资源简介

第19关 多边形与平行四边形
基础练
考点 1 多边形
1.[2024 云南]一个七边形的内角和等于 ( )
A.540° B.900° C.980° D.1080°
2.[2024 四川德阳]已知,正六边形ABCDEF的面积为6 ，则正六边形的边长为 ( )
A.1 B. C.2 D.4
3.[2024 四川乐山]下列多边形中，内角和最小的是 ( )
4.[2024四川甘孜州]如图,正六边形ABCDEF 内接于⊙O,OA=1,则AB的长为 ( )
A.2 B. C.1 D.
5.[2024重庆A卷]如果一个多边形的每一个外角 都 是 40°，那么 这 个多 边 形 的 边数为 .
6.[2024 四川广元]点 F 是正五边形 ABCDE 边DE 的中点，连接BF 并延长与 CD 延长线交于点 G,则∠BGC 的度数为 .
考点 2 平行四边形
7.[2024贵州]如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是 ( )
A. AB=BC B. AD=BC
C. OA=OB D. AC⊥BD
8.[2024四川乐山]如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四边形的是 ( )
A. AB∥DC,AD∥BC B. AB=DC,AD=BC
C. AO=CO,BO=DO D. AB∥DC,AD=BC
9.[2024四川眉山]如图,在 ABCD中,点O 是BD的中点,EF过点O,下列结论:①AB∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF·其中正确结论的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.[2024河北]下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知:如图,△ABC中,AB=AC,AE 平分△ABC 的外角∠CAN,点M是AC的中点，连接BM并延长交AE于点 D,连接CD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠3.
∵∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,
∴ ① .
又∵∠4=∠5,MA=MC,
∴△MAD≌△MCB( ② ).
∴MD=MB.
∴四边形ABCD是平行四边形.
若以上解答过程正确，①②应分别为 ( )
A.∠1=∠3,AAS B.∠1=∠3,ASA
C.∠2=∠3,AAS D.∠2=∠3,ASA
11.[2024广东广州]如图, ABCD中,BC=2,点E在 DA 的延长线上,BE = 3、若 BA 平分∠EBC,则DE= .
12.[2024湖北]如图,在平行四边形ABCD 中,E,F是对角线AC上的两点,AE=CF.
求证:BE=DF.
13.[2024 湖北武汉]如图,在 ABCD 中,点 E,F分别在边 BC,AD上,AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF.
(2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF 是平行四边形.(不需要说明理由)
14.[2024北京]如图,在四边形ABCD中,E 是AB的中点,DB,CE交于点F,DF=FB,AF∥DC.
(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；
(2)若∠EFB=90°,tan∠FEB=3,EF=1,求BC的长.
15.[2024四川遂宁]佩佩在“黄峨古镇”研学时学习扎染技术，得到一个内角和为1 080°的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为( )
A.36° B.40°
C.45° D.60°
16.[2024四川雅安]如图,⊙O 的周长为8π,正六边形ABCDEF 内接于⊙O.则△OAB 的面积为( )
A.4 B.4 C.6 D.6
17.[2024 内蒙古赤峰]如图是正 n边形纸片的一部分，其中l，m是正 n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是 ( )
A.5 B.6 C.8 D.10
18.[2024 山东聊城]如图,点E 为 ABCD的对角线AC上一点,AC=5,CE=1, 连接DE并延长至点 F,使得 EF=DE,连接BF,则BF为( )
A. B.3 C D.4
19.[2024 河北]直线l与正六边形ABCDEF的边AB,EF 分别相交于点M,N,如图所示,则α+β=( )
A.115° B.120°
C.135° D.144°
20.[2024湖北武汉]小美同学按如下步骤作四边形ABCD:(1)画∠MAN;(2)以点A为圆心,1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN 于点 B，D；
(3)分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧,两弧交于点 C;(4)连接 BC,CD,BD.若∠A=44°,则∠CBD的大小是 ( )
A.64° B.66° C.68° D.70°
21.[2024 四川自贡]如图,在 ABCD 中,∠B=60°,AB=6cm,BC=12 cm.点 P 从点A 出发,以1 cm/s的速度沿A→D 运动,同时点Q 从点C出发,以3c m/s的速度沿 C→B→C→…往复运动，当点 P 到达端点 D 时，点Q 随之停止运动.在此运动过程中，线段PQ=CD 出现的次数是 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
22.[2024内蒙古包头]若一个n边形的内角和是900°,则n= .
