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第24关 图形的对称、平移与旋转
基础练
考点 1 图形的对称
1.[2024重庆B卷]下列标点符号中，是轴对称图形的是 ( )
2.[2024湖南长沙]下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
3.[2024 广东广州]下列图案中，点O 为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O 对称的是 ( )
4.[2024内蒙古通辽]剪纸是我国民间艺术之一，如图放置的剪纸作品，它的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合，则点A(-4，2)关于对称轴对称的点的坐标为 ( )
A.(-4,-2) B.(4,-2)
C.(4,2) D.(-2,-4)
5.[2024福建]小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称,点E,F分别是底边AB,CD 的中点,OE⊥OF.下列推断错误的是 ( )
A. OB⊥OD
B.∠BOC=∠AOB
C. OE=OF
D.∠BOC+∠AOD=180°
6.[2024甘肃]围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 的位置，则所得的对弈图是轴对称图形.(填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上)
7.[2024上海]在平行四边形ABCD 中,∠ABC是锐角，将CD 沿直线l翻折至AB 所在直线，对应点分别为C',D',若AC':AB:BC=1:3:7,则cos∠ABC= .
8.[2024河南]如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的边 AB 在x 轴上,点 A 的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE 折叠,点C落在点 F 处.若点 F 的坐标为(0,6),则点E的坐标为 .
考点 2 图形的平移
9.[2024山东威海]定义新运算：
①在平面直角坐标系中，|a，b|表示动点从原点出发，沿着x轴正方向(a≥0)或负方向(a<
0)平移|a|个单位长度，再沿着y轴正方向(b≥
0)或负方向(b<0)平移|b|个单位长度.例如，动点从原点出发，沿着x轴负方向平移2个单位长度，再沿着y轴正方向平移1个单位长度，记作|-2,1}.
②加法运算法则:|a,b}+|c,d}=|a+c,b+d|,其中a,b,c,d为实数.
若|3,5|+|m,n|=|-1,2},则下列结论正确的是 ( )
A. m=2,n=7 B. m=-4,n=-3
C. m=4,n=3 D. m=-4,n=3
10.[2024江西]在平面直角坐标系中,将点A(1,1)向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点 B，则点B的坐标为 .
11.[2024内蒙古兴安盟]如图,点A(0,-2),B(1,0),将线段 AB 平移得到线段 DC,若∠ABC=90°,BC=2AB,则点 D 的坐标是 .
考点 3 图形的旋转
12.[2024山东泰安]下面图形中，中心对称图形的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
13.[2024湖北]如图,点A 的坐标是(-4,6),将线段OA 绕点 O 顺时针旋转90°，点A 的对应点的坐标是 ( )
A.(4,6) B.(6,4)
C.(-6,-4) D.(-4,-6)
14.[2024 天津]如图,△ABC中,∠B=30°,将△ABC绕点C 顺时针旋转 60°得到△DEC,点A,B的对应点分别为D，E，延长BA 交DE于点 F，下列结论一定正确的是 ( )
A.∠ACB=∠ACD B. AC∥DE
C. AB=EF D. BF⊥CE
15.[2024山东滨州]一副三角板如图1摆放，把三角板AOB绕公共顶点 O 顺时针旋转至图2，即AB∥OD时,∠1的大小为 °.
16.[2024四川泸州]定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移a(a>0)个单位，再绕原点按逆时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的ρ(a,θ)变换.如:点A(2,0)按照ρ(1,90°)变换后得到点A'的坐标为(-1,2),则点B( ,-1)按照ρ(2,105°)变换后得到点B'的坐标为 .
17.[2024 江苏盐城]如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=2 ，点D 是AC 的中点，连接BD,将△BCD 绕点 B旋转,得到△BEF.连接CF,当CF∥AB时,CF= .
18.[2024黑龙江龙东地区]如图,在 Rt△ABC 中, 线段AD 绕点 A 旋转,点 P 为CD 的中点,则 BP的最大值是 .
