资源简介

浙省宁波市五校联考2024-2025学年下学期2月九年级数学试题卷
一、选择题（每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2025九下·宁波月考）若3x=2y，则x：y的值是（　　）
A．2 B． C． D．3
2．（2025九下·宁波月考）如图，该几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·宁波月考）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同，给出下列说法：
①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球，④从箱子里摸出1个球再放回，这样连续摸了3次都是红球，则第4次再摸出一个球，摸到白球的可能性更大.
以上四种说法中正确的说法是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①②④
4．（2025九下·宁波月考）如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，且AB//EF//CD，若AO=4，OF=2，FD=4，CE=3，则BE的值为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．6
5．（2025九下·宁波月考）如图，有一圆弧形桥拱，已知桥拱的跨度m，拱高，那么桥拱圆弧所在圆的半径为（　　）
A．20m B．12m C．10m D．8m
6．（2025九下·宁波月考）已知二次函数y=x2+bx+c的顶点为（2，1），那么关于x的一元二次方程x2+bx+c-2=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．（2025九下·宁波月考）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=236°，则∠E的度数是（　　）
A．56° B．60° C．66° D．68°
8．（2025九下·宁波月考）如图所示，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形，根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断正确的是（　　）
A．甲>乙，乙>丙 B．甲<乙，乙<丙
C．甲<乙，乙>丙 D．甲>乙，乙<丙
9．（2025九下·宁波月考）如图，水平地面上有一面积为的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6cm，且OA与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图（甲）的扇形向右滚动至点再一次接触地面，如图（乙）所示，则点移动了（　　）cm．
A． B． C． D．
10．（2025九下·宁波月考）点在二次函数（为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（　　）
A． B． C．12 D．
二、填空题（每小题3分，共18分)
11．（2025九下·宁波月考）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表：
试验种子数n（粒） 5 100 500 1000 3000 5000
发芽频数m 4 92 476 951 2851 4750
发芽频率 0.800 0.920 0.952 0.951 0.950 0.950
根据以上表格中的数据，估计该麦种的发芽概率为　 　（精确到0.01）
12．（2025九下·宁波月考）如图，如果从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形（阴影部分）围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径为　 　cm.
13．（2025九下·宁波月考）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角∠AOB=60°，点A，B，C都在格点上，则cos∠ABC的值是　 　.
14．（2025九下·宁波月考）有一张如图所示的四边形纸片，AB=AD=6m，CB=CD=8cm，∠B=90°，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则能剪出的面积最大的圆形纸片的半径为　 　cm.
15．（2025九下·宁波月考）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距0点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距0点3m.那么喷头高　 　m时，水柱落点距离O点2m.
16．（2025九下·宁波月考）如图，点A的坐标为（0，4），以O点为圆心，以OA为半径的圆交x轴于点B，点C为第一象限圆上一动点，CD⊥x轴于D点，点I为△OCD的内心，则AI的最小值为　 　.
三、解答题（本大题有8小题，共72分）
17．（2025九下·宁波月考）计算：6tan230-sin60°-2sin245°
18．（2025九下·宁波月考）有一个转盘（材质均匀）如图所示，已知转盘分成红色、黄色两块区域，红色、黄色区域的圆心角度数分别为x°和y°，当指针刚好落在分界线时，重新转动。
（1）自由转动转盘一次，指针落在“红色区域”的概率为，分别求x和y的值。
（2）在（1）的条件下，若自由转动转盘两次，请用画树状图或列表的方法，求“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率.
19．（2025九下·宁波月考）如图是由边长为1的小正方形构成的8×6网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母.
（1）将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1，请在图1中作出△AB1C1
（2）在图2中，在线段AC上找一点M，使得
（3）在图3中，在三角形内寻找一格点N，使得∠BNC=2∠A.（请涂上墨点，注上字母）
20．（2025九下·宁波月考）如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图，已知斜屋面的倾斜角为25°，长度为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为45°，安装热水器的铁架水平管BC长0.2米，求：
（1）AD的长度（结果精确到0.1米）.
