示出OE，OB，再证明OAB～OCE，根据相似三角形的性质求解即可得.
21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAD=∠CDE=90°，
∴∠BAM=∠CDN=90°，
∵∠AMB=∠DNC=60°，
∴△BAM ≌△CDN(AAS)，
∴BM=CN；
（2）解：设BM=CN=2x，
∵∠AMB=∠DNC=60°，
∠BAM=∠CDN=90°，
∴∠MBA=∠NCD=30°
∴AM=DN=x
∵∠AMB=∠DNC=∠BEC=60°，
∴∠BED=60°+∠MBE=60°+∠NEC，
∴∠MBE=∠NEC，
∴△MBE∽△NEC，
∴，
∵AE=1， DE=2，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴BM=2x=.
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据“AAS”证明△BAM≌△CDN即可证得结论；
（2）先根据含30度角的直角三角形的性质得到AM=DN=x，再利用三角形的外角性质和相似三角形的判定得到△MBE～△NEC，然后列出比例式，得到关于x的方程求解.
22．【答案】（1）；；
（2）解：，
，
，依次类推得：.
证明：
=
=.
（3）解：∵∠C=90°，AC=9cm，BC=10cm，
∴AB2=AC2+BC2=92+102，
∵∠ABD=90°， BD=90cm
∴AD2=AB2+ BD2=92+102+902=(90+1)2=912，
∴AD=91或AD=-91（舍去），
∵△ABD是以AD为斜边的直角三角形，
∴△ABD外接圆的半径为AD=45.5cm.
【知识点】三角形的外接圆与外心；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律；数形结合
【解析】【解答】解：(1)；
；
；
故答案为：9，49，169.
【分析】（1）先计算乘方，再计算加法即可得；
（2）根据（1）中的三个等式可得等号左边的第二项比第一项大1，第三项等于第一项与第二项的乘积，等号右边比等号左边的第三项大1，由此即可得；再利用完全平方公式即可得证；
（3）利用勾股定理可得计算AB2，AD2的式子，再利用（2）中的规律即可得AD2的值，从而可得AD的值，再根据直角三角形的外接圆的半径等于其斜边的一半即可得.
23．【答案】（1）解：当k=2时，抛物线的解析式为y=x2-4x=(x-2)2-4，
所以抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线.
（2）证明：∵当y=0时，x2-2kx+4k-8=0，
∴△=（-2k)2-4（4k-8）=4k2-16k+32=4(k-2)2+16>16>0，
∴无论k取任何实数，这个方程都有两个不相等的实数根，
∴无论k取任何实数，抛物线与x轴总有两个不同的交点.
（3）解：如图，
，
∴顶点工的坐标为（k，-k2+4k-8），对称轴为直线x=k，
∵△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，
∴点M，N关于这个抛物线的对称轴对称，
如图，不妨设点M在对称轴左侧的抛物线上，点N在对称轴右侧的抛物线上，MN与对称轴的交点为点E，则AE垂直平分MN，
设点M的横坐标为k-t(t>0)，
则点N的横坐标为k+t，
∴MN=k+t- (k-t)=2t，
∴ME=MN=t，
当x=k-时，y=(k-t-k)2-k2+4k-8=t2-k2+4k-8，
∴M(k-t，t2-k2+4k-8)， N(k+t，t2-k2+4k-8)，
∴E(k，t2-k2+4k-8)，
∴AE=t2-k2+4k-8-(-k2+4k-8) =t2，
∵在等边△AMN中，AM=MN=2t，ME=t，AE⊥MN，
∴AE==3t，
∴t2=t，解得：t=或t=0（舍去），
∴MN=2t=2. AE=t=3，
∴△AMN的面积为MN·AE=×2×3=.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题；等边三角形的性质；勾股定理；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）将k=2可得抛物线的解析式，化成顶点式，由此即可得；
（2）当y=0时，x2-2kx+4k-8=0，利用一元二次方程根的判别式即可得证；
（3）先根据二次函数的对称性和等边三角形的性质可得点M，N关于这个抛物线的对称轴对称，再求出A点的坐标，设点M的横坐标为k-t(t>0)，可用k，t表示出M的坐标与N的坐标，从而可得AE的长，然后利用等边三角形的性质和勾股定理也可得AE的长，建立方程，解方程求出的值，最后利用三角形的面积公式计算即可得.
24．【答案】（1）证明：设∠ABD=x，则∠ABC=2x，
∴∠ADC=∠ABC=2x，
∵AB是OO的直径，
∴∠ADB=90°
∴∠BAD=90° –∠ABD=90° –x，
∠BDC=∠ADB– ∠ADC=90° -2x
∠BCD=∠BAD=90°-x，
∠CEB=∠BDC＋∠ABD=90°-x，
∴∠BCD=∠CEB，
∴BC=BE，
∴△BCE为等腰三角形.
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，∠ACB=90°，
∵AD=3，BD=9，
∴tan∠ABD=，
∵F为AC的中点，
∴AF=CF
∴∠CBF=∠ABF=∠ABC.
∵∠ABC=2∠ABD，
∴∠CBF=∠ABD
∴tan∠CBF=tan∠ABD=，
∵tan∠CBF==，
∴tan∠BPC==3.
（3）证明：如图，过点D作DM⊥AB于点M，
∵∠BAD=∠BCD=∠CEB，
∠AED=∠CEB，
∴∠BAD=∠AED，
∴AD= DE，
∴AM=AE，
∵F为的中点，
∴OF垂直平分AC，，
∴点G是AC的中点，∠CBF=∠ABF=∠ABC，
∴CH=EH，
∴GH是△ACE的中位线，
∴GH=AE=AM.
∵AB是OO的直径，DM⊥AB，
∴∠ADB=∠AMD=90°
∴△ADB~△AMD，
∴，
∴AD2= AM· AB·
∴AD2=GH·AB·
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）设∠ABD=x，可用x表示出∠ABC，先根据圆周角定理可得∠ADC=∠ABC=2x，∠ADB=90°，从而可得∠BAD=90°-x，∠BDC=90°-2x，再根据圆周角定理可得∠BCD=∠BAD=90°-x，根据三角形的外角性质可得∠CEB=90°-x，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）先解直角三角形可得tan∠ABD=，再根据弧与圆周角的关系可得∠CBF=∠ABF=∠ABC，从而可得∠CBF=∠ABD，则tan∠CBF=tan∠ABD=，然后根据正切的定义求解即可得；
（3）过点D作DM⊥AB于点M，先根据垂径定理可得OF垂直平分AC，再根据等腰三角形的三线合一可得CH=EH，根据三角形的中位线定理可得GH=AE=AM，然后证出△ADB~△AMD，根据相似三角形的性质可得AD2=AM·AB，由此即可得证.
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