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[板块专题题库6-3-5]工程问题（三）
一、工程问题方法与技巧
1．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练2）甲、乙两队合作挖一条水渠要 天完成，若甲队先挖 天后，再由乙队单独挖 天，共挖了这条水渠的 ．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？
【答案】解：合作4天完成的工作量，，
乙的工作效率：，
乙独做：1÷=45（天），
甲独做：（天）。
答：甲单独挖需要90天，乙单独挖需要45天。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】 甲乙合作，每天可以完成工程的 ，而题目中给定的“甲队先挖4天，再由乙队单独挖16天”，相当于甲乙两队先合作4天，然后再由乙队单独挖12天。用工作效率和乘4求出合作4天完成的工作量，用减去两队合作4天完成的工作量即可求出乙队12天完成的工作量，用这个工作量除以12即可求出乙队的工作效率，进而求出乙队单独做需要的时间。用两队的工作效率和减去乙队的工作效率求出甲队的工作效率，进而求出甲队单独完成的时间。
2．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练3）一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天。问这项工程由甲独做需要多少天？
【答案】解：丙的工作效率是乙的：4÷2=2，
（天）
答：这项工程由甲单独做需要26天。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】 丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.乙做13天，甲只要天，丙做13天，乙要26天，而甲只要天他们共同做13天的工作量。这样就可以把乙和丙工作13天的工作量都归结为甲工作的时间，然后求出甲单独完成需要的时间即可。
3．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练3）抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的 ．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？
【答案】解：甲的工作效率：，
丙的工作效率：，
乙的工作效率：，
乙独做的时间：1÷=24（天）。
答：乙一人单独抄需要24天才能完成。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】 已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的 ，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的 ，即甲每天抄写书稿的 ；由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的 ，即丙每天抄写书稿的 ，这样用三人的工作效率和减去甲、丙的工作效率即可求出乙的工作效率，进而求出乙单独完成需要的时间。
4．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练3）一项工程，甲独做 天完成，甲 天的工作量，乙要 天完成．两队合做 天后由乙队独做，还要几天才能完成？
【答案】解：乙的工作效率：，
=
=（天）
答：还要天才能完成。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】用甲的工作效率乘3再除以4即可求出乙的工作效率，用总工作量减去两队合作2天的工作量即可求出还剩的工作量，还剩的工作量由乙来做，用剩下的工作量除以乙的工作效率即可求出还需要的时间。
5．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练3）打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成．甲、乙两人合做需要几天完成？
【答案】解：乙独做需要的天数：（天），甲独做需要：15-5=10（天），
合做需要：（天）。
答：甲、乙两人合做需要6天完成。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】 根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量，所以完成这项工作甲、乙所用的时间比是 ．另外，由于甲、乙单独做，乙用的时间比甲多 天，这样就可以先求出乙独做需要的天数，进而求出甲独做需要的天数。用总工作量除以工作效率和即可求出合做完成的时间。
6．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练3）一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？
【答案】解：甲做5天的工作量乙需要4天，乙独做需要：20+4=24（天），
甲的工作效率：，
合做：（天）。
答：如果甲、乙合作，天可以完成。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】 如图：
从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件。这样这项工程就相当于乙独做需要（20+4）天。用乙的工作效率乘4再除以5即可求出甲的工作效率，用总工作量除以工作效率和即可求出合作完成的天数。
7．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练3）一件工作甲先做 小时，乙接着做 小时可以完成；甲先做 小时，乙接着做 小时也可以完成．如果甲做 小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？
【答案】解：第一种情况乙独做：12-6=6（小时），
第二种情况甲独做：8-6=2（小时），
6÷2=3，甲1小时的工作量相当于乙3小时的工作量，
乙单独完成需要：6×3+12=30（小时），
30-3×3=21（小时）。
答：还需要21小时。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】甲先做6小时，乙接着做12小时，相当于两队合做6小时，乙又独做6小时；甲先做8小时，乙接着做6小时，相当于两队合做6小时，甲又独做2小时。由于都完成了任务，所以乙做6小时的工作量相当于甲2小时的工作量，也就是乙做3小时的工作量相当于甲做1小时。这样把甲做的6小时代换成乙做18小时，再加上乙做的12小时就是乙单独完成需要的时间。甲先做3小时就相当于乙做9小时，这样用乙单独完成需要的时间减去9即可求出乙还需要做的时间。
8．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练3）一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完．现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？
【答案】解：乙的工作效率：==，
甲的工作效率：，
还需要的时间：（小时）。
答：还需要小时才能完成。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】 甲、乙合作的效率为 ；将甲抄8小时，乙抄13小时，转化为甲乙和抄8小时，乙单独抄5小时。用工作效率和乘8求出8小时完成的工作量，用1减去8小时完成的工作量即可求出乙5小时的工作量，用这个工作量除以5即可求出乙的工作效率，进而求出甲的工作效率。用1减去甲2小时的工作量求出剩下的工作量，用剩下的工作量除以两人的工作效率和即可求出还需要的时间。
9．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成 时前来帮忙，待工程完成 时离去，结果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半．如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做下去，将比计划推迟 天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前 天完成．还知道乙的工作效率是丙的 倍，问：计划规定的工期是多少天？
【答案】解：丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成 时离去，所以乙、丙合做了全部工程的 ；如果丙不来帮忙，这 的工程由乙独做，那么乙完成这 的工程时间将比乙、丙合做多用 天．由于乙的工效是丙的工效的3倍，乙、丙合做的工效之和为乙独做的 倍，那么乙独做所用的时间为乙、丙合做所用时间的 倍，所以乙、丙合做这 的工程所用的时间为 天．那么乙的工效为 ．由于在丙来帮忙的情况下乙共做了工程总量的一半，所以乙工作的天数为 天，其中有10天是乙、丙在合做，另外10天（被分成了前后两段）乙一个人独做．那么乙、丙共完成了全部工程的 ，根据题意，这 的工程如果由甲独做，只需要 天，那么甲的工效为 ．甲完成全部工程需要24天．由于全部由甲独做可比计划提前6天完成，所以原计划工期是 天．
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：乙、丙合作：-=
（1+3）÷3=
÷（-1）=10（天）
÷10÷（1+）=
÷=20（天）
+××10=
20-6=14（天）
÷1=
（1÷）+6=30（天）
答：计划规定的工期是30天。
【分析】丙在工程完成一半时前来帮忙，乙、丙合作完成工程的几分之几=丙离去时完成工作的几分之几-丙来帮忙时已经完成工程的几分之几，经过计算得出的结果是；如果丙不来帮忙这的工程由乙独做，那么乙完成这的工程时间将比乙、丙合做多用，题中已知乙的工作效率是丙3倍，将丙的工作效率看成1，那么丙的工作效率就是3，所以乙、丙合做的工效之和为乙独做的（1+3）÷3=，工作总量一定，工作效率与工作时间成反比，所以乙独做所用的时间为乙、丙合做所用时间的倍，乙、丙合做这的工程所用的时间=乙单独做比计划推迟的天数÷（-1），根工作总量=工作效率×工作时间，将乙的工作效率看成1，那么丙的工作效率是，那么可以求得乙的工作效率，由于在丙来帮忙的情况下乙共做了工程总量的一半，所以乙工作的天数=÷乙的工作效率，其中有10天是乙、丙在合做，另外10天（被分成了前后两段）乙一个人独做．那么乙、丙共完成了全部工程的几分之几=+丙完成工程的几分之几，经过计算得出的结果是，根据题意，这的工程如果由甲独做，则可比计划提前6天完成，所以甲的工作效率=÷甲单独做的天数，原计划工期=甲完成全部工程需要的天数+提前的6天。
10．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作 小时，共完成这批零件的 。已知甲与乙的工作效率之比是 ，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？
【答案】解：乙 小时完成总工作量的 ；乙每小时完成总工作量的 ；乙需要完成的总工作量为 ；乙要完成这个任务还需要的时间： （小时）
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：×=
÷5=
÷-5=5（小时）
【分析】把这批零件平均分给甲、乙两人同时加工，那么乙需要完成的总工作量为，乙5小时完成总工作量的几分之几=两人工作5小时共完成这批零件的几分之几×，那么乙每小时完成总工作量的几分之几=乙5小时完成总工作量的几分之几÷5，所以乙要完成这个任务还需要的时间=乙需要完成的总工作量÷乙每小时完成总工作量的几分之几-已经工作的5小时。
11．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一项工程，甲15天做了 后，乙加入进来，甲、乙一起又做了 ，这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天
【答案】解：方法一：先把整个工程分为三个阶段：Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率为 又乙、丙工作的天数之比为（Ⅱ+Ⅲ）：Ⅲ=2：1，所以有Ⅱ阶段和Ⅲ阶段所需的时间相等．即甲、乙合作完成的 的工程与甲、乙、丙合作完成 的工程所需的时间相等．所以对于工作效率有：（甲+乙）×2=（甲+乙+丙），甲+乙=丙，那么有丙-乙= 又有乙、丙的工作效率的比为3：5．易知乙的工作效率为 丙的工作效率为： 那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：
天.
方法二：显然甲的工作效率为 设乙的工作效率为 ，那么丙的工作效率为 ．所以有乙工作的天数为 丙工作的天数为 且有 即 解得 所以乙的工作效率为 丙的工作效率为高 那么这种情形下完成整个工程所需的时间为： 天.