（2）铁架垂直管CE的长度（结果精确到0.1米）.（≈1.41，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）
21．（2025九下·宁波月考）已知二次函数．
（1）若，直接写出二次函数图象的对称轴，顶点坐标．
（2）若二次函数图象向下平移1个单位后，恰好与轴只有一个交点，求的值．
（3）若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点，是这条拋物线上不同的两点，求证：．
22．（2025九下·宁波月考）某茶叶经销商以每千克30元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售，该商户对该茶叶试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的60%，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数关系，且x=35时，y=45；x=42时，y=38.求：
（1）y与x之间的表达式；
（2）若该商户每天获得利润（不计加工费用）为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元
（3）若该商户每天获得利润不低于225元，试确定销售单价x的范围.
23．（2025九下·宁波月考）【阅读】若P为∠ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则
点P叫做△ABC的费马点.如图，在△ABC中，如果三角形内部有一点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC的值最小.理由如下：
将△APC绕点A逆时针旋转60°至△APC'，连结PP'，∠APC=∠AP'C'=120°
∴AP=AP'，PC=P'C'，∠PAP'=60°
∴△APP'是等边三角形
∴AP=PP，∠APP'=∠AP'P=60°
∴PA+PB+PC=PB+PP'+P'C'
∴∠APB=∠APC=∠AP'C'=120°，∠APP=∠APP=60°
∴点B，P，P'，C'四点在同一条直线上。此时，PA+PB+PC的值最小。
（1）【应用】如图（一）所示，点P是△ABC内一点，且点P是△ABC的费马点，已知∠ABC=60°，PA=4，PC=3，求PB的长.
（2）如图（二）所示，分别以锐角△ABC的边AB，AC向三角形外部作等边△ABD，等边△ACE，连结BE，CD交于点P，求证：点P为△ABC的费马点.
（3）【拓展】如图（三），圆内接矩形ABCD内有一点于点，已知，且的最小值是，求的半径。
24．（2025九下·宁波月考）如图，四边形内接于，为的直径，于点F交于点E．
（1）设，试用含的代数式表示；
（2）如图2，若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若交于点G，设，．
①求y关于x的函数表达式．
②若，求y的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：B.
【分析】利用比例的性质对等式进行公式变形求得x：y的值.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：观察几何体可得，几何体的俯视图如下.
故答案为：C.
【分析】物体在水平投影面上的正投影叫做俯视图.
3．【答案】A
【知识点】可能性的大小；事件发生的可能性
【解析】【解答】解： ①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件，①正确；
②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，②正确；
③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性为，摸到白球的可能性为，③正确；
④从箱子里摸出1个球再放回，这样连续摸了3次都是红球，则第4次再摸出一个球，摸到白球的可能性仍是，④错误.
故答案为：A.
【分析】在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件（随机事件）.
事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率，不受试验次数的影响.
4．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ AO=4，OF=2，
∴AF=AO+OF=4+2=6，
∵ AB//EF//CD，
∴，即，
解得，
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例解答即可.
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：根据垂径定理可知，
在直角中，根据勾股定理得：，
设，，
∴，
解得：，
即，
故答案为：C．
【分析】先利用垂径定理得到AD长，然后根据勾股定理得到半径的值即可．
6．【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用；数形结合
【解析】【解答】解：如图，
二次函数y=x2+bx+c的顶点为(2，1)，
，
直线y=2与二次函数y=x2+bx+c有2个交点，
一元二次方程x2+bx+c-2=0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用二次函数的性质画出函数图象草图，观察图象可得直线y=2与二次函数y=x2+bx+c有2个交点，故一元二次方程x2+bx+c-2=0有两个不相等的实数根.
7．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
四边形ABCD是圆内接四边形，
，
，
，
EA，ED是⊙O的切线，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】由圆内接四边形的性质可得，进而求得，再利用切线长定理求得 ∠E的度数 .
