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湖南省长沙市多校联考2024年中考三模数学试题
1．（2024·长沙模拟）在下列四个实数中，最大的数是（　　）
A． B． C．0 D．
2．（2024·长沙模拟）近年来，长沙中高端人才净流入率居全国前三，高精尖人才集中在战略性新兴产业的比例达95%；“人才吸引力指数”跃居全国第十、中部第一．长沙人才总量2023年增至3150000．其中数据3150000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·长沙模拟）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸作品的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024·长沙模拟）下列说法正确的是（　　）
A．神舟十九号载人飞船发射前的零件检查应选择抽样调查
B．“离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件
C．要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图
D．若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩较稳定
6．（2024·长沙模拟）如图，平分，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·长沙模拟）不等式组，的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·长沙模拟）“爱护环境，人人有责”．为减少塑料垃圾袋的使用，小明统计了他家某一周每天使用塑料垃圾袋的数量（单位：个）：2，2，3，3，3，4，4．则对这组数据说法错误的是（　　）
A．众数是3 B．中位数是3 C．平均数是3 D．方差是3
9．（2024·长沙模拟）如图，是的直径，弦，垂足为点E，若，，则的半径为（　　）
A． B．4 C． D．5
10．（2024·长沙模拟）在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如下表：
t（） 0 10 20 30 40
R（Ω） 5 5.08 5.16 5.24 5.32
根据上述关系，当温度t为时，该金属导体的电阻R的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024·长沙模拟）若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是　 　.
12．（2024·长沙模拟）若一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的边数为　 　．
13．（2024·长沙模拟）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为　 　．
14．（2024·长沙模拟）已知是反比例函数图象上的一个动点，当时，，则当时，a的值为　 　．
15．（2024·长沙模拟）如图，在等腰中，，过点A作，交的延长线于点D，若，则的长为　 　．
16．（2024·长沙模拟）如图，是一个边长为的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一米粒，则下列说法正确的是　 　．（填序号）
①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为；
②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为；
③米粒落在圆内的概率＝；
④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则的值接近于．
17．（2024·长沙模拟）计算：．
18．（2024·长沙模拟）先化简，再求值：，其中．
19．（2024·长沙模拟）为了提升居民的居住环境和品质，许多小区采用高层、小高层结合的模式建造．如图，某小区有前后两栋楼分别是高层和小高层，两栋楼的楼间距为40米，当小明站在高层楼顶点A处时，测得对面小高层楼顶C点的俯角为，测得对面小高层楼底D点的俯角为，已知小高层层高为3米．（参考数据：，，，结果精确到1米）
（1）求该小区高层的高度；
（2）求该小区小高层有多少层？
20．（2024·长沙模拟）某中学将在九年级开展红色之旅研学活动，为了解学生的研学意向，在九年级的每个班中随机选取了部分同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成如下统计表和扇形统计图．
调查问卷 在下面四个纪念馆中，你最想去的是（　　）（单选） A.秋收起义文家市会师纪念馆 B.湖南红色档案馆 C.中国共产党长沙历史馆 D.湖南辛亥革命人物纪念馆 纪念馆 人数
A 16
B m
C 24
D 20
根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计图表中的__________， _____________；
（2）如果该校九年级学生共有900人，估计九年级学生最想去的纪念馆是“湖南辛亥革命人物纪念馆”的有多少人？
（3）学校根据调查结果选出一个纪念馆作为研学地．为方便管理，从甲、乙、丙、丁4名学生中，随机选择2名作为此次研学活动老师的助手，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生中没有甲的概率
21．（2024·长沙模拟）如图，已知，，
（1）尺规作图：作出线段的垂直平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，设直线交于点D，连接，若，求的度数．
22．（2024·长沙模拟）话剧是以对话方式为主的戏剧形式，主要叙述手段为演员在台上无伴奏的对白或独白．某剧院上映话剧《雷雨》，设置两种票价，甲种票每张50元，乙种票每张80元．
（1）某校话剧社团共52人去该剧院看话剧《雷雨》，购票共花费3500元，求购买甲、乙两种票各多少张？
（2）该剧院场馆共有500个座位，在每场票售罄的前提下，要使该话剧每场售票总金额不低于35000元，则甲种票所对应的座位最多可设置多少个？
23．（2024·长沙模拟）在新学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（和），按如图的方式放置，已知，，，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是菱形，求菱形的面积和的长．
24．（2024·长沙模拟）定义：若函数，的自变量的取值范围相同，我们把函数叫做，的加权平均函数，其中t为加权系数，且0＜t＜1．
（1）已知，．
①当时；，的加权平均函数为___________；
②若是，的加权平均函数，则_______，________；
（2）已知，，其加权平均函数的图象经过两个定点，（点在点的左侧），试在x轴上求一点，使得取得最大值，并写出点的坐标；
（3）已知与对于的任意一个的取值，加权平均函数的图象都在轴上方，试求的取值范围．
25．（2024·长沙模拟）如图，已知为的外接圆，为的直径，，过点B作射线，使得，点P为射线上的一个动点，连接并延长交于点D，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）设，四边形的面积为y．
①y关于x的函数关系式；
②当时，求y的值；
（3）已知E为的中点，连接交于点F，连接，若，试探究线段能否构成一个三角形，若能，请证明你的结论，并判断三角形的形状；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵正数都大于0，0大于一切负数，
∴，
∴最大的数是：，
故答案为：D．
【分析】根据实数的大小比较进行判断．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】根据数科学记数法求解．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少的正整数．
