资源简介

第20关 特殊的平行四边形
基础练
考点 1 矩形
1.[2024 四川成都]如图,在矩形ABCD中,对角线AC 与 BD 相交于点 O，则下列结论一定正确的是 ( )
A. AB=AD B. AC⊥BD
C. AC=BD D.∠ACB=∠ACD
2.[2024甘肃]如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点 O,∠ABD=60°,AB=2,则AC 的长为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3.[2024 四川泸州]已知四边形ABCD 是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD 为矩形的是
( )
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C. AC=BD D. AC⊥BD
4.[2024黑龙江绥化]在矩形ABCD 中,AB=4cm,BC=8cm,点 E在直线AD上,且DE=2cm,则点 E 到矩形对角线所在直线的距离是 cm.
5.[2024吉林长春]如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,O是边AB的中点,∠AOD=∠BOC.求证：四边形ABCD 是矩形.
6.[2024 贵州]如图,四边形ABCD 的对角线AC与BD相交于点 O,AD∥BC,∠ABC=90°,有下列条件:①AB∥CD,②AD=BC.
(1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形ABCD是矩形；
(2)在(1)的条件下,若AB=3,AC=5,求四边形ABCD的面积.
考点 2 菱形
7.[2024甘肃临夏州]如图，O 是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点 C 的坐标为(3，4)，则顶点A 的坐标为 ( )
A.(-4,2)
C.(-2,4)
8.[2024上海]在菱形 ABCD 中,∠ABC=66°,则∠BAC= °.
9.[2024广西]如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60°、则重合部分构成的四边形 ABCD 的周长为 cm.
10.[2024贵州]如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,AF.若sin∠EAF= ,AE=5,则AB的长为 .
11.[2024 广东]如图,菱形ABCD的面积为24,点E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 上的动点.若△BEF 的面积为4，则图中阴影部分的面积为
12.[2024 湖南长沙]如图,在 ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,∠ABC=90°.
(1)求证:AC=BD;
(2)点E 在 BC边上,满足∠CEO=∠COE,若AB=6,BC=8,求CE的长及tan∠CEO 的值.
考点 3 正方形
13.[2024陕西]如图,正方形 CEFG 的顶点 G 在正方形ABCD的边CD上,AF与DC 交于点 H,若AB=6,CE=2,则DH的长为 ( )
A.2 B.3 C. D
14.[2024内蒙古兴安盟]如图，边长为2 的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E 是BC边上一点,F 是 BD 上一点,连接 DE,EF.若△DEF与△DEC 关于直线DE 对称,则△BEF的周长是 ( )
A.2
D.
15.[2024 黑龙江龙东地区]如图,在菱形 ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，请添加一个条件： ，使得菱形ABCD为正方形.
16.[2024天津]如图,正方形ABCD的边长为3 对角线AC，BD相交于点O，点E在CA 的延长线上,OE=5,连接DE.
(1)线段AE 的长为 ;
(2)若 F 为 DE 的中点,则线段 AF 的长为
17.[2024河北]在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形ABCD 位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是 ( )
A.点A B.点 B C.点C D.点 D
18.[2024 山东临沂]如图,已知AB,BC,CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC 为边在该正 n边形的外部作正方形 BCMN.若∠ABN=120°,则n的值为 ( )
A.12 B.10 C.8 D.6
19.[2024 山西]在四边形ABCD 中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,EG,FH交于点 O.若四边形ABCD 的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为 ( )
A.互相垂直平分
B.互相平分且相等
C.互相垂直且相等
D.互相垂直平分且相等
20.[2024广西]如图,边长为5 的正方形ABCD,E,F,G,H分别为各边中点.连接AG,BH,CE,DF,交点分别为M,N,P,Q,那么四边形MNPQ的面积为 ( )
A.1 B.2 C.5 D.10
21.[2024 湖南长沙]如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠B=30°,点 E 是BC边上的动点,连接AE,DE,过点A 作AF⊥DE于点 F.设 DE=x,AF=y，则y与x之间的函数解析式为(不考虑自变量x的取值范围) ( )
22.[2024 山东泰安]如图,菱形 ABCD 中,∠B=60°,点E是AB边上的点,AE=4,BE=8,点 F是BC上的一点，△EGF 是以点 G 为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连接AG.当点F在直线 BC 上运动时，线段 AG 的最小值是 ( )
A.2
C.2 D.4
23.[2024 江苏苏州]如图,矩形 ABCD 中,AB = ，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD 向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A 作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为 ( )
A. B. C.2 D.1
24.[2024黑龙江龙东地区]如图,在正方形ABCD中,点 H 在 AD 边上(不与点 A、D 重合),∠BHF=90°,HF 交正方形外角的平分线 DF于点 F,连接AC交BH 于点 M,连接BF交AC于点 G,交 CD 于点 N,连接 BD.则下列结论:
①∠HBF=45°;②点 G 是 BF 的中点;③若点H 是 AD 的中点,则 ④BN= ⑤若 则 其中正确的结论是 ( )
A.①②③④ B.①③⑤
C.①②④⑤ D.①②③④⑤
25.[2024吉林]如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点 O,点 E 是 OA 的中点,点 F 是OD上一点、连接EF.若∠FEO=45°,则 的值为 .
