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第18关 解直角三角形
基础练
考点 1 锐角三角函数
1.[2024云南]如图,在△ABC中,若∠B=90°,AB=3,BC=4,则 tan A= ( )
A. B. C. D.
2.[2024 重庆江北区一模]如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,若 则 sin A 的值为( )
A. B. C. D.
3.[2024 天津红桥区三模]t 的值为 ( )
A.1 B. C.2 D.2
4.[2024河北张家口一模]一架梯子(长度不变)一端放在水平地面上，梯子跟地面所成的锐角为∠A，下列关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间关系的叙述，正确的是 ( )
A. sin A 的值越大,梯子越陡
B. c osA的值越大,梯子越陡
C. t anA 的值越小,梯子越陡
D.梯子的倾斜程度与∠A 的三角函数值无关
5.[2024 广东广州二模]在正方形网格中,∠AOB如图放置,则cos∠AOB 的值为 ( )
A. C. D.2
6.[2024江苏常州一模]在 Rt△ABC中,∠C=90°, 则 tan A= .
考点 2 解直角三角形
7.[2024甘肃临夏州]如图,在△ABC中,AB=AC=5, sin B= 则 BC 的长是
A.3 B.6 C.8 D.9
8.[2024吉林长春]2024年5月29 日16时12分,“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射.当火箭上升到点 A 时，位于海平面R处的雷达测得点 R 到点A 的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为 ( )
A.asinθ千米 千米
C.acosθ千米 千米
9.[2024宁夏]如图1是三星堆遗址出土的陶岙(hè)，图2是其示意图.已知管状短流 AB=2cm,四边形BCDE是器身,BE∥CD,BC=DE=11 cm,∠ABE=120°,∠CBE=80°.器身底部 CD距地面的高度为21.5cm，则该陶岙管状短流口A距地面的高度约为 cm(结果精确到0.1 cm).(参考数据: 0.1736,tan80°≈5.6713, ≈1.732)
10.[2024四川眉山]如图,斜坡CD的坡度i=1:2,在斜坡上有一棵垂直于水平面的大树AB，当太阳光与水平面的夹角为60°时，大树在斜坡上的影子BE 长为10 米、则大树AB 的高为 米.
11.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE 是BC 边上的中线,AB=10,AD=6,ian∠ACB=1.
(1)求 BC的长;
(2)求 sin∠DAE 的值.
12.2024 黑龙江大庆]如图，CD 是一座南北走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由北向南行驶，在A 处测得桥头 C 在南偏东30°方向上，继续行驶1500米后到达B处，测得桥头C在南偏东60°方向上，桥头D 在南偏东45°方向上，求大桥CD的长度.(结果精确到1米，参考数据：
13.[2024甘肃兰州]单摆是一种能够产生往复摆动的装置、某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下.
实验主题 探究摆球运动过程中高度的变化
实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等
实验说明 如图1，在支架的横杆点O 处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动.(摆线的长度变化忽略不计) 如图2，摆球静止时的位置为点 A，拉紧摆线将摆球拉至点 B 处,BD ⊥ OA.∠BOA=64°,BD=20.5cm ;当摆球运动至点C时,∠COA=37°,CE⊥OA(点 O,A,B,C,D,E在同一平面内)
实验图示
解决问题：根据以上信息，求ED的长.(结果精确到0.1 cm)
参考数据: sin 37°≈0.60, cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75, sin 64°≈0.90, cos 64°≈0.44,tan 64°≈2.05.
提升练
14.[2024江苏常州模拟]将 Rt△ABC 的各边长都扩大至原来的2倍，则cosA的值 ( )
A.不变 B.变大
C.变小 D.无法判断
15.[2024广东梅州一模]△ABC中,∠A,∠B都是锐角，且 则△ABC 的形状是 ( )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
16.[2024 广东深圳二模]如图是某滑雪场一段雪道的示意图，该雪道的平均坡角约为20°，在此雪道向下滑行100米，高度大约下降了 ( )
米 米
C.100sin 20°米 D.100cos20°米
17.[2024湖南]如图，左图为《天工开物》记载的用于春(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图，右图为其平面示意图.已知AB⊥CD 于点 B,AB 与水平线l相交于点 O,OE⊥l.若BC=4分米,OB=12分米,∠BOE=60°,则点C 到水平线l的距离 CF 为 分米(结果用含根号的式子表示).
