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第23关 与圆有关的计算
基础练
考点 1 弧长、扇形面积的计算
1.[2024安徽]若扇形AOB 的半径为6,∠AOB=120°,则 的长为 ( )
A.2π B.3π C.4π D.6π
2.[2024 内蒙古包头]如图,在扇形 AOB 中,∠AOB=80°,半径 OA=3,C是AAB 上一点，连接OC,D是OC 上一点,且OD=DC,连接BD.若BD⊥OC,则AC的长为 ( )
A.π/6 B.π/3 C.π2 D.π
3.[2024山东泰安]两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 ( )
4.[2024河北]扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴.如图，某折扇张开的角度为120°时，扇面面积为 S.该折扇张开的角度为 n°时，扇面面积为Sn.:若 则m与n关系的图象大致是 ( )
5.[2024湖南长沙]半径为4，圆心角为90°的扇形的面积为 (结果保留π).
6.[2024 内蒙古呼伦贝尔]为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路.如图，AB与CD是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是 米.(π取3.14，计算结果精确到十分位)
7.[2024山西]如图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图(阴影部分为花窗).通过测量得到扇形 AOB 的圆心角为90°,OA=1m,点C,D分别为OA,OB的中点，则花窗的面积为 m .
考点 2 圆柱、圆锥的相关计算
8.[2024云南]某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品.若这种圆锥的母线长为40厘米，底面圆的半径为30厘米，则该圆锥的侧面积为 ( )
A.700π平方厘米 B.900π平方厘米
C.1200π平方厘米D.1 600π平方厘米
9.[2024湖北武汉模拟]“漏壶”是一种古代计时器，在一次实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图所示的液体漏壶，它由一个圆锥和一个圆柱组成，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中、实验开始时圆柱容器中已有一部分液体，下表是实验记录的圆柱容器中液面高度y(cm)与时间x(h)的数据：
时间x/h 1 2 3 4 5
圆柱容器中液面高度y/cm 6 10 14 18 22
若本次实验开始的时间是上午8：00，那么当圆柱容器中液面高度达到8cm 时是 ( )
A.8:30 B.9:30 C.10:00 D.10:30
10.[2024江苏扬州]若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 cm.
11.[2024云南昭通二模]如图，这是一个圆柱形笔筒，量得笔筒的高是1 1 cm，底面圆的直径是8cm，则这个笔筒的侧面积为 cm (结果保留π).
12.[2024 黑龙江龙东地区]若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是 °.
13.[2024 山东烟台]如图，在边长为6 的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作BD,剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 .
提升练
14.[2024四川广安]如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=10,∠C=70°,以AB为直径作半圆,与AC,
BC 分别相交于点 D,E,则 的长度为 ( )
A.π/9 B. π/
15.[2024重庆A卷]如图,在矩形ABCD中,分别以点A 和C 为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若AD=4，则图中阴影部分的面积为 ( )
A.32-8π
C.32-4π
16.[2024 山东潍坊二模]如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=4,若进行下列操作:①将Rt△ABC 绕点 A 顺时针旋转90°后得到Rt△AB'C',点 B 经过的路径为弧 BB';②以C为圆心，线段CB 的长为半径画弧得到弧AB，则图中阴影部分的面积是 ( )
A.4π B.4.8π
C.8π D.9.6π
17.[2024湖北黄石校级模拟]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个问题的条件如下：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.”译文：屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一(如图)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5 尺(尺为我国古代长度单位).那么这个米堆遮挡的墙面面积为 ( )
A.80π
D.45π平方尺
18.[2024 河南三门峡一模]如图,四边形ABCD 是边长为 的正方形,曲线DA B C D A ……是由多段90°的圆心角所对的弧组成的.其中，DA 的圆心为A，半径为AD的长；;A B 的圆心为B，半径为 BA 的长； 的圆心为C，半径为CB 的长； 的圆心为D，半径为DC 的长；……； 的圆心依次为A，B，C，D，依此类推，则 的长是 ( )
B.2023π D.2024π
19.[2024江苏盐城]已知圆锥的底面半径为4，母线长为5，该圆锥的侧面积为 .
