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第22 关 与圆有关的位置关系
基础练
考点 1 与圆有关的位置关系
1.[2024湖南衡阳一模]已知点A 是⊙O 外一点,且⊙O 的半径为6、则OA 的长可能为 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
2.[2024 上海杨浦区三模]已知点A 在半径为3的圆O上，如果点A到直线a的距离是6，那么圆O与直线a 的位置关系是 ( )
A.相交 B.相离
C.相切 D.无法确定
3.[2024青海西宁二模]已知⊙O 的半径为8cm,圆心O到直线l上某点的距离为8cm，则直线l与⊙O 的公共点的个数为 ( )
A.0 B.1或0
C.0或2 D.1或2
4.[2024上海]在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,点P在△ABC内,分别以A,B,P为圆心画圆,圆A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是 ( )
A.内含 B.相交 C.外切 D.相离
考点 2 切线的性质与判定
5.[2024 福建]如图,已知点 A,B 在⊙O 上,∠AOB=72°,直线 MN与⊙O 相切,切点为 C,且C 为AB的中点,则∠ACM等于 ( )
A.18° B.30° C.36° D.72°
6.[2024山西]如图,已知△ABC,以AB 为直径的⊙O 交BC于点 D,与AC 相切于点A,连接OD.若∠AOD=80°,则∠C的度数为 ( )
A.30° B.40° C.45° D.50°
7.[2024 江苏扬州]如图,已知两条平行线l 、l ,点A 是l 上的定点,AB⊥l 于点 B,点 C、D分别是l 、l 上的动点,且满足AC=BD,连接 CD交线段AB 于点E,BH⊥CD于点 H,则当∠BAH最大时,sin∠BAH的值为 .
8.[2024重庆A卷]如图,以AB为直径的⊙O 与AC 相切于点 A，以AC 为边作平行四边形ACDE,点D,E均在⊙O上,DE与AB交于点 F,连接CE,与⊙O交于点 G,连接DG.若AB=10,DE=8,则AF= ,DG= .
9.[2024 四川南充]如图,在⊙O 中,AB 是直径,AE是弦,点 F 是AE上一点, AE,BF交于点 C,点 D 为 BF 延长线上一点,且∠CAD=∠CDA.
(1)求证:AD 是⊙O 的切线;
(2)若BE=4,AD=2 ，求⊙O的半径长.
10.[2024陕西]如图,直线l与⊙O 相切于点A,AB是⊙O 的直径,点 C,D在l上,且位于点A两侧,连接BC,BD,分别与⊙O交于点E,F,连接EF,AF.
(1)求证:∠BAF=∠CDB;
(2)若⊙O 的半径r=6,AD=9,AC=12,求EF的长.
考点 3 三角形的内切圆
11.[2024 山东滨州]刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的长分别为c，a，b，则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC 的内切圆直径d，下列表达式错误的是 ( )
A. d=a+b-c
D. d=|(a-b)(c-b)|
12.[2024 四川自贡]在 Rt△ABC 中,∠C=90°,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F.
(1)图1中三组相等的线段分别是 CE=CF，AF= ,BD= ;若AC=3,BC=4,则⊙O半径长为 .
(2)如图2,延长AC到点 M,使AM=AB,过点M作MN⊥AB于点N.求证:MN是⊙O 的切线.
13.[2024四川泸州]如图,EA,ED 是⊙O 的切线,切点为A,D,点 B,C 在⊙O 上,若∠BAE+∠BCD=236°,则∠E= ( )
A.56° B.60° C.68° D.70°
14.[2024 上海闵行区二模]在 Rt△ABC 中,∠CAB=90°,AB=5,AC=12,以点A,点 B,点 C 为圆心的⊙A,⊙B,⊙C 的半径分别为5,10,8、那么下列结论错误的是 ( )
A.点B在⊙A上
B.⊙A 与⊙B 内切
C.⊙A与⊙C有两个公共点
D.直线 BC 与⊙A 相切
15.[2024 山东日照二模]如图,AB 是⊙O 的直径,半径OC⊥AB、P 为⊙O 上一动点,M 为AP 的中点,连接CM.若⊙O 的半径为2,则 CM 的最大值为 ( )
C.4
16.[2024 陕西西安校级模拟]在△ABC 中,∠C=90°,∠A=60°,BC=4,若⊙C与AB 相离,则半径r满足 ( )
A. r>2 B. r<2
C.017.[2024 四川泸州校级模拟]如图，在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(0,1),P(-3,2),若点 C是以点 P 为圆心，1为半径的圆上一点，则△ABC面积的最大值为 ( )
D.2
18.[2024 四川内江]如图,在△ABC 中,∠ABC=60°,BC=8,E 是 BC边上一点,且BE=2,点1是△ABC的内心,BI的延长线交AC 于点 D,P是BD上一动点,连接PE、PC,则 PE+PC的最小值为 .
