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第七章 万有引力与宇宙航行 学案（含答案）——2024-2025学年高一物理人教版（2019）下学期期末复习
第一步：单元学习目标整合
重点 ①开普勒三定律
②万有引力定律及其应用
③第一宇宙速度
难点 ①天体运行时各物理量与运动半径的关系
②对三个宇宙速度的理解
③人造卫星的变轨
④双星问题
第二步：单元思维导图回顾知识
第三步：单元重难知识易混易错
重难点：
一、开普勒第三定律
（1）表达式，其中a是椭圆轨道的半长轴，T为公转周期，k是与太阳质量有关而与行星无关的常量。
（2）行星的椭圆轨道都很接近圆。在近似的计算中，可以认为行星以太阳为圆心做匀速圆周运动。若用r代表轨道半径，T代表周期，开普勒第三定律可以写成。
（3）知道了行星到太阳的距离，就可以由开普勒第三定律计算或比较行星绕太阳运行的周期；反之，知道了行星的周期，也可以计算或比较其到太阳的距离。
二、万有引力定律的性质理解
三、天体质量和密度的计算
人造卫星问题的分析思路
卫星的动力学规律
由万有引力提供向心力
易错题：
一、不会分析卫星轨道变化的问题
例1小行星绕恒星运动，恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，可认为小行星在绕恒星运动一周的过程中近似做圆周运动。则经过足够长的时间后，小行星运动的( )
A.半径变大 B.速率变大 C.角速度变大 D.加速度变大
答案：A
解析：恒星均匀地向四周辐射能量，质量缓慢减小，二者之间万有引力减小，小行星要做离心运动，小行星运动的半径增大，万有引力做负功，小行星到达新的圆周轨道后速率减小，角速度减小，由于小行星距离恒星的距离增大，而恒星的质量减小，根据可知加速度减小，A项正确，B、C、D三项错误。
二、混淆赤道上的物体与近地卫星
例2已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为、向心加速度大小为，近地卫星线速度大小为、向心加速度大小为，地球同步卫星线速度大小为、向心加速度大小为。设近地卫星距地面高度不计，同步卫星距地面高度约为地球半径的6倍。则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：本题易错之处是不能正确建立近地卫星、同步卫星与赤道上随地球自转的物体间的关系进行列式计算。近地卫星和同步卫星都是绕地球做匀速圆周运动的，根据万有引力提供向心力得，解得，两卫星的轨道半径之比为1:7，所以，故AB错误；同步卫星与随地球自转的物体具有相同的角速度，地球的半径与同步卫星的轨道半径之比为1:7，根据得，，故C正确，D错误。
三、不能准确把握同步卫星特点而出错
例3气象卫星是用来拍摄云层照片,观测气象资料和测量气象数据的。我国先后自行成功研制和发射了“风云一号”和“风云二号”两颗气象卫星。“风云一号”卫星轨道与赤道平面垂直,通过两极,每12小时巡视地球一周,称为“极地圆轨道”。“风云二号”气象卫星轨道平面在赤道平面内称为“地球同步轨道”,则“风云一号”卫星比“风云二号”卫星( )
A.运行角速度小 B.运行线速度小
C.覆盖范围广 D.向心加速度小
答案：C
解析：因为它们的周期不相等,一号的周期小,根据,故它的角速度大,选项A错误;在半径相同的情况下,一号的线速度v=ωR , 故它的线速度大,选项B不正确;一号卫星的覆盖范围比二号要大,故选项C正确;因为一号的角速度大,故它的向心加速度也大,选项D错误,所以该题选C。
四、迁移能力欠缺导致错误
例4大多行星不适宜人类居住,绕恒星“GlieSe581”运行的行星“581c”却很值得我们期待。恒星“Gliese581”的质量是太阳质量的0.31倍,行星“581c”的质量是地球的6倍,直径是地球的1.5倍,公转周期为13个地球日。若该行星与地球均可视为质量分布均匀的球体,绕其中心天体做匀速圆周运动,忽略它们的自转,则( )
A.该行星的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的4倍
B.如果人到了该行星,其重力是地球上的倍
C.该行星与“GlieSe581”间的距离是日地距离的倍
D.该行星绕“Gliese581”公转的线速度比地球绕太阳公转的线速度小
答案：B
解析：卫星绕行星表曲做匀速圆周运动时,,第一宇宙速度,故该行星的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的2倍,A错误;在行星表面总有,根据该行星和地球的质量比、直径比,得,B正确;环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动时,有,设该行星与“Gliese581”间的距离为,地球和太阳之间的距离为,该行星绕“Gliese581”的周期为,地球的公转周期为,“Gliese581”的质量为,太阳的质量为,那么,C错误;由,得,代入数据得,D错误。
五、不会从题目中挖掘隐含条件
例5均匀分布在地球赤道平面上空的三颗同步通信卫星能够实现除地球南北极等少数地区外的“全球通信”.已知地球半径为,地球表面的向心加速度为,同步卫星所在轨道处的向心加速度为,地球自转周期为,下面列出的是关于三颗卫星中任意两颗卫星间距离的表达式,其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
答案：BC
解析：地球表面附近重力等于万有引力,有:,得,同步轨道上有代入的值得:同步轨道的半径,另外由开普勒第三定律也可求出同步轨道的半径,地球表面附近有:,,由开普勒第三定律有:,代入数据得:,三颗卫星在同步轨道上应均匀分布,由几何关系得,可见 B、C两项正确.
