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微专题10 辅助圆的构造
1.[2024湖南长沙校级模拟]如图，正方形边长为a,点E 是正方形ABCD 内一点,满足∠AEB=90°,连接CE.给出下面四个结论:①AE+CE≥ ③∠BCE度数的最大值为60°;④当CE=a时,
上述结论中，所有正确结论的序号为 ( )
A.①② B.①③ C.①④ D.①③④
2.[2023北京昌平区二模]当船的航线附近有暗礁时，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔.只要使船与两座灯塔的连线的夹角不超过一定的大小，就不用担心触礁.如图所示的网格是正方形网格,点A,B,C,D,P,M,N是网格线的交点，若当船航行到点 P 的位置时，船与两座灯塔M，N的连线的夹角(∠MPN)大小恰好可保证船无触礁危险.则船在A，B，C，D四个位置时，也无触礁危险的是 ( )
A.位置A B.位置 B C.位置C D.位置D
3.有一架靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时将其捕捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，如图，∠ABC=90°,点M,N分别在射线 BA,BC上,MN的长度始终保持不变,MN=4,E为 MN的中点,点 D到 BA，BC的距离分别为4 和2，则在梯子滑动的过程中，猫与老鼠的距离 DE 的最小值为
4.[2024北京丰台区一模改编]如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,点 D 是 BC 的中点,点 E 是线段BC上一点，以点A 为中心，将线段AE逆时针旋转α得到线段AF，连接EF.
(1)如图1,当点 E与点 D 重合时,线段 EF,AC相交于点G，求证：点G是EF的中点；
(2)如图2,当点E在线段 BD上(不与点 B,D重合)时,若点 H 是 EF 的中点,作射线 DH 交AC于M，补全图形，并直接写出∠AMD 的大小.
微专题10 辅助圆的构造
1. C 解析:如图,连接AC,BD交于点 H,取AB的中点O、连接OC、
∵∠AEB=90°,
∴点E在以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上运动(不与点A，B重合)，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠AHB=90°,
∴点H在圆O上，
故①正确；
∵点E在以点O 为圆心，AB为直径的半圆上运动(不与点A，B重合)，
∴当C,E,O 三点共线时,CE 的长度有最小值，
在Rt△OBC中, 由勾股定理得
又∵
∴ CE长度的最小值为 即 故②错误；
如图,当CE与⊙O 相切时,∠BCE 的度数有最大值,连接OE,则∠OEC=90°,
∵OC=OC,OB=OE,
∴ Rt△OBC≌Rt△OEC(HL),
∴CE=BC=a,∠OCE=∠OCB,
∴∠OCE≠30°,∴∠BCE≠60°,
∴∠BCE 度数的最大值不是60°,故③错误；
当CE=a时,BC=EC,∵OB=OE,∴OC垂直平分BE,∴∠OCE=∠OCB,
又∵∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠BOC=∠BOC+∠BCO,
∴∠ABE=∠BCO=∠OCE,
故④正确.
2. B 解析:如图,作 MN,MP 的垂直平分线交于点O，
则点O 是△MNP的外接圆的圆心，由题意得船在圆上或圆外的位置时无触礁危险.连接OB，OM.设网格中小正方形的边长为1， ∴点B 在△MNP 的外接圆上，船在此位置时无触礁危险.
解析:如图,连接 BE,BD,∵∠ABC =90°,E 为 MN 的中点,∴ ∵MN的长度为定值，∴点 E 在以点 B为圆心， MN的长为半径的圆弧上.
∴当B，D，E三点共线时，DE取最小值.
∵MN=4,∴BE=2.
∵点D到BA,BC 的距离分别为4和2,
∴DE的最小值为
4.(1)见解析 (2)补全图形见解析；∠AMD=90°
解析:(1)证明:∵AB=AC,点D是BC的中点，
∵将线段AE 逆时针旋转α得到线段AF,∴∠EAF=α,AE=AF,∴∠FAG=α-
∴∠DAG=∠FAG,
∴EG=FG,
∴点 G是EF的中点.
(2)补全图形如下.
连接AD,AH,
由(1)可知∠ADB=90°,∠BAD=∠DAC
∵AE=AF,点H是EF的中点,
∵∠ADE=∠AHE=90,
∴A,H,D,E四点共圆,
在△ADM中,∵
∴ ∠AMD=180°-∠DAM-∠ADM=90°.

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