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第21关 圆的有关概念及性质
基础练
考点 1 圆的有关概念和垂径定理
1.[2024湖南长沙]如图,在⊙O中,弦AB 的长为8,圆心O 到AB 的距离OE=4,则⊙O 的半径长为 ( )
A.4 B.4 C.5 D.5
2.[2024 内蒙古通辽]如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段 CD 经过拱门所在圆的圆心,若AB=1m ,CD=2.5m，则拱门所在圆的半径为 ( )
A.1.25m B:1.3m C.1.4m D.1.45m
3.[2024四川凉山州]数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB,作AB 的垂直平分线CD交AB于点D,交AB于点 C,测出AB=40 cm,CD=10 cm,则圆形工件的半径为 ( )
A.50cm B.35 cm C.25 cm D.20cm
4.[2023湖南常德]沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧,C是弦AB的中点,D在AB上,CD⊥AB.“会圆术”给出AB长l的近似值s 的计算公式： 当OA=2,∠AOB=90°时,|l-s|= .(结果保留一位小数)
5.[2024江西抚州校级模拟]图1是某育花苗圃的木制大门，门上面一部分是半圆形，下面一部分是长方形.现有一辆装满货物的小货车要从该木制大门(大门相关尺寸见图2)开进该苗圃，车高2.5m，宽1.6m.问：这辆小货车能否通过该苗圃的木制大门
考点 2 圆心角、圆周角、弧、弦之间的关系
6.[2024湖南]如图,AB,AC为⊙O 的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC的度数为( )
A.60° B.75° C.90° D.135°
7.[2024 重庆B卷]如图,AB 是⊙O 的弦,OC⊥AB交⊙O 于点 C,点 D 是⊙O 上一点,连接BD,CD.若∠D=28°,则∠OAB 的度数为( )
A.28° B.34° C.56° D.62°
8.〔2024北京〕如图,⊙O 的直径AB 平分弦CD(不是直径).若∠D=35°,则∠C= °.
9.[2024江苏连云港]如图,AB 是圆的直径,∠1、∠2、∠3、∠4 的顶点均在 AB 上方的圆弧上,∠1、∠4 的一边分别经过点A、B,则∠1+∠2+∠3+∠4= °.
10.[2024四川南充]如图,AB是⊙O 的直径,位于AB两侧的点 C,D 均在⊙O 上,∠BOC=30°,则∠ADC= 度.
11.[2024 内蒙古包头]如图,AB 是⊙O 的直径,BC,BD是⊙O的两条弦,点 C与点 D 在 AB 的两侧,E是OB上一点(OE>BE),连接OC,CE,且∠BOC=2∠BCE.
(1)如图1,若BE=1,CE= ，求⊙O的半径；
(2)如图2,若BD=2OE,求证:BD∥OC.(请用两种证法解答)
考点 3 圆内接多边形
12.[2024 黑龙江牡丹江]如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，若∠BEC=20°,则∠ADC 的度数为 ( )
A.100° B.110° C.120° D.130°
13.[2024吉林]如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,过点 B 作 BE∥AD,交CD 于点 E.若∠BEC=50°,则∠ABC 的度数是 ( )
A.50° B.100° C.130° D.150°
14.[2024四川宜宾]如图,△ABC内接于⊙O,BC为⊙O 的直径,AD 平分∠BAC 交⊙O 于D,则 的值为 ( )
A. B. C.2 D.2
15.[2024 山东滨州]如图,四边形ABCD 内接于⊙O,若四边形 OABC 是菱形,则∠D = °.
16.[2024江西上饶一模]平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出n个不重复的圆，则n的值不可能为 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
17.[2024 新疆]如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为 E.若CD=8,OD=5,则BE 的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
18.[2024河南开封一模]如图，一圆弧过方格的顶点A，B，C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为(-2,4),点 B 的坐标为(-4,2)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是 ( )
A.(-1,2) B.(1,-1)
C.(-1,1) D.(2,1)
19.[2024湖北武汉一模]如图, 和 分别是以AB，AC为直径的两个半圆，其中AC 是半圆O的一条弦，E是AC的中点，D是 的中点.若AB=6,DE=1, ,且AC>3,则AC的长为 ( )
20.[2024陕西]如图,BC是⊙O 的弦,连接OB,OC,∠A 是BC所对的圆周角,则∠A 与∠OBC的度数的和是 .