3．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的定义识别．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，故此选项计算错误，不符合题意；
C、，故此选项计算正确，符合题意；
D、，故此选项计算错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】（1）根据合并同类项法则计算；
（2）利用平方差公式计算；
（3）利用同底数幂的除法法则计算；
（4）利用积的乘方法则计算．
5．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；折线统计图；事件的分类；方差
【解析】【解答】解：神舟十八号载人飞船发射前的零件检查应选择全面调查，故A不符合题意；
“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故B不符合题意；
要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图，故C符合题意；
若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，故D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】（1）根据全面调查与抽样调查求解；
（2）根据随机事件的概念求解；
（3）根据折线统计图求解；
（4）根据方差的意义求解．
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
7．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集在数轴上表示，如图：
故答案为：C．
【分析】先分别求解两个不等式，得到和，再将两个不等式的解集分别表示在数轴，再作出判断．
8．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：3出现了三次，4出现2次，2出现了2次，3出现次数最多，众数为3，故A不符合题意；
将数据排列后为2，2，3，3，3，4，4，∴中位数是第4个数为3，故B不符合题意；
平均数为，故C不符合题意；
，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】（1）根据众数的意义求解；
（2）根据中位数的意义求解；
（3）根据平均数求法求解；
（4）根据方差公式计算．
9．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：是的直径，弦，，
的半径为4．
故答案为：B．
【分析】先根据垂径定理，求得的长度，再利用圆周角定理求得，然后利用正弦求出CO．
10．【答案】C
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵电阻R（单位：Ω）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系，
∴设，
∵当t=10时，R=5.08；当t=0时，R=5，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
故答案为：C．
【分析】先根据表中数据求出，再将代入求出电阻R即可．
11．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得：x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，求解即可.
12．【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于30°，
又∵多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数是 =12，
故答案为：12．
【分析】任何多边形的外角和都等于360，故用外角的总数除以每个外角的度数，即可得出外角的个数，即多边形的边数。
13．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，求得，，代入求解即可．
14．【答案】1
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵反比例函数，当时，，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
解得：．
故答案为：1．
【分析】先根据求出反比例函数的解析式，再求得当时，a的值．
15．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】先根据等腰三角形的性质求得，，再求出，然后利用的正切求解．
16．【答案】①③④
【知识点】频数与频率；几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：依题意，圆的面积为，正方形的面积为：
∴米粒落在圆内的概率为；
①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为，故①正确；
②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为，故②错误；
③米粒落在圆内的概率＝，故③正确；
④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则概率接近，即，
∴的值接近于，故④正确；
故答案为：①③④．
【分析】 ① 根据频率的概念求解；
②根据频率估计概率求解；
③利用几何概率求解；
④先根据题意得出圆的面积，再利用圆的面积除以正方形面积得出答案．
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算算术平方根，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减．
18．【答案】解：原式
．
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先计算除法，再计算减法，化简后把代入计算即可．
19．【答案】（1）解：∵，．
∴ (米)，
∴该小区高层的高度约为64米；
（2）解：如图，过点C作于点E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形为矩形，
∴米，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴米，
∵米，
∴ (米)，
∴ (米)，
∵小高层层高为3米，
∴ (层)，
∴该小区小高层有8层．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用的正切求解；
（2）过点C作于点E，则四边形为矩形，，证明为等腰直角三角形得米，求出米，进而可求出该小区小高层有多少层．
20．【答案】（1）20，30
（2）解：（人），
答：估计九年级学生最想去的纪念馆是"湖南辛亥革命人物纪念馆”的有225人；
（3）解：根据题意，列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 - (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁)
乙 (乙，甲) - (乙，丙) (乙，丁)
丙 (丙，甲) (丙，乙) - (丙，丁)
丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙) -
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生中没有甲的结果有6种，
∴.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）被调查的总人数为：（人），
；
，即；
故答案为：20；30；
【分析】（1）用想去A纪念馆的人数除以所占百分率即可求出被调查的总人数，再将被调查的总人数减去想去A，C，D三个纪念馆的人数即可求出m；然后用C的人数除以总人数求得n；
（2）用样本估计总体求解；
（3）先列表，得到所有等可能的结果数和2名学生中没有甲学生的结果数，再用概率公式求解.