18.[2024山东泰安]在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识测量大汶河某河段的宽度.他们在河岸一侧的瞭望台上放飞一只无人机.如图，无人机在河上方距水面高60米的点P 处测得瞭望台正对岸A 处的俯角为50°，测得瞭望台顶端C 处的俯角为63.6°，已知瞭望台BC高12米(图中点A,B,C,P在同一平面内).那么大汶河此河段的宽 AB 为 米.(参考数据：
19.[2024河南南阳校级模拟]如图，在边长相同的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB 与 CD 相交于点 P，则tan∠APD 的值为 .
20.[2024 江西]将图1 所示的七巧板,拼成图2所示的四边形ABCD,连接AC,则 tan∠CAB=
21.[2024江苏南京校级模拟]如图，在直角三角形ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,点 D 是线段AC上的动点,设∠BDC=α,∠BAC=β,有以下结论：
①0°<β<α<90°,且 tan α>tanβ;
②0°<β<α<90°,且cosα>cosβ;
③当D为AC 中点时,
④当BD 平分∠CBA 时,tanβ=2tanα.其中，正确的是 .(填序号)
22.[2024 内蒙古通辽]在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度.如图，从C点测得杨树底端 B 点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D 点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB 的高度(精确到0.1米,AB,BC,CD 在同一平面内,点 C、D 在同一水平线上，参考数据：
23.[2024 山东菏泽校级模拟]已知△ABC 的三个内角∠A,∠B,∠C 的对边分别为a,b,c.
观察:若∠A=35°,∠B=45°,
则有
模仿：已知
(1)求 sin C的值;
(2)若a=7,求S△ABC.
24.[2024重庆A卷]如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向 B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达 B 港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达 C 港.乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港.
(参考数据：
(1)求A，C两港之间的距离(结果保留小数点后一位).
(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同(停靠 B，D两港的时间相同)，哪艘货轮先到达 C 港 请通过计算说明.
25.[2024安徽]科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验.如图，光线自点 B处发出，经水面点 E 折射到池底点 A 处.已知BE 与水平线的夹角α=36.9°,点 B 到水面的距离 BC=1.20m,点A 处水深为1.20m,到池壁的水平距离AD=2.50m.点 B,C,D在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β，折射角为γ，求 的值(精确到0.1).
参考数据: sin 36.9°≈0.60,c os36.9°≈0.80,tan 36.9°≈0.75.
26.[2024 贵州]综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习.
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A 处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC 的夹角为∠A；
第二步：向水槽注水，水面上升到AC 的中点 E处时，停止注水.(直线 NN'为法线，AO 为入射光线，OD 为折射光线)
【测量数据】
如图,点A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平面内,测得AC=20cm,∠A=45°,折射角∠DON=32°.
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求BC的长;
(2)求B,D之间的距离(结果精确到0.1 cm).(参考数据: sin 32°≈0.52, cos 32°≈0.84,t an32°≈0.62)
27.[2024广东]中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献.为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，下图是矩形充电站 PQMN的平面示意图、矩形 ABCD 是其中一个停车位、经测量、∠ABQ=60°,AB=5.4m,CE=1.6m ,GH⊥CD,GH 是另一个车位的宽，所有车位的长、宽分别相同，按图示并列划定.
根据以上信息回答下列问题：(结果精确到0.1m,参考数据:
(1)求 PQ 的长;
(2)该充电站有20个停车位，求PN的长.
28.[2024江苏连云港]图1 是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2,正八边形游乐城A A A A A A A A 的边长为 km，南门O设立在A A，边的正中央，游乐城南侧有一条东西走向的道路 BM，A A 在BM 上(门宽及门与道路间距离忽略不计)，东侧有一条南北走向的道路BC，C处有一座雕塑.在A 处测得雕塑在北偏东45°方向上，在A 处测得雕塑在北偏东59°方向上.
(2)求点A 到道路BC的距离；
(3)若该小组成员小李出南门O 后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响.
(结果精确到0.1 km，参考数据： tan 59°≈1.66)
第18关 解直角三角形
1. C 解析:因为在△ABC 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,所以
2. B 解析:在 Rt△ABC中,∵∠C=90°,
设AC=4x,BC=3x,
由勾股定理得
3. C 4. A 5. A
6.
