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第17关 相似
基础练
考点 1 相似的有关概念
1.[2024安徽芜湖一模]已知四个数a,b,c,d成比例,且a=3,b=2,c=4,，那么d的值为 ( )
A.2 B.3 C. D.
2.[2024 江苏连云港]下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为 ( )
A.甲和乙 B.乙和丁
C.甲和丙 D.甲和丁
3.[2024 四川泸州]宽与长的比是 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC 翻折，点 B 落在点 B'处,AB'交 CD 于点 E,则sin∠DAE的值为 ( )
B C
4.[2024 浙江杭州二模]已知- 则代数式 的值为 .
考点 2 相似的性质与判定
5.[2024重庆A卷]若两个相似三角形的相似比是1：3，则这两个相似三角形的面积比是 ( )
A.1:3 B.1:4 C.1:6 D.1:9
6.[2024湖南]如图,在△ABC中,点D,E分别为边AB，AC 的中点.下列结论中，错误的是 ( )
A. DE∥BC B.△ADE∽△ABC
C. BC=2DE
7.[2024江苏盐城]两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 .
8.[2024青海]如图,AC 和 BD 相交于点 O,请你添加一个条件: ,使得△AOB∽△COD.
9.[2024江苏扬州]物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B'.设AB=36cm,A'B'=24 cm,小孔 O 到 AB 的距离为30cm,则小孔O到A'B'的距离为 cm.
10.[2024广东广州]如图,点E,F 分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE=3,EC=6,CF=2.求证:△ABE∽△ECF.
考点 3 图形的位似
11.[2024贵州安顺二模]如图，在正方形网格中，△ABC的位似图形可以是 ( )
A.△BDE B.△FDE
C.△DGF D.△BGF
12.[2024 重庆二模]如图,△ABC 与△DEF 位似,点O 为位似中心，位似比为2：3，若△ABC的面积为4、则△DEF的面积是 ( )
A.6 B.9 C.12 D.16
13.2024黑龙江绥化]如图，矩形OABC各顶点的坐标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0,2)，以原点O 为位似中心，将这个矩形按相似比 缩小.则顶点 B在第一象限对应点的坐标是 ( )
A.(9,4) B.(4,9) c.{1, D.{1, }
14.[2024 安徽淮北三模]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC 顶点均为格点(网格线的交点).
(1)以点 O 为旋转中心,将△ABC 绕点 O 顺时针旋转90°后得到△A B C ,画出△A B C ;
(2)以点 O 为位似中心，在第一象限内把△ABC 各边放大到原来的 2 倍后得到△A B C ,画出△A B C .
15.[2024 北京朝阳区校级模拟]我们在生活中经常遇到“等分”.例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分.如图，过线段AB 的一个端点A 任意画一条射线AP，在AP 上依次取五段相等的线段 AA ,A A ,A A ,A A ,A A ,连接BA ,再分别过点 A ,A ,A ，A 画BA 的平行线，则这些平行线就恰好将线段AB平均分成五等份.其中蕴含的数学道理是 ( )
A.平行于同一条直线的两条直线互相平行
B.两点确定一条直线
C.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
16.[2024 浙江杭州三模]如图,已知AB∥CD∥EF,如果 那么线段AB的长为 ( )
A.7 B.8
C.9 D.10
17.[2024 山东威海]如图,在 ABCD中,对角线AC,BD 交于点 O,点 E 在 BC上,点 F 在 CD上,连接AE,AF,EF,EF 交AC 于点 G.下列结论错误的是 ( )
A.若 则EF∥BD
B.若AE⊥BC,AF⊥CD,AE=AF,则EF∥BD
C.若EF∥BD,CE=CF,则∠EAC=∠FAC
D.若AB=AD,AE=AF,则EF∥BD
18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点 O.若点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2),则点B(-2,4)的对应点 B'的坐标为 ( )
A.(-4,8) B.(8,-4)
C.(-8,4) D.(4,-8)
19.[2024 四川南充]如图，已知线段AB，按以下步骤作图:①过点 B作BC⊥AB,使 连接AC；②以点C为圆心，以BC长为半径画弧，交AC 于点D；③以点A为圆心，以AD长为半径画弧,交AB 于点 E.若AE=mAB,则 m 的值为 ( )
20.[2024四川巴中]如图是用12个相似的直角三角形组成的图案.若OA=1,则OG= ( )
21.[2024 北京大兴区一模]如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于点 D,设BD=a,DC=b，AD=c，给出下面三个结论：
①c = ab;②a+b≥2c;③若a>b,则a>c.