例6用m表示地球的通信卫星(同步卫星)的质量,h表示离地面的高度,用R表示地球的半径,g表示地球表面的重力加速度,ω表示地球自转的角速度,则通信卫星所受地球对它的万有引力的大小为( )
A. B. C. D.
答案：BCD
解析：地球同步卫星的角速度与地球自转的角速度ω相同,轨道半径为r=R+h,则根据向心力公式得地球对卫星的引力大小为。
该卫星所受地球的万有引力为,
在地球表面有,得到,联立得。由,解得,
所以可得,由于地球的质量M未知,故B、C、D正确,A错误。
第四步：单元核心素养对接高考
单元核心素养
①物理观念:能了解万有引力定律的内涵，会计算人造卫星的环绕速度，知道第二宇宙速度和第三宇宙速度;能用万有引力定律解释一些天体运动问题。具有与万有引力定律相关的运动与相互作用的观念。
②科学思维:能将一些熟悉天体的运动抽象成匀速圆周运动模型;能分析一些简单的天体运动问题，通过推理获得结论;能用与万有引力定律相关的证据解释一些天体运动现象;同时知道牛顿力学的局限性，初步了解相对论时空观。
③科学探究:能了解卡文迪什实验的重要性，并能提出问题;能体会卡文迪什扭秤实验方案设计的巧妙之处，能感受到科学定律的预测作用;能认识到测定物理常量在科学研究中的重要性;能撰写与万有引力定律相关的调研报告，与同学交流。
④科学态度与责任:能认识发现万有引力定律的过程及重要意义，认识科学定律对人类探索未知世界的作用;知道科学包含大胆的想象和创新;有探索太空、了解太空的兴趣，能为牛顿力学对航天技术发展的重大贡献而振奋。
对接高考
一、单选题
1．[2024年海南高考真题]嫦娥六号进入环月圆轨道做匀速圆周运动的周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为( )
A. B. C. D.
2．[2025年浙江高考真题]地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程中，与太阳连线扫过的面积分别为和，且。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星( )
A.在近日点的速度小于地球的速度
B.从b运行到c的过程中动能先增大后减小
C.从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间
D.在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍
3．[2024年甘肃高考真题]小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内，通过测量以下物理量得到天宫实验室轨道处的重力加速度，可行的是( )
A.用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力
B.测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
C.从高处释放一个重物、测量其下落高度和时间
D.测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
4．[2024年山东高考真题]“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a。已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为( )
A. B. C. D.
5．[2024年重庆高考真题]2024年5月3日，嫦娥六号探测成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器的着陆器上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段。则组合体着陆月球的过程中( )
A.减速阶段所受合外力为0 B.悬停阶段不受力
C.自由下落阶段机械能守恒 D.自由下落阶段加速度大小
二、多选题
6．[2024年广东高考真题]如图所示，探测器及其保护背罩通过弹性轻绳连接降落伞。在接近某行星表面时以60 m/s的速度竖直匀速下落。此时启动“背罩分离”，探测器与背罩断开连接，背罩与降落伞保持连接。已知探测器质量为1000 kg，背罩质量为50 kg，该行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小取。忽略大气对探测器和背罩的阻力。下列说法正确的有( )
A.该行星表面的重力加速度大小为
B.该行星的第一宇宙速度为
C.“背罩分离”后瞬间，背罩的加速度大小为
D.“背罩分离”后瞬间，探测器所受重力对其做功的功率为30 kW
7．[2024年湖南高考真题]2024年5月3日，“嫦娥六号”探测器顺利进入地月转移轨道，正式开启月球之旅。相较于“嫦娥四号”和“嫦娥五号”，本次的主要任务是登陆月球背面进行月壤采集，并通过升空器将月壤转移至绕月运行的返回舱，返回舱再通过返回轨道返回地球。设返回舱绕月运行的轨道为圆轨道，半径近似为月球半径。已知月球表面重力加速度约为地球表面的，月球半径约为地球半径的。关于返回舱在该绕月轨道上的运动，下列说法正确的是( )