23.[2024 山东威海]如图,在正六边形ABCDEF中,AH∥FG,BI⊥AH,垂足为点 I.若∠EFG=20°,则∠ABI= .
24.[2024陕西榆林二模]如图是由正五边形和正n边形镶嵌而成的图形的一部分，则∠ABC 的度数为 °.
[2024四川凉山州]如图,四边形ABCD 各边中点分别是E,F,G,H,若对角线AC=24,BD=18,则四边形 EFGH的周长是 .
26.[2024 山西]如图,在 ABCD中,AC 为对角线,AE⊥BC 于点 E,点 F 是 AE 延长线上一点,且∠ACF=∠CAF,线段AB,CF 的延长线交于点 G.若AB= ,AD=4,tan∠ABC=2,则BG的长为 .
27.[2024 四川宜宾]如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,AD=4,E,F分别是边 CD、AD 上的动点,且CE=DF.当AE+CF的值最小时,CE=
28.尺规作图问题：
如图1,点E 是 ABCD边AD上一点(不包含A,D),连接CE.用尺规作AF∥CE,F是边 BC上一点.
小明：如图2，以C为圆心，AE长为半径作弧，交BC于点 F,连接AF,则AF∥CE.
小丽：以点A 为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点 F,连接AF,则AF∥CE.
小明：小丽，你的作法有问题.
小丽：哦……我明白了！
(1)证明图2中AF∥CE;
(2)指出小丽作法中存在的问题.
29.[2024江西]追本溯源
题(1)来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2).
(1)如图1,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D，过点D 作BC 的平行线，交AB于点E，请判断△BDE 的形状，并说明理由.
方法应用
(2)如图2,在 ABCD 中,BE平分∠ABC,交边AD于点 E,过点A作AF⊥BE交DC 的延长线于点 F,交 BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
②已知AB=3,BC=5,求CF的长.
30.[2024 湖南]如图,在四边形ABCD 中,AB∥CD,点 E 在边AB上, .
请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：
(1)求证：四边形 BCDE为平行四边形；
(2)若 AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长.
31.[2024 四川雅安]如图,点O 是 ABCD对角线的交点，过点 O 的直线分别交 AD，BC 于点E,F.
(1)求证:△ODE≌△OBF;
(2)当EF⊥BD时,DE=15 cm,分别连接BE,DF，求此时四边形 BEDF的周长.
32.[2024内蒙古包头]如图,在 ABCD中,∠ABC为锐角,点 E 在边 AD 上,连接 BE,CE,且
(1)如图1,若F 是边 BC 的中点、连接EF、对角线AC分别与BE,EF 相交于点 G,H、
①求证:H是AC 的中点;
②求AG:GH: HC.
(2)如图2，BE 的延长线与CD的延长线相交于点 M，连接AM，CE 的延长线与AM 相交于点N.试探究线段AM 与线段AN之间的数量关系，并证明你的结论.
33.[2024 江苏盐城]如图 1,E、F、G、H 分别是□ABCD 各边的中点,连接AF、CE 交于点 M,连接AG、CH 交于点 N,将四边形 AMCN 称为 ABCD的“中顶点四边形”.
(1)求证：中顶点四边形AMCN为平行四边形.