26.[2024北京]如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,AF⊥DE于点 F,CG⊥DE 于点 G.若AD=5,CG=4,则△AEF 的面积为 .
27.[2024四川德阳]如图,四边形ABCD 是矩形,△ADG是正三角形,点 F 是 GD 的中点,点 P是矩形 ABCD 内一点,且△PBC 是以 BC 为底的等腰三角形，则△PCD 的面积与△FCD 的面积的比值是 .
28.[2024云南]如图,在四边形 ABCD 中,点 E,F、G、H分别是各边的中点,且AB∥CD,AD∥BC,四边形EFGH是矩形.
(1)求证:四边形 ABCD 是菱形;
(2)若矩形 EFGH 的周长为22,四边形 ABCD的面积为10，求AB 的长.
29.[2024江苏扬州]如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD.
(1)试判断四边形ABCD 的形状，并说明理由；
(2)已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2 位置时，四边形ABCD 的面积为8 cm ,求此时直线 AD,CD 所夹锐角∠1 的度数.
30.[2024吉林长春]如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.点 D 是边 BC上的一点(点 D 不与点B、C重合),作射线AD,在射线AD 上取点 P,使AP=BD,以AP 为边作正方形 APMN,使点M和点 C在直线AD同侧.
(1)当点 D 是边 BC的中点时,求AD 的长;
(2)当 BD=4时,点 D 到直线 AC 的距离为 ;
(3)连接 PN,当 PN⊥AC 时,求正方形 APMN的边长；
(4)若点 N 到直线 AC 的距离是点 M 到直线AC距离的3倍，则CD的长为 .(写出一个即可)
31.[2024青海]综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用.
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究.
【探究一】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
如图1,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是各边的中点.
求证：中点四边形EFGH是平行四边形.
证明:∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，
∴EF,GH分别是△ABC 和△ACD的中位线,
∴EF=GH.
同理可得:EH=FG.
∴中点四边形 EFGH 是平行四边形.
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形.
(1)请你补全上述过程中的证明依据： ① .
【探究二】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
AC=BD 菱形
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形.
(2)下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程.
【探究三】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
AC⊥BD ___②___
(3)从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是② .
(4)下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程.
【归纳总结】
(5)请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形.
原四边形对角线关系 中点四边形形状
③ ④
结论：原四边形对角线③ 时，中点四边形是④ .
第20关 特殊的平行四边形
LC
2C 解析:∵四边形ABCD 为矩形,对角线AC,BD相交于点O,∴OA=OB=OC=OD,
∵∠ABD=60°,
∴△OAB 为等边三角形,
∴OA=OB=AB=2,
∴OC=OA=2,
∴AC=OA+OC=4.