20.[2024甘肃]甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产.如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形OBC 和扇形OAD 有相同的圆心O,且圆心角∠O=100°,若OA=120 cm,OB=60 cm,则阴影部分的面积是 cm .(结果用π表示)
21.[2024 黑龙江齐齐哈尔]若圆锥的底面半径是1 cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥的高为 cm.
22.「2024吉林]某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地.小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由⊙O 和扇形OBC 组成，OB，OC分别与⊙O 交于点A,D. OA=1m ,OB=10m,∠AOD =40°,则阴影部分的面积为 m (结果保留π).
23.[2024宁夏银川校级模拟]如图，已知点 C 为圆锥母线SB的中点，AB 为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A 点爬到 C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 .
24.[2024 河南洛阳一模]如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以点A为圆心,边AC的长为半径作CE交边 AB 于点 E，以边 BC 为直径作半圆交边AB 于点 D，则图中阴影部分的面积为 .
25.[2024甘肃临夏州]如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD,OM为折痕,以点O 为圆心,OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F 两点，则EF的长度为 (结果保留π).
26.[2024江苏苏州]铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB月所在圆的圆心C恰好是△ABO的内心，若/ 则花窗的周长(图中实线部分的长度)= .(结果保留π)
27.[2024四川内江]如图,AB 是⊙O 的直径,C是BD的中点，过点C 作AD的垂线，垂足为点 E.
(1)求证:△ACE∽△ABC;
(2)求证:CE是⊙O 的切线;
(3)若AD=2CE,OA= 求阴影部分的面积.,:
28.[2024广东]综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为 7 cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1 所示漏斗中.
【实践探索】
(1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处) 用你所学的数学知识说明.
(2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.(结果保留π)
第23关 与圆有关的计算
1. C
2. B 解析:连接BC,
∵OD=DC,BD⊥OC,∴BC=OB,
∵OB=OC,
∴ △OBC是等边三角形,
∴∠BOC=60°,
∵∠AOB=80°,∴∠AOC=20°,
∴AC的长为
3. A 解析:如图,连接OA,AO',作AB⊥00'于点B,
∴△AOO'是等边三角形,
↓C 解析：设该扇面所在的圆的半径为R,
则
∵该折扇张开的角度为 n°时，扇形面积为 Sn,
∴m是 n的正比例函数，
∴选项C符合题意.
5.4π
6.28.7
解析：由题意得 =36,
(米).
∴AC=OA-OC=28.7米.
解析:∵点 C,D分别为OA,OB的中点,
8. C
9. B 解析：由题意知，y是x的一次函数.设y与x的关系式为y= kx+b,
∵当x=1时,y=6;当x=2时,y=10,
解得
∴y与x的关系式为y=4x+2,
∴当y=8时,4x+2=8,
解得x=1.5、
即当圆柱容器中液面高度达到8cm 时是9:30.
10.5 11.88π
12.90
解析：设圆锥的母线长为l，圆锥侧面展开图的圆心角是n°，
∵侧面积为36π,
∴π×3×l=36π,
解得l=12,
解得n=90,
∴圆锥侧面展开图的圆心角是90°.
13.
解析:∵ 多边形ABCDEF 是正六边形, 120°,AB=AF,
=30°,
同理,∠EFD=30°,
如图,过点A 作AG⊥BF 于点 G,则 BG=FG,
在 Rt△AFG 中,FG =AF· cos 30°= 3
设圆锥的底面圆的半径为 r，则2πr
方法总结..
本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点A 作AG⊥BF,求出 BF的长,再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可.准确判断扇形弧长为围成圆锥的底面周长是解决问题的关键.
14. C 解析:连接OD,OE,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=70°,
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠ABC=70°,
∴∠OEB=∠C,
∴OE∥AC.