上述结论中，所有正确结论的序号是 ( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
22.[2024 云南]如图,AB 与 CD 交于点 O,且AC∥BD.若 则
23.[2024 江苏苏州]如图,△ABC 中,∠ACB =90°,CB=5,CA=10,点D,E分别在AC,AB边上， 连接 DE,将△ADE 沿 DE 翻折,得到△FDE,连接CE,CF.若△CEF 的面积是△BEC 面积的2倍,则AD= .
24.[2024 河北]如图,△ABC 的面积为2,AD 为BC边上的中线,点A、C ,C 、C 是线段CC 的五等分点，点A、D ，D 是线段DD 的四等分点，点A 是线段BB 的中点.
(1)△AC D 的面积为 ;
(2)△B C D 的面积为 .
25.[2024 山东济宁]如图,△ABC 中,AB=AC,∠BAC=90°. AD 是△ABC的角平分线.
(1)以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA,BC于点E. F.
(2)以点A 为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G.
(3)以点G为圆心，EF长为半径画弧，与(2)中所画的弧相交于点 H.
(4)画射线AH.
(5)以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点 M.
(6)连接 MC,MB. MB 分别交 AC,AD 于点N,P.
根据以上信息，下面五个结论中正确的是 .(只填序号)
①BD=CD;
②∠ABM=15°;
③∠APN=∠ANP;
26.2024山西]黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,B分别在习字格的边 MN,PQ 上,且AB∥NP，“晋”字的笔画“、”的位置在 AB 的黄金分割点C处，且 若NP=2cm,则BC的长为 cm(结果保留根号).
27.[2024江苏盐城]如图,点C 在以AB 为直径的⊙O上,过点 C 作⊙O 的切线l,过点 A 作AD⊥l,垂足为D,连接AC、BC.
(1)求证:△ABC∽△ACD;
(2)若AC=5,CD=4,求⊙O的半径.
28.[2024四川自贡]为测量水平操场上旗杆的高度，九(2)班各学习小组运用了多种测量方法.
(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE.此时，小组同学测得旗杆AB 的影长BC 为11.3m，据此可得旗杆高度为 m.
(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面 C，并通过镜面观测到旗杆顶部A.小组同学测得小李的眼睛距地面高度 DE =1.5m ,小李到镜面距离 EC=2m,镜面到旗杆的距离CB=16 m.求旗杆高度.
(3)小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大.在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度.方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上.
如图5，在支架上端 P 处，用细线系小重物Q，标高线 PQ 始终垂直于水平地面.
如图6，在江姐故里广场上 E 点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线 DA 与标高线交点C,测得标高CG=1.8m,DG=1.5m .将观测点D后移24 m到D'处,采用同样方法,测得C'G'=1.2m,D'G'=2m.]求雕塑高度(结果精确到1m).
29.[2024湖北]在矩形ABCD中,点E,F 分别在边AD,BC上,将矩形ABCD沿EF折叠,使点A的对应点 P 落在边 CD 上，点B 的对应点为点G,PG交BC于点 H.
(1)如图1,求证:△DEP∽△CPH;
(2)如图2,当 P 为CD 的中点,AB=2,AD=3时，求GH的长；
(3)如图3,连接BG,当P,H分别为CD,BC的中点时，探究 BG与AB 的数量关系，并说明理由.
第17关 相似
1. D 2. D
3. A 解析:根据题意,设AD=BC=( 1)a,则AB=CD=2a,由翻折可知∠EAC=∠BAC.
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB∥CD,∴∠DCA=∠BAC,
∴∠DCA=∠EAC,∴AE=EC.设DE=x,则AE=EC=2a-x,在 Rt△ADE中,
解得
在 Rt△DAE中,
4.-5
解析： 设a=2k,则b=3k,
5. D
6. D 解析:∵点 D,E分别为边AB,AC 的中点，
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,BC=2DE.
故A，C选项不符合题意.
∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.
故 B 选项不符合题意.
∵△ADE∽△ABC,
则
故 D 选项符合题意.
7.1:2
8.∠A=∠C(答案不唯一)
9.20
解析:设小孔O到A'B'的距离为 xcm(x>0),
由题意可得△ABO∽△A'B'O,则
10.证明:∵BE=3,EC=6,
∴BC=9.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=CB=9,∠B=∠C=90°,
∴△ABE∽△ECF.