【知识点】工程问题；列方程解含有多个未知数的应用题
【解析】【解答】解：方法一：÷15=，
1--=
×=
×=
15+÷（+）+÷（++）=27（天）
答：这种情形下做完整个工程需27天。
方法二：÷15=，
设乙的工作效率为3x，那么丙的工作效率为5x，
÷（+3x）+÷（+3x+5x）=2×÷（+3x+5x）
÷（+3x）=÷（+8x）
x=
15+÷（+）+÷（++）=27（天）
答：这种情形下做完整个工程需27天。
【分析】方法一：先把整个工程分为三个阶段：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；容易知道甲的工作效率=甲15天做了几分之几÷15=，乙、丙工作的天数之比为2：1，那么Ⅱ阶段和Ⅲ阶段所需的时间相等，甲、乙、丙合作完成了几分之几=1-Ⅰ阶段完成几分之几-Ⅱ阶段完成几分之几， 所以对于工作效率有：（甲+乙）×2=（甲+乙+丙），甲+乙=丙 ，所以丙-乙=。题中已知乙、丙的工作效率的比为3：5，所以乙的工作效率=×，丙的工作效率=×，所以这种情形下完成整个工程所需的时间=甲先做的天数+甲、乙一起做了几分之几÷甲、乙的工作效率之和+甲、乙、丙一起做了几分之几÷甲、乙、丙的工作效率之和；
方法二：容易知道甲的工作效率=甲15天做了几分之几÷15=，本题可以用方程作答，即设乙的工作效率为3x，那么丙的工作效率为5x，乙、丙工作的天数之比为2：1，所以题中存在的等量关系的是：乙工作的天数=2×丙工作的天数，其中乙工作的天数=乙和甲一起做的天数+甲、乙、丙一起做的天数，据此可以解得x的值，那么这种情形下完成整个工程所需的时间=甲先做的天数+甲、乙一起做了几分之几÷甲、乙的工作效率之和+甲、乙、丙一起做了几分之几÷甲、乙、丙的工作效率之和。
12．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按 派工，后因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？
【答案】解：丙村出的 元钱是不是应该按照甲乙两村派出的人数比即 来进行分配呢？我们仔细思考一下，发现丙村所出的钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑的是甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算如何分配。
甲、乙两村共派出了 人，而这80人，按照原计划应是甲村派出 人，乙村派出32人，丙村派出12人，所以，实际上甲村帮丙村派出了 人，乙村帮丙村派出了 人，所以丙村拿出的360元钱，也应该按 来分配给甲、乙两村，所以，甲村应分得： 元，乙村应分得： 元．
【知识点】比的应用
【解析】【解答】解：45+35=80（人）
80×=36（人）
80×=32（人）
45-36=9（人）
35-32=3（人）
9：3=3：1
360÷（3+1）×3=270（元）
360-270=90（元）
答：甲村应分得270元，乙村应分得90元。
【分析】先求出甲、乙两村实际共派出的人数，那么按照原计划应是甲村派出的人数=甲、乙两村实际共派出的人数×，按照原计划应是乙村派出的人数=甲、乙两村实际共派出的人数×，然后可以计算得出甲村和乙村分别帮丙村派出了的人数，然后作比，由此可以得出甲村应分得的钱数=由丙村出的工资÷（甲村帮丙村派出的人数占的份数+乙村帮丙村派出的人数占的份数）×甲村帮丙村派出的人数占的份数，乙村应分得的钱数=由丙村出的工资-甲村应分得的钱数。
13．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）某工地用 种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为 ，速度比为 ，运送土方的路程之比为 ，三种车的辆数之比为 ．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到 天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了 天完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？
【答案】解：由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为 ，速度之比为 ，所以它们运送 次所需的时间之比为 ，相同时间内它们运送的次数比为： ．在前 天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为 ．由于三种卡车载重量之比为 ，所以三种卡车的总载重量之比为 ．那么三种卡车在前 天内的工作量之比为： ．在后 天，由于甲车全部投入使用，所以在后 天里的工作量之比为 ．所以在这 天内，甲的工作量与总工作量之比为： ．
【知识点】工程问题；比的应用
【解析】【解答】：
（10÷2×10×）：（5×7×）：（7×6×）=20：20：27
答：甲的工作量与总工作量之比为32：79。
【分析】甲、乙、丙运送1次所需的时间之比=：：，相同时间内它们运送的次数比=：：，在前10天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为（10÷2）：5：7．由于三种卡车载重量之比为10：7：6，所以三种卡车的总载重量之比为（5×10）：（5×7）：（7×6），所以三种卡车在前10天内的工作量之比=（前10天甲卡车总载重量占的份数×相同时间内甲运送的次数占的份数）：（前10天乙卡车总载重量占的份数×相同时间内乙运送的次数占的份数）：（前10天丙卡车总载重量占的份数×相同时间内丙运送的次数占的份数），.在后15天，由于甲车全部投入使用，所以在后15天里的工作量之比为（20×2）：20：27。所以在这25天内，甲的工作量与总工作量之比为：。
14．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的 ，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的 ，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？
【答案】解：根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为 ；
乙、丙两人的工作效率之和为 ；
甲、乙、丙三人的工作效率之和为 ．
分别可求得甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，则甲完成的工程量为： ，乙完成的工程量为： ，丙完成的工程量为： ，三人所完成的工作量之比为 ．
所以，甲应得 元，乙应得 元，丙应得 元．
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：÷6=
（1-）×÷2=
（1-）×（1-）÷5=
-=
-=
-=
×（6+5）=
×（6+2+5）=
×（2+5）=
：：=33：91：56
1800×=330（元）
330×=910（元）
330×=560（元）
答：甲应得330元，乙应得910元，丙应得560元。
【分析】先计算出甲、乙两人的工作效率之和，乙、丙两人的工作效率之和，甲、乙、丙三人的工作效率之和，然后根据他们之间的关系分别求出甲、乙、丙的工作效率，由此可以得出甲、乙、丙完成的工程量乙完成的工程量，据此可以得出三人所完成的工作量之比，所以甲应得的钱数=发的总工资×，乙应得的钱数=甲应得的钱数×，丙应得的钱数=甲应得的钱数×。
15．（2024.11.16一外）放满一个水池，如果同时打开1，2号阀门，则12分钟可以完成；如果同时打开1，3号阀门，则15分钟可以完成；如果单独打开1号阀门，则20分钟可以完成；那么，如果同时打开1，2，3号阀门，　 　分钟可以完成。
【答案】10
【知识点】进排水问题
【解析】【解答】解：1÷12=
1÷15=
1÷20=
1÷（+-）
=1÷
=10（分钟）
故答案为：10。
【分析】分析题干，将放满一个水池的总工作量看做单位“1”，根据工作效率=工作量÷工作时间，分别得出1号和2号阀门的效率和、1号和3号阀门的效率和以及1号阀门的效率，用1号和2号阀门的效率和加上1号和3号阀门的效率和，再减去1号阀门的效率，即可得到三个阀门的效率和，最后根据工作时间=工作量÷工作效率，代入数据计算即可得出如果同时打开1，2，3号阀门，几分钟可以完成。
16．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满．又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．则该水箱最多可容纳多少吨水？
【答案】解：由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入 吨水的时间，则甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是 ．那么在这两种情况下丙管注水的时间比为 ，而且前一种情况比后一种情况多注入 吨水，则甲管注入18吨水时，丙管注入水 吨．
所以该水箱最多可容纳水 吨．
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：18×2=36（吨）
36：27=4：3
27-18=9（吨）
9÷（4-3）×4=36（吨）
18+36=54（吨）
答：该水箱最多可容纳水54吨。
【分析】由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍，所以甲管注入18吨水的时间是乙管注入18×2=36吨水，则甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比36：27=4：3，所以在这两种情况下丙管注水的时间比为4：3，前一种情况比后一种情况多注入水的吨数=乙管注入水的吨数-甲管注入水的吨数，则甲管注入18吨水时丙管注入水的吨数=前一种情况比后一种情况多注入的吨数÷（4-3）×4，所以该水箱最多可容纳水的吨数=甲管注入的18吨水+甲管注入的18吨水时丙管注入水的吨数。
17．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入 吨水时，水箱已满；如果只打开乙、丙两管，乙管注入 吨水时，水箱才满．已知乙管每分钟注水量是甲管的 倍，则该水箱注满时可容纳　 　吨水．
【答案】120
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：乙注入40吨水的时间相当于甲注入吨水的时间，甲注入30吨水，丙可注水量为x，那么，乙注40吨水丙可注水量为×x，所以 30+x=40+×x，解得x=90，90+30=120吨为水箱容量。
故答案为：120。
【分析】已知乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍，那么乙注入40吨水的时间相当于甲注入吨水的时间，甲注入30吨水，可以设丙可注水量为x，那么题目中存在的等量关系是：第一种情况甲管注入水的吨数+第一种情况丙管注入水的吨数=第二种情况乙管注入水的吨数+第二种情况丙管注入水的吨数，其中第二种情况丙管注入水的吨数=×x，据此解得x的值，所以该水箱注满时可容纳水的吨数=第一种情况甲管注入水的吨数+第一种情况丙管注入水的吨数。
18．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）有甲、乙两个相同的空立方体水箱，高均为60厘米，在侧面上分别有排水孔 和 ． 孔和 孔距底面50厘米和30厘米，且两孔排水速度相同．现在以相同速度一起给两水箱注水，并通过管道使 孔排出的水直接流入乙箱.70分钟后两水箱同时注满．如果关闭两孔，直接将空水箱注满需要　 　分钟．
【答案】60