21．【答案】（1）解：作出线段的垂直平分线如图①，
∴即为所求；
（2）解：如图②，
∵，，
∴，
由(1)知，为线段的垂直平分线，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角和三角形的外角的性质求解．
22．【答案】（1）解：设购买甲种票x张，购买乙种票y张，
可列方程组为：，
解得，
答：购买甲种票22张，购买乙种票30张；
（2）解：设甲种票所对应的座位设置a个，则乙种票所对应的座位设置个，
可列不等式为：，
解得：，
∵a为整数，
∴甲种票所对应的座位最多可设置166个，
答：甲种票所对应的座位最多可设置166个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
23．【答案】（1）证明：在和中，
∴，
∴，
∴.
∵
∴四边形为平行四边形；
（2）解：连接交于点O，
∵四边形为菱形，
∴，，.
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴菱形的面积为，
∴
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用证明，再根据全等三角形的性质证得，然后根据平行线的判定得到，结合AF=CE可得 四边形是平行四边形 ；
（2）先求出，再根据面积法求得AC，再用勾股定理求出OF，进而求出和菱形的面积即可．
24．【答案】（1）①；②，
（2）解：由题意，得，
∵y过定点，
∴，
解得或，
当时，，当时，，
∵点在点的左侧，
∴，，
如图，作点关于x轴的对称点，直线与x轴的交点即为所求的点，使得的值最大，
设直线的解析式为．
将点，代入，
得，
解得：，
∴直线的解析式为．
当时，，
∴点的坐标为；
（3）解：∵，与
∴，
∵，
∴加权平均函数的图象开口向上，
∴当时，，
∵加权平均函数的图象都在x轴上方，
∴
∴，
设，
∵，
∴函数的图象开口向上．
当时，，
当时，．
∵，
∴，
解得：，
∴的取值范为.
【知识点】函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）①将，，代入即可求得：数，
即；
故答案为：；
②将，代入，
，
∵是，的加权平均函数，
∴-6t+5=1，3t-1=m，解得：，.
故答案为：，1；
【分析】（1）直接代入求解即可；
（2）先求得加权平均函数的表达式根据题目条件求得点、点即可求得结果；
（3）先求得加权平均函数的表达式，根据二次函数的性质即可求得结果．
25．【答案】（1）解：证明：如解图，连接，
∵，O为中点，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线；
（2）解：①如解图，作于点G，交的延长线于点H.
∵，
∴.
∵为的直径，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴矩形为正方形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵在中，
∴
∴；
②∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴，即，
∴；
（3）解：线段能构成一个三角形，三角形的形状为直角三角形，证明如下：
如解图，
∵，
∴。
∴，
∵，
∴.
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形.
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，.
∴，
线段能构成一个直角三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
1 / 1湖南省长沙市多校联考2024年中考三模数学试题
1．（2024·长沙模拟）在下列四个实数中，最大的数是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵正数都大于0，0大于一切负数，
∴，
∴最大的数是：，
故答案为：D．
【分析】根据实数的大小比较进行判断．
2．（2024·长沙模拟）近年来，长沙中高端人才净流入率居全国前三，高精尖人才集中在战略性新兴产业的比例达95%；“人才吸引力指数”跃居全国第十、中部第一．长沙人才总量2023年增至3150000．其中数据3150000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】根据数科学记数法求解．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少的正整数．
3．（2024·长沙模拟）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸作品的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形．
故答案为：A.