(2)①如图2,连接AC、BD交于点O,可得M、N两点都在 BD 上,当 ABCD 满足 时，中顶点四边形AMCN 是菱形；
②如图3，已知矩形AMCN 为某平行四边形的中顶点四边形，请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形.(保留作图痕迹，不写作法)
第19关 多边形与平行四边形
1. B
2. C 解析:如图,在正六边形ABCDEF中，O是正六边形的中心，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB,垂足为M,
∵六边形ABCDEF 是正六边形,
∴△AOB 是正三角形.
∴OA=OB=AB,
设AB=x(x>0),则OA=OB=x,
∴x=2,
即正六边形的边长为2.
3. A
4. C 解析:∵正六边形 ABCDEF 内接于⊙O,
∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OA=1.
5.9
6.18°
解析：由正五边形的性质可知，BG所在直线是正五边形ABCDE的对称轴，
∴∠DFG=90°,
∵∠FDG是正五边形ABCDE的外角,
7. B 8. D
9. C 解析:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC,AD∥BC,∠A=∠C,S△ABD= 故①③正确，
∴∠ODE=∠OBF,
∵点O是BD的中点，
∴OD=OB,
又∵∠DOE=∠BOF,
∴△ODE≌△OBF(ASA),
无法证明EO=ED,故②不正确,
即 故④正确，综上所述，正确结论的个数为3.
10. D
11.5
解析:在 ABCD中,BC=2,
∴BC∥AD,AD=BC=2,
∴∠CBA=∠BAE,
∵BA平分∠EBC,
∴∠CBA=∠EBA,
∴∠BAE=∠EBA,
∴BE=AE=3,
∴DE=AD+AE=2+3=5.
12.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥DC,AB=DC,
∴∠BAE=∠DCF.
在△AEB 和△CFD中,
∴△AEB≌△CFD(SAS).
∴BE=DF.
13.(1)见解析
(2)添加AF=BE(答案不唯一)
解析:(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D,
∵AF=CE,
∴AD-AF=BC-CE,即DF=BE,
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)AF=BE.(答案不唯一)
详解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC,即AF∥BE,
当AF=BE时,四边形ABEF 是平行四边形.
14.(1)见解析
解析:(1)证明:∵E 是AB的中点,DF=FB,
∴EF 为△ABD的中位线,∴EF∥AD,
∴CF∥AD,
∵AF∥DC,
∴四边形AFCD 为平行四边形.
(2)∵∠EFB=90°,
在 Rt△EFB 中, F=1,
∴FB=3,
由(1)得,EF为△ABD的中位线,
∴AD=2EF=2,
∵四边形AFCD为平行四边形，
∴CF=AD=2,
∴在 Rt△CFB中,由勾股定理得 BC=
15. C
16. B 解析:设⊙O 的半径为 r,由题意得2πr=8π,
解得r=4,
∵六边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，
∵OA=OB,
∴△AOB是正三角形,∴AB=OA=4,
∴弦 AB 所对应的弦心距为 2
17. B 解析:如图,直线l、m相交于点A,
则∠A=60°,
∵正多边形的每个内角相等，
18. B 解析:如图,连接BD交AC于O,
则
∵DE=EF,
19. B 解析:由正六边形 ABCDEF 可得,∠A=∠F=120°,
∵∠AMN=α,∠MNF=β,∠A+∠F+∠AMN+∠MNF=360°,
20. C 解析:由作图过程可得AB=AD=BC=DC,
∴四边形ABCD 是菱形,
∴∠CBD=∠ABD=∠ADB.
∵∠A=44°,
21. B 解析:由已知可得,P 从A 到 D 需12s,Q从C到B(或从B到C)需4s,设P,Q运动时间为 ts.
①当0≤t≤4时,由题可知,AP=t cm,CQ=3tcm,
∵PD∥CQ,
∴当 PQ=CD,且AP过Q作QH⊥AD于H,过C作CG⊥AD于G,
∴CQ=GH,∠QPH=∠D=∠B=60°,
∵AP∵PQ=CD=AB=6cm,
∵AP+PH+GH+DG=AD=BC=12 cm,
∴1+3+3t+3=12,
解得t=1.5.