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：如图所示，甲箱的第二个只注水阶段（即注满20厘米高度水的阶段）所用的时间就与乙箱既注水又排水阶段（注满10厘米高度水的阶段）所用的时间相同，那么这时候甲、乙两水箱每分钟注入的水量之比为20：10=2：1，可见注水速度是排水孔排水速度的2倍；假设只注水注满10厘米高度水所用的时间为1份，那么对于甲箱来说，它只注水的时间为5份，既注水又排水的时间为1×2÷(2-1)=2份，所以注满甲箱的总时间为5+2=7 份，为70分钟，那么1份为10分钟．则关闭排水孔只注水的情况下，将空水箱注满需要10×6=60分钟。
故答案为：60。
【分析】由于两个立方体水箱上的孔的高度不同，所以在不同的阶段，两个水箱内注水、排水的情况不同，对此可以分阶段进行分析。如图所示，当注水没有超过30厘米高度时，水没有达到A、B两孔的高度，此时两个孔都不排水，所以这个阶段两个水箱都是只注水，所用时间也相同；
当水达到30厘米高度而又没有达到50厘米高度时，甲箱还是只注水，乙箱则既注水又排水；当甲箱内的水达到50厘米高度时，甲箱开始既注水又排水，而此时乙箱在注水的同时也在排水，同时A孔排出的水也流入乙箱，由于A、A两孔排水速度相同，所以A孔排出、流入乙箱的水与B孔排出的水相同，所以这一阶段乙箱相当于只注水。
由于两水箱同时注满，注满水所用的时间相同，那么甲、乙两水箱的既注水又排水阶段所用的时间相同，注入的水量也相同，都是10厘米高度的水，那么甲箱的第二个只注水阶段（即注满20厘米高度水的阶段）所用的时间就与乙箱既注水又排水阶段（注满10厘米高度水的阶段）所用的时间相同，那么这时候甲、乙两水箱每分钟注入的水量之比为20：10=2：1，可见注水速度是排水孔排水速度的2倍。
假设只注水注满10厘米高度水所用的时间为1份，那么对于甲箱来说，它只注水的时间为5份，既注水又排水的时间为1×2÷(2-1)=2份，所以注满甲箱的总时间为5+2=7 份，为70分钟，那么1份为10分钟．则关闭排水孔只注水的情况下，将空水箱注满需要|10×6=60分钟。
19．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔．用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用 个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用 小时 分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用 分钟将水箱灌满．那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满？
【答案】解：设进水管每小时进水单位 ，那么水箱灌满后水的总量为 ，进水管每分钟进水量为 ．由于打开一个出水孔，则需要用 分钟将水箱灌满，说明一个出水孔在这 分钟内的出水量等于进水管 分钟的进水量，那么打开一个出水孔时一个孔出水量为： ，同理可知打开两个出水孔时两个孔出水量为： ，由于打开两个出水孔时比打开一个出水孔时多出了 分钟水，所以一个孔每分钟出水量为： ，那么开一个孔的实际出水时间为： （分钟）．这说明在前面的 分钟内进水管进水量恰好达到三个出水孔的高度，在此之前由于水箱内的水未达到出水孔的高度，即使出水孔开着也不出水，而水箱内水量达到出水孔的高度后，在进水管进水的同时出水孔开始出水． ，即在进水管进了 的水后出水孔才开始出水，此时还需进 的水．所以，开三个出水孔所需的时间为： （分钟）．
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：1÷60=
72-65=7（分钟）
（-×2）÷7÷2=
÷=35（分钟）
65-35=30（分钟）
×30=
30+（1-）÷（-×3）=82.5（分钟）
答：需要用82.5分钟才能将水箱灌满。
【分析】设进水管每小时进水单位1，那么水箱灌满后水的总量为1，由此可以得出进水管每分钟进水量、打开一个出水孔时一个孔出水量，打开两个出水孔时两个孔出水量，开两个出水孔时比打开一个出水孔时多出水的分钟数=打开两个出水孔灌满水箱需要的时间-打开一个出水孔灌满水箱需要的时间，所以一个孔每分钟出水量=（打开两个出水孔时两个孔出水量-打开一个出水孔时一个孔出水量×2）÷开两个出水孔时比打开一个出水孔时多出水的分钟数÷2，所以开一个孔的实际出水时间=打开一个出水孔时一个孔出水量÷一个孔每分钟出水量，所以这说明在前面的65-35=30分钟内进水管进水量恰好达到三个出水孔的高度，在进水管进水的同时出水孔开始出水，进水管进水量=进水管每分钟进水量×30，故开三个出水孔所需的时间=30+（1-进水管进水量）÷（进水管每分钟进水量-一个孔每分钟出水量×3）。
20．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一个长方体水槽，侧面相同高度的地方开有若干大小相同的出水孔．现用一个进水管给空水槽灌水，若出水孔全关闭，灌满水槽需要用1个小时；若打开一个出水孔，灌满水槽则需要用64分钟；若打开两个出水孔，灌满水槽需要用70分钟．要想能够把水槽灌满，最多可以打开　 　个出水管，经过　 　分钟才能将水箱灌满．
【答案】5；160
【知识点】工程问题；列方程解含有一个未知数的应用题
【解析】【解答】解：进水管每分钟灌进水槽容积的1÷60=，而在开一个出水孔和开两个出水孔的情况下，出水孔出的水分别是水槽容积的×64-1=和×70-1=。两次出的水之比是：=2：5，说明水得放到孔所在的高度才能开始出水。设进水x分钟后开始出水，则有(64-x)：2×(70-x)=2：5，解得x=40。那么一个出水孔的出水速度为-（1-×40）÷（64-40）=。要想能够把水槽灌满，由于=×6，所以最多可以打开5个出水孔，打开5个出水孔时，灌满水槽所需的时间为 40+（1-×40）÷（-×5）=160（分钟）。
故答案为：5；160
【分析】 设进水管每小时进水单位1，那么水箱灌满后水的总量为1，由此可以得出进水管每分钟进水量、打开一个出水孔时一个孔出水量，打开两个出水孔时两个孔出水量，可以求得两次出的水之比是2：5，设进水x分钟后开始出水，题中存在的比例关系是：（打开一个出水孔灌满水槽则需要用的时间-进水的时间）：2×（打开两个出水孔灌满水槽则需要用的时间-进水的时间）=2：5，由此可以解得x=40，所以一个出水孔的出水速度=进水管每分钟灌进水槽容积的几分之几-（1-进水管每分钟灌进水槽容积的几分之几×进水的时间）÷（打开一个出水孔灌满水槽则需要用的时间-进水的时间），得出的结果是，由于=×6，所以最多可以打开5个出水孔，打开5个出水孔时，灌满水槽所需的时间=进水时间+（1-进水管每分钟进水量×进水时间）÷（进水管每分钟进水量-一个出水孔的出水速度×5）。
21．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高线的三等分处开两个排水孔 和 ，已知两孔的排水速度相同且保持不变，现在从水箱上面匀速注水，如果打开 孔，关闭 孔，那么经过20分钟可将水箱注满，如果关闭 孔，打开 孔，则需要22分钟才能将水箱注满，那么两孔都打开，经过　 　分钟才能将水箱注满．
【答案】26
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：设进水速度为x，出水速度为y，立方体水箱的容积为1.1-=，则
，解得 ，。单开进水管注满一格的时间比同开两管注满一格的时间少了22-20=2分钟，单开进水管注满水箱需要的时间是20-2=18分钟，同开进水管与一个出水管注满水箱需要的时间是22+2=24分钟，所以，打开两个排水孔注满水箱的时间为：×18+×24+÷（-2×）=26分钟。
故答案为：26。
【分析】假设A孔在B孔的上面，本题可以用方程作答，即设进水速度为x，出水速度为y，立方体水箱的容积为1．则题中存在的等量关系是：第一种情况可以注入水箱的几分之几÷进水速度+剩下需要注入几分之几÷（进水速度-出水速度）=第一种情况住满需要的时间；第二种情况可以注入水箱的几分之几÷进水速度+剩下需要注入几分之几÷（进水速度-出水速度）=第二种情况住满需要的时间。由此可以列成方程组，解此类方程，可采用换元法．设 ， ，原式可以变形为：，解得：， 由此可以求得x和y的值；由此计算出单开进水管注满一格的时间比同开两管注满一格的时间少了22-20=2分钟，单开进水管注满水箱需要的时间是20-2=18分钟，同开进水管与一个出水管注满水箱需要的时间是22+2=24分钟，所以打开两个排水孔注满水箱的时间=×单开进水管注满水箱需要的时间+×同开进水管与一个出水管注满水箱需要的时间+÷（进水速度-出水速度×2）。
22．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一个没有盖的水箱，在其侧面 高和 高的位置各有一个排水孔，它们排水时的速度相同且保持不变．现在以一定的速度从上面给水箱注水．如果打开 关闭 ，那么 分钟可将水箱注满；如果关闭 打开 ，那么 分钟可将水箱注满．如果两个孔都打开，那么需要多少分钟才能将水箱注满？
【答案】解：根据题意可知，要注 水箱的水，开一个出水孔比不开出水孔要多用 分钟，那么不开出水孔时注满水箱需 分钟，如果一直开一个出水孔需要 分钟．说明每分钟注水量为 ，一个孔每分钟排水量为 ．
如果两个孔都打开，需要 分钟．
【知识点】工程问题
【解析】【分析】要注1-=水箱的水，开一个出水孔比不开出水孔要多用的时间=第二种情况注满水需要的时间-第一种情况注满水需要的时间，所以不开出水孔时注满水箱需要的时间=第一种情况注满水需要的时间-开一个出水孔比不开出水孔要多用的时间，一直开一个出水孔需要的时间=第二种情况注满水需要的时间+开一个出水孔比不开出水孔要多用的时间，所以每分钟注水量=1÷不开出水孔时注满水箱需要的时间，一个孔的出水量=1÷一直开一个出水孔需要的时间，所以一个孔每分钟排水量=每分钟注水量-一个孔的出水量，故如果两个孔都打开注满水需要的时间=不开出水孔时注满水箱需要的时间×+一直开一个出水孔需要的时间×+÷（每分钟注水量-一个孔每分钟排水量×2）。
23．有一个长方体水箱水平放置，侧面有一条与地面平行的裂缝，当水箱中的水漫过裂缝时，裂缝会以每分钟O.4立方分米的速度往外渗水。现在用一个每分钟注水1立方分米的水龙头往内注水，注到一半时哈好用了40分钟，再过50分钟注满。如果用两个每分钟注水1立方分米的水龙头往内注水，注满这个水箱需要　 　分钟。
【答案】或
【知识点】进排水问题
【解析】【解答】解：根据题意，可得
裂缝在一半或一半以下，则后50分钟实际注水：
（1-0.4）×50
=0.6×50
=30（立方分米）
30×2=60（立方分米）
前40分钟内：
1×40-30
=40-30
=10（立方分米）
10÷0.4=25（分）
40-25=15（分）
15÷60=处
=
=
=
=
=（分钟）
裂缝在一半以上，则前40分钟实际注水：
1×40=40（立方分米）
40×2=80（立方分米）
后50分钟内：
1×50-40
=50-40
=10（立方分米）
10÷0.4=25（分）
40+50-25=65（分）
（处）
=
=
=
=
=
=（分钟）
答： 两个水龙头往内注水，注满这个水箱需要分钟或分钟。
故答案为：或
【分析】如裂缝在一半或一半以下，则后50分钟实际注水： (1-0.4)×50=30(立方分米)，所以水箱总容积为30×2=60(立方分米)。前40分钟内，裂缝向外渗水1×40-30=10(立方分米)，渗掉这10立方分米水，需时10÷0.4=25(分)，那么没渗水的时间为40-25=15(分)。所以裂缝在水箱从下往上的15÷60=处。用两个水龙头注水需要时间（分）如裂缝在一半以上，则前40分钟实际注水：1×40=40(立方分米)，所以水箱总容积为40×2=80(立方分米)。后50分钟内，裂缝向外渗水1×50-40=10(立方分米)，渗掉这10立方分米水，需时10÷0.4=25(分)，那么没渗水的时间为40+50-25=65(分)。所以裂缝在水箱从下往上的处。两个水龙头注水需要时间（分钟）