3. D 解析:当∠A=90°时,平行四边形ABCD 是矩形,
∴选项 A 可以判定 ABCD为矩形,故选项 A 不符合题意；
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD,
∴∠B+∠C=180°,
当∠B=∠C 时,∠B=∠C=90°,此时□ABCD 为矩形,
∴选项 B可以判定 ABCD为矩形，故选项 B不符合题意；
当 AC = BD 时,平行四边形 ABCD 是矩形，
∴选项 C可以判定 ABCD为矩形，故选项C不符合题意；
当AC⊥BD 时,平行四边形 ABCD 是菱形，
∴选项 D 不能判定 ABCD为矩形,故选项 D 符合题意.
或2
解析：①当点 E在线段AD 上时，如图1，过点E作EF⊥BD于点 F,
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠BAD=∠ABC= ∠ADC=90°,AC=BD,AD=BC,AB=CD,
∵AB=4cm,BC=8cm,
∴由勾股定理得
∵∠EFD=∠BAD=90°,∠EDF=∠BDA,
∴△DEF∽△DBA,
如图2,过点E作EM⊥AC于点M,
∵AD=BC=8cm,DE=2cm,
∴AE=6cm,
∵ ∠AME = ∠ADC = 90°, ∠EAM=∠CAD,
∴△AEM∽△ACD,
②当点E 在线段AD 的延长线上时，如图3,过点 E作EN⊥BD交BD 的延长线于点N，
∴∠END=∠BAD=90°,
∵∠EDN=∠BDA,
∴△END∽△BAD,
如图4,过点E作EH⊥AC交AC所在直线于点 H，
∴∠AHE=∠ADC=90°,
∵∠EAH=∠CAD,
∴△AHE∽△ADC,
∵AD=BC=8cm,DE=2cm,
∴AE=10cm,
③当点 E 在 DA 的延长线上时，与②同理.
综上，点E到矩形对角线所在直线的距离是 或2 cm.
5.证明:∵O 是边AB的中点,
∴OA=OB,
在△AOD和△BOC中,
∴△AOD≌△BOC(ASA),
∴DA=CB,
∵∠A+∠B=180°,
∴DA∥CB,
∴四边形ABCD 是平行四边形，
又∵∠A=90°,
∴四边形ABCD 是矩形.
解题思路..
先根据条件证明△AOD≌△BOC,再证明四边形ABCD是平行四边形，最后根据平行四边形与矩形的关系进行证明即可.
6.(1)见解析 (2)12
解析:(1)选择①,证明:∵AD∥BC,AB∥CD,
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵∠ABC=90°,
∴四边形ABCD 是矩形.
选择②,证明:∵AD∥BC,AD=BC,
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∵∠ABC=90°,∴四边形ABCD 是矩形.
(2)在Rt△ABC中,AB=3,AC=5,∠ABC
∵四边形ABCD 是矩形,
∴四边形ABCD的面积=AB·BC=3×4
12.
7. C 解析:过C作 CN⊥x轴于N,过A作AM⊥x轴于M、
∵点C的坐标为(3,4),
∴ON=3,CN=4,
∵四边形ABOC 是菱形,
∴AC=OC=5,AC∥BO,
∴∠ACN=180°-∠CNM=90°,
又∵∠AMN=∠CNM=90°,
∴四边形AMNC 是矩形,
∴MN=AC=5.
∴OM=MN-ON=2.
∴点A 的坐标为(-2,4).
8.57
9.8
解析：根据题意可得四边形 ABCD 为平行四边形，根据两张纸条宽度均为 3 cm可得平行四边形 ABCD 的四条边都相等，所以平行四边形ABCD 为菱形.过点C作 CE⊥AD,垂足为 E,由题意可得 ∴CD=2 ,∴ 四边形ABCD 的周长为 8
解析:如图,过点 E作EG⊥AF 于点 G,延长AF,BC,交于点H,
则∠EGA=∠EGH=90°,
∴EG=4,
∵四边形ABCD 是菱形,
∴ AD ∥BC,AD = AB = BC = CD,∠D=∠B,
∵点E,F分别是BC,CD的中点,
∴BE=DF,
∴△ADF≌△ABE(SAS),
∴AF=AE=5,
∴GF=AF-AG=2,
∵AD∥BC,
∴∠D=∠FCH,又∵∠AFD=∠HFC,DF=CF,
∴△ADF≌△HCF(ASA),
∴AF=HF=5,AD=CH,
∴AB=BC=CH,GH=GF+HF=2+5=7,
11.10
解析：连接BD，
∵E是AB的中点,
=6.