8．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图，由题意可得，
，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的比例性质可得，再通过相似三角形的性质求得，故.
9．【答案】C
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，点O经过的路径为线段OO'和弧O'O''，
由题意可得，
扇形OAB面积为，OA的长度为6cm，
，解得，
，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得点O经过的路径为线段OO'和弧O'O''，且，利用扇形面积公式求得，再通过弧长公式分别求出线段OO'和弧O'O''的长度，即可得到点O的移动距离.
10．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得，化简得，
，
，
，
当时，函数有最小值，此时，
当时，，
当时，二次函数的最大值与最小值的差为.
故答案为：D.
【分析】将点A坐标代入函数解析式可得，进而得到，利用二次函数的性质可得在范围内，当时，函数有最小值，当时，函数有最大值，进而求得二次函数的最大值与最小值的差.
11．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察频数表可得，随着试验种子数的增加，发芽频率逐渐稳定在0.95，故该麦种的发芽概率估计为0.95.
故答案为：0.95.
【分析】通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
12．【答案】2
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设圆锥底面半径为r，
，
解得.
故答案为：2.
【分析】由题意可得扇形的圆心角度数为，利用扇形弧长公式求得圆锥的底面半径.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；菱形的性质；求余弦值
【解析】【解答】解：如图，延长BC，连接AD，作，
设菱形的边长为1，
，
，
，，，
，，
，
，，
，
，
.
故答案为：.
【分析】利用菱形的性质可得，设菱形的边长为1，通过勾股定理求得AB的长度，再通过等边三角形的性质得到BD的长度，进而求得cos∠ABC的值.
14．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；切线长定理；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，与四边形ABCD的四边相切，连接AC，
，
，
，
，
，四边形ABCD是轴对称图形，
四边形BEOF是矩形，
由轴对称的性质可得AC经过点O，
，
，
设OE=OF=r cm，
四边形BEOF是正方形，
，
，
，解得，
面积最大的圆形纸片的半径为cm.
故答案为：.
【分析】当与四边形ABCD的四边相切时，圆形纸片的面积最大，此时四边形BEOF是正方形，设OE=OF=r cm，利用相似三角形的性质可得，进而解得r的值.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设抛物线解析式为，
当喷头高2.5m时，，化简得，
当喷头高4m时，，化简得，
得，
把代入，得，
抛物线解析式为，
把代入解析式，可得，
抛物线解析式为，
当时，，
喷头高m， 水柱落点距离O点2m.
故答案为：.
【分析】设抛物线解析式为，根据题意可得喷头上下移动时抛物线图象的形状和对称轴不变，利用二次函数的性质求得a、b的值，进而得到抛物线解析式为，再代入求得水柱落点距离O点2m时的函数解析式，进而计算出喷头的高度.
16．【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，作，连接，
轴，
，
点I为△OCD的内心，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故点I在上，当点A、I、P在同一直线上时，AI有最小值，
.
故答案为：.
【分析】利用角平分线的性质可得，通过SAS判定得到，因此可得点I在的外接圆上运动，利用圆周角定理可得，进而求得点P坐标及半径长度，当点A、I、P在同一直线上时，AI有最小值，通过两点之间距离公式求得AP的长度，即可得到AI的最小值.
17．【答案】解：原式=
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值对算式进行化简，再进行实数的混合运算.
18．【答案】（1）解：，
.
（2）解：树状图如下，
，
答： “指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率为.
【知识点】几何概率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)通过计算红色区域和黄色区域占整个转盘的面积比例即可求得x、y的值.
(2)由(1)可得整个转盘可分别红、黄、黄3个等可能区域，画出树状图即可求得“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率.
19．【答案】（1）解：如图.
（2）解：如图.
（3）解：如图.
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；作图﹣相似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)利用旋转的性质分别找到点，即可得到.
(2)利用平行线的性质可得，通过相似三角形的性质可得，进而得到.