24．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？
【答案】解：根据条件，列表如下（画○表示阀门打开，画×表示阀门关闭）：
1号 2号 3号 4号 工作效率
○ ○ ○ ×
× ○ ○ ○
○ × ○ ○
○ ○ × ○
从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为：
，那么同时打开这4个阀门，需要 （分钟）．
【知识点】工程问题
【解析】【分析】由表中的数据可以得出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和=4个阀门都打开3次的工作效率之和÷3，所以同时打开这4个阀门需要的时间=1÷这4个阀门的工作效率之和。
25．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？
【答案】解：首先将各个小队之间的组合列成表：
一队 二队 三队 四队 五队 工作效率
○ ○ ○ × ×
○ × ○ × ○
× ○ × ○ ○
○ × ○ ○ ×
从表中可以看出，一队、三队在表中各出现 次，二队、四队、五队各出现 次，那么，如果将第二、四、五小队的组合计算两次，那么各种组队的工作效率和中5个小队都被计算了 次．所以五个小队的工作效率之和为： ，五个小队一起合干需要 天．
【知识点】工程问题
【解析】【分析】由表中的数据可以得出，将第三种情况给工作效率乘2，这样五个小队都计算了三次，所以五个小队的工作效率之和=五个小队都被计算3次的工作效率之和÷3，所以五个小队一起合干需要的时间=1÷五个小队的工作效率之和。
26．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4） 、 、 、 、 五个人干一项工作，若 、 、 、 四人一起干需要6天完成；若 、 、 、 四人一起干需要8天完工；若 、 两人一起干需要12天完工．那么，若 一人单独干需要几天完工？
【答案】解：从题中可以看出， 、 、 、 四人每天完成总量的 ， 、 、 、 四人每天完成总量的 ， 、 两人每天完成总量的 ，可见， 一人每天完成总量的 ，所以 一人单独干需要 天．
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：（+-）÷2=
1÷=48（天）
答：E一人单独干需要48天完工。
【分析】每天完成的工作量中，A+B+C+D=①，B+C+D+E=②，A+E=③，把这三个式子联立起来，用①+③-②，得到2E=，所以E一人每天完成总量的几分之几÷2，E一人单独干需要的时间=1÷一人每天完成总量的几分之几。
27．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）某市有一项工程举行公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标．三家公司的竞标条件如下：
公司名称 单独完成工程所需天数 每天工资/万元
甲 10
乙 15
丙 30
（1）如果想尽快完工，应该选择哪两家公司合作？需要多少天完成？
（2）如果想尽量降低工资成本，应该选择哪两家公司合作？完工时要付工资多少元？
【答案】（1）解：如果要想尽快完工，应该选择效率较高的两家公司．
由于甲、乙、丙三家公司单独做时，每天完成的工作量分别为 、 、 ，所以应该选择甲、乙这两家公司合作．
甲、乙两公司合作，完成工程需要的时间为 天
（2）解：如果想尽量降低工资成本，应该选择完成全部工程所需总工资较少的两家公司．
由于甲、乙、丙三家公司单独完成全部工程所需要的工资成本分别为 万元、 万元、 万元，所以应当选择甲、丙这两家公司合作．
甲、丙两公司合作需要 天才能完成工程，完工时要付的工资为：
元．
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：（1）甲和乙公司的效率比较高，所以应该选甲、乙两家公司合作，
1÷（+）=6（天）
答：选择甲、乙两家公司合作，完成工程需要的时间为6天。
（2）5.6×10=56万元
3.8×15=57万元
1.7×30=51万元
51<56<57
1÷（+）=7.5（天）
（5.6+1.7）×10000×7.5=547500（元）
答：选择甲、丙这两家公司合作，完工时要付工资547500元。
【分析】（1）工作效率高，自然完成的也快，所以选择甲、乙两家公司合作完工快，所以完成工程需要的时间=1÷（甲公司的工作效率+乙公司的工作效率）；
（2）先计算得出甲、乙、丙三家公司单独完成全部工程所需要的工资成本，然后选出成本最少的两家公司，即用单独完成工程所需天数×每天工资，经过计算选择甲、丙这两家公司合作工资成本低，甲、丙这两家公司完成工程需要的时间=1÷（甲公司的工作效率+丙公司的工作效率），所以完工时要付的工资=（甲公司每天工资+丙公司每天工资）×甲、丙两公司合作需要的天数。
28．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一项工程，若请甲工程队单独做需 个月完成，每月要耗资 万元；若请乙工程队单独做此项工程需 个月完成，每月耗资 万元．
（1）请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？
（2）现要求最迟 个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金．
【答案】（1）解：甲、乙两工程队每月完成的工程量分别占全部工程的 、 ，那么甲、乙合作所需时间为： 个月；甲、乙合作 个月所耗资金为： （万元）
（2）解：甲工程队完成全部工作要耗资 万元，乙工程队完成全部工作要耗资 万元，乙工程队耗资较少，为了节省资金，应尽量请乙工程队来做，但是乙工程队无法单独在五个月内完成工程，所以还需要请甲工程队来帮助完成一部分工程．所以，在五个月内完成的最好方案为：乙工程队做 个月，甲工程队做 个月，即：甲、乙两工程队合作 个月后，乙工程队再单独做 个月．
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：（1）1÷（+）=2.4（个）
（9+5）×2.4=33.6（万元）
答：甲、乙两工程队合作需2.4个月完成，耗资33.6万元。
（2）（1-×5）÷=（个）
5-=（个）
答：甲、乙两工程队合作个月后，乙工程队再单独做个月。
【分析】（1）将这项工程看成单位“1”，则甲、乙合作完成所需时间=1÷（甲工程队每月完成的工程量占全部工程的几分之几+乙工程队每月完成的工程量占全部工程的几分之几），耗资的钱数=（甲工程队每月耗资的钱数+乙工程队每月耗资的钱数）×甲、乙合作完成所需时间；
（2）甲工程队完成全部工作要耗资9×4=36万元，乙工程队完成全部工作要耗资5×6=30万元，乙工程队耗资较少，为了节省资金，应尽量请乙工程队来做，但是乙工程队无法单独在五个月内完成工程，所以还需要请甲工程队来帮助完成一部分工程．所以，在五个月内完成的最好方案为：乙工程队做5个月，甲工程队做（1-乙工程队每月完成的工程量占全部工程的几分之几×5）÷甲工程队每月完成的工程量占全部工程的几分之几。
29．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作， 天可以完成，需付工程款 元；如果由甲、乙、丁共同工作， 天可以完成，需付工程款 元；如果由乙、丙、丁共同工作， 天可以完成，需付工程款 元；如果由甲、丙、丁共同工作， 天可以完成，需付工程款 元．现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要在 天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？
【答案】解：⑴甲、乙、丙、丁的工效和是： ；
甲的工效是： ；乙的工效是： ；
丙的工效是： ；丁的工效是： ．
可见甲、乙、丙、丁完成工程需要的时间分别为120天、360天、90天和72天．要确保工程在100天以内完成，只能选择丙队或丁队．然后比较选择丙队或丁队应支付的工程款．
⑵甲、乙、丙每天需要的工程款 元；
甲、乙、丁每天需要的工程款 元；
乙、丙、丁每天需要的工程款 元；
甲、丙、丁每天需要的工程款 元．
甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和为 元．
甲、乙、丙、丁每天需要的工程款分别是 元， 元， 元， 元．如果由丙队独自完成整项工程，那么需要支付 元；如果由丁队来完成，需要支付 元．将两者进行比较，丙队的总工程款更少，所以工程应该交给丙。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】根据甲、乙、丙、丁的工效和可以分别求出甲、乙、丙、丁的工效和完成需要的时间，然后选出在100天内可以完成的工程队，经过计算选择丙队或丁队应支付的工程款；
计算这四种情况每天需要的工程款，每个工程队都被算了3次，所以甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和=这四种情况每天需要的工程款之和÷3，然后分别根据它们时间的关系求出丙、丁每天需要的工程款，那么这两个队独自完成整项工程分别需要支付的钱数=这两个队每天需要的工程款÷每个工程队的工作效率，然后找出工程款最少的即可。-
30．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一项工程，甲、乙两队合干需 天，需支付工程款 元；乙、丙两队合干需 天，需支付工程款 元；甲、丙两队合干需 天，需支付工程款 元．如果要求总工程款尽量少，应选择哪个工程队？
【答案】解：甲、乙一天完成工程的 ；乙、丙一天完成工程的 ；甲、丙一天完成工程的 ．所以，甲的工效为 ；乙的工效为 ；丙的工效为 ．甲、乙一天需工程款 （元）；乙、丙一天需工程款 （元）；
甲、丙一天需工程款 （元）．所以，甲一天的工程款为 （元）；乙一天的工程款为 （元）．丙一天的工程款为 （元）．单独完成整个工程，甲队需工程款 （元）；乙队需工程款 （元）；丙队需工程款 （元）．所以应该选择乙队．
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：1÷=
1÷=
1÷=
甲的工效：（++）÷2=
乙的工效：-=
丙的工效：-=
2208÷=920（元）
2400÷=640（元）
2400÷=840（元）
甲一天的工程款：（920+840-640）÷2=560（元）；
乙一天的工程款为920-560=360（元）；
丙一工程款为840-560=280（元）。
单独完成整个工程，甲队需工程款560×4=2240（元）；
乙队需工程款360×6=2160（元）；
丙队需工程款280×10=2800（元）。
答：应选择乙工程队。
【分析】根据三个队合干需要的天数，可以分别求得甲、乙、丙三个工程队各自的工效；
根据两个队合干一天需工程款=这两个队合干一共需支付的工程款÷这两个队合干需要的天数，可以分别得出甲、乙、丙一天的工程款，那么某个队单独完成整个工程需要的工程款=这个队一天的工程款÷这个队的工效，然后找出最少的即可。
1 / 1[板块专题题库6-3-5]工程问题（三）
一、工程问题方法与技巧
1．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练2）甲、乙两队合作挖一条水渠要 天完成，若甲队先挖 天后，再由乙队单独挖 天，共挖了这条水渠的 ．如果这条水渠由甲、乙两队单独挖，各需要多少天？
2．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练3）一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天。问这项工程由甲独做需要多少天？