解析：由 可设BC=4x,则AB=5x,在 Rt△ABC 中,由勾股定理得
7. B 解析:过点 A 作 BC 的垂线,垂足为M,
在 Rt△ABM中.
又∵AB=AC,∴BC=2BM=6.
8. A 解析:在 Rt△ALR中,AR=a,∠ARL=
∴AL=AR·sinθ=asinθ千米.
9.34.1
解析：如图，过点C作CF⊥BE,垂足为 F,过点A作AG⊥EB交EB 的延长线于点G，
∵∠ABE=120°,
∴∠ABG=180°-∠ABE=60°,
在Rt△ABG中,AB=2cm,
在 Rt △BCF 中,∠EBC = 80°, BC =11 cm,
∴ CF= BC· sin 80°≈11×0.984 8=10.8328(cm),
∵器身底部 CD 距地面的高度为21.5cm,
∴该陶岙管状短流口A 距地面的高度= +10.8328+21.5≈34.1(cm),
∴该陶岙管状短流口A距地面的高度约为34.1 cm.
10.(4 -2
解析：如图，过点 E作AB的垂线，交AB的延长线于点H，
易知EH∥CF,
则∠BEH=∠DCF,
在Rt△BEH中,tan∠BEH=tan∠BCF=
设BH=x米,则EH=2x米,
米=10米,
∴x=2
米,EH=4 米，
∵∠EAH=180°-60°-90°=30°,
∴AH= EH=4 米，
米.
∴大树AB 的高为(4 -2 )米.
11.(1)14
解析:(1)∵AD⊥BC,AB=10,AD=6,
∵tan∠ACB=1,∴ CD=AD=6,
∴ BC=BD+CD=8+6=14.
(2)∵AE是BC边上的中线,
∴ DE=CE-CD=7-6=1,
∵AD⊥BC,
12.548米
解析：分别过点 C 和点 D 作 AB 的垂线，垂足分别为M，N，
在 Rt△CBM 中, tan 60°=
所以CM= BM,
在 Rt△ACM 中,
因为AM=AB+BM,AB=1500米,所以 则BM=750米,
所以CM=750 米，
所以DN=CM=750 米.
在 Rt△DBN 中, tan 45°=1,
所以BN=DN=750 米，所以 米，则 CD=MN=750 -750≈548(米),故大桥CD的长度为548米.
13.8.2cm
解析:在 Rt△OBD 中,∠ODB = 90°,∠BOA=64°,BD=20.5cm,
∴OD=10cm,OB≈22.78 cm,在 Rt△COE 中,OC=OB=22.78 cm,∠COA=37°,
即
∴OE=18.224(cm),
∴ ED=OE-OD≈8.2cm.
14. A
15. C 解析:
∴∠A=45°,∠B=60°,∴∠C=75°,
∴△ABC 的形状是锐角三角形.
16. C 解析:由题意得AB⊥BC,在Rt△ABC中,∠ACB=20°,∴在此雪道向下滑行100米，高度大约下降了100sin 20°米.
17.(6-2
解析：延长DC交l于点H，连接OC，在 Rt△OBH 中,∠BOH = 90°-60°=30°,OB=12,
∴BH=12×tan30°=4 ,OH=8
·BC.
即 ∴CF=(6-2 )分米.
18.74
解析:如图,过点 P作PE⊥AB于点E.过点C作CF⊥PE于点 F,
则∠NPC=∠PCF=63.6°,
∠MPA=∠BAP=50°,BC=EF=12米,PE=60米,
∴PF=PE-EF=48米,
在 Rt△PFC中,
∴CF=24米,∴BE=24米,
在Rt△APE中,
∴AE=50米,∴AB=AE+BE=74米.
19.2
解析：如图，连接BE，
∵四边形 BCED是正方形，
BE⊥CD,BF=CF,
根据题意得AC∥BD,
∴△ACP∽△BDP,
∴DP:CP=BD:AC=1:3,
∴DP:DF=1:2,
在 Rt△PBF中,
∵∠APD=∠BPF,∴tan∠APD=2.
20.