19.[2024 江苏盐城]下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于翻折的是 ( )
20.[2024四川自贡]我国汉代数学家赵爽在他所著《勾股圆方图注》中，运用弦图(如图所示)巧妙地证明了勾股定理.“赵爽弦图”曾作为2002年第24届国际数学家大会的会徽图案.下列关于“赵爽弦图”说法正确的是 ( )
A.是轴对称图形
B.是中心对称图形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形
D.既不是轴对称图形也不是中心对称图形
21.[2024辽宁锦州校级模拟]下列图形中可以由一个基础图形通过平移变换得到的是 ( )
22.[2024 四川眉山]如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E在DC上,把△ADE沿AE折叠,点D 恰好落在BC边上的点F处,则cos∠CEF的值为 ( )
A.17/4 B. C . D.
23.[2024四川自贡]如图,在矩形ABCD 中,AF平分∠BAC，将矩形沿直线EF 折叠，使点A，B分别落在边AD,BC上的点A',B'处,EF,A'F分别交AC于点 G,H.若GH=2,HC=8,则BF的长为 ( )
D.5
24.[2024山东潍坊二模]如图,等边△ABO 的边长为6，以O为坐标原点，AO所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B 在第二象限，将△ABO沿x轴正方向平移得到△A'B'O',A'B'与BO交于点 C，若 则 B'的坐标为 .
25.[2024辽宁沈阳校级模拟]如图，两个直角三角尺ABC 与 CDE按如图所示的方式摆放，其中∠B=∠D=30°,∠ACB=∠ECD=90°,AC=CE ,且A,C,D共线,将△DCE 沿 DC 方向平移得到△D'C'E',若点 E'落在AB 上,则平移的距离为 .
26.[2024 山东济宁二模]如图,△ABC 中,AB=AC,∠A=40°,射线 CP 从 CA 的位置开始绕点C逆时针旋转( ，与AB 相交于点D,将△ACD 沿 CP 所在直线翻折至△A'CD处,CA'与AB 相交于点 E.若△A'DE 是等腰三角形,则α= .
[2024 江苏连云港]如图，将一张矩形纸片ABCD上下对折，使之完全重合，打开后，得到折痕EF，连接BF.再将矩形纸片折叠，使点 B落在BF上的点 H 处，折痕为AG.若点 G 恰好为线段 BC 最靠近点 B 的一个五等分点，AB=4,则BC的长为 .
28.[2024 广东深圳二模]在直角坐标系中，将△ABC 进行平移变换，变换前后点的坐标的情况如表：
变换前 △ABC A(1,1) B(4,1) C(4,5)
变换后 △A'B'C' A'(6,3) B'(9,3) C'
(1)平移后点 C'的坐标是 ，并在直角坐标系中画出△A'B'C';
(2)若P(m,n)是△ABC内一点,通过上述平移变换后，点P 的对应点 P'的坐标可表示为 ;
(3)连接BB',CC',则四边形 BB'C'C 的形状是 ，其面积为 .
29.[2024四川南充]如图,在矩形ABCD 中,E为AD边上一点,∠ABE=30°,将△ABE 沿 BE 折叠得△FBE,连接CF,DF,若CF平分∠BCD,AB=2,则DF的长为 .
30.[2024四川成都]如图，在平面直角坐标系xOy中,已知A(3,0),B(0,2),过点 B 作y轴的垂线l,P为直线l上一动点,连接PO,PA,则PO+PA 的最小值为 .
31.[2024 河南]如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CA=CB=3,线段 CD 绕点 C 在平面内旋转,过点 B 作AD 的垂线,交射线AD 于点 E.若CD=1，则AE的最大值为 ，最小值为
32.[2024山东临沂二模]如图，将边长为1 的等边△OAB 以 B 为圆心顺时针旋转120°,同时边长都加1得到△O A B，此为第一次变换，再将△O A B 以 A 为圆心顺时针旋转120°,同时边长都加1得到△O A B ，此为第二次变换，依次类推，按照这样的变换方式进行下去，当进行到第6次变换后，O点的对应点的坐标为
33.[2024安徽]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A、B、C、D 的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4).