19.[2024重庆B卷]如图,AB 是⊙O 的直径,BC是⊙O的切线，点 B 为切点.连接AC交⊙O于点D,点E是⊙O上一点,连接BE,DE,过点A作AF∥BE交BD 的延长线于点 F.若 BC=5,CD=3,∠F=∠ADE,则AB 的长度是 ;DF 的长度是 .
20.[2024四川凉山州]如图,⊙M 的圆心为 M(4,0)，半径为2，P是直线y=x+4上的一个动点，过点P 作⊙M 的切线,切点为 Q,则 PQ 的最小值为 .
21.[2024湖北武汉]如图,△ABC为等腰三角形,O 是底边 BC 的中点，腰AC 与半圆 O 相切于点D，底边BC 与半圆O交于E，F两点.
(1)求证:AB与半圆O相切.
(2)连接OA.若 CD=4,CF=2,求 sin∠OAC的值.
22.[2024 内蒙古通辽]如图,△ABC中,∠ACB=90°,点O 为AC 边上一点,以点O 为圆心,OC为半径作圆与AB 相切于点 D，连接CD.
(1)求证:∠ABC=2∠ACD;
(2)若AC=8,BC=6,求⊙O的半径.
23.[2024 湖北]如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 E 在 AC 上,以 CE 为直径的⊙O 经过AB上的点 D,与OB交于点 F,且BD=BC.
(1)求证:AB是⊙O 的切线;
(2)若 求CF的长.
24.[2024山东临沂]如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,∠DAB=60°,AB=BC=2AD=2.以点 A为圆心，以AD为半径作 交AB于点 E,以点B为圆心，以BE为半径作EF交BC于点 F,连接FD交EF于另一点G，连接CG.
(1)求证:CG为EF月所在圆的切线；
(2)求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
25.[2024 山东烟台]如图,AB 是⊙O 的直径,△ABC内接于⊙O,点I为△ABC的内心,连接CI并延长交⊙O 于点 D. E 是BC 上任意一点，连接AD,BD,BE,CE.
(1)若∠ABC=25°,求∠CEB的度数;
(2)找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
(3)若 求△ABC的周长.
26.[2024 黑龙江齐齐哈尔]如图,△ABC 内接于⊙O,AB 为⊙O 的直径,CD⊥AB 于点 D、将△CDB沿BC所在的直线翻折、得到△CEB,点D的对应点为 E、延长EC 交 BA 的延长线于点F.
(1)求证:CF是⊙O 的切线;
(2)若 求图中阴影部分的面积.
27、[2024 广东广州]如图,在菱形ABCD 中,∠C=120°.点E 在射线 BC 上运动(不与点 B,点C重合),△AEB 关于 AE 的 轴 对 称图形为△AEF.
(1)当∠BAF=30°时,试判断线段AF 和线段AD 的数量和位置关系，并说明理由.
(2)若 ⊙O 为△AEF 的外接圆,设⊙O 的半径为r.
①求r的取值范围.
②连接 FD,直线 FD 能否与⊙O 相切 如果能，求BE的长度；如果不能，请说明理由.
第22关 与圆有关的位置关系
1. D 2. D
3. D 解析:∵⊙O 的半径为8cm,圆心O到直线l上某点的距离为8cm，
∴圆心O到直线l的距离小于或等于圆的半径，
∴直线l和⊙O 相切或相交，
∴直线l与⊙O公共点的个数为l或2.
4. B 解析:∵圆A 半径为1,圆 P 半径为3,圆A与圆 P内切,
∴PA=3-1=2,
∴P在以A为圆心、2为半径的圆(在△ABC内的部分)上运动.如图所示.