当四边形 CQPD 是平行四边形时，
PQ=CD,PD=CQ=3tcm,
∴t+3t=12,
解得t=3.
∴t的值为1.5或3时,PQ=CD.
②当4此时BQ=3(t-4) cm,AP= lcm,
∵AD=BC,PD=CQ,
∴ BQ=AP,
∴3(t-4)=t,
解得t=6.
由①知,若四边形 CQPD 是以CD,PQ为腰的等腰梯形,则PD>CQ+6,即12-t>12-3(t-4)+6,解得t>9,故这种情况在4∴t的值为6时,PQ=CD.
③当8此时CQ=3(t-8) cm,PD=(12-t) cm,
∴3(t-8)=12-t,
解得t=9,
同②可知,当8∴t的值为9时,PQ=CD.
综上所述，PQ=CD出现的次数是4.故选 B.
22.7
23.50°
解析：∵多边形ABCDEF为正六边形，∴ 每个内角的度数为 =120°.
∵∠EFG=20°,
∴ ∠AFG=∠AFE-∠EFG=100°,
∵AH∥FG,
∴ ∠BAI=∠BAF-∠FAH=40°.
∵BI⊥AH,
∴∠ABI=90°-∠BAI=50°.
24.144
解析：正五边形的内角和为(5-2)×180°=540°,
所以正五边形每个内角的度数为540°÷5=108°,
∴ ∠ABC=360°-2×108°=144°.
25.42
解析：∵四边形ABCD 各边中点分别是E、F,G. H,
∴ EF, FG, GH, HE 分别为 △ABC,△BCD.△ADC,△ABD的中位线,
=9,
∴四边形 EFGH的周长为12+9+12+9=42.
解析：过点 G作GH垂直于 CB 延长线，垂足为H，
∵tan∠ABC=2,∴设AE=2m,BE=m,
() ,解得m=1(舍去负值),
∴BE=1,AE=2.
∵BC=AD=4,∴CE=4-1=3.
设EF=x,则AF=AE+EF=2+x,
∵∠ACF=∠CAF,∴AF=CF=2+x,在Rt△CEF中,(
解得
∵∠HBG=∠ABC,
∴tan∠HBG=tan∠ABC=2.
设BH=y,则
∵GH⊥BC,AE⊥BC,∴AE∥GH,
疑难突破..
本题的突破口是作辅助线 GH 构造△CEF∽△CHG.首先利用勾股定理求出EF的长，然后根据相似三角形的性质求出BH，GH的长，最后根据勾股定理求出BG的长.
27.
解析:如图,延长BC 至 H,使 CH=CD,连接EH,
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC=4,AB=CD=2,AD∥BC,
∴∠D=∠DCH,
又∵CD=CH,DF=CE,
∴△CDF≌△HCE(SAS),
∴CF=EH,
∴AE+CF=AE+EH,
∴当A,E,H三点共线时,AE+CF 的值最小，此时，
∵CD∥AB,∴△CEH∽△BAH,
28.(1)见解析
(2)以A为圆心，CE长为半径作弧，交BC于点 F，此时会有两个交点，只有其中之一符合题意，故不能保证作出的AF与CE平行
解析：(1)证明：根据小明的作法可知CF=AE,
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,
又∵CF=AE,
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF∥CE.
(2)略.
29.(1)等腰三角形；理由见解析
(2)①B ②2
解析:(1)∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∵DE∥BC,
∴∠EDB=∠DBC,
∴∠EDB=∠EBD,
∴EB=ED,
∴△BDE是等腰三角形.
(2)①B.
②∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC,
∴∠AEB=∠EBC,∠BAF=∠AFD.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE,
∵AF⊥BE,
∴ ∠BAF=∠DAF,
∴∠DAF=∠AFD,
∴DF=AD=BC.