(1)以点 D 为旋转中心,将△ABC 旋转180°得到△A B C ,画出△A B C ;
(2)直接写出以 B,C ,B ,C为顶点的四边形的面积；
(3)在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线 AE平分∠BAC,写出点 E 的坐标.
34.[2024 黑龙江龙东地区]如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A(-1,1),B(-2,3),C(-5,2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A B C ,并写出点 B 的坐标；
(2)画出△ABC绕点A 逆时针旋转90°后得到的△AB C ,并写出点B 的坐标;
(3)在(2)的条件下，求点 B旋转到点 B 的过程中所经过的路径长(结果保留π).
35.[2024山东泰安]如图1,在等腰 Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=CB,点 D,E 分别在AB,CB上,DB=EB,连接AE,CD,取AE 中点 F,连接BF.
(1)求证:CD=2BF,CD⊥BF.
(2)将△DBE 绕点 B 顺时针旋转到图2 的位置.
①请直接写出 BF与CD 的位置关系： ;
②求证:CD=2BF.
第24关 图形的对称、平移与旋转
1. A 2. B 3. C
4. C
5. B 解析:由题意知OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD.
∵E,F分别是AB,CD的中点,
∴∠AOE=∠EOB=∠COF=∠FOD.
∵OE⊥OF,
∴∠EOB+∠BOF=90°,
∴∠FOD+∠BOF=90°,即 OB⊥OD,故
A 中推断正确.
∵OB⊥OD,
∴ ∠BOC+∠COD=∠BOC+∠AOB=90°,无法证明∠BOC=∠AOB,故 B 中推断错误.
∵△OAB≌△ODC,点 E,F分别是底边AB,CD的中点,
∴OE=OF,故C中推断正确.
∵∠BOC+∠COD=∠BOC+∠AOB=90°,
∴ ∠BOC+∠COD +∠BOC+∠AOB =180°,即∠BOC+∠AOD=180°,故 D 中推断正确.
6. A(或C)
7. 或
解析:根据AC': AB : BC=1:3:7,不妨设AC'=1,AB=3,BC=7,
当C'在线段AB 上时，如图，设直线l与BC交于点 F,
由翻折的性质知∠FCD=∠FC'D',CF=C'F,
∵CD 沿直线l翻折至AB 所在直线，
+∠FBA、
∴∠BC'F=∠FBA,
过F作FE⊥AB于E,
当C'在BA 的延长线上时，如图，
同理可得
过点 F 作AB的垂线，垂足为E，
故答案为 或
1(3,10)
解析：如图所示，设CD 与y轴相交于 H点,设BC=x,由折叠可知BF=x,由正方形ABCD 可知 AB=x,∴ OB =x-2,在Rt△BOF中, 即 解得：x=10,∴FH=4,OB=8,易证△FHE∽△BOF, ∴EH=3,∴E(3,10).
差点突破..
第一个突破是由正方形想到BC=AB，由折叠想到 BC=BF，从而想到在直角三角形OBF 中，由勾股定理求出BC的长，第二个突破是由∠EFB=90°想到△FHE∽△BOF,得到 求出EH的长.
9. B 10.(3,4)
11.(4,-4)
解析：过点D 作DE⊥y轴于点E，如图，
∵点A(0,-2),B(1,0),
∴OA=2,OB=1.
∵线段AB平移得到线段DC，
∴AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵∠ABC=90°,
∴四边形ABCD 是矩形,
∴∠BAD=90°,BC=AD,
∵BC=2AB,
∴AD=2AB,
∵∠BAO+∠DAE=90°,∠BAO+∠ABO=90°,
∴ ∠ABO=∠EAD.
∵∠AOB=∠AED=90°,
∴ △ABO∽△DAE.
∴DE=2OA=4,AE=2OB=2,
∴OE=OA+AE=4,
∴D(4,-4).
12. C 解析：左起第四个图形不能找到一个点，使图形绕这一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形；
第一、第二和第三个图形能找到一个点，使图形绕这一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形.所以中心对称图形有3个.