3．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练3）抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的 ．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？
4．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练3）一项工程，甲独做 天完成，甲 天的工作量，乙要 天完成．两队合做 天后由乙队独做，还要几天才能完成？
5．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练3）打印一份书稿，甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成．甲、乙两人合做需要几天完成？
6．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练3）一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？
7．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练3）一件工作甲先做 小时，乙接着做 小时可以完成；甲先做 小时，乙接着做 小时也可以完成．如果甲做 小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？
8．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练3）一份文件，如果甲抄10小时，乙抄10小时可以抄完；如果甲抄8小时，乙抄13小时也可以抄完．现在甲先抄2小时，剩下的甲、乙合作，还需要几小时才能完成？
9．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一项工程，甲先做若干天后由乙继续做，丙在工程完成 时前来帮忙，待工程完成 时离去，结果恰按计划完成任务，其中乙做了工程总量的一半．如果没有丙的参与，仅由乙接替甲后一直做下去，将比计划推迟 天完成；如果全由甲单独做，则可比计划提前 天完成．还知道乙的工作效率是丙的 倍，问：计划规定的工期是多少天？
10．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作 小时，共完成这批零件的 。已知甲与乙的工作效率之比是 ，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？
11．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一项工程，甲15天做了 后，乙加入进来，甲、乙一起又做了 ，这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天
12．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按 派工，后因丙村不出工，将他承担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人，完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？
13．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）某工地用 种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为 ，速度比为 ，运送土方的路程之比为 ，三种车的辆数之比为 ．工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到 天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了 天完成任务．那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？
14．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）甲、乙、丙三人承包一项工程，发给他们工资共1800元，三人完成这项工程的具体情况是：甲、乙两人合作6天完成了工程的 ，因为甲有事，由乙、丙合作2天完成余下工程的 ，以后三人合作5天完成了这项工程，按完成量的多少来付劳动报酬，甲、乙、丙各得多少元？
15．（2024.11.16一外）放满一个水池，如果同时打开1，2号阀门，则12分钟可以完成；如果同时打开1，3号阀门，则15分钟可以完成；如果单独打开1号阀门，则20分钟可以完成；那么，如果同时打开1，2，3号阀门，　 　分钟可以完成。
16．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水．若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满．又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．则该水箱最多可容纳多少吨水？
17．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一个水箱有甲、乙、丙三根进水管，如果只打开甲、丙两管，甲管注入 吨水时，水箱已满；如果只打开乙、丙两管，乙管注入 吨水时，水箱才满．已知乙管每分钟注水量是甲管的 倍，则该水箱注满时可容纳　 　吨水．
18．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）有甲、乙两个相同的空立方体水箱，高均为60厘米，在侧面上分别有排水孔 和 ． 孔和 孔距底面50厘米和30厘米，且两孔排水速度相同．现在以相同速度一起给两水箱注水，并通过管道使 孔排出的水直接流入乙箱.70分钟后两水箱同时注满．如果关闭两孔，直接将空水箱注满需要　 　分钟．
19．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔．用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用 个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用 小时 分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用 分钟将水箱灌满．那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满？
20．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一个长方体水槽，侧面相同高度的地方开有若干大小相同的出水孔．现用一个进水管给空水槽灌水，若出水孔全关闭，灌满水槽需要用1个小时；若打开一个出水孔，灌满水槽则需要用64分钟；若打开两个出水孔，灌满水槽需要用70分钟．要想能够把水槽灌满，最多可以打开　 　个出水管，经过　 　分钟才能将水箱灌满．
21．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）有一个敞口的立方体水箱，在其侧面一条高线的三等分处开两个排水孔 和 ，已知两孔的排水速度相同且保持不变，现在从水箱上面匀速注水，如果打开 孔，关闭 孔，那么经过20分钟可将水箱注满，如果关闭 孔，打开 孔，则需要22分钟才能将水箱注满，那么两孔都打开，经过　 　分钟才能将水箱注满．
22．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一个没有盖的水箱，在其侧面 高和 高的位置各有一个排水孔，它们排水时的速度相同且保持不变．现在以一定的速度从上面给水箱注水．如果打开 关闭 ，那么 分钟可将水箱注满；如果关闭 打开 ，那么 分钟可将水箱注满．如果两个孔都打开，那么需要多少分钟才能将水箱注满？
23．有一个长方体水箱水平放置，侧面有一条与地面平行的裂缝，当水箱中的水漫过裂缝时，裂缝会以每分钟O.4立方分米的速度往外渗水。现在用一个每分钟注水1立方分米的水龙头往内注水，注到一半时哈好用了40分钟，再过50分钟注满。如果用两个每分钟注水1立方分米的水龙头往内注水，注满这个水箱需要　 　分钟。
24．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？
25．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？
26．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4） 、 、 、 、 五个人干一项工作，若 、 、 、 四人一起干需要6天完成；若 、 、 、 四人一起干需要8天完工；若 、 两人一起干需要12天完工．那么，若 一人单独干需要几天完工？
27．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）某市有一项工程举行公开招标，有甲、乙、丙三家公司参加竞标．三家公司的竞标条件如下：
公司名称 单独完成工程所需天数 每天工资/万元
甲 10
乙 15
丙 30
（1）如果想尽快完工，应该选择哪两家公司合作？需要多少天完成？
（2）如果想尽量降低工资成本，应该选择哪两家公司合作？完工时要付工资多少元？
28．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一项工程，若请甲工程队单独做需 个月完成，每月要耗资 万元；若请乙工程队单独做此项工程需 个月完成，每月耗资 万元．
（1）请问甲、乙两工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？
（2）现要求最迟 个月完成此项工程即可，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金．
29．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作， 天可以完成，需付工程款 元；如果由甲、乙、丁共同工作， 天可以完成，需付工程款 元；如果由乙、丙、丁共同工作， 天可以完成，需付工程款 元；如果由甲、丙、丁共同工作， 天可以完成，需付工程款 元．现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要在 天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？
30．（小学奥数系列6-3-1工程问题专练4）一项工程，甲、乙两队合干需 天，需支付工程款 元；乙、丙两队合干需 天，需支付工程款 元；甲、丙两队合干需 天，需支付工程款 元．如果要求总工程款尽量少，应选择哪个工程队？
答案解析部分
1．【答案】解：合作4天完成的工作量，，
乙的工作效率：，
乙独做：1÷=45（天），
甲独做：（天）。
答：甲单独挖需要90天，乙单独挖需要45天。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】 甲乙合作，每天可以完成工程的 ，而题目中给定的“甲队先挖4天，再由乙队单独挖16天”，相当于甲乙两队先合作4天，然后再由乙队单独挖12天。用工作效率和乘4求出合作4天完成的工作量，用减去两队合作4天完成的工作量即可求出乙队12天完成的工作量，用这个工作量除以12即可求出乙队的工作效率，进而求出乙队单独做需要的时间。用两队的工作效率和减去乙队的工作效率求出甲队的工作效率，进而求出甲队单独完成的时间。
2．【答案】解：丙的工作效率是乙的：4÷2=2，
（天）