(3)利用垂直平分线的性质找到的外心点N，由圆周角定理可得∠BNC=2∠A .
20．【答案】（1）解：如图，作，
米，
米，，
米，
米.
（2）解：米，，
米，
米，
米，
米，
米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)作，利用等腰直角三角形的性质求得AF的长度，进而得到AD的长度.
(2)利用等腰直角三角形的性质求得BF的长度，再通过三角函数解得DE的长度，即可求得CE的长度.
21．【答案】（1）解：当 时，原函数解析式可化为，
二次函数图象的对称轴为直线x=2，顶点坐标为．
（2）解：平移后的解析式为，
函数与轴只有一个交点，
，
解得.
（3）解：由题意可得二次函数的顶点坐标为，
，解得，
二次函数解析式为，
将点，代入函数解析式可得，
.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)将a=2代入函数解析式，并利用配方法将其化为顶点式，即可求得二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
(2)由平移的性质可得平移后的解析式为，利用二次函数的性质可得当函数与轴只有一个交点时，，进而解得.
(3)根据抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有可得二次函数的顶点坐标为，进而解得，故二次函数解析式为，将点，代入函数解析式可得，化简得，利用配方法可得.
22．【答案】（1）解：设函数表达式为，
，
解得，
函数表达式为.
（2）解：，
，
，
当时，，
答： 利润W与销售单价x之间的关系式为，销售单价每千克定为48元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是576元 .
（3）解：当时，，
解得，
，
当时，.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设函数表达式为，由 x=35时，y=45；x=42时，y=38 可得，利用待定系数法求得函数表达式.
(2)利用利润公式表示出利润W与销售单价x之间的关系式，再通过配方法将表达式化为顶点式，利用二次函数的性质可得当时有最大利润.
(3)通过利润W与销售单价x之间的关系式求得当时的x值，再利用二次函数的性质可得当时，.
23．【答案】（1）解：点P是△ABC的费马点
，
，
，
，
，
，
，
，
.
（2）解：如图，作，连接，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点P为△ABC的费马点.
（3）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接NP，BD，
，
，
当点M、N、P、E在同一直线上时，有最小值，
此时，
设，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值是，
，
，
的半径为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；费马点模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由费马点的定义可得，，进而证得，再利用相似三角形的性质得到，即可求得PB的长度.
(2)由等边三角形的性质可得，，进而通过SAS判定得到，再通过三角形的内角和定理得到，利用全等三角形的性质可得，由角平分线的性质可得，即可求得，故点P为△ABC的费马点.
(3)将绕点A逆时针旋转得到，易证是等边三角形，故当点M、N、P、E在同一直线上时，有最小值，此时，利用圆周角定理可得，设，，由直角三角形的性质可得，进而解得x的值，即可求得的半径.
24．【答案】（1）解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴设，则：，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
∴；
（3）解：①过点作，
则：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴；
②如图，作于，
∵，
∴，
设，，则：，，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】A字型相似模型；母子相似模型（公共边公共角）；圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出，结合直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，结合等角的余角相等和同弧所对的圆周角相等得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，设，求出的长，即可得出结果；
（3）①过点作，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可以得到，根据相似三角形的对应边之比相等得出，根据，，推出，，利用结合进行求解即可；
②作于，根据已知条件推出，设，，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，列出方程，解方程求出，再根据求解即可．
1 / 1浙省宁波市五校联考2024-2025学年下学期2月九年级数学试题卷
一、选择题（每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2025九下·宁波月考）若3x=2y，则x：y的值是（　　）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：B.
【分析】利用比例的性质对等式进行公式变形求得x：y的值.
2．（2025九下·宁波月考）如图，该几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：观察几何体可得，几何体的俯视图如下.
故答案为：C.
【分析】物体在水平投影面上的正投影叫做俯视图.
