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第16关 等腰三角形与直角三角形
基础练
考点 1 等腰三角形
1.[2024 甘肃兰州]如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=130°,DA⊥AC,则∠ADB= ( )
A.100° B.115°
C.130° D.145°
2.[2024云南]已知AF是等腰△ABC 底边 BC 上的高，若点 F 到直线AB 的距离为3，则点 F到直线AC的距离为 ( )
A. B.2 C.3 D.
3.[2024山东泰安]如图，直线l∥m，等边三角形ABC 的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°,则∠ACD 的度数是 ( )
A.45° B.39°
C.29° D.21°
4.[2024青海]如图,在 Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长是 ( )
A.3 B.6
C. D.3
5.[2024湖南]若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 °.
6.[2024贵州]如图,在△ABC中,以点A为圆心,线段AB 的长为半径画弧，交BC 于点 D，连接AD.若AB=5,则AD 的长为 .
考点 2 直角三角形
7.[2024 陕西]如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是DC 的中点,连接AE,则图中的直角三角形共有 ( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
8.[2024四川眉山]如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成.若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 ( )
A.24 B.36 C.40 D.44
9.[2024江苏南京校级模拟]下列各组数中是勾股数的为 ( )
A. , , B.1,1, C.7,8,9 D.13,84,85
10.[2024 广东佛山二模]如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,点 D 是AC 边的中点,则下列结论一定成立的是 ( )
A. BC=BD B. CB=CD
C. DB=DC D. AD>BC
11.[2024 吉林]图1 中有一首古算诗、根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2,其中AB=AB'、AB⊥B'C于点C,BC=0.5尺,B'C=2尺.设AC 的长度为x 尺，可列方程为 .
12.[2024 新疆如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点 D 在直线AB上(不与点A,B 重合),且∠BCD = 30°,则 AD 的长为
提升练
13.2024 四川凉山州〕如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,DE 垂直平分AB 交 BC 于点 D,若△ACD的周长为50cm,则AC+BC=( )
A.25cm B.45 cm
C.50cm D.55 cm
14.[2024 安徽]如图,在Rt△ABC中,AC=BC=2,点D 在AB的延长线上,且CD=AB,则BD 的长是( )
15.[2024四川自贡]如图,等边△ABC 钢架的立柱CD⊥AB于点 D,AB 长12 m.现将钢架立柱缩短成 DE、∠BED = 60°,则新钢架减少用钢 ( )
16.[2024江苏南京二模]如图，用3个棱长为1 的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点 A 到点 B 的所有路径中，最短路径的长是 ( )
C.3 D.4
17.[2024江苏扬州一模]象棋是中国的传统棋种，如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是 ( )
A.5 B.
[2024山西阳泉一模]某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的环境，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场.图1 是该区域的设计图，图2是该四边形区域的几何示意图,AB=25m,BC=9m,CD=12m,DA=20 m,∠C=90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1平方米塑胶需要200元，则铺满该区域需要的费用是 ( )
A.40 800元 B.91600元
C.60 800元 D.48 000元
19.[2024 重庆B卷]如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD 平分∠ABC交AC 于点 D.若BC=2,则AD 的长度为 .
20.[2024 黑龙江绥化]如图,AB∥CD,∠C=33°,OC=OE,则∠A= °.
21.[2024江苏宿迁二模]如图，在正方形网格中，点A,B,P 是网格线的交点,则∠PAB+∠PBA= °.
22.[2024陕西]如图,在△ABC中,AB=AC,E是边AB 上一点,连接CE,在 BC 的右侧作BF∥AC,且BF=AE,连接CF.若AC=13,BC=10,则四边形 EBFC的面积为 .
23.[2024甘肃临夏州]如图,等腰△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=120°,将△ABC沿其底边上的中线AD 向下平移，使A 的对应点A'满足AA'= AD，则平移前、后两三角形重叠部分的面积是 .
24.[2024黑龙江大庆]如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作BC,AC,AB.三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形.若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是 .