答：这项工程由甲单独做需要26天。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】 丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.乙做13天，甲只要天，丙做13天，乙要26天，而甲只要天他们共同做13天的工作量。这样就可以把乙和丙工作13天的工作量都归结为甲工作的时间，然后求出甲单独完成需要的时间即可。
3．【答案】解：甲的工作效率：，
丙的工作效率：，
乙的工作效率：，
乙独做的时间：1÷=24（天）。
答：乙一人单独抄需要24天才能完成。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】 已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的 ，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的 ，即甲每天抄写书稿的 ；由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的 ，即丙每天抄写书稿的 ，这样用三人的工作效率和减去甲、丙的工作效率即可求出乙的工作效率，进而求出乙单独完成需要的时间。
4．【答案】解：乙的工作效率：，
=
=（天）
答：还要天才能完成。
【知识点】工程问题；分数四则混合运算及应用
【解析】【分析】用甲的工作效率乘3再除以4即可求出乙的工作效率，用总工作量减去两队合作2天的工作量即可求出还剩的工作量，还剩的工作量由乙来做，用剩下的工作量除以乙的工作效率即可求出还需要的时间。
5．【答案】解：乙独做需要的天数：（天），甲独做需要：15-5=10（天），
合做需要：（天）。
答：甲、乙两人合做需要6天完成。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】 根据“甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才能完成．如果甲、乙合做2天，剩下的由乙独做，那么刚好在规定时间内完成”，可知甲做2天的工作量等于乙做3天的工作量，所以完成这项工作甲、乙所用的时间比是 ．另外，由于甲、乙单独做，乙用的时间比甲多 天，这样就可以先求出乙独做需要的天数，进而求出甲独做需要的天数。用总工作量除以工作效率和即可求出合做完成的时间。
6．【答案】解：甲做5天的工作量乙需要4天，乙独做需要：20+4=24（天），
甲的工作效率：，
合做：（天）。
答：如果甲、乙合作，天可以完成。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】 如图：
从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件。这样这项工程就相当于乙独做需要（20+4）天。用乙的工作效率乘4再除以5即可求出甲的工作效率，用总工作量除以工作效率和即可求出合作完成的天数。
7．【答案】解：第一种情况乙独做：12-6=6（小时），
第二种情况甲独做：8-6=2（小时），
6÷2=3，甲1小时的工作量相当于乙3小时的工作量，
乙单独完成需要：6×3+12=30（小时），
30-3×3=21（小时）。
答：还需要21小时。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】甲先做6小时，乙接着做12小时，相当于两队合做6小时，乙又独做6小时；甲先做8小时，乙接着做6小时，相当于两队合做6小时，甲又独做2小时。由于都完成了任务，所以乙做6小时的工作量相当于甲2小时的工作量，也就是乙做3小时的工作量相当于甲做1小时。这样把甲做的6小时代换成乙做18小时，再加上乙做的12小时就是乙单独完成需要的时间。甲先做3小时就相当于乙做9小时，这样用乙单独完成需要的时间减去9即可求出乙还需要做的时间。
8．【答案】解：乙的工作效率：==，
甲的工作效率：，
还需要的时间：（小时）。
答：还需要小时才能完成。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】 甲、乙合作的效率为 ；将甲抄8小时，乙抄13小时，转化为甲乙和抄8小时，乙单独抄5小时。用工作效率和乘8求出8小时完成的工作量，用1减去8小时完成的工作量即可求出乙5小时的工作量，用这个工作量除以5即可求出乙的工作效率，进而求出甲的工作效率。用1减去甲2小时的工作量求出剩下的工作量，用剩下的工作量除以两人的工作效率和即可求出还需要的时间。
9．【答案】解：丙在工程完成一半时前来帮忙，待工程完成 时离去，所以乙、丙合做了全部工程的 ；如果丙不来帮忙，这 的工程由乙独做，那么乙完成这 的工程时间将比乙、丙合做多用 天．由于乙的工效是丙的工效的3倍，乙、丙合做的工效之和为乙独做的 倍，那么乙独做所用的时间为乙、丙合做所用时间的 倍，所以乙、丙合做这 的工程所用的时间为 天．那么乙的工效为 ．由于在丙来帮忙的情况下乙共做了工程总量的一半，所以乙工作的天数为 天，其中有10天是乙、丙在合做，另外10天（被分成了前后两段）乙一个人独做．那么乙、丙共完成了全部工程的 ，根据题意，这 的工程如果由甲独做，只需要 天，那么甲的工效为 ．甲完成全部工程需要24天．由于全部由甲独做可比计划提前6天完成，所以原计划工期是 天．
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：乙、丙合作：-=
（1+3）÷3=
÷（-1）=10（天）
÷10÷（1+）=
÷=20（天）
+××10=
20-6=14（天）
÷1=
（1÷）+6=30（天）
答：计划规定的工期是30天。
【分析】丙在工程完成一半时前来帮忙，乙、丙合作完成工程的几分之几=丙离去时完成工作的几分之几-丙来帮忙时已经完成工程的几分之几，经过计算得出的结果是；如果丙不来帮忙这的工程由乙独做，那么乙完成这的工程时间将比乙、丙合做多用，题中已知乙的工作效率是丙3倍，将丙的工作效率看成1，那么丙的工作效率就是3，所以乙、丙合做的工效之和为乙独做的（1+3）÷3=，工作总量一定，工作效率与工作时间成反比，所以乙独做所用的时间为乙、丙合做所用时间的倍，乙、丙合做这的工程所用的时间=乙单独做比计划推迟的天数÷（-1），根工作总量=工作效率×工作时间，将乙的工作效率看成1，那么丙的工作效率是，那么可以求得乙的工作效率，由于在丙来帮忙的情况下乙共做了工程总量的一半，所以乙工作的天数=÷乙的工作效率，其中有10天是乙、丙在合做，另外10天（被分成了前后两段）乙一个人独做．那么乙、丙共完成了全部工程的几分之几=+丙完成工程的几分之几，经过计算得出的结果是，根据题意，这的工程如果由甲独做，则可比计划提前6天完成，所以甲的工作效率=÷甲单独做的天数，原计划工期=甲完成全部工程需要的天数+提前的6天。
10．【答案】解：乙 小时完成总工作量的 ；乙每小时完成总工作量的 ；乙需要完成的总工作量为 ；乙要完成这个任务还需要的时间： （小时）
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：×=
÷5=
÷-5=5（小时）
【分析】把这批零件平均分给甲、乙两人同时加工，那么乙需要完成的总工作量为，乙5小时完成总工作量的几分之几=两人工作5小时共完成这批零件的几分之几×，那么乙每小时完成总工作量的几分之几=乙5小时完成总工作量的几分之几÷5，所以乙要完成这个任务还需要的时间=乙需要完成的总工作量÷乙每小时完成总工作量的几分之几-已经工作的5小时。
11．【答案】解：方法一：先把整个工程分为三个阶段：Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率为 又乙、丙工作的天数之比为（Ⅱ+Ⅲ）：Ⅲ=2：1，所以有Ⅱ阶段和Ⅲ阶段所需的时间相等．即甲、乙合作完成的 的工程与甲、乙、丙合作完成 的工程所需的时间相等．所以对于工作效率有：（甲+乙）×2=（甲+乙+丙），甲+乙=丙，那么有丙-乙= 又有乙、丙的工作效率的比为3：5．易知乙的工作效率为 丙的工作效率为： 那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：
天.
方法二：显然甲的工作效率为 设乙的工作效率为 ，那么丙的工作效率为 ．所以有乙工作的天数为 丙工作的天数为 且有 即 解得 所以乙的工作效率为 丙的工作效率为高 那么这种情形下完成整个工程所需的时间为： 天.
【知识点】工程问题；列方程解含有多个未知数的应用题
【解析】【解答】解：方法一：÷15=，
1--=
×=
×=
15+÷（+）+÷（++）=27（天）
答：这种情形下做完整个工程需27天。
方法二：÷15=，
设乙的工作效率为3x，那么丙的工作效率为5x，
÷（+3x）+÷（+3x+5x）=2×÷（+3x+5x）
÷（+3x）=÷（+8x）
x=
15+÷（+）+÷（++）=27（天）
答：这种情形下做完整个工程需27天。
【分析】方法一：先把整个工程分为三个阶段：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；容易知道甲的工作效率=甲15天做了几分之几÷15=，乙、丙工作的天数之比为2：1，那么Ⅱ阶段和Ⅲ阶段所需的时间相等，甲、乙、丙合作完成了几分之几=1-Ⅰ阶段完成几分之几-Ⅱ阶段完成几分之几， 所以对于工作效率有：（甲+乙）×2=（甲+乙+丙），甲+乙=丙 ，所以丙-乙=。题中已知乙、丙的工作效率的比为3：5，所以乙的工作效率=×，丙的工作效率=×，所以这种情形下完成整个工程所需的时间=甲先做的天数+甲、乙一起做了几分之几÷甲、乙的工作效率之和+甲、乙、丙一起做了几分之几÷甲、乙、丙的工作效率之和；
方法二：容易知道甲的工作效率=甲15天做了几分之几÷15=，本题可以用方程作答，即设乙的工作效率为3x，那么丙的工作效率为5x，乙、丙工作的天数之比为2：1，所以题中存在的等量关系的是：乙工作的天数=2×丙工作的天数，其中乙工作的天数=乙和甲一起做的天数+甲、乙、丙一起做的天数，据此可以解得x的值，那么这种情形下完成整个工程所需的时间=甲先做的天数+甲、乙一起做了几分之几÷甲、乙的工作效率之和+甲、乙、丙一起做了几分之几÷甲、乙、丙的工作效率之和。
12．【答案】解：丙村出的 元钱是不是应该按照甲乙两村派出的人数比即 来进行分配呢？我们仔细思考一下，发现丙村所出的钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑的是甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算如何分配。
甲、乙两村共派出了 人，而这80人，按照原计划应是甲村派出 人，乙村派出32人，丙村派出12人，所以，实际上甲村帮丙村派出了 人，乙村帮丙村派出了 人，所以丙村拿出的360元钱，也应该按 来分配给甲、乙两村，所以，甲村应分得： 元，乙村应分得： 元．
【知识点】比的应用
【解析】【解答】解：45+35=80（人）
80×=36（人）
80×=32（人）
45-36=9（人）
35-32=3（人）
9：3=3：1
360÷（3+1）×3=270（元）
360-270=90（元）
答：甲村应分得270元，乙村应分得90元。
【分析】先求出甲、乙两村实际共派出的人数，那么按照原计划应是甲村派出的人数=甲、乙两村实际共派出的人数×，按照原计划应是乙村派出的人数=甲、乙两村实际共派出的人数×，然后可以计算得出甲村和乙村分别帮丙村派出了的人数，然后作比，由此可以得出甲村应分得的钱数=由丙村出的工资÷（甲村帮丙村派出的人数占的份数+乙村帮丙村派出的人数占的份数）×甲村帮丙村派出的人数占的份数，乙村应分得的钱数=由丙村出的工资-甲村应分得的钱数。
13．【答案】解：由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为 ，速度之比为 ，所以它们运送 次所需的时间之比为 ，相同时间内它们运送的次数比为： ．在前 天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为 ．由于三种卡车载重量之比为 ，所以三种卡车的总载重量之比为 ．那么三种卡车在前 天内的工作量之比为： ．在后 天，由于甲车全部投入使用，所以在后 天里的工作量之比为 ．所以在这 天内，甲的工作量与总工作量之比为： ．