连接EC,
同理可得
=4.
24-6-4-4=10.
12.(1)见解析
(2)CE=5;tan∠CEO=3
解析：(1)证明：因为四边形ABCD 是平行四边形,且∠ABC=90°,
所以四边形ABCD 是矩形.
所以AC=BD.
(2)在 Rt△ABC 中,
所以
因为∠CEO=∠COE,
所以CE=CO=5.
过点O作OF⊥BC于点 F.
因为四边形 ABCD 是矩形，所以 OB=OC.
所以
所以EF=CE-CF=5-4=1.
在 Rt△COF 中,
所以
解题思路..
(1)由四边形 ABCD 是平行四边形，∠ABC=90°,证明四边形 ABCD 是矩形,则AC=BD.
(2)作OF⊥BC于点 F,由AB=6,BC=8,求得AC=10,则 CE=OC=5,再证明OC=OB,则 FC=FB=4,求得EF=1,由OC=5,CF=4,求得OF=3,进而得到
13. B 解析:由正方形 CEFG 和正方形ABCD,得AD∥GF,
∴ △ADH∽△FGH,
∴DH:HG=AD:GF=6:2=3:1,
由 DG=DC-CG=6-2=4,
得
14. A 解析:∵正方形ABCD的边长是2,
∵△DEF与△DEC关于直线 DE 对称,
∴DC=DF=2,EC=EF,
∴ △BEF的周长=BF+BE+EF=BF+BE
15. AC=BD(答案不唯一)
解析:添加AC=BD,
∵四边形ABCD 是菱形,AC=BD,
∴菱形ABCD 为正方形.
16.(1)2
解析:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OC=OD=OB,∠DOC=90°,在Rt△DOC中,
∴OD=OC=OA=OB=3(负值舍去),
∵OE=5,
∴AE=OE-OA=2.
(2)延长 DA 到点 G,使AG=AD,连接EG,过点E作EH⊥AG于H,如图,
∵F为DE 中点,A为DG中点,
∴AF为△DGE的中位线,
在 Rt△EAH中,∠EAH=∠DAC=45°,
∴AH=EH,
(负值舍去)，
在 Rt△EGH中,
(负值舍去)，
17. B 解析:由题意得点 A、B、C、D 的横、纵坐标均为正数.∵点A 和点 D 的横坐标相同，点D 的纵坐标大于点A 的纵坐标，∴点A 的“特征值”小于点 D 的“特征值”；同理，点B 的“特征值”小于点C的“特征值”.∵点A 和点 B 的纵坐标相同、点B 的横坐标大于点 A 的横坐标，∴点B的“特征值”小于点A 的“特征值”，∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点 B.
区A 解析:由已知得∠ABN = 120°,∠CBN=90°,故正 n边形的一个外角为 利用多边形外角和为360°,得
19. A 解析:连接BD,AC,EF,FG,GH,EH.
∵点E,H 分别为AB、AD 的中点,
同理
∵四边形 ABCD 的对角线相等，即AC=BD,
∴EH=FG=HG=EF,
∴四边形 EFGH为菱形,
∴EG与FH互相垂直平分.
20. C 解析:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴AB=BC=CD=DA,AB∥CD,AD∥BC,∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,∵E,F,G,H分别为各边中点,
∴CG=AE,∵AB∥CD,
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AG∥CE,
同理DF∥BH,
∴四边形 MNPQ 是平行四边形，
同理AM=QM,
∵ DG=AH,∠ADG=∠BAH =90°,AD=BA,
∴ △ADG≌△BAH(SAS),∴ ∠DAG=∠ABH,
∵ ∠DAG+∠GAB = 90°,∴ ∠ABH+∠GAB=90°,
∴∠QMN=∠AMB=90°,同理∠AQD=90°,∴平行四边形 MNPQ 是矩形,
∵ ∠AQD = ∠AMB = 90°, ∠DAG =∠ABH,AD=BA,
∴△ADQ≌△BAM(AAS),∴DQ=AM,又DQ=PQ,AM=QM,∴ DQ=AM=PQ=QM,
∴矩形 MNPQ 是正方形,
在Rt△ADQ中，
∴ 正方形 MNPQ 的面积为5.