25.[2024湖北武汉]如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ 拼成的一个大正方形ABCD.直线MP交正方形 ABCD 的两边于点 E，F，记正方形ABCD的面积为 S ,正方形 MNPQ 的面积为S .若BE=kAE(k>1),则用含k的式子表示シーシ的值是 .
26.[2023江苏苏州]如图,∠BAC=90°,AB=AC=3 .过点C作CD⊥BC,延长CB到E,使BE= CD,连接 AE,ED.若 ED = 2AE,则 BE = .(结果保留根号)
27.[2024黑龙江大庆]如图①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和50°的直角三角形、再分别以所得到的直角三角形的直角边为边作正方形.图②是1 次操作后的图形.图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长为2、则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 .
28.〔2024黑龙江齐齐哈尔]如图，数学活动小组在用几何画板绘制几何图形时，发现了如“花朵”形的美丽图案，他们将等腰三角形OBC置于平面直角坐标系中，点O 的坐标为(0，0)，点 B 的坐标为(1,0),点C 在第一象限,∠OBC=120°.将△OBC沿x轴正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后，点O 的对应点为O'，点C 的对应点为C',OC与O'C'的交点为A ,称点A 为第一个“花朵”的花心；点A 为第二个“花朵”的花心;……;按此规律,△OBC滚动2 024次后停止滚动，则最后一个“花朵”的花心的坐标为
29.[2024 广东潮州一模]如图所示,△ABC 和△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DFE=90°,D是AB的中点,(
(1)求证:∠CDF=45°;
(2)求AB的长.
30.[2024 甘肃兰州]观察发现：劳动人民在生产生活中创造了很多取材简单又便于操作的方法，正如木匠刘师傅的“木条画直角法”.如图1，他用木条能快速画出一个以点A为顶点的直角，具体作法如下：
①木条的两端分别记为点 M，N，先将木条的端点 M 与点A 重合，任意摆放木条后，另一个端点 N 的位置记为点 B，连接AB；
②木条的端点 N 固定在点 B处，将木条绕点 B顺时针旋转一定的角度，端点 M 的落点记为点 C(点A，B，C不在同一条直线上)；
③连接CB 并延长，将木条沿点 C 到点 B 的方向平移，使得端点 M 与点 B 重合，端点 N 在CB 延长线上的落点记为点 D；
④用另一根足够长的木条画线，连接AD，AC，则画出的∠DAC是直角.
操作体验：(1)根据“观察发现”中的信息重现刘师傅的画法.如图2，BA=BC.请画出以点A为顶点的直角，记作∠DAC.
推理论证：(2)如图1，小亮尝试揭示此操作的数学原理，请你补全括号里的证明依据.
证明:∵AB=BC=BD,
∴ △ABC 与△ABD 是等腰三角形.
∴ ∠BCA=∠BAC,∠BDA=∠BAD.(依据1)
∴ ∠BCA+∠BDA=∠BAC+∠BAD=∠DAC.
∵ ∠DAC+∠BCA+∠BDA=180°,(依据2)
∴2∠DAC=180°.
∴ ∠DAC=90°.
依据1: ;
依据2: .
拓展探究：(3)小亮进一步研究发现，用这种方法作直角存在一定的误差，用平时学习的尺规作图的方法可以减少误差.如图3，点O在直线l上，请用无刻度的直尺和圆规在图3中作出一个以 O 为顶点的直角，记作∠POQ，使得直角边OP(或OQ)在直线l上.(保留作图痕迹，不写作法)
第16关 等腰三角形与
直角三角形
1. B 解析:在△ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠BAC=130°,
∵DA⊥AC,∴∠DAC=90°,
=115°.
2. C 解析:因为AF 是等腰△ABC 底边BC上的高，所以AF平分∠BAC.根据角平分线的性质可得点 F 到直线AB，AC的距离相等，所以点 F到直线AC 的距离为3.
3. B 解析:过点A 作AF∥l,(F在A 右侧)
∵直线l∥m,∴AF∥m,
∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,
∵AF∥l,∴∠BAF=∠ABE,
∵∠ABE=21°,∴∠BAF=21°,
∴ ∠CAF= ∠BAC-∠BAF = 60°-21°=39°,
∵AF∥m,∴∠ACD=∠CAF=39°.