∴ 当点 P 运动到 P'位置时,圆 P 与圆 B圆心的距离最大，最大值为
圆P与圆 B 相交..
5. A 解析:∵C为AB的中点,
∵OA=OC,
∵直线MN与⊙O 相切于点C,
∴∠OCM=90°,
∴∠ACM=∠OCM-∠OCA=18°.
解题关键.
能根据 C为AB的中点,得到∠AOC= 是解题的关键.
6. D 解析:∵∠AOD=80°,
∵⊙O 与AC相切于点A,
∴∠BAC=90°,
∴∠C+∠B=90°,
7.
解析:∵l ∥l ,
∴∠ACE=∠BDE,∠CAE=∠DBE,
∵AC=BD,
∴ △ACE≌△BDE、
∵BH⊥CD,
∴∠BHE=90°,
∴点H在以 BE为直径的圆上运动，如图，取线段BE 的中点O，以点O 为圆心，OB的长为半径画圆，
则点H在⊙O上运动，
∴当AH与⊙O 相切时∠BAH 最大,
连接OH,
∴OH⊥AH、
易得AO=AE+OE=3OE、
∵OH=OE,
方法技巧.
解答本题的关键是发现点E是定点，点H在以 BE 为直径的圆上运动，当AH与该圆相切时，∠BAH 最大.
解析:如图,连接OD,∵AC与⊙O 相切,∴AB⊥CA,又∵四边形ACDE 是平行四边形,∴DE∥CA,∴AB⊥DE,
∵AB 是直径,
∴F为 DE 的中点,∴
∴AF=5+3=8.
如图所示,过点D作DH⊥CE于H,过C作CP⊥ED 交 ED 的延长线于 P,易知CP=AF=8,FP=CA=8,∴EP=12,
由等面积法可知
易知∠DGE=2∠BAE,∠DOB=2∠BAE,
∴∠DGE=∠DOB,又∠DHG=∠DFO=90°,∴△DGH∽△DOF,∴DCH=DPF,
难点突破..
求线段的长度有两个思路：一是构造直角三角形，利用勾股定理求解；二是利用两个三角形相似建立等式再求解，本题的突破口是构造直角三角形 DGH 与直角三角形 DOF，而后证明二者相似，解题关键是发现∠DGE=∠DOB.
:(1)见解析 (2)2
解析:(1)证明:
∴∠ABF=∠BAE.
∵ ∠CAD = ∠CDA, ∠ADC +∠ABF +∠BAE+∠CAD=180°,
∴∠BAE+∠CAD=90°,即∠BAD=90°,
∴AD⊥AB.
∵OA 是⊙O的半径,
∴AD 是⊙O 的切线.
(2)如图,连接AF.
∵AB 是直径,
∴∠AFB=90°,∴∠AFD=90°.
在Rt△ADF中,
又AB是直径，∴⊙O 的半径长为2
10.(1)见解析
解析：(1)证明：∵直线l与⊙O 相切于点A,
∴AB⊥CD,
∴∠BAC=∠BAD=90°,
∴∠CDB+∠ABD=90°,
∵AB是⊙O 的直径,
∴∠AFB=90°,
∴∠BAF+∠ABD=90°,
∴ ∠BAF=∠CDB.
(2)在 Rt△ABD中,
∵AB=2r=12,AD=9,
在Rt△ABC中,
∵AB=12,AC=12,
∵∠ABF=∠DBA,∠AFB=∠BAD,
∴△BAF∽△BDA,
∴BF:BA=BA:BD,
即BF:12=12:15,
∵∠BEF=∠BAF,∠BAF=∠CDB,
∴∠BEF=∠CDB,
∵∠EBF=∠DBC,
∴△BEF∽△BDC,
∴EF:CD=BF:BC,
即
11. D 解析:如图,设⊙O分别切△ABC的边AC,AB,BC 于点 E,F,D,连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,则AE=AF,BD=BF,OE⊥AC,OF⊥AB,OD⊥BC,
易证四边形 OECD 是正方形,设 OE=OD=OF=r,
则EC=CD=r,
∴AE=AF=b-r,BD=BF=a-r,
∵AF+BF=AB,
∴b-r+a-r=c,
∴d=a+b-c.故选项 A 正确.
∴ab=r(a+b+c),
即 故选项 B正确.