【分析】根据中心对称图形的定义识别．
4．（2024·长沙模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
B、，故此选项计算错误，不符合题意；
C、，故此选项计算正确，符合题意；
D、，故此选项计算错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】（1）根据合并同类项法则计算；
（2）利用平方差公式计算；
（3）利用同底数幂的除法法则计算；
（4）利用积的乘方法则计算．
5．（2024·长沙模拟）下列说法正确的是（　　）
A．神舟十九号载人飞船发射前的零件检查应选择抽样调查
B．“离离原上草，一岁一枯荣”是随机事件
C．要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图
D．若两名同学连续五次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩较稳定
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；折线统计图；事件的分类；方差
【解析】【解答】解：神舟十八号载人飞船发射前的零件检查应选择全面调查，故A不符合题意；
“离离原上草，一岁一枯荣”是必然事件，故B不符合题意；
要反映某景区“五一”假期每天游客数量的变化情况宜采用折线统计图，故C符合题意；
若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，故D不符合题意.
故答案为：C．
【分析】（1）根据全面调查与抽样调查求解；
（2）根据随机事件的概念求解；
（3）根据折线统计图求解；
（4）根据方差的意义求解．
6．（2024·长沙模拟）如图，平分，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
7．（2024·长沙模拟）不等式组，的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集在数轴上表示，如图：
故答案为：C．
【分析】先分别求解两个不等式，得到和，再将两个不等式的解集分别表示在数轴，再作出判断．
8．（2024·长沙模拟）“爱护环境，人人有责”．为减少塑料垃圾袋的使用，小明统计了他家某一周每天使用塑料垃圾袋的数量（单位：个）：2，2，3，3，3，4，4．则对这组数据说法错误的是（　　）
A．众数是3 B．中位数是3 C．平均数是3 D．方差是3
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：3出现了三次，4出现2次，2出现了2次，3出现次数最多，众数为3，故A不符合题意；
将数据排列后为2，2，3，3，3，4，4，∴中位数是第4个数为3，故B不符合题意；
平均数为，故C不符合题意；
，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】（1）根据众数的意义求解；
（2）根据中位数的意义求解；
（3）根据平均数求法求解；
（4）根据方差公式计算．
9．（2024·长沙模拟）如图，是的直径，弦，垂足为点E，若，，则的半径为（　　）
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：是的直径，弦，，
的半径为4．
故答案为：B．
【分析】先根据垂径定理，求得的长度，再利用圆周角定理求得，然后利用正弦求出CO．
10．（2024·长沙模拟）在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位：）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行了记录，如下表：
t（） 0 10 20 30 40
R（Ω） 5 5.08 5.16 5.24 5.32
根据上述关系，当温度t为时，该金属导体的电阻R的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵电阻R（单位：Ω）与温度t（单位：）之间存在一次函数关系，
∴设，
∵当t=10时，R=5.08；当t=0时，R=5，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
故答案为：C．
【分析】先根据表中数据求出，再将代入求出电阻R即可．
11．（2024·长沙模拟）若二次根式 在实数范围内有意义，则 的取值范围是　 　.
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得： ，
解得：x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x-3≥0，求解即可.
