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第8章 立体几何初步
一、选择题
1．在空间中，设m，n为两条不同的直线，α为一个平面，下列条件可判定m⊥n的是( )
A．m⊥α，n⊥α B．m∥α，n∥α
C．m⊥α，n∥α D．m∥α，且n α
2．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m α，n β，则下列说法正确的是( )
A．若α∩β＝l且α⊥β，m α，m⊥l，则m⊥β
B．若m∥n，则α∥β
C．若α∩β＝l且m⊥l，n⊥l，则α⊥β
D．若α∥β，则m∥n
3．已知PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B两点的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
4．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶2，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不能确定
5.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面PAE
D．平面PDE⊥平面ABC
6．(多选题)(2023·山东青岛期末)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB ＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，将△ABD沿对角线BD折起．设折起后点A 的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD.给出下面四个命题，其中正确的是( )
A．A′D⊥BC
B．三棱锥A′－BCD的体积为
C．BA′⊥CA′
D．平面A′BC⊥平面A′DC
7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB.若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ADD1A1所成角的正弦值为( )
A. B．
C． D．
8．(多选题)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD－A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：
①没有水的部分始终呈棱柱形；
②水面EFGH所在四边形的面积为定值；
③棱A1D1始终与水面所在平面平行；
④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．
其中正确的命题是( )
A．① B．②
C．③ D．④
二、填空题
9．已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a α，b α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是___.
10.如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有___条；与AP垂直的直线有___条．
11．已知三条不同的直线a，b，c和两个不同的平面α，β满足以下条件：①a⊥α，b⊥β；②α∩β＝m；③c⊥a，c⊥b，c α，c β，则c与m的位置关系是___.(填“相交”，“平行”或“异面”)
12．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为___.
13.如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把△ADC折叠到△ADC′处，使二面角B－AD－C′为60°，则折叠后二面角A－BC′－D的正切值为___.
三、解答题
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是AB、AD的中点，E、F、P分别是B1C1、BB1、DD1的中点．
(1)求证：MN∥平面BDD1B1；
(2)求证：CA1⊥MN.
15．在平行四边形ABCD中AB＝6，BC＝4，过A点作CD的垂线交CD的延长线于点E，AE＝2.连接EB交AD于点F，如图1，将△ADE沿AD折起，使得点E到达点P的位置．如图2.
(1)证明：直线AD⊥平面BFP；
(2)若G为PB的中点，H为CD的中点，且平面ADP⊥平面ABCD，求点H到平面GBC的距离．
16．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2，PB＝PC＝，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO.
(1)求证：EF∥平面ADO；
(2)若∠POF＝120°，求三棱锥P－ABC的体积．
17. 如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点E，F分别在棱AA1，CC1上，且满足AE＝AA1，CF＝CC1，平面BEF与平面ABC的交线为l.
(1)证明：直线l⊥平面BDD1；
(2)已知EF＝2，BD1＝4，设BF与平面BDD1所成的角为θ，求sin θ的取值范围．
第8章 立体几何初步
　
一、选择题
1．C
　当m⊥α，n⊥α时，m∥n，所以A选项错误；当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，所以B选项错误；当m⊥α，n∥α时，m⊥n，所以C选项正确；当m∥α，且n α时，m，n可能平行，所以D选项错误．故选C.
2． A
　若α∩β＝l且α⊥β，m α，m⊥l，则m⊥β，由面面垂直性质定理得出A正确；若m∥n，且m α，n β，则α∥β或α与β相交，故B错误；若m α，n β，α∩β＝l，且m⊥l，n⊥l，则α与β相交，可能垂直，也可能不垂直，故C错误；两个平面平行，不能证明两个平面里的直线都平行，可能异面， 故D错误；故选A.
3．C
　由PA⊥平面ACB PA⊥BC，故A不符合题意；由BC⊥PA，BC⊥AC，PA∩AC＝A，可得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，故B、D不符合题意；AC⊥PB显然不成立，故C符合题意．
4． A
　如图，由＝得AC∥EF.又因为EF 平面DEF，AC 平面DEF，所以AC∥平面DEF.
5. D
　因为BC∥DF，DF 平面PDF，BC 平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体P－ABC中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE，又DF∥BC，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B、C均正确．
6．C D
　如图所示，E为BD的中点，连接A′E.因为A′D＝A′B，
所以A′E⊥BD，因为平面A′BD⊥平面BCD，
平面A′BD∩平面BCD＝BD，A′E 平面A′BD，
所以A′E⊥平面BCD，所以A′E⊥BC.
若A′D⊥BC，则可得到BC⊥平面A′BD，故BC⊥BD，与已知矛盾，故A错误．
易得三棱锥A′－BCD的体积V＝××××＝，故B错误．
易知△A′CD为直角三角形，则A′C＝.在△A′BC中，A′B＝1，BC＝2，A′C＝，满足BC2＝A′B2＋A′C2，所以BA′⊥CA′.故C正确．
因为BA′⊥DA′，DA′∩CA′＝A′，所以BA′⊥平面A′DC，因为BA′ 平面A′BC，所以平面A′BC⊥平面A′DC，故D正确．故选CD.
7．C
　取DD1的中点G，连接EG、FG、EC1，易知∠FEG为直线EF与平面ADD1A1所成的角，设AB＝a，则AA1＝AD＝2a，在△ED1C1中可求出EC1＝a，在△EFC1中可求出EF＝a，所以在△EFG中，sin∠FEG＝＝，故选C.
8．ACD
　由题图，显然①是正确的，②是错误的；对于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，
∴A1D1∥FG且A1D1 平面EFGH，FG 平面EFGH，
∴A1D1∥平面EFGH(水面)．∴③是正确的；
对于④，∵水是定量的(定体积V)，
∴S△BEF·BC＝V，即BE·BF·BC＝V.