故选项C正确.
故选 D.
一题多解..
本题作为选择题，用特殊值法可快速确定答案.
∵三角形ABC为直角三角形，
∴令a=3,b=4,c=5.
选项A,d=a+b-c=2,
选项B
选项C
选项D,d=l(a-b)(c-b)l=1,
很明显，只有 D选项跟其他选项不一致，所以表达式错误的应是D选项.
12.(1)AD;BE;1 (2)见解析
解析:(1)由切线长定理可知,AF=AD,BD=BE,连接OE,OF,
∵∠C=90°,⊙O是△ABC的内切圆,
∴∠C=∠OEC=∠OFC=90°,OE=OF,
∴四边形OECF是正方形，
设OE=OF=CF=CE=x,则BE=BC-CE=4-x=BD,AF=AC-CF=3-x=AD,
=5,∴4-x+3-x=5,解得x=1,
∴OE=1,即⊙O半径长为1.
证明:过 O 作 OH⊥MN 于 H,连接OD,
∵∠ANM=90°=∠ACB,∠A=∠A,AM=AB,
∴△AMN≌△ABC(AAS),
∴AN=AC,
∵AD=AF,
∴AN-AD=AC-AF,即DN=CF、
由(1)可知,CF=OE、
∴DN=OE、
∵∠ANM=90°=∠ODN=∠OHN,
∴四边形 OHND 是矩形,
∴OH=DN,
∴OH=OE,即OH是⊙O的半径,
∵OH⊥MN,
∴MN是⊙O 的切线.
13. C 解析:连接AD,
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°,
∵∠BAE+∠BCD=236°,
∴ ∠EAD +∠BAD +∠BCD = ∠EAD+180°=236°,
∴∠EAD=56°,
∵EA,ED是⊙O的切线,切点为A,D,
∴EA=ED,
∴∠EDA=∠EAD=56°,
∴ ∠E=180°-∠EDA-∠EAD=180°-
14. D 解析:A.⊙A 的圆心A到点 B 的距离AB=5,而⊙A的半径是5,因此点B在⊙A上，所以选项A不符合题意；
B.⊙A 的半径为5,⊙B的半径为10,两个圆心之间的距离AB=5=10-5，所以⊙A 与⊙B 内切，因此选项 B 不符合题意；
C.⊙A的半径为5,⊙C 的半径为8,两个圆心之间的距离AC=12，满足8-5D.⊙A 的圆心A到BC的距离小于5，所以直线 BC与⊙A 相交，因此选项 D符合题意.
故选 D.
15. B 解析:如图,设 OA 的中点为 O',当点P在⊙O 上移动时,AP 的中点 M 的运动轨迹是以 OA 为直径的⊙O'，因此当点 M 为 CO'的延长线与⊙O'的交点时,CM最大,
由题意得,OA=OB=OC=2,OO'=O'A=1=0'M,
在Rt△O'OC中,OC=2,OO'=1,
∴CM 的最大值为、
16. C 解析:过C作CD⊥AB于 D,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,
∴∠B=30°,
∵⊙C 与AB 相离,
∴半径r满足017. A 解析:连接 PA,延长AP 交⊙P 于K,连接 BK,过 P 作 PH⊥x轴于 H,如图，
∵P(-3,2),A(-1,0),
∴OH=3,PH=2,OA=1,
∴AH=OH-OA=2,
∴AH=PH,
∴△PAH 是等腰直角三角形，
∴∠PAH=45°,
∵B(0,1),
∴OB=1,
∴OA=OB,
∴△OAB 是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°,
又∵AK过圆心P,
∴当 C 与 K 重合时,△ABC 的面积最大，
∵△APH,△ABO 是等腰直角三角形,
∵⊙P 的半径是1,
∴PK=1,
∴△ABC面积的最大值为
解析:在AB上取点F,使BF=BE=2,连接PF,CF,过点F作FH⊥BC于H,
∵点I是△ABC的内心,
∴BI平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
又BP=BP,
∴△BFP≌△BEP(SAS),
∴PF=PE,
∴PE+PC=PF+PC≥CF,当C,P,F三点共线时,PE+PC最小,最小值为CF的长，
∵FH⊥BC,∠ABC=60°,
∴∠BFH=30°,
=7,
∴ PE+PC的最小值为:2 13.