疑难突破.
本题的解题关键为确定四边形 MNPQ为正方形，首先从正方形ABCD 及各边中点出发，得出四边形MNPQ 是平行四边形，进而得出平行四边形MNPQ 是矩形、正方形，最后根据勾股定理确定QM 的值，得出结果.
21. C 解析:过A作AG⊥BC于点 G,
∵∠B=30°,AB=6,
在菱形ABCD中,AD=AB=6.
∴6×3= xy,
解题关键..
用两种方法表示△ADE的面积，进而得到y与x的函数关系.
22. C 解析:如图,过 E 作 EM⊥BC 于点M,作MH⊥AB 于点 H,作AN⊥GM 交MG的延长线于点N，
∵∠EMF+∠EGF=180°,
∴E,M,F,G四点共圆,
∴∠EMG=∠EFG=30°,
∵∠B=60°,
∴∠BEM=30°=∠EMG,
∴MG∥AB,即点 G在过点 M 且平行于AB的直线上.
易证四边形 MHAN 是矩形，
∴MH=AN,
∵BE=8,
∴AG≥AN=2
∴AG的最小值是2
23. D 解析:连接AC,交EF于O,
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD,∠B=90°,
∵动点 E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点 B，D运动，
∴CF=AE.
∵AB∥CD,
∴∠ACD=∠CAB.
又∵∠COF=∠AOE.
∴△COF≌△AOE(AAS),
∴AO=CO=1.
∵AG⊥EF,
∴点G在以AO为直径的圆上运动.
∴当点 G与点O重合时，AG有最大值.最大值为1.
方法技巧..
根据全等可以发现运动过程中EF 始终经过对角线AC 的中点O,而∠AGO=90°，是定角，可知点G在以AO为直径的圆上运动，故AG为该圆的弦，从而根据直径是最长的弦确定AG的最大值.
24. A 解析:连接DG,
取AD延长线上一点为点 P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC=∠BAC=∠ADB=45°,B/AB= ,∠BAD=∠ADC=90°,AC 垂直平分BD,
∴∠CDP=90°,
∵DF平分∠CDP,
∴∠BDF=∠CDF+∠CDB=90°,
∴∠BHF=90°=∠BDF,
∴B,H,D,F四点共圆,
∴ ∠HFB = ∠HDB = 45°, ∠DHF=∠DBF,
∴ ∠HBF=180°-∠HFB-∠FHB=45°,故①正确；
∵AC垂直平分BD,
∴BG=DG,
∴∠BDG=∠DBG,
∵∠BDF=90°,
∴ ∠BDG + ∠GDF = 90°= ∠DBG+∠DFG,
∴∠GDF=∠DFG,
∴DG=FG,
∴DG=FG=BG,
∴点G是BF的中点，故②正确；
∴ ∠AHB + ∠DHF = 90°= ∠AHB+∠ABH,
∴∠DHF=∠ABH,
∵∠DHF=∠DBF,
∴∠ABH=∠DBF,
又∵∠BAC=∠BDC=45°.
∴△ABM∽△DBN.
故④正确；
若 则 AH),
∴3AH=AD,
即
∵AD∥BC,
∴△AHM∽△CBM,
故⑤错误；
若点H是AD的中点，
设AD=2,即AB=BC=AD=2,
同理可证△AHM∽△CBM,
∵BC=2,
∴ 在 Rt△BNC 中,
故③正确.
∴正确的结论是①②③④.
25.
解析：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°,AD=BC,
∵∠FEO=45°,∴∠FEO=∠DAC,
∴EF∥AD,
∵点E是OA的中点，
∴点F是OD的中点，
∴EF是△AOD的中位线,
即
26.
解析：根据正方形的性质，得AD=DC=5、CD∥AB,
∴∠CDG=∠AEF.
∵CG=4.