4. A 5.100 6.5
7. C 解析:∵∠BAC=90°,
∴△ABC 是直角三角形.
∵AD是BC边上的高,
∴ ∠ADB=∠ADC=90°,
∴ △ABD,△AED,△ACD 都是直角三角形、
∴图中的直角三角形共有4个.
8. D 解析：如图1，设直角三角形的两直角边长分别为a,b(a>b),斜边长为c,
∵图1中大正方形的面积是24，
∵小正方形的面积是4，
∴图2中大正方形的面积为 =24+2×10=44.
9. D 解析:A. 和 不是正整数，所以这组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
B. 不是正整数，所以这组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
C.因为 所以 ，所以这组数不是勾股数，故本选项不符合题意；
D.因为 =7225,
所以 又因为13,84,85都是正整数，所以13，84，85 是勾股数，故本选项符合题意.
故选 D.
10. C 解析:在 Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D是AC边的中点，则 BD 是斜边AC上的中线,所以CD=BD=AD.
只有当，∠A=30°时, BD=AD，故只有选项C符合题意.
12.6或12
解析:在 Rt△ABC中,
当点 D在 CB左侧时，
∵∠ACB=90°,∠A=30°,
∴ ∠ABC=60°.
又∵∠BCD=30°,
∴BD=BC=4,∴AD=8+4=12.当点 D 在 CB右侧时,
∵∠ABC=60°,∠BCD=30°,
∴∠CDA=90°.
在 Rt△ACD中.
综上所述，AD的长为6或12.
13. C 解析:∵ DE 垂直平分AB 交 BC 于点D,∴AD=DB,
∵△ACD 的周长为50cm,即AC+AD+CD=50cm,∴AC+BC=AC+CD+DB=AC+CD+AD=50cm.
14. B 解析:作CE⊥AB于 E点,
∵AC= BC=2,∠ACB = 90°,∴ AB = AC=2 ,∠A=∠CBA=45°,
∴CD=AB=2 ，△ACE 是等腰直角三角形，∴
在 Rt△CED 中, 故选 B.
方法技巧..
解这类含有直角、求线段长度的几何题，往往会用到勾股定理，通常需要作垂线构造直角三角形.
15. D 解析:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,AB=BC=AC=12,
∵CD⊥AB,∴BD=6,∴CD=6
∵∠BED=60°,
∴新钢架减少用钢(AB+AC+BC+CD)-(AE+BE+AB+DE)=AC+BC+CD-AE-
16. A 解析:如图1,
如图2，
∴最短路径的长是
17. A 解析：马走一步之后的落点与“帅”的距离最大时的位置如图所示，
∴最大距离为
18. A 解析:连接BD,
∵BC=9m,CD=12m,∠C=90°,
又∵AB=25m,AD=20m,
∴∠ADB=90°,
∴四边形ABCD 的面积
∴204×200=40 800(元).
19.2
解析:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,
∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∠A=36°,
∴∠ABC=∠C=72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABD=36°,
∴∠BDC=180°-∠C-∠CBD= 180°-
∴∠BDC=∠C,∴BD=BC=2,
∵∠A=36°,∠ABD=36°,
∴∠A=∠ABD,∴AD=BD=2.
20.66
解析:∵OC=OE,∠C=33°,
∴∠E=∠C=33°,
∴∠DOE=∠E+∠C=66°,
∵AB∥CD,∴∠A=∠DOE=66°.
21.45
解析：如图，延长AP至点C，连接BC，
则
即
∴△PCB 是等腰直角三角形，
∴∠BPC=45°,
∴ ∠PAB+∠PBA=∠BPC=45°.
22.60
解析:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵BF∥AC,∴∠ACB=∠CBF,∴∠ABC=∠CBF,即BC平分∠ABF,过点C作CM⊥AB于点M,CN⊥BF于点N,
则CM=CN,
CN,且.
∴四边形 EBFC的面积
∵AC=13,∴AB=13,设AM=x,则BM=13-x,由勾股定理，得 -BM ,
解得
∴四边形 EBFC的面积为60.