13. B 解析：设旋转后点 A 的对应点为A'，过点A 和点A'分别作x轴的垂线，垂足分别为B，C，
∵点A的坐标为(-4,6),
∴OB=4,AB=6.
由旋转得OA=OA',∠AOA'=90°,
∴∠AOB=90°-∠A'OC=∠OA'C,又∠ABO=∠A'CO=90°,
∴△AOB≌△OA'C,
∴A'C=OB=4,OC=AB=6,
∴点A'的坐标为(6,4).
14. D 解析:设BF与CE的交点为H,∵将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 60°得到△DEC,
∴∠BCE=∠ACD=60°,
∵∠B=30°,
∴在△BHC中,∠BHC=180°-∠BCE-∠B=90°,
∴BF⊥CE,故D 选项符合题意;设∠ACH=x°.
∵∠B=30°,
∴ ∠EDC=∠BAC=180°-30°-(60°-
+x°,
∵x°不一定等于30°,
∴∠EDC+∠ACD 不一定等于180°,
∴AC∥DE不一定成立，故B选项不符合题意；
∵∠ACB=60°-x°,∠ACD=60°,x°不一定等于0°，
∴∠ACB=∠ACD 不一定成立,故 A 选项不符合题意；
∵将△ABC 绕点 C 顺时针旋转60°得到△DEC,
∴AB=ED=EF+FD,
∴AB>EF,故C选项不符合题意.
故选 D.
15.75
解析：将点，B( ,-1)向上平移2个单位，所得点 M 的坐标为( ,1).过点M作x轴的垂线，垂足为F，
则OF= ,MF=1.
在Rt△MOF中,
=2,
所以∠MOF=30°.
由旋转可知，
B'O=MO=2,∠MOB'=105°,
所以
过点 B'作y轴的垂线，垂足为 E，
则
所以△B'OE 是等腰直角三角形.
又因为B'O=2,
所以.
所以点B'的坐标为(- ,).
解析:∵∠ACB=90°,AC=BC=2
∴∠CAB=∠CBA=45°,
∵点D是AC的中点，
∵将△BCD 绕点B 旋转得到△BEF,
如图,过点B作BG⊥CF于点G,
∵CF∥AB,∴∠FCB=∠CBA=45°,
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BG=2,
在 Rt△BFG 中,
∴CF=CG+FG=2+
方法总结..
在几何图形中求线段的长，有时可以把问题抽象为解直角三角形的数学问题；因为三角形BCF 不是直角三角形，所以可通过添加辅助线BG构造直角三角形来解决.
解析:取AC的中点 Q.连接 PQ,作以Q为圆心，PQ长为半径的圆.
∵P是CD的中点,Q是AC的中点,
∴ PQ 是△ACD的中位线,
∴线段AD 绕点 A 旋转时,点 P 在以 Q为圆心， 为半径的圆上运动，
∴当BP 经过点 Q,且点 P 在AC 下方时，BP 的值最大.
∴AC=4,
∴AQ=CQ=2.
∴BQ=2
∴ BP 的最大值为
19. C 20. B 21. B
22. A 解析:∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD=BC=8,∠B=∠C=∠D=90°,
∴∠CEF+∠EFC=90°,
∵把△ADE沿AE 折叠,点 D 恰好落在BC边上的点 F处，
∴AF=AD=8,∠AFE=∠D=90°,
∴∠AFB+∠EFC=90°,
∴∠CEF=∠AFB,
∵AB=6,
23. A 解析:∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD∥BC,
∴ △AEG∽△CFG,△AA'H∽△CFH,
由折叠的性质可知,AA'=2AE,
∵AF平分∠BAC,∴∠BAF=∠FAC,
∵EF∥AB,∴∠BAF=∠AFG,
∴∠GAF=∠GFA,∴FG=AG=
∵EF∥AB,
∴BF:CF=AG:CG=1:3,
24.(1,3 )
解析：分别过点 C 和点 B'作x轴的垂线，垂足分别为M和N，由平移可知，AB=A'B'=6,∠B'A'O'=∠BAO=60°,又∵∠BOA=60°,
∴△A'OC是等边三角形.