【知识点】工程问题；比的应用
【解析】【解答】：
（10÷2×10×）：（5×7×）：（7×6×）=20：20：27
答：甲的工作量与总工作量之比为32：79。
【分析】甲、乙、丙运送1次所需的时间之比=：：，相同时间内它们运送的次数比=：：，在前10天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为（10÷2）：5：7．由于三种卡车载重量之比为10：7：6，所以三种卡车的总载重量之比为（5×10）：（5×7）：（7×6），所以三种卡车在前10天内的工作量之比=（前10天甲卡车总载重量占的份数×相同时间内甲运送的次数占的份数）：（前10天乙卡车总载重量占的份数×相同时间内乙运送的次数占的份数）：（前10天丙卡车总载重量占的份数×相同时间内丙运送的次数占的份数），.在后15天，由于甲车全部投入使用，所以在后15天里的工作量之比为（20×2）：20：27。所以在这25天内，甲的工作量与总工作量之比为：。
14．【答案】解：根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为 ；
乙、丙两人的工作效率之和为 ；
甲、乙、丙三人的工作效率之和为 ．
分别可求得甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，则甲完成的工程量为： ，乙完成的工程量为： ，丙完成的工程量为： ，三人所完成的工作量之比为 ．
所以，甲应得 元，乙应得 元，丙应得 元．
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：÷6=
（1-）×÷2=
（1-）×（1-）÷5=
-=
-=
-=
×（6+5）=
×（6+2+5）=
×（2+5）=
：：=33：91：56
1800×=330（元）
330×=910（元）
330×=560（元）
答：甲应得330元，乙应得910元，丙应得560元。
【分析】先计算出甲、乙两人的工作效率之和，乙、丙两人的工作效率之和，甲、乙、丙三人的工作效率之和，然后根据他们之间的关系分别求出甲、乙、丙的工作效率，由此可以得出甲、乙、丙完成的工程量乙完成的工程量，据此可以得出三人所完成的工作量之比，所以甲应得的钱数=发的总工资×，乙应得的钱数=甲应得的钱数×，丙应得的钱数=甲应得的钱数×。
15．【答案】10
【知识点】进排水问题
【解析】【解答】解：1÷12=
1÷15=
1÷20=
1÷（+-）
=1÷
=10（分钟）
故答案为：10。
【分析】分析题干，将放满一个水池的总工作量看做单位“1”，根据工作效率=工作量÷工作时间，分别得出1号和2号阀门的效率和、1号和3号阀门的效率和以及1号阀门的效率，用1号和2号阀门的效率和加上1号和3号阀门的效率和，再减去1号阀门的效率，即可得到三个阀门的效率和，最后根据工作时间=工作量÷工作效率，代入数据计算即可得出如果同时打开1，2，3号阀门，几分钟可以完成。
16．【答案】解：由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍．那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入 吨水的时间，则甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是 ．那么在这两种情况下丙管注水的时间比为 ，而且前一种情况比后一种情况多注入 吨水，则甲管注入18吨水时，丙管注入水 吨．
所以该水箱最多可容纳水 吨．
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：18×2=36（吨）
36：27=4：3
27-18=9（吨）
9÷（4-3）×4=36（吨）
18+36=54（吨）
答：该水箱最多可容纳水54吨。
【分析】由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍，所以甲管注入18吨水的时间是乙管注入18×2=36吨水，则甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比36：27=4：3，所以在这两种情况下丙管注水的时间比为4：3，前一种情况比后一种情况多注入水的吨数=乙管注入水的吨数-甲管注入水的吨数，则甲管注入18吨水时丙管注入水的吨数=前一种情况比后一种情况多注入的吨数÷（4-3）×4，所以该水箱最多可容纳水的吨数=甲管注入的18吨水+甲管注入的18吨水时丙管注入水的吨数。
17．【答案】120
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：乙注入40吨水的时间相当于甲注入吨水的时间，甲注入30吨水，丙可注水量为x，那么，乙注40吨水丙可注水量为×x，所以 30+x=40+×x，解得x=90，90+30=120吨为水箱容量。
故答案为：120。
【分析】已知乙管每分钟注水量是甲管的1.5倍，那么乙注入40吨水的时间相当于甲注入吨水的时间，甲注入30吨水，可以设丙可注水量为x，那么题目中存在的等量关系是：第一种情况甲管注入水的吨数+第一种情况丙管注入水的吨数=第二种情况乙管注入水的吨数+第二种情况丙管注入水的吨数，其中第二种情况丙管注入水的吨数=×x，据此解得x的值，所以该水箱注满时可容纳水的吨数=第一种情况甲管注入水的吨数+第一种情况丙管注入水的吨数。
18．【答案】60
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：如图所示，甲箱的第二个只注水阶段（即注满20厘米高度水的阶段）所用的时间就与乙箱既注水又排水阶段（注满10厘米高度水的阶段）所用的时间相同，那么这时候甲、乙两水箱每分钟注入的水量之比为20：10=2：1，可见注水速度是排水孔排水速度的2倍；假设只注水注满10厘米高度水所用的时间为1份，那么对于甲箱来说，它只注水的时间为5份，既注水又排水的时间为1×2÷(2-1)=2份，所以注满甲箱的总时间为5+2=7 份，为70分钟，那么1份为10分钟．则关闭排水孔只注水的情况下，将空水箱注满需要10×6=60分钟。
故答案为：60。
【分析】由于两个立方体水箱上的孔的高度不同，所以在不同的阶段，两个水箱内注水、排水的情况不同，对此可以分阶段进行分析。如图所示，当注水没有超过30厘米高度时，水没有达到A、B两孔的高度，此时两个孔都不排水，所以这个阶段两个水箱都是只注水，所用时间也相同；
当水达到30厘米高度而又没有达到50厘米高度时，甲箱还是只注水，乙箱则既注水又排水；当甲箱内的水达到50厘米高度时，甲箱开始既注水又排水，而此时乙箱在注水的同时也在排水，同时A孔排出的水也流入乙箱，由于A、A两孔排水速度相同，所以A孔排出、流入乙箱的水与B孔排出的水相同，所以这一阶段乙箱相当于只注水。
由于两水箱同时注满，注满水所用的时间相同，那么甲、乙两水箱的既注水又排水阶段所用的时间相同，注入的水量也相同，都是10厘米高度的水，那么甲箱的第二个只注水阶段（即注满20厘米高度水的阶段）所用的时间就与乙箱既注水又排水阶段（注满10厘米高度水的阶段）所用的时间相同，那么这时候甲、乙两水箱每分钟注入的水量之比为20：10=2：1，可见注水速度是排水孔排水速度的2倍。
假设只注水注满10厘米高度水所用的时间为1份，那么对于甲箱来说，它只注水的时间为5份，既注水又排水的时间为1×2÷(2-1)=2份，所以注满甲箱的总时间为5+2=7 份，为70分钟，那么1份为10分钟．则关闭排水孔只注水的情况下，将空水箱注满需要|10×6=60分钟。
19．【答案】解：设进水管每小时进水单位 ，那么水箱灌满后水的总量为 ，进水管每分钟进水量为 ．由于打开一个出水孔，则需要用 分钟将水箱灌满，说明一个出水孔在这 分钟内的出水量等于进水管 分钟的进水量，那么打开一个出水孔时一个孔出水量为： ，同理可知打开两个出水孔时两个孔出水量为： ，由于打开两个出水孔时比打开一个出水孔时多出了 分钟水，所以一个孔每分钟出水量为： ，那么开一个孔的实际出水时间为： （分钟）．这说明在前面的 分钟内进水管进水量恰好达到三个出水孔的高度，在此之前由于水箱内的水未达到出水孔的高度，即使出水孔开着也不出水，而水箱内水量达到出水孔的高度后，在进水管进水的同时出水孔开始出水． ，即在进水管进了 的水后出水孔才开始出水，此时还需进 的水．所以，开三个出水孔所需的时间为： （分钟）．
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：1÷60=
72-65=7（分钟）
（-×2）÷7÷2=
÷=35（分钟）
65-35=30（分钟）
×30=
30+（1-）÷（-×3）=82.5（分钟）
答：需要用82.5分钟才能将水箱灌满。
【分析】设进水管每小时进水单位1，那么水箱灌满后水的总量为1，由此可以得出进水管每分钟进水量、打开一个出水孔时一个孔出水量，打开两个出水孔时两个孔出水量，开两个出水孔时比打开一个出水孔时多出水的分钟数=打开两个出水孔灌满水箱需要的时间-打开一个出水孔灌满水箱需要的时间，所以一个孔每分钟出水量=（打开两个出水孔时两个孔出水量-打开一个出水孔时一个孔出水量×2）÷开两个出水孔时比打开一个出水孔时多出水的分钟数÷2，所以开一个孔的实际出水时间=打开一个出水孔时一个孔出水量÷一个孔每分钟出水量，所以这说明在前面的65-35=30分钟内进水管进水量恰好达到三个出水孔的高度，在进水管进水的同时出水孔开始出水，进水管进水量=进水管每分钟进水量×30，故开三个出水孔所需的时间=30+（1-进水管进水量）÷（进水管每分钟进水量-一个孔每分钟出水量×3）。
20．【答案】5；160
【知识点】工程问题；列方程解含有一个未知数的应用题
【解析】【解答】解：进水管每分钟灌进水槽容积的1÷60=，而在开一个出水孔和开两个出水孔的情况下，出水孔出的水分别是水槽容积的×64-1=和×70-1=。两次出的水之比是：=2：5，说明水得放到孔所在的高度才能开始出水。设进水x分钟后开始出水，则有(64-x)：2×(70-x)=2：5，解得x=40。那么一个出水孔的出水速度为-（1-×40）÷（64-40）=。要想能够把水槽灌满，由于=×6，所以最多可以打开5个出水孔，打开5个出水孔时，灌满水槽所需的时间为 40+（1-×40）÷（-×5）=160（分钟）。
故答案为：5；160
【分析】 设进水管每小时进水单位1，那么水箱灌满后水的总量为1，由此可以得出进水管每分钟进水量、打开一个出水孔时一个孔出水量，打开两个出水孔时两个孔出水量，可以求得两次出的水之比是2：5，设进水x分钟后开始出水，题中存在的比例关系是：（打开一个出水孔灌满水槽则需要用的时间-进水的时间）：2×（打开两个出水孔灌满水槽则需要用的时间-进水的时间）=2：5，由此可以解得x=40，所以一个出水孔的出水速度=进水管每分钟灌进水槽容积的几分之几-（1-进水管每分钟灌进水槽容积的几分之几×进水的时间）÷（打开一个出水孔灌满水槽则需要用的时间-进水的时间），得出的结果是，由于=×6，所以最多可以打开5个出水孔，打开5个出水孔时，灌满水槽所需的时间=进水时间+（1-进水管每分钟进水量×进水时间）÷（进水管每分钟进水量-一个出水孔的出水速度×5）。
21．【答案】26
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：设进水速度为x，出水速度为y，立方体水箱的容积为1.1-=，则
，解得 ，。单开进水管注满一格的时间比同开两管注满一格的时间少了22-20=2分钟，单开进水管注满水箱需要的时间是20-2=18分钟，同开进水管与一个出水管注满水箱需要的时间是22+2=24分钟，所以，打开两个排水孔注满水箱的时间为：×18+×24+÷（-2×）=26分钟。
故答案为：26。