21.[2024江西]如图,AB 是⊙O 的直径,AB=2,点C在线段AB 上运动,过点 C 的弦DE⊥AB,将 沿DE翻折交直线AB 于点 F,当 DE的长为正整数时，线段 FB 的长为 .
22.[2024浙江瑞安二模]图1是圆形置物架，示意图如图2所示.已知置物板AB∥CD∥EF，且点E是 BD 的中点.测得 AB=EF=12 cm,CD=18 cm,∠BAC=90°,∠ABG=60°,则该圆形置物架的半径为 cm.
23.如图,在圆内接四边形 ABCD 中、AD(1)若∠AFE=60°. CD 为直径,求∠ABD 的度数.
(2)求证:①EF∥BC;②EF=BD.
24.[2024 安徽马鞍山一模]如图,在⊙O 中,AB、AC为弦,CD为直径,AB⊥CD于 E, 于F,BF与CD相交于G.
(1)求证:
(2)若 求⊙O的半径.
25.[2024安徽蚌埠二模]如图，⊙O 中两条互相垂直的弦 AB,CD 交于点 P,AB 经过点 O,E 是AC 的中点,连接EP 并延长,交BD 于点 F.
(1)若 求AC的长；
(2)求证:EF⊥BD.
26.[2024辽宁大连一模]参考资料：对角互补的四边形的四个顶点一定在同一个圆上.
请利用上述结论解决以下问题：
如图,AB为⊙O 与⊙O 的公共弦,连接O A并延长交⊙O 于C,连接BC、O O .
(1)请探究O ,C,O ,B四点是否共圆,若是,请证明并使用尺规作图，作出四边形O CO B的外接圆，保留作图痕迹；若不是，请说明理由.
(2)若 写出CB与⊙O 的位置关系，并证明.
第21关 圆的有关概念及性质
1. B
2. B 解析:连接OA,
∵D 为AB 的中点，C 为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，AB=1m，
∴CD⊥AB,AD=BD=0.5m,
设拱门所在圆的半径为 rm，
∵CD=2.5m,∴OD=(2.5-r)m,
解得r=1.3,
∴拱门所在圆的半径为1.3m .
3. C 解析:设圆心为O,连接OB,
∵CD垂直平分AB,AB=40cm,
∴点O在直线 CD上,BD=20cm,
设圆形工件的半径为 rcm,则OC=OB=
rcm,
∵CD=10cm,∴OD=(r-10) cm,
解得r=25,即圆形工件的半径为25 cm.
4.0.1解析：连接OC、
∵OA=2,∠AOB=90°、
∵C 是弦AB的中点,
∴CO⊥AB,∵CD⊥AB,∴D、C,O共线,
∴|l-s1=|π-3|≈3.14-3≈0.1.
5.能通过
解析:∵车宽1.6m,1.6<2,
∴要判断小货车能否通过，只要比较距大门中轴线0.8m处的门高与车高即可.如图,过点O 作 OP⊥EF 于点 P,在 PF上取点 H,使得 PH=0.8 m,过点 H 作HM⊥AB于点 D,交半圆AB 于点 M.
易知DH=OP=2.3m,OM=OB=1m,OD=PH=0.8m.
在Rt△OMD中，由勾股定理可得，
∴MH=MD+DH=0.6+2.3=2.9(m),
∵2.9>2.5,
∴这辆小货车能通过该苗圃的木制大门.
6. C 解析:∵
又∵∠A=45°,
∴∠BOC=2×45°=90°.
7. B 解析:∵∠D=28°,
∴∠BOC=2∠D=56°.
∵OC⊥AB,
∴点 C为AB的中点,
∴∠AOC=∠BOC=56°,
8.55
9.90
解析：∵AB 是圆的直径，
∴AB 所对的弧是半圆，所对圆心角的度数为180°，所对的圆周角的度数为90°，∵∠1,∠2,∠3,∠4 所对的弧的和为半圆，
11.(1)3 (2)见解析
解析:(1)过点O作 OH⊥BC于点 H.