∴BE·BF＝(定值)，即④是正确的，故选ACD.
二、填空题
9． _a与b相交__.
　由线面垂直的判定定理得到，a与b相交．
故答案为a与b相交．
10. 3__； _1__．
　∵PC⊥平面ABC，
∴PC垂直于直线AB，BC，AC.
∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，
又∵AP 平面PAC，
∴AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.
11． _平行__.
　由题意可知，直线a与直线b不平行，过a上一点A作直线b′∥b，如图所示，
则a与b′确定一个平面γ，
由a⊥α，a γ，则γ⊥α，
由b⊥β，b′∥b，则b′⊥β，又b′ γ，则γ⊥β，
由α∩β＝m，得m⊥γ，
由c⊥b，得c⊥b′，又c⊥a，a∩b′＝A，a，b′ γ，所以c⊥γ，
c α，c β，所以c∥m.
故答案为平行．
12． _36π__.
　设球O的半径为R，∵SC为球O的直径，∴点O为SC的中点．连接AO，OB，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO⊥SC，∴BO⊥SC.∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，AO 平面SCA，∴AO⊥平面SCB，所以VS－ABC＝VA－SBC＝×S△SBC×AO＝××AO，即9＝××R，解得R＝3，∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.
13. _2__.
　易知∠BDC′即二面角B－AD－C′的平面角，有∠BDC′＝60°，所以△BDC′为等边三角形．取BC′的中点M，连接DM，AM，则易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A－BC′－D的平面角即∠AMD.在等边三角形ABC中，易知AD＝2，在等边三角形BDC′中，易知DM＝，所以tan∠AMD＝＝2.
三、解答题
14．　(1)连接BD，B1D1，∵MN∥BD，MN 面BDD1B1，BD 平面BDD1B1，
∴MN∥平面BDD1B1.
(2)AA1⊥平面ABCD，MN 平面ABCD，∴AA1⊥MN，
∵AC⊥BD，MN∥BD，∴AC⊥MN.
又∵AA1∩AC＝A，∴MN⊥平面A1AC，∴CA1⊥MN.
15．　(1)证明：图1中，在Rt△BAE中，AB＝6，AE＝2，所以∠AEB＝60°.所以BE＝4.
∵△ADE也是直角三角形，∴DE＝＝2，
∴＝＝，
∵∠AED＝∠EAB＝90°，
∴△AEB∽△EDA，∴∠EAD＝∠ABE，
∴∠DAB＋∠ABE＝∠DAB＋∠EAD＝90°，∴BE⊥AD，
在图2中，PF⊥AD，BF⊥AD，PF∩BF＝F，所以AD⊥平面BFP.
(2)∵平面ADP⊥平面ABCD，且平面ADP∩平面ABCD＝AD，
PF 平面ADP，PF⊥AD，∴PF⊥平面ABCD.
取BF的中点为O，连接GO，则GO∥PF，
∴GO⊥平面ABCD，即GO为三棱锥G－BCH的高．
∴GO＝PF＝×PAsin30°＝.
∵CH＝DC＝3，∴S△BCH＝CH·AE＝×3×2＝3，
∴VG－BCH＝S△BCH·GO＝×3×＝.
又∵BC⊥BF，PF⊥BC，又BF∩PF＝F，
∴BC⊥平面PBF，∴BC⊥BG,
GB＝PB＝＝，
∴S△GBC＝××4＝.
设点H到平面GBC的距离为d，则由VH－GBC＝VG－BCH，
得·d＝，解得d＝.
∴点H到平面GBC的距离为.
16．　(1)证明：连接DE，OF，设AF＝tAC，则＝＋＝(1－t)＋t，＝－＋.又因为BF⊥AO，所以·＝[(1－t)＋t]·＝(t－1)2＋t＝4(t－1)＋4t＝0，
解得t＝，则F为AC的中点．
由D，E，O，F分别为PB，PA，BC，AC的中点，
于是DE∥AB，DE＝AB，OF∥AB，OF＝AB，即DE∥OF，DE＝OF，
则四边形ODEF为平行四边形，
所以EF∥DO，又EF 平面ADO，DO 平面ADO，
所以EF∥平面ADO.
(2)过P作PM垂直FO的延长线交于点M，
因为PB＝PC，O是BC中点，所以PO⊥BC，
在Rt△PBO中，PB＝，BO＝BC＝，
所以PO＝＝＝2，
因为AB⊥BC，OF∥AB，
所以OF⊥BC，又PO∩OF＝O，PO，OF 平面POF，
所以BC⊥平面POF，又PM 平面POF，
所以BC⊥PM，又BC∩FM＝O，BC，FM 平面ABC，
所以PM⊥平面ABC，
即三棱锥P－ABC的高为PM，
因为∠POF＝120°，所以∠POM＝60°，
所以PM＝POsin 60°＝2×＝，
又S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2，
所以VP－ABC＝S△ABC·PM＝×2×＝.
17. 　(1)证明：如图，连接AC，与BD交于点O.
由条件可知AE∥CF，且AE＝CF，所以AC∥EF，
因为EF 平面BEF，AC 平面BEF，所以AC∥平面BEF.
因为平面BEF∩平面ABC＝l，所以AC∥l.
因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，
所以AC⊥BD，AC⊥BB1，
又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BDD1，
所以l⊥平面BDD1.
(2)设EF∩平面BDD1＝H，连接BH.
由(1)知EH⊥平面BDD1，故∠HBF＝θ.
则sin θ＝＝.
令BO＝a，则BD＝2a在Rt△D1DB中，DD1＝＝2，
∴FC＝HO＝，
∴在Rt△HOB中HB＝＝，
∴在Rt△FHB中，BF＝＝，
∴sin θ＝，
由0

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