3．（2025九下·宁波月考）在一个箱子里放有1个白球和2个红球，他们除颜色外其余都相同，给出下列说法：
①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件；②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件；③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性大于白球，④从箱子里摸出1个球再放回，这样连续摸了3次都是红球，则第4次再摸出一个球，摸到白球的可能性更大.
以上四种说法中正确的说法是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②③ D．①②④
【答案】A
【知识点】可能性的大小；事件发生的可能性
【解析】【解答】解： ①从箱子里摸出1个球是黑球，属于不可能事件，①正确；
②从箱子里摸出1个球是白球或者是红球，属于必然事件，②正确；
③从箱子里摸出1个球，摸到红球的可能性为，摸到白球的可能性为，③正确；
④从箱子里摸出1个球再放回，这样连续摸了3次都是红球，则第4次再摸出一个球，摸到白球的可能性仍是，④错误.
故答案为：A.
【分析】在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件（随机事件）.
事件发生的可能性的大小称为事件发生的概率，不受试验次数的影响.
4．（2025九下·宁波月考）如图，点O，F在直线AD上，点O，E在直线BC上，且AB//EF//CD，若AO=4，OF=2，FD=4，CE=3，则BE的值为（　　）
A．3 B．4 C．4.5 D．6
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵ AO=4，OF=2，
∴AF=AO+OF=4+2=6，
∵ AB//EF//CD，
∴，即，
解得，
故答案为：C.
【分析】根据平行线分线段成比例解答即可.
5．（2025九下·宁波月考）如图，有一圆弧形桥拱，已知桥拱的跨度m，拱高，那么桥拱圆弧所在圆的半径为（　　）
A．20m B．12m C．10m D．8m
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：根据垂径定理可知，
在直角中，根据勾股定理得：，
设，，
∴，
解得：，
即，
故答案为：C．
【分析】先利用垂径定理得到AD长，然后根据勾股定理得到半径的值即可．
6．（2025九下·宁波月考）已知二次函数y=x2+bx+c的顶点为（2，1），那么关于x的一元二次方程x2+bx+c-2=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用；数形结合
【解析】【解答】解：如图，
二次函数y=x2+bx+c的顶点为(2，1)，
，
直线y=2与二次函数y=x2+bx+c有2个交点，
一元二次方程x2+bx+c-2=0有两个不相等的实数根.
故答案为：A.
【分析】利用二次函数的性质画出函数图象草图，观察图象可得直线y=2与二次函数y=x2+bx+c有2个交点，故一元二次方程x2+bx+c-2=0有两个不相等的实数根.
7．（2025九下·宁波月考）如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE+∠BCD=236°，则∠E的度数是（　　）
A．56° B．60° C．66° D．68°
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，连接AD，
四边形ABCD是圆内接四边形，
，
，
，
EA，ED是⊙O的切线，
，
，
.
故答案为：D.
【分析】由圆内接四边形的性质可得，进而求得，再利用切线长定理求得 ∠E的度数 .
8．（2025九下·宁波月考）如图所示，将一张三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形，根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断正确的是（　　）
A．甲>乙，乙>丙 B．甲<乙，乙<丙
C．甲<乙，乙>丙 D．甲>乙，乙<丙
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图，由题意可得，
，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】利用平行线的比例性质可得，再通过相似三角形的性质求得，故.
9．（2025九下·宁波月考）如图，水平地面上有一面积为的灰色扇形OAB，其中OA的长度为6cm，且OA与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图（甲）的扇形向右滚动至点再一次接触地面，如图（乙）所示，则点移动了（　　）cm．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，点O经过的路径为线段OO'和弧O'O''，
由题意可得，
扇形OAB面积为，OA的长度为6cm，
，解得，
，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】根据题意可得点O经过的路径为线段OO'和弧O'O''，且，利用扇形面积公式求得，再通过弧长公式分别求出线段OO'和弧O'O''的长度，即可得到点O的移动距离.
10．（2025九下·宁波月考）点在二次函数（为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（　　）
A． B． C．12 D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意可得，化简得，
，
，
，
当时，函数有最小值，此时，
当时，，
当时，二次函数的最大值与最小值的差为.