∵OC=OB,OH⊥BC,
∴∠COH=∠BOH,CH=BH,
∵∠BOC=2∠BCE,
∴ ∠BOH=∠BCE,
∵∠BOH+∠OBH=90°,
∴∠BCE+∠OBH=90°,
∴∠CEB=90°,
∴OB=3,∴⊙O的半径为3.
(2)证法一:过点O作OK⊥BD于点K,则BK=DK,
∵BD=2OE,∴OE=BK,
∵∠CEO=∠OKB=90°,OC=OB,
∴ Rt△OEC≌Rt△BKO(HL),
∴∠COE=∠OBK,
∴BD∥OC.
证法二:过点 O 作OK⊥BD 于点 K,则BK=DK,
∵BD=2OE,∴OE=BK,
=OB,
∴cos∠COE=cos∠OBK,
∴∠COE=∠OBK,
∴BD∥OC.
12. B 解析:连接AC,
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,
∵∠BEC=20°,
∴∠CAB=∠BEC=20°,
∵四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，
∴ ∠ADC=180°-∠ABC=110°.
13. C 解析:∵BE∥AD,
∴∠ADC=∠BEC=50°,
∵四边形ABCD 内接于⊙O,
∴∠ABC=180°-∠ADC=130°.
14. A 解析:如图,连接BD,CD,
∵BC是⊙O的直径,
∴∠BAC=∠BDC=90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∴BD=CD,
在四边形ABDC中，
∠ACD+∠ABD=180°,
将△ADC 绕 D 点逆时针旋转90°得到△A'DB,点A 的对应点为点A',则A,B,A'三点共线，
∴AB+AC=AB+A'B=AA',由旋转可知∠A'DB=∠ADC,A'D=AD,
∴ ∠A'DA =∠A'DB+∠BDA=∠ADC+.∠BDA=∠BDC=90°,
∴在等腰直角三角形A'DA 中, sin A'=
15.60
解析:∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠B+∠D=180°,
∵四边形OABC是菱形，
∴∠B=∠AOC,
∴∠AOC+∠D=180°,
由圆周角定理得 即∠AOC=2∠D,
∴2∠D+∠D=180°,
∴ ∠D=60°.
16. C 解析：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时n=1；
②当三点在一条直线上时，如图2，过A,B,C或A,C,D或A,B,D作圆,共可作3个圆,即n=3;
③当A，B，C，D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，如图3，
过A,B,C或B,C,D或C,D,A或D,A、B作圆，共可作4个圆，即n=4.
故n的值不可能是2，故选 C.
17. B 解析:∵ AB 是⊙O 的直径,且 AB⊥CD,
在 Rt△DOE中, ∴BE=5-3=2.
18. C 解析:如图所示,
∵AW=1,WH=3,
∵BQ=3,QH=1,
∴AH=BH,同理AD=BD,
∴DH 为线段AB 的垂直平分线，易得 WH 为线段AC 的垂直平分线，
∴H 为圆的两条弦的垂直平分线的交点，
则BH=AH=HC,H为圆心.
则该圆弧所在圆的圆心坐标是(-1，1).
19. D 解析:连接DA,DC,EO,BC,OE交AC于点 F,
∵E是AC的中点,∴OE垂直平分AC,
∴F是AC的中点.
∵AC为⊙F的直径,∴∠ADC=90°.
∵D是 的中点，
∴FD 垂直平分AC,
∴D,E,F,O在同一条直线上,DA=DC,∠DFA=90°,∴∠DAF=45°.∴DF=AF.设EF=x,则.DF=AF=CF=x+1,OF= ∴AC=2x+2,
∵F是AC的中点,O是AB的中点,
∴OF是△ABC的中位线,
∴BC=2OF=6-2x.
∵AB为⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,在Rt△ABC中，根据勾股定理得，
或
∵AC>3,∴2x+2>3,∴x> ,∴x=1
20.90°
解析:∵∠A是BC所对的圆周角，
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB.
又∵∠O+∠OBC+∠OCB=180°,
∴∠O+2∠OBC=180°,
即∠A+∠OBC=90°.
