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第15关 三角形及其全等
基础练
考点 1 三角形的有关概念
1.[2024 内蒙古包头]如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 各顶点的坐标分别是O(0，0),A(1,2)、B(3.3),C(5,0),则四边形 OABC的面积为 ( )
A.14 B.11 C.10 D.9
2.[2024 湖南长沙]如图、在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=50°,AD∥BC,则∠1的度数为 ( )
A.50° B.60°
C.70° D.80°
3.[2024 广东]如图，一把直尺、两个含30°角的三角尺拼接在一起，则∠ACE 的度数为 ( )
A.120° B.90°
C.60° D.30°
4.[2024 重庆校级模拟]如图,在△ABC 中,AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法中错误的是 ( )
A. BF=CF B.∠C+∠CAD=90°
C.∠BAF=∠CAF
5.[2024 四川南充三模]如图所示，将含45°角的直角三角尺与含60°角的直角三角尺叠放在一起,若∠1=70°,则∠2的度数为 ( )
A.85° B.60° C.50° D.95°
6.[2024河北石家庄二模]如图，三角形中线段的长度x的值可能为 ( )
A.10 B.9 C.7 D.6
考点 2 全等三角形的性质与判定
7.[2024 四川遂宁]如图1,△ABC与△A B C 满足∠A=∠A ,AC=A C ,BC=B C ,∠C≠∠C ,我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图2，在△ABC中,AB=AC,点 D,E在线段BC上,且BE=CD，则图中共有“伪全等三角形” ( )
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
8.[2024甘肃临夏州]如图,在△ABC中,点 A 的坐标为(0,1),点B 的坐标为(4,1),点 C 的坐标为(3，4)，点D 在第一象限(不与点 C重合)，且△ABD 与△ABC 全等,点 D 的坐标是
[2024 黑龙江牡丹江]如图,△ABC 中,D 是AB上一点,CF∥AB,D,E,F三点共线,请添加一个条件： ，使得AE=CE.(只添一种情况即可)
10.[2024云南]如图,在△ABC 和△AED中,AB=AE,∠BAE=∠CAD,AC=AD.
求证:△ABC≌△AED.
11.[2024 湖南长沙]如图,点 C 在线段AD上,AB=AD,∠B=∠D,BC=DE.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)若∠BAC=60°,求∠ACE的度数.
12.[2024吉林松原二模]如图,已知AE⊥AB,BC⊥AB,EA=AB,D 为 AB 上一点,连接ED,AC相交于 F,ED=AC,求证:Rt△EAD≌Rt△ABC.
提升练
13.[2024甘肃兰州]如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE 的长约为18m，由此估测A，B之间的距离为 ( )
A.18m B.24 m C.36m D.54 m
14.[2024青海]如图,OC平分∠AOB,点 P 在 OC上,PD ⊥OB,PD = 2,则点 P 到 OA 的距离是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
15.[2024广东广州]如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点 E,F分别在边AB,AC 上,AE=CF,则四边形 AEDF 的面积为 ( )
A.18 B.9 C.9 D.6
16.[2024安徽合肥校级模拟]如图,AD,BE,CF分别是△ABC 的中线、高和角平分线,∠ABC=90°,CF交AD于点 G,交BE于点 H,则下列结论一定正确的是 ( )
A.∠ABE=∠FCB B.∠GAC=∠GCA
C. FG=GC D. BF=BH
17.[2024山东烟台]如图,在正方形ABCD中,点E，F分别为对角线 BD，AC 的三等分点，连接AE并延长交CD 于点G,连接EF,FG.若∠AGF=α,则∠FAG用含α的代数式表示为 ( )
D.π/2
18.如图，正方形ABCD 由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成,连接DE.若AE=4,BE=3,则DE= ( )
A.5 B.2 C. D.4
19.[2024 江苏无锡二模]如图，在平面直角坐标系中,A(0,4),B为x轴正半轴上的动点,以AB为边在第一象限内作△ABC,使得∠BAC=90°, 连接OC，则OC长的最大值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
20.[2024 辽宁大连校级模拟]如图,在△ABC中,分别以A，B为圆心，AC，BC长为半径作弧交于点 C',连接BC',AC',CC',在C'B上取点M,以点 C'为圆心，C'M长为半径作弧交 C'C于点N，再分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径作弧交于一点，延长点 C'与这点的连线交BC于点 P,交AB 于I.若BC=2 ,CC'=4,则 BP的长为 ( )
D.10
21.[2024 湖北]如图，由三个全等的三角形(△ABE,△BCF,△CAD)与中间的小等边三角形 DEF 拼成一个大等边三角形ABC.连接BD 并延长交AC 于点 G,若AE=ED=2,则(1)∠FDB的度数是 ;(2)DG的长是
22.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O 线段AB 与A'B'关于过点 O 的直线l对称,点B 的对应点 B'在线段OC上,A'B'交CD于点 E,则△B'CE与四边形 OB'ED 的面积比为 .