又∵
∴A'C=CO=A'O=2.
∵CM⊥x轴,
∴A'M=OM=1.
在Rt△A'CM中,
∵CM∥B'N,
∴ △A'CM∽△A'B'N,
∴B'N=3CM=3 ,A'N=3A'M=3,
∴ON=A'N-A'O=3-2=1,
∴点B'的坐标为(1,3 ).
25. -1
解析：∵将△DCE沿 DC方向平移得到△D'C'E',
∵ ∠B = ∠D = 30°,∠ACB = ∠ECD =∠E'C'D'=90°,
∴∠E'C'A=90°,∠A=60°,
∴∠AE'C'=30°,
设AC'=x,则AE'=2x,
∴x=1,即AC'=1,
∴平移的距离
26.15°或30°或60°
解析:∵AB=AC,∠A=40°,
∴∠ACB=∠ABC=70°,
∵0°<α<70°,
∴射线 CP在∠ACB 内部.
当点A'在AB下方时，如图，
由翻折可知，
∠A'=∠A=40°,∠A'CD=∠ACD=α,
∴ ∠DEA'=∠A+∠ACA'=40°+2α,
∴ ∠A'DE= 180°-40°-(40°+2α)=100°-2α.
当A'D=A'E时,∠A'DE=∠DEA',
∴100°-2α=40°+2α,
解得α=15°.
当DA'=DE时,∠DA'E=∠DEA',
∴40°=40°+2α,
解得α=0°(舍去).
当ED=EA'时,∠EA'D=∠EDA',
∴40°=100°-2α,
解得α=30°.
当点A'在AB上方时，如图，
由旋转可知，
∠CA'D=∠A=40°,∠A'CD=∠ACD=α,∠ADC=∠A'DC=140°-α,
∴ ∠DA'E=180°-40°=140°,∠A'DE=180°-2(140°-α)=2α-100°,
∴ ∠A'ED=180°-140°-(2α-100°)=140°-2α.
∵∠DA'E=140°,∴当△A'DE 是等腰三角形时,只能是A'D=A'E.
当A'D=A'E时,∠A'DE=∠A'ED,
∵2α-100°=140°-2α,
解得α=60°.
综上所述,α=15°或30°或60°.
27.2
解析：设AG与BF交于点 M，由折叠的性质可得AG⊥BH,
∴∠AMB=90°,
∵四边形ABCD 是矩形，且上下对折后得到折痕EF,AB=4,
∴∠ABC=∠BEF=90°,AE=BE= AB=2,EF=BC,
∴ ∠AMB=∠BEF=90°,
∴ ∠BAM + ∠ABF = ∠BFE + ∠ABF=90°,
∴∠BAM=∠BFE,
又∵∠ABG=∠FEB=90°,
∴△ABG∽△FEB、
设BG=a,则由题意得BC=
解得 (负值舍去)，经检验，a 是原方程的解，且符合题意.
8.(1)(9,7);作图见解析
(2)(m+5,n+2)
(3)平行四边形;20
解析：(1)根据平移性质得点 C'的坐标是(9,7),如图,△A'B'C'即为所求.
(2)略.
(3)由平移可知四边形BB'C'C是平行四边形，
∴四边形 BB'C'C的面积=4×5=20.
29.
解析:如图,过 F 作 FM⊥BC 于点 M,FN⊥CD于点 N,
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠DCM=∠ABC=90°,AB=CD=2,
∵CF平分∠BCD,
∴FM=FN,∠DCF=∠BCF=45°,
∴四边形 CMFN是正方形，
∴CN=FM=FN.
由折叠可知AB=BF=2,∠ABE=∠FBE=30°,∴∠FBM=30°,
∴DN=CD-CN=1.