故答案为：D.
【分析】将点A坐标代入函数解析式可得，进而得到，利用二次函数的性质可得在范围内，当时，函数有最小值，当时，函数有最大值，进而求得二次函数的最大值与最小值的差.
二、填空题（每小题3分，共18分)
11．（2025九下·宁波月考）在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表：
试验种子数n（粒） 5 100 500 1000 3000 5000
发芽频数m 4 92 476 951 2851 4750
发芽频率 0.800 0.920 0.952 0.951 0.950 0.950
根据以上表格中的数据，估计该麦种的发芽概率为　 　（精确到0.01）
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察频数表可得，随着试验种子数的增加，发芽频率逐渐稳定在0.95，故该麦种的发芽概率估计为0.95.
故答案为：0.95.
【分析】通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.
12．（2025九下·宁波月考）如图，如果从半径为3cm的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形（阴影部分）围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径为　 　cm.
【答案】2
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设圆锥底面半径为r，
，
解得.
故答案为：2.
【分析】由题意可得扇形的圆心角度数为，利用扇形弧长公式求得圆锥的底面半径.
13．（2025九下·宁波月考）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角∠AOB=60°，点A，B，C都在格点上，则cos∠ABC的值是　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；菱形的性质；求余弦值
【解析】【解答】解：如图，延长BC，连接AD，作，
设菱形的边长为1，
，
，
，，，
，，
，
，，
，
，
.
故答案为：.
【分析】利用菱形的性质可得，设菱形的边长为1，通过勾股定理求得AB的长度，再通过等边三角形的性质得到BD的长度，进而求得cos∠ABC的值.
14．（2025九下·宁波月考）有一张如图所示的四边形纸片，AB=AD=6m，CB=CD=8cm，∠B=90°，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则能剪出的面积最大的圆形纸片的半径为　 　cm.
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；切线长定理；三角形全等的判定-SSS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，与四边形ABCD的四边相切，连接AC，
，
，
，
，
，四边形ABCD是轴对称图形，
四边形BEOF是矩形，
由轴对称的性质可得AC经过点O，
，
，
设OE=OF=r cm，
四边形BEOF是正方形，
，
，
，解得，
面积最大的圆形纸片的半径为cm.
故答案为：.
【分析】当与四边形ABCD的四边相切时，圆形纸片的面积最大，此时四边形BEOF是正方形，设OE=OF=r cm，利用相似三角形的性质可得，进而解得r的值.
15．（2025九下·宁波月考）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距0点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距0点3m.那么喷头高　 　m时，水柱落点距离O点2m.
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设抛物线解析式为，
当喷头高2.5m时，，化简得，
当喷头高4m时，，化简得，
得，
把代入，得，
抛物线解析式为，
把代入解析式，可得，
抛物线解析式为，
当时，，
喷头高m， 水柱落点距离O点2m.
故答案为：.
【分析】设抛物线解析式为，根据题意可得喷头上下移动时抛物线图象的形状和对称轴不变，利用二次函数的性质求得a、b的值，进而得到抛物线解析式为，再代入求得水柱落点距离O点2m时的函数解析式，进而计算出喷头的高度.
16．（2025九下·宁波月考）如图，点A的坐标为（0，4），以O点为圆心，以OA为半径的圆交x轴于点B，点C为第一象限圆上一动点，CD⊥x轴于D点，点I为△OCD的内心，则AI的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：如图，作的外接圆，作，连接，
轴，
，
点I为△OCD的内心，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故点I在上，当点A、I、P在同一直线上时，AI有最小值，
.
故答案为：.
【分析】利用角平分线的性质可得，通过SAS判定得到，因此可得点I在的外接圆上运动，利用圆周角定理可得，进而求得点P坐标及半径长度，当点A、I、P在同一直线上时，AI有最小值，通过两点之间距离公式求得AP的长度，即可得到AI的最小值.