解析:∵AB是⊙O 的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠BDC=90°,
∵BC=5,CD=3,
∵ BC与⊙O 相切于B,
∴直径AB⊥BC,
∴∠ABC=90°,
∵ ∠BCD = ∠ACB,∠CDB = ∠ABC=90°,
∴△CDB∽△CBA,
∴DB:BA=CD:CB,
∴4:AB=3:5,
∵AF∥BE,
∴∠BAF=∠ABE,
∵∠ABE=∠ADE,∠F=∠ADE,
∴∠F=∠BAF,
故答案为
20.2
解析：连接MP，MQ，设直线y=x+4与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，
∵PQ是⊙M的切线,
∴MQ⊥PQ,
∴当 PM最小时,PQ 最小,当MP⊥AB时,MP最小,易知A(-4,0),B(0,4),
∴OA=OB=4,
∴∠BAO=45°,∵M(4,0),∴AM=8,当MP⊥AB时,MP=AM·sin∠BAO=8
∴PQ 的最小值为
21.(1)见解析(2)
解析:(1)证明:连接OA、OD,作 ON⊥AB交AB于N,如图.
∵△ABC 为等腰三角形,O 是底边 BC的中点，
∴AO平分∠BAC.
∵AC与半圆O相切于点 D，
∴OD⊥AC.
∵ON⊥AB,
∴ON=OD.
∴ON是半圆O的半径，
∴AB 与半圆O 相切.
(2)由(1)可知OD⊥AC,
∵△ABC为等腰三角形,O 是 BC 的中点,∴AO⊥BC.
∴∠AOC=90°,∠ODC=90°.
∴∠OAC+∠OCA=90°,∠COD+∠OCA=90°,
∴∠OAC=∠COD.
又∵OF=OD,CF=2,CD=4,
∴OC=OF+FC=OD+2,
在 Rt△ODC中,(
解得OD=3.
2.(1)见解析 (2)3
解析:(1)证明:连接OD,
∵AB为⊙O 的切线,
∴OD⊥AB,
∴∠ODA=∠ODB=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠COD=180°,
∵∠AOD+∠COD=180°,
∴∠ABC=∠AOD,
∵∠AOD=2∠ACD,
∴∠ABC=2∠ACD.
(2)设⊙O的半径为r,
则OD=OC=r,
OA=8-r,
在Rt△ACB中,
∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∵∠OAD=∠BAC,∠ADO=∠ACB,
∴△AOD∽△ABC,
即
解得r=3,
即⊙O的半径为3.
23.(1)见解析 (2)π/3
解析:(1)证明:连接OD,
在△OBD 和△OBC中
∴△OBD≌△OBC(SSS),
∴∠ODB=∠OCB=90°,
∵OD为⊙O的半径,
∴AB 是⊙O 的切线.
(2)由(1)知∠ODB=∠ODA=90°.
设⊙O 的半径为x，
在 Rt△AOD 中, 即(x+
解得x=1,
∴OD=1,OA=2,
∴∠AOD=60°.
∵△OBD≌△OBC,
=60°,
∴CF的长为
24.(1)见解析
解析:(1)证明:如图,连接BG,
∵AB=BC=2AD=2,
∴AE=AD=1,
∴ BE=AB-AE=1.
∴BF=BG=BE=1.
∴BF=AD.
∵AD∥BC,
∴四边形 ABFD 是平行四边形.
∴∠DFB=∠DAB=60°.
∴△BFG是等边三角形.
∴∠BGF=60°,FG=1.
又∵FC=BC-BF=1,
∴FC=FG.
∴ ∠CGB=∠BGF+∠CGF=90°.
∵BG是EF所在圆的半径，
∴CG为EF所在圆的切线.
(2)如图,过D作DH⊥AB于H,
在 Rt△AHD 中,
由(1)易知∠GBF=60°.
∵四边形ABFD为平行四边形，
∴DF=AB=2,∠ABF=120°,
∴DG=DF-GF=1,∠GBE=60°.
25.(1)115° (2)DI=AD=BD;证明见解析 (3)30
解析:(1)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,又∠ABC=25°,
∵四边形ABEC是⊙O 的内接四边形，
∴∠CEB+∠CAB=180°,
∴∠CEB=180°-∠CAB=115°.