A.其相对于月球的速度大于地球第一宇宙速度
B.其相对于月球的速度小于地球第一宇宙速度
C.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
D.其绕月飞行周期约为地球上近地圆轨道卫星周期的倍
8．[2024年河北高考真题]2024年3月20日，鹊桥二号中继星成功发射升空，为嫦娥六号在月球背面的探月任务提供地月间中继通信。鹊桥二号采用周期为24 h的环月椭圆冻结轨道（如图），近月点A距月心约为，远月点B距月心约为，CD为椭圆轨道的短轴，下列说法正确的是( )
A.鹊桥二号从C经B到D的运动时间为12 h
B.鹊桥二号在两点的加速度大小之比约为81:1
C.鹊桥二号在两点的速度方向垂直于其与月心的连线
D.鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于7.9 km/s且小于11.2 km/s
参考答案
1．答案：D
解析：设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据牛顿第二定律有，月球的体积，月球的平均密度，联立可得，D正确。
2．答案：C
解析：彗星从b运行到c的过程中，万有引力一直做负功，动能一直减小，故B错误。根据开普勒第二定律，可知彗星从a运行到b的时间大于从c到的运行d时间，故C正确。对于地球绕太阳的匀速圆周运动，设环绕半径为r，根据牛顿第二定律，解得。对于彗星在近日点，根据牛顿第二定律，解得，故D错误。假设彗星以0.6r绕太阳做匀速圆周运动为轨道1，速度为，地球绕太阳做圆周运动为轨道3，环绕速度为，根据高轨低速的推论，可知。如果彗星从轨道1变为原本的椭圆轨道（设为轨道2），要做离心运动，需要在近地点瞬间加速，则彗星在原本椭圆轨道近日点的速度。综上所述，，即彗星在近日点的速度大于地球的速度，故A错误。
3．答案：D
解析：在天宫实验室内，物体处于完全失重状态，重力提供了物体绕地球匀速圆周运动的向心力，故ABC中的实验均无法得到天宫实验室轨道处的重力加速度。由重力提供绕地球做匀速圆周运动的向心力得，整理得轨道重力加速度为，故通过测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径可行，D正确。
故选D。
4．答案：D
解析：“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道上运行时，根据开普勒第三定律有，对地球的同步卫星由开普勒第三定律有，则有，D正确。
5．答案：C
解析：A.组合体在减速阶段有加速度，合外力不为零，故A错误；B.组合体在悬停阶段速度为零，处于平衡状态，合力为零，仍受重力和升力，故B错误；C.组合体在自由下落阶段只受重力，机械能守恒，故C正确；D.月球表面重力加速度不为，故D错误。故选C。
6．答案：AC
解析：A.在星球表面，根据
可得
行星的质量和半径分别为地球的和。地球表面重力加速度大小取，可得该行星表面的重力加速度大小
故A正确；
B.在星球表面上空，根据万有引力提供向心力
可得星球的第一宇宙速度
行星的质量和半径分别为地球的和，可得该行星的第一宇宙速度
地球的第一宇宙速度为，所以该行星的第一宇宙速度
故B错误；
C.“背罩分离”前，探测器及其保护背罩和降落伞整体做匀速直线运动，对探测器受力分子，可知探测器与保护背罩之间的作用力
“背罩分离”后，背罩所受的合力大小为4000 N，对背罩，根据牛顿第二定律
，解得
故C正确；
D.“背罩分离”后瞬间探测器所受重力对其做功的功率
故D错误。
故选AC。
7．答案：BD
解析：地球上的第一宇宙速度等于卫星在近地轨道的环绕速度，根据万有引力定律知，结合得第一宇宙速度，又，可知返回舱相对月球的速度小于地球上的第一宇宙速度，选项A错误，B正确；根据万有引力定律知，在近地（月）轨道上有，又，得，可得，可知选项C错误，D正确。
8．答案：BD
解析：鹊桥二号从C经B到D过程与月心连线扫过的面积大于鹊桥二号从D经A到C过程与月心连线扫过的面积，由开普勒第二定律可知，鹊桥二号从C经B到D的运动时间大于鹊桥二号从D经A到C的运动时间，又，故，A错误；鹊桥二号运动过程中，由牛顿第二定律有，则鹊桥二号在两点的加速度大小之比，B正确；由速度方向为轨迹切线方向结合几何关系可知，鹊桥二号在两点的速度方向不垂直于其与月心的连线，C错误；由于鹊桥二号的轨道为椭圆形，则鹊桥二号在地球表面附近的发射速度大于第一宇宙速度（7.9 km/s），又其没有完全脱离地球的束缚，所以其发射速度大于第一宇宙速度（7.9 km/s）且小于第二宇宙速度（11.2 km/s），D正确。

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