在△ABC中,∠A+∠ABC+∠C=180°,
∴ ∠A=180^-∠ABC-∠C=180°-70°-
∴∠A=∠ADO=40°=∠DOE,
的长度为
15. D 解析：如图，连接AC，由题意易知AC必过两弧公共点.∴AC=2AD=8。 故选D.
16. A 解析:∵∠ACB=90°,AC=BC=4,
根据题意得
∴阴影部分的面积 us
=8π-4π
=4π.
17. A 解析：设圆锥的底面半径为r尺，由米堆底部的弧长为8尺、可得 8，解得
平方尺)，
∴这个米堆遮挡的墙面面积为 方尺.
18. C 解析:∵曲线 DA B C D A 是由多段90°的圆心角所对的弧组成的，并且每一段弧的半径依次比前一段弧的半径长
……
∴弧A B 的半径. ×(2024-1)+1=4047.
∴ 弧A B 的长
19.20π
20.3 000π
解析：
解析：设扇形的母线长为 lcm，
∵圆锥的底面半径是1cm，
∴圆锥的底面周长是2πcm，即侧面展开图的弧长是2πcm,则 解得l=4,
由勾股定理得，圆锥的高
22.11π
解析：阴影部分的面积为
23.3
解析：由题意知，圆锥底面圆的直径AB=4,
故底面周长等于4π，
设圆锥侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 解得n=120,
所以展开图中∠ASC=120°÷2=60°,
因为SA=SB,∠ASB=60°,
故三角形 SAB为等边三角形，
又∵C为SB的中点，
所以AC⊥SB,在直角三角形SAC中,SA=6,SC=3,根据勾股定理得 所以蚂蚁爬行的最短路程为
24.π-2
解析:∵∠ACB=90°,AC=BC=2,∴ ∠A=∠ABC=45°,
∴BC 及以边 BC为直径的半圆围成的扇形的面积 扇形 CAE的面积
∵阴影部分的面积=BC 及以边 BC为直径的半圆围成的扇形的面积+扇形CAE 的面积-△ABC的面积,
∴阴影部分的面积 -2.
25.2π/3
解析：连接OE，OF，由题意可知，四边形AOMD 是矩形,∠EOM=∠FOM,则
过点E作OM 的垂线，垂足为 P，
则
因为OE=OM=AD,CD=AD,
所以
在 Rt△EOP中,
所以∠EOP=30°,
则
所以EF的长度为
26.8π
解析:过点 C作CM⊥AB于点M,则AM
∵六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，
∵OA=OB,
∴△AOB是正三角形,
∵点O 是△AOB的内心,
∠ACB=2∠AOB=120°,
在Rt△ACM中,AM= ,∠CAM=30°,
∴AB的长为
∴花窗的周长为
27.(1)见解析(2)见解析 解析:(1)证明:∵C是BD的中点,
∴∠EAC=∠BAC.
∵AB是⊙O 的直径,
∴∠ACB=90°.
∵CE⊥AE,
∴∠AEC=90°,
∴∠AEC=∠ACB,
∴△ACE∽△ABC.
(2)证明:连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
由(1)知∠EAC=∠BAC,
∴ ∠EAC=∠OCA.
∴OC∥AE,
∵CE⊥AE.
∴OC⊥CE.
∵OC为⊙O的半径,
∴CE是⊙O的切线.
(3)连接OD.过点 O 作 OF⊥AD 于点 F,
则
∵AD=2CE,
∴AF=CE.
∵OF⊥AD,CE⊥AE,OC⊥CE,
∴四边形 EFOC 为矩形,
∴OF=CE,
∴OF=AF,
则△AFO为等腰直角三角形，
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠FAO=45°.
∴ ∠AOD=90°.
∴阴影部分的面积 -1.
28.(1)能;理由见解析
解析：(1)作出示意图如下，由题意知AB=AC=BC=7cm,
∵圆锥形的滤纸的底面周长 =5π(cm),
∴DE=5cm,
∴△CDE∽△CAB,
∴∠DCE=∠ACB,
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
(2)由(1)知CD=DE=CE=5cm,∴∠CDE=60°,
过C作CF⊥DE于点 F,则
在 Rt△CDF 中,
即滤 纸 围 成 圆 锥 形 的 体 积 是

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