11. D 解析:△ABC 的三边长分别为1.2,
△BGF的三边长分别为2,4,2
∴ △ABC与△BGF的三边对应成比例,
∴△ABC与△BGF相似,
∵△ABC与△BGF 对应点的连线相交于一点、对应边平行或在同一条直线上，
∴ △ABC与△BGF 是位似图形.
12. B 解析:∵△ABC与△DEF位似,点O为位似中心，位似比为2：3，
∴ △ABC 与△DEF 相似,相似比为2:3,
∴ △ABC与△DEF的面积比为4:9.
∵△ABC的面积为4,
∴△DEF的面积是9.
13. D 解析：∵以原点O 为位似中心，将矩形OABC 按相似比 缩小，点B的坐标为(3,2),
∴顶点 B在第一象限的对应点的坐标为 即
14.(1)如图,△A B C 即为所求
(2)如图,△A B C 即为所求
15. C
16. C 解析:连接BE交CD于G,
17. D 解析:对于选项A,
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC、AB=CD,
又∵∠ECF=∠BCD,
∴△ECF∽△BCD,
∴∠FEC=∠DBC,
∴EF∥BD.故选项 A 中结论正确.对于选项B，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF,
∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴ ∠AEB=∠AFD=90°,
又∵AE=AF,∴△ABE≌△ADF,
∴AB=AD,BE=DF,
∴四边形ABCD 是菱形,∴BC=CD,
∴BC-BE=CD-DF,即CE=CF,
由选项A得EF∥BD.故选项 B中结论正确.
对于选项C，
∵CE=CF,∴∠CEF=∠CFE,
∵EF∥BD,
∴∠CEF=∠CBD,∠CFE=∠CDB,
∴∠CDB=∠CBD,∴CB=CD,
∴四边形ABCD 是菱形,
∴∠ACE=∠ACF,
又∵AC=AC,∴△ACE≌△ACF,
∴ ∠EAC =∠FAC.故选项 C 中结论正确.
对于选项D，
如图，以A为圆心，AE长为半径的圆弧交BC于点 E,E',交 CD 于点 F,F',则 但EF 与 BD 不平行，E'F'与BD 不平行.故选项D中结论错误
18. A 解析:∵△ABC 与△A'B'C'是位似图形,位似中心为点 O,点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2),
∴△ABC与△A'B'C'的相似比为1:2,
∵点B 的坐标为(-2,4),
∴点 B 的对应点 B'的坐标为(-2×2,4×2),即(-4,8).
19. A 解析:设AB=a.
由步骤①得
由步骤②③得
20. C解析：因为题图中12个直角三角形都相似，所以： 即直角三角形中较小的锐角为30°.
在Rt△OAB中,
因为∠AOB=30°,所以
同理可得，
所以
又因为OA=1，所以
21. D 解析:①∵∠BAC=90°,AD⊥BC,∴∠BAD+∠CAD=90°,∠B+∠BAD=90°,∴∠B=∠CAD,
∵AD⊥BC,∴∠BDA=∠ADC=90°,
∴△BAD∽△ACD,
∴BD:AD=AD:CD,即 故结论①正确；
②设BC的中点为 E,连接AE,如图,
∵∠BAC=90°,
根据“垂线段最短”得AE≥AD， 即.a+b≥2c,故结论②正确；
又∵
∵a>0,c>0,∴a >c ,即a>c,故结论③正确.
综上，正确的结论是①②③
22.
解析:∵AC∥BD,∴ △AOC∽△BOD,
23.
解析：∵
∴设AD=x,则
∵△ADE沿DE翻折得到△FDE.
∴DF=AD=x,∠ADE=∠FDE.
过E作EH⊥AC于H,设EF 与AC 相交于M,
則∠AHE=∠ACB=90°.
又∵∠A=∠A,∴△AHE∽△ACB,
∵CB=5,CA=10,
∴EH=x,AH=2x,则 DH=AH-AD=x=EH=DF,
∴ Rt△EHD 是等腰直角三角形,
∴ ∠HDE =∠HED =45°,则∠ADE =∠EDF=135°,
在△FDM和△EHM中,
∴△FDM≌△EHM(AAS).
=25-5x,
∵△CEF 的面积是△BEC 的面积的2倍,
则
解得 舍去)，则(
24.(1)1 (2)7
解析:(1)∵点A、C ,C ,C 是线段CC 的五等分点,点A,D ,D 是线段 DD 的四等分点,∴AC=AC ,AD=AD
∵ ∠DAC = ∠C AD . ∴ △ACD ≌△AC D .∵ AD 为 BC 边上的中线,
(2)连接C D ,B D ,B C ,∵点A,C ,C 、C 是线段CC 的五等分点,
∵点A,D ,D 是线段DD 的四等分点，
∵点 A 是线段 BB 的中点,∠DAB=∠B AD ,∴ 易证△ABD ≌△AB D .