解析:∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
又∵AD 是△ABC的中线,
∴AD⊥BC.
在 Rt△ABD中,
设A'B'与 BD 的交点为 M,A'C'与CD的交点为N，
由平移可知,∠A'MD=∠B=30°,A'M=A'N,
在Rt△A'DM中
解析：由题知，该“莱洛三角形”的周长可转化为半径为AB 的圆周长的一半，所以 则AB=3,所以等边△ABC的边长为3.
过点A作BC的垂线，垂足为M，
则
在Rt△ABM中,
所以该“莱洛三角形”的面积为
解析:作EG⊥AN于点 G,不妨设MN=a,EG=1.
∵四边形 MNPQ 是正方形,
∴∠PMN = 45°,∴ ∠EMG = ∠PMN=45°,
∴EG=MG=1.
在△AEG 和△ABN 中,∠EAG=∠BAN,LAGE=∠ANB=90°,
∵BE=kAE(k>1),∴AB=AE+BE=(k+1)AE.
由题意可知,△DAM≌△ABN,
∴AM=BN=k+1,
∴AG=AM-GM=1+k-1=k.
∴正方形 ABCD 的面积 +1),
正方形 MNPQ 的面积
解析:过点A 作AH⊥BC 于点 H,在Rt△ABC中,
∴BC=6,∴AH=BH=3.
设.BE=x(x>0),AE=y(y>0),则CD=3x,DE=2y.
在Rt△AEH中, 即
在 Rt△CDE 中, 即 36②,
②-①×4,得 即 6=0,解得 (舍去),∴
27.48
解析：如图，把题图②中各个小正方形标上字母，设正方形a的边长为x，正方形b的边长为y.
∴正方形a的面积为x ，正方形b的面积为y .
由题意得正方形c的边长为2，并且是直角三角形的斜边长.
∴正方形c的面积为4.
根据勾股定理可得.
∴正方形 a的面积+正方形b的面积=4,
∴题图①中所有正方形的面积和为4+4=8.
同理可得正方形e的面积+正方形f的面积=正方形a的面积，正方形g的面积+正方形 h 的面积=正方形 b 的面积，
∴正方形e的面积+正方形f的面积+正方形g的面积+正方形h的面积=正方形a的面积+正方形b的面积=4.
∴题图②中所有正方形的面积和=题图①中所有正方形的面积和+4=12.
即1次操作后所有正方形的面积和=8+4=12.
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4.
∴2次操作后所有正方形的面积和=8+2×4=8+8=16.
∴10次操作后所有正方形的面积和=8+10×4=8+40=48.
解析：由题意可知，
∠COB=∠O'C'B=30°,BO=BC',
∴点A 在OC'的垂直平分线上.
∵点B 的坐标为(1,0),
∴OB=1,
连接A B,则 A B⊥OC'.在 Rt△A OB中
∴点A 的坐标为
依此类推，
点A 的坐标为
点A 的坐标为
……,
∴点 An的坐标为 (n为正整数).
又∵从A 开始，每滚动三次，出现下一个花心，
(2024-1)÷3=674……1,
1+674=675,
∴滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心为点A .
当n=675时,
点A 的坐标为
即滚动2024次后停止滚动，最后一个“花朵”的花心的坐标为(1 349+
29.(1)见解析 (2)2
解析:(1)证明:∵ △ABC 和△DEF 都是等腰直角三角形,∠ACB =∠DFE=90°,
∴AC=BC,DF=EF,∠FDE=∠E=45°,
∵点D 是AB的中点,
∴CD⊥AB,AD=BD=CD.
∴ ∠CDB=90°,
∴ ∠CDF=∠CDB--∠FDE=90°-45°=45°.
(2)∵CF⊥FG,∠DFE=90°,∴∠CFD+∠DFG=90°,∠DFG+∠GFE=90°,
∴∠CFD=∠GFE,
∵∠CDF=45°,∠E=45°,
∴∠CDF=∠E,又∵DF=EF,
∴△CFD≌△GFE(ASA),
30.(1)
(2)等边对等角；三角形内角和定理

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