在Rt△DNF 中,由勾股定理得 DF=
30.5
解析：作点 O 关于直线l的对称点 O'，∵l⊥y轴,B(0,2),∴O'(0,4),连接AO',AO'与直线l的交点为点 P,此时PO+PA取最小值，最小值为AO'的长，根据勾股定理可得
解析：如图所示，AD ，AD 与半径为1的⊙C 相切,D ,D 是切点,连接CD ,CD .则点 D 在 D 时AE 的值最大,在D 时AE的值最小,设AD 与BC 相交于F点,AD 与BE 交点为 E ,AD 与BE 交点为E .
∵∠ACB=90°,CD ⊥AE ,
∴易证△ACD ∽△CFD ,
∵BE ⊥AE ,∴易证△CD F∽△BE F,
又 ，即AE 的最大值为2 +1.
作CH⊥BE 于点H.
易证△ACD ≌△BCH,∴CH=CD =1,
∴四边形 CD E H为正方形,
即AE 的最小值为2 -1.
难点突破..
由线段CD 绕点 C 在平面内旋转想到点D 的轨迹为以点 C 为圆心，CD 长为半径的圆，进一步想到过点A作圆C的两条切线AD ，AD 是解答本题的突破口，然后根据三角形相似和勾股定理求出AE的最大值和最小值.
32.(21,0)
解析：由题知，
第1次变换后所得三角形的边长为2，第2次变换后所得三角形的边长为3，第3次变换后所得三角形的边长为4，……,
所以第n次变换后所得三角形的边长为n+1,
当n=5时,n+1=6,
即第5次变换后所得三角形的边长为6.
又因为每变换3次为一个循环，即第3n和(3n-1)次变换后点O 对应点都在x轴上且重合，
所以第6次变换后点O 的对应点与第5次变换后点O 的对应点重合，
又因为1+2+3+4+5+6=21.
所以第6次变换后点O 的对应点的坐标为(21,0).
33.(1)如图所示
(2)40
(3)(3,0)或(4,2)或(5,4)或(6,6)(写出一个即可)
34.(1)作图见解析;B (2,3)
(2)作图见解析;B (-3,0)
解析:(1)△A B C 如图所示,B 的坐标为(2,3).
(2)△AB C 如图所示,B 的坐标为(-3,0).
∴ 点 B 旋转到点 B 的过程中所经过的路径长为
35.(1)见解析 (2)①BF⊥CD ②见解析
解析:(1)证明:在△ABE和△CBD中,
∵AB=BC,∠ABE=∠CBD,BE=BD,
∴△ABE≌△CBD(SAS),
∴AE=CD,∠FAB=∠BCD.
∵F是 Rt△ABE斜边AE的中点,
∴AE=2BF,
∴CD=2BF,
∴ ∠FAB=∠FBA,
∴ ∠FBA=∠BCD.
∵∠FBA+∠FBC=90°,
∴∠FBC+∠BCD=90°.
∴CD⊥BF.
(2)①如图,延长BF到点 G,使 FG=BF,连接AG.延长EB到M、使BE=BM、连接AM并延长交CD于点 N.
∵AF=EF,FG=BF,∠AFG=∠EFB,
∴△AGF≌△EBF(SAS).
∴∠FAG=∠FEB、AG=BE.
∴AG∥BE.
∴ ∠GAB+∠ABE=180°.
∵∠ABC=∠EBD=90°,
∴∠ABE+∠DBC=180°,
∴∠GAB=∠DBC.
∵BE=BD,
∴AG=BD.
在△AGB和△BDC中,
∵AG=BD,∠GAB=∠DBC,AB=CB,
∴△AGB≌△BDC(SAS),
∴∠ABG=∠BCD,
∵F是AE中点,B是 EM中点,
∴BF是△AEM的中位线,
∴BF∥AN,
∴∠ABG=∠BAN=∠BCD,
∴∠ANC=∠ABC=90°,
∴AN⊥CD,
∵BF∥AN,
∴BF⊥CD.
②证明:由①知△AGB≌△BDC,
∴CD=BG.
∵BG=2BF,
∴CD=2BF.

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