12．（2024·长沙模拟）若一个多边形的每个外角都等于30°，则这个多边形的边数为　 　．
【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于30°，
又∵多边形的外角和等于360°，
∴多边形的边数是 =12，
故答案为：12．
【分析】任何多边形的外角和都等于360，故用外角的总数除以每个外角的度数，即可得出外角的个数，即多边形的边数。
13．（2024·长沙模拟）已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为　 　．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：6．
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，求得，，代入求解即可．
14．（2024·长沙模拟）已知是反比例函数图象上的一个动点，当时，，则当时，a的值为　 　．
【答案】1
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵反比例函数，当时，，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
解得：．
故答案为：1．
【分析】先根据求出反比例函数的解析式，再求得当时，a的值．
15．（2024·长沙模拟）如图，在等腰中，，过点A作，交的延长线于点D，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】先根据等腰三角形的性质求得，，再求出，然后利用的正切求解．
16．（2024·长沙模拟）如图，是一个边长为的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一米粒，则下列说法正确的是　 　．（填序号）
①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为；
②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为；
③米粒落在圆内的概率＝；
④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则的值接近于．
【答案】①③④
【知识点】频数与频率；几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：依题意，圆的面积为，正方形的面积为：
∴米粒落在圆内的概率为；
①若投次，有次落在圆内，则米粒落在圆内的频率为，故①正确；
②若投次，有次落在圆内，则投次，米粒落在圆内的概率为，故②错误；
③米粒落在圆内的概率＝，故③正确；
④若投次，有次落在圆内，随着实验次数的增加，则概率接近，即，
∴的值接近于，故④正确；
故答案为：①③④．
【分析】 ① 根据频率的概念求解；
②根据频率估计概率求解；
③利用几何概率求解；
④先根据题意得出圆的面积，再利用圆的面积除以正方形面积得出答案．
17．（2024·长沙模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算算术平方根，绝对值，零指数幂和负整数指数幂，再计算加减．
18．（2024·长沙模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
．
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先计算除法，再计算减法，化简后把代入计算即可．
19．（2024·长沙模拟）为了提升居民的居住环境和品质，许多小区采用高层、小高层结合的模式建造．如图，某小区有前后两栋楼分别是高层和小高层，两栋楼的楼间距为40米，当小明站在高层楼顶点A处时，测得对面小高层楼顶C点的俯角为，测得对面小高层楼底D点的俯角为，已知小高层层高为3米．（参考数据：，，，结果精确到1米）
（1）求该小区高层的高度；
（2）求该小区小高层有多少层？
【答案】（1）解：∵，．
∴ (米)，
∴该小区高层的高度约为64米；
（2）解：如图，过点C作于点E，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形为矩形，
∴米，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴米，
∵米，
∴ (米)，
∴ (米)，
∵小高层层高为3米，
∴ (层)，
∴该小区小高层有8层．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用的正切求解；
（2）过点C作于点E，则四边形为矩形，，证明为等腰直角三角形得米，求出米，进而可求出该小区小高层有多少层．
20．（2024·长沙模拟）某中学将在九年级开展红色之旅研学活动，为了解学生的研学意向，在九年级的每个班中随机选取了部分同学进行问卷调查，所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成如下统计表和扇形统计图．
调查问卷 在下面四个纪念馆中，你最想去的是（　　）（单选） A.秋收起义文家市会师纪念馆 B.湖南红色档案馆 C.中国共产党长沙历史馆 D.湖南辛亥革命人物纪念馆 纪念馆 人数
A 16
B m
C 24
D 20
根据图表中提供的信息回答下列问题：
（1）统计图表中的__________， _____________；
（2）如果该校九年级学生共有900人，估计九年级学生最想去的纪念馆是“湖南辛亥革命人物纪念馆”的有多少人？
（3）学校根据调查结果选出一个纪念馆作为研学地．为方便管理，从甲、乙、丙、丁4名学生中，随机选择2名作为此次研学活动老师的助手，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生中没有甲的概率
【答案】（1）20，30
（2）解：（人），
答：估计九年级学生最想去的纪念馆是"湖南辛亥革命人物纪念馆”的有225人；
（3）解：根据题意，列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 - (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁)
乙 (乙，甲) - (乙，丙) (乙，丁)
丙 (丙，甲) (丙，乙) - (丙，丁)
丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙) -
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生中没有甲的结果有6种，
∴.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）被调查的总人数为：（人），
；
，即；
故答案为：20；30；
【分析】（1）用想去A纪念馆的人数除以所占百分率即可求出被调查的总人数，再将被调查的总人数减去想去A，C，D三个纪念馆的人数即可求出m；然后用C的人数除以总人数求得n；
（2）用样本估计总体求解；
（3）先列表，得到所有等可能的结果数和2名学生中没有甲学生的结果数，再用概率公式求解.