12+3=15.
∵AC=AC ,AB=AB ,∠BAC=∠C AB ,
∴ △B C D 的面积为S四边形CAB,D, 一
25.①②⑤
解析:∵ AB=AC,∠BAC=90°,AD 是∠BAC的平分线,
∴AD⊥BC,AD=BD=CD,故①正确.
易知△ADB,△ADC 均为等腰直角三角形，
∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠BAD = ∠CAD=45°,
连接EF,HG,
由题知BE=BF=AH=AG,EF=HG,
∴△BEF≌△AHG(SSS),
∴∠HAG=∠EBF=∠BCA=45°,∴ AH∥BC,
过M作MM'⊥BC于M',
又∵BM=BC,
∴∠MBC=30°,
∴∠ABM=∠ABC-∠MBC=15°,故②正确.
易知∠BPD=∠APN=60°,
∴∠APN≠∠ANP,故③不正确.
=75°,
∴∠ACM=∠BCM-∠ACB=30°,
∴∠MCN=∠MBC,
又∵∠NMC=∠CMB,
∴ △NMC∽△CMB.
∴MN:MC=MC:MB,
，故⑤正确.
在 Rt△APM中,∠APN=60°,
故④不正确.
综上，正确的有①②⑤.
解析：∵四边形 MNPQ 为正方形，
∴MN∥PQ,∠N=90°,
∵AB∥NP,∴四边形ANPB 为平行四边形，
∵∠N=90°,∴四边形ANPB 为矩形,
∴NP=AB=2cm,
27.(1)见解析(2)
解析:(1)证明:连接OC,
∵CD是⊙O 的切线,点C在以AB为直径的⊙O上，
∴OC⊥l,∠ACB=90°,
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°,∠ACB=∠ACO+∠OCB=90°,
∴∠ACD=∠OCB ,
∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠ACD=∠ABC,
∵AD⊥l,∴∠ADC=90°,
∴∠ADC=∠ACB,∴△ABC ∽△ACD.
(2)∵AC=5,CD=4,
∵△ABC∽△ACD,
即
.⊙O 的半径为
28.(1)11.3
(2)旗杆高度为12m
(3)雕塑高度约为29 m
解析：(1)∵小张的影长EF恰好等于自己的身高DE，
∴△DEF 是等腰直角三角形，
由平行投影性质可知，△ABC也是等腰直角三角形，
∴AB=BC=11.3m.
(2)由光的反射可知,∠DCE=∠ACB,又∠DEC=90°=∠ABC,
∴△DEC∽△ABC,
即
解得AB=12,
∴旗杆高度为12 m.
(3)∵ ∠CDG=∠ADB,∠CGD = 90°=∠ABD,
∴△DCG∽△DAB,∴CG=DCB,
设.AB= xm,BD= ym,则
同理可得 解得x=28.8,经检验，x=28.8是原方程的解且符合题意，
故AB≈29m,
∴雕塑高度约为29 m.
29.(1)见解析 (2) (3)AB= BG;理由见解析
解析：(1)证明：如图，
∵四边形ABCD 是矩形,
∴∠A=∠D=∠C=90°,
∴∠1+∠3=90°.
由翻折得∠EPH=∠A=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠3=∠2,
∴△DEP∽△CPH.
(2)∵四边形ABCD 是矩形,
∴CD=AB=2,
∵P为CD中点,
设EP=AE=x,则ED=3-x,
在Rt△EDP中,1
即 解得
∵△DEP∽△CPH,
I
由翻折可知.PG=AB=2,
(3)如图,延长AB,PG交于一点M,连接AP.
由翻折得AP⊥EF,BG⊥EF,AE=EP,
∴BG∥AP,∠EAP=∠EPA,
∴∠BAP=∠GPA,∴MA=MP.
∵P为CD中点,∴设DP=CP=y,
∴AB=PG=CD=2y,
∵H为BC中点,∴BH=CH,
∵∠BHM=∠CHP,∠HBM=∠PCH,
∴△MBH≌△PCH(ASA),
∴BM=CP=y、HM=HP、
∴MP=MA=MB+AB=3y,
在 Rt△PCH 中,(
在Rt△APD中,
∵BG∥AP,∴△BMG∽△AMP,

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