∵AB=3,BC=5,
∴CF=DF-CD=AD-AB=BC-AB=5-3=2.
30.①(或②) (1)证明见解析 (2)6解析: (1) 选择①的证明:∵ ∠B=∠AED,
∴BC∥DE、
∵AB∥CD、
∴ 四边形 BCDE 为平行四边形.
选择②的证明:∵AE=BE,AE=CD,
∴BE=CD,
∵AB∥CD,
∴四边形 BCDE为平行四边形.
(2)由(1)可知,四边形 BCDE 为平行四边形，
∴DE=BC=10,
∵AD⊥AB,
∴∠A=90°,
即线段AE的长为6.
31.(1)见解析 (2)60 cm
解析:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥CB,∴∠OED=∠OFB,
∵点O 是 ABCD 对角线的交点,
∴OD=OB,又∵∠DOE=∠BOF,
∴△ODE≌△OBF(AAS).
(2)由(1)得△ODE≌△OBF,∴ DE=BF,
∵DE∥BF,
∴四边形BEDF 是平行四边形，
∵EF⊥BD,∴四边形BEDF是菱形,
∴DF=BF=BE=DE=15 cm,
∴DF+BF+BE+DE=4DE=4×15=60(cm),
∴ 四边形 BEDF 的周长为60 cm.
32.(1)①见解析 ②2:1:3
(2)AM=3AN;证明见解析
解析:(1)①证明:∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC,AD=BC,
∴AD 和 BC 之间的距离处处相等，且∠EAH=∠FCH,
∵F是BC的中点,
∴CF=AE,
又∵∠AHE=∠CHF,
∴△AEH≌△CFH(AAS),
∴AH=CH,
∴H是AC的中点.
②∵∠EAH=∠FCH,∠AGE=∠CGB,
∴△AGE∽△CGB,
设AG=2a,则CG=4a,
∴AC=6a,
∴AH=CH=3a,
∴GH=AH-AG=a,
∴AG:GH:HC=2a:α:3a=2:1:3(2)证明:过M作 MQ∥BC交 CN的延长线于点Q.
由(1)可知
∵ED∥BC,
∵MQ∥BC,
∴∠MQE=∠BCE,
∵∠MEQ=∠BEC,EM=BE,
∴△MQE≌△BCE(AAS),
∴MQ=BC,
∵MQ∥AD,
∴∠MQE=∠AEN,
∵∠MNQ=∠ANE,
∴△MQN∽△AEN,
∴MN=2AN,
∴AM=MN+AN=3AN.
33.(1)见解析 (2)①AC⊥BD(答案不唯一) ②见解析
解析:(1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,AD=BC,
∵点 E，F，G，H分别是平行四边形ABCD各边的中点，
又∵AE∥CG,
∴四边形AECG为平行四边形，同理可得四边形AFCH 为平行四边形，
∴AM∥CN,AN∥CM,
∴四边形AMCN是平行四边形.
(2)①AC⊥BD.(答案不唯一)
②如图所示，平行四边形ABCD 即为所求.
详解：连接AC、MN交于点 O，然后延长OU至点B,使BM=2OM,廷长ON至点D.使得D. V=20N.
最后连接AB、BC、CD、AD,四边形ABCD即为所求.
证明:∵四边形AMCN为矩形,∴AC=MN、OM=ON,
∵ND=2ON、MB=2OM,
∴OB=OD,
∵OA=OC,OB=OD,
∴四边形ABCD 为平行四边形.
如图,分别延长CM、AM、AN、CN 交平行四边形ABCD 四边于点 E、F、G、H,
∵OM=ON,
∴MN=2OM.
∵BM=2OM、
∴BM=MN.
∵四边形AMCN为矩形，
∴AM∥CN、∴BF=CF,
即点 F 为BC的中点，
同理点 E为AB的中点,点 G 为 DC的中点，点H为AD 的中点.
故此作法符合题意.

展开更多......

收起↑