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微专题7 与中点有关的辅助线作法
1.[2024 北京通州区一模」如图，将线段AB绕点A逆时针旋转 得到线段AC、连接BC,点N是BC的中点,点D,E分别在线段AC,BC的延长线上,且CE=DE.
(1)∠EDC= (用含α的代数式表示).
(2)连接BD,取BD的中点F,连接AF,EF,NF.
①依题意补全图形；
②若AF⊥EF,用等式表示线段NF与 CE间的数量关系，并证明.
2.在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=30°,D 为边BC上一动点,点 E在边AC上,CE=CD.点 D关于点 B 的对称点为点 F,连接AD,P 为AD 的中点,连接PE、PF,EF.
(1)如图1，当点 D 与点 B 重合时，直接写出线段 PE与PF之间的位置关系与数量关系.
(2)如图2,当点 D 与点 B,C不重合时,请问
(1)中所得的结论是否仍然成立 若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.
(2)①见解析②CE= NF；证明见解析
解析:(1)由旋转得∠A=α,AB=AC,
∵CE=DE,∴∠EDC=∠DCE=∠ACB=
(2)①补全图形如图.
②证明:延长AF至点 M,使FM=AF,连接BM,DM,EM,AE,如图,
∵点F 为线段 BD的中点，点 F 为线段AM的中点，
∴四边形ABMD 为平行四边形，
∴AB∥DM,AB=DM,
∴∠BAC+∠ADM=180°,
∴∠ADM=180°-α,
∵AF⊥EF,∴AE=ME,
∵AB=AC,
∴AC=DM,又∵ EC=ED,∴ △ACE≌△MDE(SSS),
∴ ∠MDE=∠ACE=180°-∠ACB=90°+
∴∠ECD=∠EDC=45°,
∵N为BC中点,F为BD中点,
∴NF是△BDC的中位线,
2.(1)PE⊥PF;PF= PE (2)成立;证明见解析
解析:(1)略.
(2)证明:如图,连接DE,延长CF 至点H,使得FH=DC,连接AH,延长EP交AH于点 Q,连接QF.
由已知条件和作图易证△AHC 和△EDC为等边三角形，
∴∠H=∠C=∠EDC=60°,∴DE∥AQ,
∴∠AQP=∠DEP,∠QAP=∠EDP,
∵P为AD的中点,
∴AP=PD,
∴△AQP≌△DEP,
∴QP=EP,AQ=DE=EC=FH,
∴AH-AQ=CH-HF,∴QH=FC.
又∵∠H=∠C,∴△QHF≌△FCE.
∴ FQ=FE,∠HQF=∠CFE.
∴ ∠QFE=180°-∠QFH-∠CFE=180°-∠QFH-∠HQF=∠H=60°,
∴△QFE为等边三角形，又∵QP=EP,
∴FP⊥PE,∠EFP=30°,

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