三、解答题（本大题有8小题，共72分）
17．（2025九下·宁波月考）计算：6tan230-sin60°-2sin245°
【答案】解：原式=
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值对算式进行化简，再进行实数的混合运算.
18．（2025九下·宁波月考）有一个转盘（材质均匀）如图所示，已知转盘分成红色、黄色两块区域，红色、黄色区域的圆心角度数分别为x°和y°，当指针刚好落在分界线时，重新转动。
（1）自由转动转盘一次，指针落在“红色区域”的概率为，分别求x和y的值。
（2）在（1）的条件下，若自由转动转盘两次，请用画树状图或列表的方法，求“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率.
【答案】（1）解：，
.
（2）解：树状图如下，
，
答： “指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率为.
【知识点】几何概率；用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)通过计算红色区域和黄色区域占整个转盘的面积比例即可求得x、y的值.
(2)由(1)可得整个转盘可分别红、黄、黄3个等可能区域，画出树状图即可求得“指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域”的概率.
19．（2025九下·宁波月考）如图是由边长为1的小正方形构成的8×6网格，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母.
（1）将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1，请在图1中作出△AB1C1
（2）在图2中，在线段AC上找一点M，使得
（3）在图3中，在三角形内寻找一格点N，使得∠BNC=2∠A.（请涂上墨点，注上字母）
【答案】（1）解：如图.
（2）解：如图.
（3）解：如图.
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；作图﹣相似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)利用旋转的性质分别找到点，即可得到.
(2)利用平行线的性质可得，通过相似三角形的性质可得，进而得到.
(3)利用垂直平分线的性质找到的外心点N，由圆周角定理可得∠BNC=2∠A .
20．（2025九下·宁波月考）如图1是安装在斜屋面上的热水器，图2是安装该热水器的侧面示意图，已知斜屋面的倾斜角为25°，长度为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为45°，安装热水器的铁架水平管BC长0.2米，求：
（1）AD的长度（结果精确到0.1米）.
（2）铁架垂直管CE的长度（结果精确到0.1米）.（≈1.41，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47）
【答案】（1）解：如图，作，
米，
米，，
米，
米.
（2）解：米，，
米，
米，
米，
米，
米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)作，利用等腰直角三角形的性质求得AF的长度，进而得到AD的长度.
(2)利用等腰直角三角形的性质求得BF的长度，再通过三角函数解得DE的长度，即可求得CE的长度.
21．（2025九下·宁波月考）已知二次函数．
（1）若，直接写出二次函数图象的对称轴，顶点坐标．
（2）若二次函数图象向下平移1个单位后，恰好与轴只有一个交点，求的值．
（3）若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有，若点，是这条拋物线上不同的两点，求证：．
【答案】（1）解：当 时，原函数解析式可化为，
二次函数图象的对称轴为直线x=2，顶点坐标为．
（2）解：平移后的解析式为，
函数与轴只有一个交点，
，
解得.
（3）解：由题意可得二次函数的顶点坐标为，
，解得，
二次函数解析式为，
将点，代入函数解析式可得，
.
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)将a=2代入函数解析式，并利用配方法将其化为顶点式，即可求得二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
(2)由平移的性质可得平移后的解析式为，利用二次函数的性质可得当函数与轴只有一个交点时，，进而解得.
(3)根据抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有可得二次函数的顶点坐标为，进而解得，故二次函数解析式为，将点，代入函数解析式可得，化简得，利用配方法可得.
22．（2025九下·宁波月考）某茶叶经销商以每千克30元的价格购进一批宁波白茶鲜茶叶加工后出售，该商户对该茶叶试销期间，销售单价不低于成本单价，且每千克获利不得高于成本单价的60%，经试销发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）符合一次函数关系，且x=35时，y=45；x=42时，y=38.求：
（1）y与x之间的表达式；
（2）若该商户每天获得利润（不计加工费用）为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价每千克定为多少元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是多少元
（3）若该商户每天获得利润不低于225元，试确定销售单价x的范围.