21．（2024·长沙模拟）如图，已知，，
（1）尺规作图：作出线段的垂直平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，设直线交于点D，连接，若，求的度数．
【答案】（1）解：作出线段的垂直平分线如图①，
∴即为所求；
（2）解：如图②，
∵，，
∴，
由(1)知，为线段的垂直平分线，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等边对等角和三角形的外角的性质求解．
22．（2024·长沙模拟）话剧是以对话方式为主的戏剧形式，主要叙述手段为演员在台上无伴奏的对白或独白．某剧院上映话剧《雷雨》，设置两种票价，甲种票每张50元，乙种票每张80元．
（1）某校话剧社团共52人去该剧院看话剧《雷雨》，购票共花费3500元，求购买甲、乙两种票各多少张？
（2）该剧院场馆共有500个座位，在每场票售罄的前提下，要使该话剧每场售票总金额不低于35000元，则甲种票所对应的座位最多可设置多少个？
【答案】（1）解：设购买甲种票x张，购买乙种票y张，
可列方程组为：，
解得，
答：购买甲种票22张，购买乙种票30张；
（2）解：设甲种票所对应的座位设置a个，则乙种票所对应的座位设置个，
可列不等式为：，
解得：，
∵a为整数，
∴甲种票所对应的座位最多可设置166个，
答：甲种票所对应的座位最多可设置166个．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
23．（2024·长沙模拟）在新学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（和），按如图的方式放置，已知，，，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是菱形，求菱形的面积和的长．
【答案】（1）证明：在和中，
∴，
∴，
∴.
∵
∴四边形为平行四边形；
（2）解：连接交于点O，
∵四边形为菱形，
∴，，.
∴.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴菱形的面积为，
∴
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用证明，再根据全等三角形的性质证得，然后根据平行线的判定得到，结合AF=CE可得 四边形是平行四边形 ；
（2）先求出，再根据面积法求得AC，再用勾股定理求出OF，进而求出和菱形的面积即可．
24．（2024·长沙模拟）定义：若函数，的自变量的取值范围相同，我们把函数叫做，的加权平均函数，其中t为加权系数，且0＜t＜1．
（1）已知，．
①当时；，的加权平均函数为___________；
②若是，的加权平均函数，则_______，________；
（2）已知，，其加权平均函数的图象经过两个定点，（点在点的左侧），试在x轴上求一点，使得取得最大值，并写出点的坐标；
（3）已知与对于的任意一个的取值，加权平均函数的图象都在轴上方，试求的取值范围．
【答案】（1）①；②，
（2）解：由题意，得，
∵y过定点，
∴，
解得或，
当时，，当时，，
∵点在点的左侧，
∴，，
如图，作点关于x轴的对称点，直线与x轴的交点即为所求的点，使得的值最大，
设直线的解析式为．
将点，代入，
得，
解得：，
∴直线的解析式为．
当时，，
∴点的坐标为；
（3）解：∵，与
∴，
∵，
∴加权平均函数的图象开口向上，
∴当时，，
∵加权平均函数的图象都在x轴上方，
∴
∴，
设，
∵，
∴函数的图象开口向上．
当时，，
当时，．
∵，
∴，
解得：，
∴的取值范为.
【知识点】函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；轴对称的性质
【解析】【解答】解：（1）①将，，代入即可求得：数，
即；
故答案为：；
②将，代入，
，
∵是，的加权平均函数，
∴-6t+5=1，3t-1=m，解得：，.
故答案为：，1；
【分析】（1）直接代入求解即可；
（2）先求得加权平均函数的表达式根据题目条件求得点、点即可求得结果；
（3）先求得加权平均函数的表达式，根据二次函数的性质即可求得结果．
25．（2024·长沙模拟）如图，已知为的外接圆，为的直径，，过点B作射线，使得，点P为射线上的一个动点，连接并延长交于点D，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）设，四边形的面积为y．
①y关于x的函数关系式；
②当时，求y的值；
（3）已知E为的中点，连接交于点F，连接，若，试探究线段能否构成一个三角形，若能，请证明你的结论，并判断三角形的形状；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：证明：如解图，连接，
∵，O为中点，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的切线；
（2）解：①如解图，作于点G，交的延长线于点H.
∵，
∴.
∵为的直径，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴矩形为正方形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵在中，
∴
∴；
②∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴，即，
∴；
（3）解：线段能构成一个三角形，三角形的形状为直角三角形，证明如下：
如解图，
∵，
∴。
∴，
∵，
∴.
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形.
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，.
∴，
线段能构成一个直角三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；切线的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
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