证明:如图,连接AI,
∵点I为△ABC的内心,
∴ ∠CAI = ∠BAI, ∠ACI = ∠BCI =
∴∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD,
∵∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI,
∴∠DAI=∠DIA,
∴DI=AD=BD.
(3)如图,过I分别作IQ⊥AB,IF⊥AC,IP⊥BC,垂足分别为Q,F,P,
∵点I为△ABC 的内心,即为△ABC 的内切圆的圆心，
∴Q,F,P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ=AF,CF=CP、BQ=BP.
∵C1=2 、∠IFC=90°,∠ACI=45°,
∴CF=CI· cos 45°=2=CP.
∵ DI = AD = BD,DI= ,∠ADB=90°,
∴△ABC 的周长为AB+AC+BC
=AB+AF+CF+CP+BP
=AB+AQ+2CF+BQ
=2AB+2CF
=2×13+2×2
=30.
疑难突破..
问题(2)是本题难点，且对问题(3)起到铺垫作用.在解题中，要善于进行合理的猜想，从图中观察AD 和 BD 的长度与DI的长度可能相等，进而观察AD与 DI的位置关系，根据AD 与 DI有公共端点这一位置关系尝试通过“等角对等边”对猜想进行推理证明.
因此，在解决问题的过程中，“观察—猜想—证明”是一种有效的探究策略，在日常学习中要尝试体会和运用.
26.(1)见解析 (2)2π-4
解析:(1)证明:连接OC,
∵CD⊥AB,
∴∠BDC=90°,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∵将△CDB沿BC 所在的直线翻折，得到△CEB,
∴∠EBC=∠DBC,∠E=∠BDC=90°,
∴∠OCB=∠CBE,
∴OC∥BE,
∴∠OCF=∠E=90°,
∵OC是⊙O 的半径,
∴ CF 是⊙O 的切线.
∴∠CFB=45°,
∵∠OCF=90°,
∴∠COF=45°,
∵∠CDO=90°,
∴∠OCD=∠COD=45°,
∴阴影部分的面积=扇形AOC 的面积-△COD的面积 =2π-4.
27.(1)AF=AD;AF⊥AD;理由见解析
(2)①r≥3+3 且r≠6+2
②FD能与⊙O 相切;BE=12
解析: (1)∵ 在菱形 ABCD 中,∠C=120°,
∴∠BAD=∠C=120°,AB=AD,由对称可得AB=AF,
∴AF=AD.
∵∠BAF=30°,
∴∠FAD=120°-30°=90°,
∴AF⊥AD.
(2)①如图,连接AC、BD 交于 H,连接OA,OE,OF,OC,
∵四边形ABCD为菱形,∠BCD=120°,
∴AC⊥BD,∠BCA=60°,BA=BC,
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠AFE=60°=∠ACB.
∴点C在⊙O上,
∴∠AOE=2∠AFE=120°,O在BD上.
∵AO=OE,
∴∠AEO=∠EAO=30°.
过O作OJ⊥AE于J,
当AE⊥BC时,AE 的值最小,则AO 的值最小，
∵AB=6+6 ,∠ABC=60°,
∴此时AE=AB· sin 60°=(6+6 )×
∴r≥3+3
∵点E不与点B，C重合，
∴AE≠6+6
即r≠6+2
∴r≥3+3 且r≠6+2
②FD能与⊙O 相切.
如图，此时FD 与⊙O 相切，以A 为圆心，AC为半径画圆，连接CF，
∵AB=AC=AF=AD,
∴B,C,F,D在⊙A上,延长CA 与⊙A 交于L,连接 DL.
易证△ACD为等边三角形，
∴∠CAD=60°.
∴∠CLD=30°.
∴∠CFD=180°-30°=150°.
∵ FD为⊙O的切线,
∴∠OFD=90°.
∴∠OFC=60°.
∵OC=OF,
∴△OCF为等边三角形，
∴∠COF=60°.
∴∠DAF=60°-30°=30°,
∴∠BAF=120°-30°=90°,由对称可得∠BAE=∠FAE=45°,BE=EF.
过E作EM⊥AF于M,∴AM=EM,设AM=EM=x.
∵∠EFM=60°,
解得x=6
∴ BE=EF=12.

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