【答案】（1）解：设函数表达式为，
，
解得，
函数表达式为.
（2）解：，
，
，
当时，，
答： 利润W与销售单价x之间的关系式为，销售单价每千克定为48元时，商户每天可获得最大利润，最大利润是576元 .
（3）解：当时，，
解得，
，
当时，.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设函数表达式为，由 x=35时，y=45；x=42时，y=38 可得，利用待定系数法求得函数表达式.
(2)利用利润公式表示出利润W与销售单价x之间的关系式，再通过配方法将表达式化为顶点式，利用二次函数的性质可得当时有最大利润.
(3)通过利润W与销售单价x之间的关系式求得当时的x值，再利用二次函数的性质可得当时，.
23．（2025九下·宁波月考）【阅读】若P为∠ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则
点P叫做△ABC的费马点.如图，在△ABC中，如果三角形内部有一点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC的值最小.理由如下：
将△APC绕点A逆时针旋转60°至△APC'，连结PP'，∠APC=∠AP'C'=120°
∴AP=AP'，PC=P'C'，∠PAP'=60°
∴△APP'是等边三角形
∴AP=PP，∠APP'=∠AP'P=60°
∴PA+PB+PC=PB+PP'+P'C'
∴∠APB=∠APC=∠AP'C'=120°，∠APP=∠APP=60°
∴点B，P，P'，C'四点在同一条直线上。此时，PA+PB+PC的值最小。
（1）【应用】如图（一）所示，点P是△ABC内一点，且点P是△ABC的费马点，已知∠ABC=60°，PA=4，PC=3，求PB的长.
（2）如图（二）所示，分别以锐角△ABC的边AB，AC向三角形外部作等边△ABD，等边△ACE，连结BE，CD交于点P，求证：点P为△ABC的费马点.
（3）【拓展】如图（三），圆内接矩形ABCD内有一点于点，已知，且的最小值是，求的半径。
【答案】（1）解：点P是△ABC的费马点
，
，
，
，
，
，
，
，
.
（2）解：如图，作，连接，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点P为△ABC的费马点.
（3）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接NP，BD，
，
，
当点M、N、P、E在同一直线上时，有最小值，
此时，
设，
四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值是，
，
，
的半径为.
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；费马点模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由费马点的定义可得，，进而证得，再利用相似三角形的性质得到，即可求得PB的长度.
(2)由等边三角形的性质可得，，进而通过SAS判定得到，再通过三角形的内角和定理得到，利用全等三角形的性质可得，由角平分线的性质可得，即可求得，故点P为△ABC的费马点.
(3)将绕点A逆时针旋转得到，易证是等边三角形，故当点M、N、P、E在同一直线上时，有最小值，此时，利用圆周角定理可得，设，，由直角三角形的性质可得，进而解得x的值，即可求得的半径.
24．（2025九下·宁波月考）如图，四边形内接于，为的直径，于点F交于点E．
（1）设，试用含的代数式表示；
（2）如图2，若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若交于点G，设，．
①求y关于x的函数表达式．
②若，求y的值．
【答案】（1）解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴设，则：，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
∴；
（3）解：①过点作，
则：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
由（2）知：，
∴；
②如图，作于，
∵，
∴，
设，，则：，，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】A字型相似模型；母子相似模型（公共边公共角）；圆与四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出，结合直角三角形两锐角互余即可求解；
（2）根据直径所对的圆周角是直角，结合等角的余角相等和同弧所对的圆周角相等得出，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形得出，根据相似三角形的对应边之比相等得出，设，求出的长，即可得出结果；
（3）①过点作，根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可以得到，根据相似三角形的对应边之比相等得出，根据，，推出，，利用结合进行求解即可；
②作于，根据已知条件推出，设，，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，列出方程，解方程求出，再根据求解即可．
1 / 1

展开更多......

收起↑