∴△AEF 的面积为
27.2
解析:如图,分别取BC,AD 的中点 M,N,连接MN,GN,过F作FR⊥CD交CD的延长线于点 R，延长 RF 与 GN 交于Q点.
设BC=a,CD=b,
∵ △PBC 是以BC为底的等腰三角形，
∴P在MN上,
∴P到 CD的距离为- a,
易证△GQF≌△DRF,
∵△ADG是正三角形,∴GN⊥AD,∴四边形 QNDR为矩形,.
28.(1)见解析 (2)
解析:(1)证明:∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形.如图，连
接AC,BD.
∵E,H分别为AB. AD的中点,
∴EH∥BD.
∵四边形EFGH 是矩形.
∴EF⊥EH.
∴EF⊥BD.
∵E,F分别为AB,BC的中点,
∴EF∥AC.
∴BD⊥AC.
∴平行四边形ABCD 为菱形.
(2)∵E,H分别为AB AD的中点.
同理
∵矩形 EFGH的周长为22,
∴AC+BD=22,
∵四边形ABCD 为菱形,
=20,
如图,设AC 与 BD 交于点O,∴AO +
疑难突破..
对于(2)，利用三角形中位线定理可推出AC+BD=22，利用菱形的面积公式求得AC·BD=20,进而求出AB的长.
29.(1)菱形;理由见解析 (2)30°解析:(1)四边形ABCD 是菱形,理由:如图1,作CH⊥AB于 H,CG⊥AD于G,
∵两个纸条均为矩形且宽度相等，
∴AB∥CD,AD∥BC,CH=CG,
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵S△ABCD=AB·CH=AD·CG,
∴AB=AD,
∴四边形ABCD 是菱形.
(2)如图2,作AM⊥CD于M,
∵S要用ABCD=CD、AM=8 cm ,且AM=2cm、
∴CD=4 cm,
∴AD=CD=4 cm,
在Rt△ADM中
∴∠1=30°.
(1)4 (2) (3)
(4) (或
解析:(1)∵AB=AC=5,D是BC中点,
(2)过点D作DK⊥AC于点K,∵BC=6,BD=4,∴CD=2.
由(1)可知
∵∠DKC=90°,
∴在 Rt△DKC中.
∴点 D 到AC 的距离为
(3)当NP⊥AC时,点 M落在边AC上,则∠DAC=45°,
设BD=x,则CD=6-x,
过点 D 作 DH⊥AC于点 H,
由(2)同理可得 I=
∵∠DHA=90°,∠DAC=45°,
即正方形 APMN的边长为
(4)①当点 M,N在AC 异侧时,设MN与AC交于点G、
过M作ME⊥AC于点 E,过N作 NF⊥AC于点 F.
易证△NFG∽△MEG,
设MG=a,则NG=3a,MN=AN=AP=BD=4a,
易证∠CAD=∠AGN,
由(1)可得
∴∠CAD=∠C,
∴AD=CD,
过点D作DQ⊥AC于点 Q,
在Rt△CDQ中
②当点M,N在AC同侧时,设PM与AC交于点G.
过M作ME⊥AC 于点E,过N作NF⊥AC于点 F,
易证△ANF∽△GME,
即
过点D作 DQ⊥AC于点 Q,
则
由(2)知
综上所述，CD 的长为 或
在等腰三角形ABC 中作高，可得到∠C的三角函数值.在解题中构造以∠C为内角的直角三角形，利用∠C 的三角函数值可得到线段间的数量关系，从而列出方程，求解线段长度.
31.(1)三角形中位线定理
(2)见解析 (3)矩形 (4)见解析
(5)垂直且相等；正方形；图形见解析解析:(1)略.
(2)证明:∵AC=BD,∴EF=FG,∴中点四边形 EFGH 是菱形.
(3)略.
(4)证明:∵ EH,EF 分别是△ABD 和△ABC的中位线,
∴EH∥BD,EF∥AC,
∴四边形EMON 是平行四边形，又∵AC⊥BD,
∴∠MON=90°,
∴∠MEN=∠MON=90°,
∴中点四边形 EFGH 是矩形.
(5)如图.(画法不唯一)

展开更多......

收起↑