21.2- 或2或：
解析:∵AB=2,AB是⊙O的直径,
∴0∵ DE的长为正整数，
∴DE的长为1或2,
分情况讨论：
①当DE=1且DE在点 O 右侧时,连接OD,如图1,
由题意得 =1,
②当DE=2时,如图2,FB=20B=2.
③当DE=1且DE在点 O 左侧时,连接OD,如图3,
由题意得 =1,
综上，线段 FB 的长为 或2 或2
解题关键
根据DE≤AB,可得DE=1或2,利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键.
22.14
解析：如图，延长FE 交AC 于点J，过点B作BT⊥CD于点 T.
∵AB∥EJ∥CD,BE=ED.∴AJ=JC,∠CJO=∠CAB=90°.
∴FJ垂直平分线段AC，
∴圆心O在EJ 上,连接AO,设AO=OF=r cm.
易得 15(cm),
∴FJ=EJ+EF=12+15=27(cm),
∵∠CAB=∠ACD=∠BTC=90°,
∴四边形ACTB 是矩形,
∴AB=CT=12cm,
∴DT=CD-CT=18-12=6(cm),
∵AB∥CD,∴∠BDT=∠ABG=60°,
在Rt△AOJ中, ∴r=14,即圆形置物架的半径为14 cm.
23.(1)30°
(2)①见解析 ②见解析
解析:(1)∵ CD 为直径,∴ ∠CAD=90°,
∵∠AFE=∠ADC=60°,
∴∠ABD=∠ACD=30°.
(2)证明:①∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°,
又∵∠AFE=∠ADC,
∴∠AFE+∠ABC=180°,
∴EF∥BC.
②过点 D作DG∥BC交⊙O 于点 G,连接AG,CG,
∵DG∥BC,∴易得
∴BD=CG,
∵四边形ACGD 是圆内接四边形，
∴易得∠GDE=∠ACG,
∵ EF ∥BC、∴ EF ∥DG,∴ ∠DEF=∠GDE、
∴∠DEF=∠ACG,
∵∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC,
∴∠AFE=∠AGC、
∵AE=AC,∴△AEF≌△ACG(AAS),
∴EF=CG,∴EF=BD.
24.(1)见解析(2)
解析:(1)证明:连接BD,
∵AB⊥CD 于E,BF⊥AC于F,
∴∠CFG=∠GEB=90°,
又∵∠CGF=∠BGE,∴∠C=∠GBE,
∴∠C=∠DBE,
∴∠GBE=∠DBE,
∵AB⊥CD,
∴∠GEB=∠DEB=90°,
∴∠BGE=∠BDE,
∴BD=BG,
又∵BE⊥DG,
∴ED=EG.
(2)连接OA,设OA=r,则DG=r+2,
∵AB⊥CD于E,AB=4
在 Rt△OEA中,(
即
解得 或r=-6(舍),
即⊙O 的半径为
25.(1)2 (2)见解析
解析:(1)∵E是AC的中点,
∴OE垂直平分AC,
∵AB=10,∴OA=5,
(2)证明:∵AB⊥CD,
∴∠APC=∠BPD=90°,
∵E是AC的中点,
∵∠B 和∠C 都是弧 AD 所对的圆周角，
∴∠B=∠C,
又∵∠EPC=∠DPF,∠EPC=∠C,
∴∠DPF=∠B,
∵∠DPF+∠BPF=90°,
∴∠B+∠BPF=90°,
∴∠BFP=90°,∴EF⊥BD.
26.(1)O 、C、O ,B四点共圆;证明和作图见解析
(2)CB与⊙O 相切;证明见解析
解析:(1)证明:如图1,连接O B,O A,O B,O C,
∵AB为⊙O 与⊙O 的公共弦,
∴O ,C,O ,B四点共圆.
如图2，⊙O 即为所求作的四边形O CO B的外接圆.
(2)证明:由(1)得O ,C,O ,B四点共圆，
∴ ∠O O B = ∠BCA, △AO O 和△BO O 关于O O 成轴对称,
∴△O O B∽△BCA,
∴∠BO O =∠ABC,
即∠O BC=90°,
∵O B为⊙O 的半径,
∴CB与⊙O 相切.

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