解析：设AC与BD交于点O，由七巧板可知△ABD 和△BCD 是全等的等腰直角三角形，
∴AB=BD=CD,∠ABD=∠BDC=90°,
∴AB∥CD,
∴四边形ABCD 是平行四边形，
①
解析:∵∠BDC 是△BAD 的外角,
∴∠BDC=∠A+∠ABD.
∴∠BDC>∠A、即α>β,又∵∠C=90°,
∴0°<β<α<90°,且 tan α>tanβ,cosα故①正确，②错误；
∵∠C=90°,BC=3、AC=4,
过点 D 作DE⊥AB,垂足为E,当D为AC中点时，
即3×4=2×3+5DE,∴DE=
在Rt△BDE中. 故③错误；
当 BD 平分∠CBA 时,∵ DE⊥AB,DC⊥BC,
∴DC=DE,
∴3×4=3DC+5DE,∴8DC=12,
在Rt△BCD中,
在 Rt△BCA 中,
∴tanβ≠2tanα,故④错误.
综上，正确的是①.
!2.6.2米
解析:延长AB交DC于H,则∠AHD=90°,
∵∠BCH=30°,BC=6米,
米， 3 米，
∵∠ADC=45°,
∴AH=DH=CD+CH=(4+3 )米,
6.2(米).
答：杨树AB 的高度约为6.2米.
解析：(1)由观察可知，
由观察得
又由观察可得 sin/B= sin(A+C)= sin Acos C
24.(1)A,C 两港之间的距离约为77.2 海
里 (2)甲货轮先到达；理由见解析
解析:(1)过点 B作BE⊥AC,垂足为E.
在Rt△AEB中,∠BAE=45°,AB=40,
∴AE=BE=40sin45°=20
在 Rt△EBC中,∠EBC=60°,
答：A，C 两港之间的距离约为77.2海里.
(2)在 Rt△EBC中,∠EBC=60°,EB=20
∵甲货轮的航线为A→B→C,
∵乙货轮沿A 港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，C港在D 港的南偏东30°方向,
∴∠ADC=90°.
在Rt△ADC中,∠DAC=30°,AC=20
∵乙货轮的航线为A→D→C,
∵两艘货轮的航行速度相等，且96.4<105.4,∴甲货轮先到达 C 港.
25.1.3
解析:过点 E作EH⊥AD,垂足为点H,由题意可知,∠CEB=α=36.9°,EH=
AH=AD-CE=2.50-1.60=0.90,
故. 1.50.
于是
又
cos 36.9°≈0.80,故
26.(1)20cm (2)3.8cm
解析:(1)在 Rt△ABC中,∠A=45°.
∴∠ABC=45°.∴BC=AC=20cm.
(2)由题意可知 10cm,
∴ NB=ON=10cm,
∵∠DON=32°,
∴DN=ON·tan∠DON=10×tan 32°≈10×0.62=6.2(cm),
∴BD=BN-DN=10-6.2=3.8(cm).
27.(1)6.1m (2)66.7m
解析:(1)∵四边形 PQMN 是矩形,∴∠Q=∠P=90°,
在 Rt △ABQ 中,∠ABQ = 60°,AB =5.4m,
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=90°,
×1.73=6.055≈6.1(m).
(2)在Rt△BCE中,BE=2CE=2×1.6=3.2(m),
在Rt△ABQ 中,BQ=AB·cos∠ABQ=2.7m,
∵该充电站有20个停车位，
∴QM=QB+20BE=66.7m,
∵四边形 PQMN 是矩形,
∴ PN=QM=66.7 m.
28.(1)90;76 (2)2.0km (3)2.4km解析:(1)∵多边形 A A A A A A A A 是正八边形，
∴该多边形的每一个外角
(2)如图,过点 A 作 A D⊥BC,垂足为D,在 Rt△CA A 中, =76°,
2 (km),
在 Rt△CA D中,易知∠CA D=45°,
2.0(km).
答:点A 到道路BC的距离为2.0km.
(3)如图,连接 CA 并延长交 BM 于点E,延长A A 交BE 于点 G,过点A 作A F⊥BC,垂足为F,
∵正八边形的外角均为45°，
∴在 Rt△A A G中,
又、
由题意可知，
Rt△CA F∽Rt△CEB,
∵ ≈1.41,∴EB≈2.4km.
答：小李离点 B 不超过2.4km，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响.

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