【分析】假设A孔在B孔的上面，本题可以用方程作答，即设进水速度为x，出水速度为y，立方体水箱的容积为1．则题中存在的等量关系是：第一种情况可以注入水箱的几分之几÷进水速度+剩下需要注入几分之几÷（进水速度-出水速度）=第一种情况住满需要的时间；第二种情况可以注入水箱的几分之几÷进水速度+剩下需要注入几分之几÷（进水速度-出水速度）=第二种情况住满需要的时间。由此可以列成方程组，解此类方程，可采用换元法．设 ， ，原式可以变形为：，解得：， 由此可以求得x和y的值；由此计算出单开进水管注满一格的时间比同开两管注满一格的时间少了22-20=2分钟，单开进水管注满水箱需要的时间是20-2=18分钟，同开进水管与一个出水管注满水箱需要的时间是22+2=24分钟，所以打开两个排水孔注满水箱的时间=×单开进水管注满水箱需要的时间+×同开进水管与一个出水管注满水箱需要的时间+÷（进水速度-出水速度×2）。
22．【答案】解：根据题意可知，要注 水箱的水，开一个出水孔比不开出水孔要多用 分钟，那么不开出水孔时注满水箱需 分钟，如果一直开一个出水孔需要 分钟．说明每分钟注水量为 ，一个孔每分钟排水量为 ．
如果两个孔都打开，需要 分钟．
【知识点】工程问题
【解析】【分析】要注1-=水箱的水，开一个出水孔比不开出水孔要多用的时间=第二种情况注满水需要的时间-第一种情况注满水需要的时间，所以不开出水孔时注满水箱需要的时间=第一种情况注满水需要的时间-开一个出水孔比不开出水孔要多用的时间，一直开一个出水孔需要的时间=第二种情况注满水需要的时间+开一个出水孔比不开出水孔要多用的时间，所以每分钟注水量=1÷不开出水孔时注满水箱需要的时间，一个孔的出水量=1÷一直开一个出水孔需要的时间，所以一个孔每分钟排水量=每分钟注水量-一个孔的出水量，故如果两个孔都打开注满水需要的时间=不开出水孔时注满水箱需要的时间×+一直开一个出水孔需要的时间×+÷（每分钟注水量-一个孔每分钟排水量×2）。
23．【答案】或
【知识点】进排水问题
【解析】【解答】解：根据题意，可得
裂缝在一半或一半以下，则后50分钟实际注水：
（1-0.4）×50
=0.6×50
=30（立方分米）
30×2=60（立方分米）
前40分钟内：
1×40-30
=40-30
=10（立方分米）
10÷0.4=25（分）
40-25=15（分）
15÷60=处
=
=
=
=
=（分钟）
裂缝在一半以上，则前40分钟实际注水：
1×40=40（立方分米）
40×2=80（立方分米）
后50分钟内：
1×50-40
=50-40
=10（立方分米）
10÷0.4=25（分）
40+50-25=65（分）
（处）
=
=
=
=
=
=（分钟）
答： 两个水龙头往内注水，注满这个水箱需要分钟或分钟。
故答案为：或
【分析】如裂缝在一半或一半以下，则后50分钟实际注水： (1-0.4)×50=30(立方分米)，所以水箱总容积为30×2=60(立方分米)。前40分钟内，裂缝向外渗水1×40-30=10(立方分米)，渗掉这10立方分米水，需时10÷0.4=25(分)，那么没渗水的时间为40-25=15(分)。所以裂缝在水箱从下往上的15÷60=处。用两个水龙头注水需要时间（分）如裂缝在一半以上，则前40分钟实际注水：1×40=40(立方分米)，所以水箱总容积为40×2=80(立方分米)。后50分钟内，裂缝向外渗水1×50-40=10(立方分米)，渗掉这10立方分米水，需时10÷0.4=25(分)，那么没渗水的时间为40+50-25=65(分)。所以裂缝在水箱从下往上的处。两个水龙头注水需要时间（分钟）
24．【答案】解：根据条件，列表如下（画○表示阀门打开，画×表示阀门关闭）：
1号 2号 3号 4号 工作效率
○ ○ ○ ×
× ○ ○ ○
○ × ○ ○
○ ○ × ○
从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为：
，那么同时打开这4个阀门，需要 （分钟）．
【知识点】工程问题
【解析】【分析】由表中的数据可以得出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和=4个阀门都打开3次的工作效率之和÷3，所以同时打开这4个阀门需要的时间=1÷这4个阀门的工作效率之和。
25．【答案】解：首先将各个小队之间的组合列成表：
一队 二队 三队 四队 五队 工作效率
○ ○ ○ × ×
○ × ○ × ○
× ○ × ○ ○
○ × ○ ○ ×
从表中可以看出，一队、三队在表中各出现 次，二队、四队、五队各出现 次，那么，如果将第二、四、五小队的组合计算两次，那么各种组队的工作效率和中5个小队都被计算了 次．所以五个小队的工作效率之和为： ，五个小队一起合干需要 天．
【知识点】工程问题
【解析】【分析】由表中的数据可以得出，将第三种情况给工作效率乘2，这样五个小队都计算了三次，所以五个小队的工作效率之和=五个小队都被计算3次的工作效率之和÷3，所以五个小队一起合干需要的时间=1÷五个小队的工作效率之和。
26．【答案】解：从题中可以看出， 、 、 、 四人每天完成总量的 ， 、 、 、 四人每天完成总量的 ， 、 两人每天完成总量的 ，可见， 一人每天完成总量的 ，所以 一人单独干需要 天．
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：（+-）÷2=
1÷=48（天）
答：E一人单独干需要48天完工。
【分析】每天完成的工作量中，A+B+C+D=①，B+C+D+E=②，A+E=③，把这三个式子联立起来，用①+③-②，得到2E=，所以E一人每天完成总量的几分之几÷2，E一人单独干需要的时间=1÷一人每天完成总量的几分之几。
27．【答案】（1）解：如果要想尽快完工，应该选择效率较高的两家公司．
由于甲、乙、丙三家公司单独做时，每天完成的工作量分别为 、 、 ，所以应该选择甲、乙这两家公司合作．
甲、乙两公司合作，完成工程需要的时间为 天
（2）解：如果想尽量降低工资成本，应该选择完成全部工程所需总工资较少的两家公司．
由于甲、乙、丙三家公司单独完成全部工程所需要的工资成本分别为 万元、 万元、 万元，所以应当选择甲、丙这两家公司合作．
甲、丙两公司合作需要 天才能完成工程，完工时要付的工资为：
元．
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：（1）甲和乙公司的效率比较高，所以应该选甲、乙两家公司合作，
1÷（+）=6（天）
答：选择甲、乙两家公司合作，完成工程需要的时间为6天。
（2）5.6×10=56万元
3.8×15=57万元
1.7×30=51万元
51<56<57
1÷（+）=7.5（天）
（5.6+1.7）×10000×7.5=547500（元）
答：选择甲、丙这两家公司合作，完工时要付工资547500元。
【分析】（1）工作效率高，自然完成的也快，所以选择甲、乙两家公司合作完工快，所以完成工程需要的时间=1÷（甲公司的工作效率+乙公司的工作效率）；
（2）先计算得出甲、乙、丙三家公司单独完成全部工程所需要的工资成本，然后选出成本最少的两家公司，即用单独完成工程所需天数×每天工资，经过计算选择甲、丙这两家公司合作工资成本低，甲、丙这两家公司完成工程需要的时间=1÷（甲公司的工作效率+丙公司的工作效率），所以完工时要付的工资=（甲公司每天工资+丙公司每天工资）×甲、丙两公司合作需要的天数。
28．【答案】（1）解：甲、乙两工程队每月完成的工程量分别占全部工程的 、 ，那么甲、乙合作所需时间为： 个月；甲、乙合作 个月所耗资金为： （万元）
（2）解：甲工程队完成全部工作要耗资 万元，乙工程队完成全部工作要耗资 万元，乙工程队耗资较少，为了节省资金，应尽量请乙工程队来做，但是乙工程队无法单独在五个月内完成工程，所以还需要请甲工程队来帮助完成一部分工程．所以，在五个月内完成的最好方案为：乙工程队做 个月，甲工程队做 个月，即：甲、乙两工程队合作 个月后，乙工程队再单独做 个月．
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：（1）1÷（+）=2.4（个）
（9+5）×2.4=33.6（万元）
答：甲、乙两工程队合作需2.4个月完成，耗资33.6万元。
（2）（1-×5）÷=（个）
5-=（个）
答：甲、乙两工程队合作个月后，乙工程队再单独做个月。
【分析】（1）将这项工程看成单位“1”，则甲、乙合作完成所需时间=1÷（甲工程队每月完成的工程量占全部工程的几分之几+乙工程队每月完成的工程量占全部工程的几分之几），耗资的钱数=（甲工程队每月耗资的钱数+乙工程队每月耗资的钱数）×甲、乙合作完成所需时间；
（2）甲工程队完成全部工作要耗资9×4=36万元，乙工程队完成全部工作要耗资5×6=30万元，乙工程队耗资较少，为了节省资金，应尽量请乙工程队来做，但是乙工程队无法单独在五个月内完成工程，所以还需要请甲工程队来帮助完成一部分工程．所以，在五个月内完成的最好方案为：乙工程队做5个月，甲工程队做（1-乙工程队每月完成的工程量占全部工程的几分之几×5）÷甲工程队每月完成的工程量占全部工程的几分之几。
29．【答案】解：⑴甲、乙、丙、丁的工效和是： ；
甲的工效是： ；乙的工效是： ；
丙的工效是： ；丁的工效是： ．
可见甲、乙、丙、丁完成工程需要的时间分别为120天、360天、90天和72天．要确保工程在100天以内完成，只能选择丙队或丁队．然后比较选择丙队或丁队应支付的工程款．
⑵甲、乙、丙每天需要的工程款 元；
甲、乙、丁每天需要的工程款 元；
乙、丙、丁每天需要的工程款 元；
甲、丙、丁每天需要的工程款 元．
甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和为 元．
甲、乙、丙、丁每天需要的工程款分别是 元， 元， 元， 元．如果由丙队独自完成整项工程，那么需要支付 元；如果由丁队来完成，需要支付 元．将两者进行比较，丙队的总工程款更少，所以工程应该交给丙。
【知识点】工程问题
【解析】【分析】根据甲、乙、丙、丁的工效和可以分别求出甲、乙、丙、丁的工效和完成需要的时间，然后选出在100天内可以完成的工程队，经过计算选择丙队或丁队应支付的工程款；
计算这四种情况每天需要的工程款，每个工程队都被算了3次，所以甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和=这四种情况每天需要的工程款之和÷3，然后分别根据它们时间的关系求出丙、丁每天需要的工程款，那么这两个队独自完成整项工程分别需要支付的钱数=这两个队每天需要的工程款÷每个工程队的工作效率，然后找出工程款最少的即可。-
30．【答案】解：甲、乙一天完成工程的 ；乙、丙一天完成工程的 ；甲、丙一天完成工程的 ．所以，甲的工效为 ；乙的工效为 ；丙的工效为 ．甲、乙一天需工程款 （元）；乙、丙一天需工程款 （元）；
甲、丙一天需工程款 （元）．所以，甲一天的工程款为 （元）；乙一天的工程款为 （元）．丙一天的工程款为 （元）．单独完成整个工程，甲队需工程款 （元）；乙队需工程款 （元）；丙队需工程款 （元）．所以应该选择乙队．
【知识点】工程问题
【解析】【解答】解：1÷=
1÷=
1÷=
甲的工效：（++）÷2=
乙的工效：-=
丙的工效：-=
2208÷=920（元）
2400÷=640（元）
2400÷=840（元）
甲一天的工程款：（920+840-640）÷2=560（元）；
乙一天的工程款为920-560=360（元）；
丙一工程款为840-560=280（元）。
单独完成整个工程，甲队需工程款560×4=2240（元）；
乙队需工程款360×6=2160（元）；
丙队需工程款280×10=2800（元）。
答：应选择乙工程队。
【分析】根据三个队合干需要的天数，可以分别求得甲、乙、丙三个工程队各自的工效；
根据两个队合干一天需工程款=这两个队合干一共需支付的工程款÷这两个队合干需要的天数，可以分别得出甲、乙、丙一天的工程款，那么某个队单独完成整个工程需要的工程款=这个队一天的工程款÷这个队的工效，然后找出最少的即可。
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