23.[2024四川遂宁]在等边△ABC 三边上分别取点D,E,F,使得AD=BE=CF,连接三点得到△DEF,易得△ADF≌△BED ≌△CFE,设 则.
如图①，当 时，
如图②，当 时，
如图③，当 时，
……直接写出当 时,S△DEF= .
24.[2024 四川南充]如图,在△ABC 中,点 D 为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点 E.
(1)求证:△BDE≌△CDA;
(2)若AD⊥BC,求证:BA=BE.
25.[2024宁夏]综合与实践
如图1,在△ABC 中,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线交外角∠CAM 的平分线于点 E.
【发现结论】
结论1:∠AEB= ∠ACB;
结论2:当图1中∠ACB=90°时,如图2所示,延长BC交AE 于点 F,过点 E 作AF 的垂线交BF于点 G,交AC 的延长线于点 H,则AE 与EG的数量关系是 .
【应用结论】
(1)求证:AH=GF;
(2)在图2中连接FH,AG,延长AG交FH于点N，补全图形，求证：
第15关 三角形及其全等
. D 解析:过A 点作AE⊥x轴于E,过B点作 BF⊥x轴于F,
四边形 OABC 的面积 ×(5-3)×3=9.
. C 3. C
C 解析:∵AF是△ABC的中线,
∴BF=CF,A 说法正确,不符合题意;
∵AD 是高,∴∠ADC=90°,
∴∠C+∠CAD=90°,B说法正确,不符合题意；
∵AE 是角平分线，
∴∠BAE=∠CAE,∴ ∠BAF 与∠CAF不相等，C说法错误，符合题意；
∵BF=CF,
D说法正确，不符合题意.
故选 C.
D 解析：如图，
∵∠1=70°,
∴∠3=180°-60°-<1=50°,
∵∠4=45°,
B 解析：由三角形三边关系可得，在上方的三角形中,7-3在下方的三角形中,11-4故77. D 解析:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
又∵BE=CD,∴ △ABE≌△ACD(SAS),∴AD=AE.
∵AB=AB,∠B=∠B,AD=AE,∠BAD≠∠BAE,
∴△ABD 和△ABE 是一对“伪全等三角形”.同理可得,△ABD 和△ACD 是一对“伪全等三角形”;△ACD 和△ACE 是一对“伪全等三角形”;△ABE 和△ACE 是一对“伪全等三角形”.
所以“伪全等三角形”共有4对.
8.(1,4)
解析：∵点 D 在第一象限(不与点 C重合),且△ABD与△ABC全等,
∴△BAD≌△ABC,
∴AD=BC,BD=AC,如图,
易知D(1,4).
9. DE=EF(或AD=CF)
解析:∵CF∥AB,
∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠F,
∴添加条件DE=EF,可以使得△ADE≌△CFE(AAS);
添加条件AD=CF,可以使得△ADE≌△CFE(ASA).
10.证明:∵∠BAE=∠CAD,
∴ ∠BAE+∠CAE=∠CAD+∠CAE,
即∠BAC=∠DAE.
在△ABC和△AED中,
∴△ABC≌△AED(SAS).
11.(1)见解析 (2)60°
解析:(1)证明:在△ABC与△ADE中,
所以△ABC≌△ADE(SAS).
(2)因为△ABC≌△ADE,所以AC=AE,∠CAE=∠BAC=60°;所以△ACE 是等边三角形.所以∠ACE=60°.
12.证明:∵AE⊥AB,BC⊥AB,
∴∠EAB=∠ABC=90°,
在 Rt△EAD和Rt△ABC中,
∴ Rt△EAD≌Rt△ABC(HL).
13. C
14. C 解析:过P作PE⊥AO于E,∵OC 平分∠AOB,点 P 在 OC 上,PD⊥OB,
∴ PE=PD=2,
∴点 P到OA 的距离是2.
15. C 解析:连接AD.
∵∠BAC=90°,AB=AC=6,点 D 是BC的中点，
∴ ∠BAD =∠B = ∠C = 45°,AD = BD=DC.
∵AE=CF,∴△ADE≌△CDF.
又∵
16. D 解析:A.∵∠ABC=90°,
∴∠ABE+∠EBC=90°,
∵∠BEC=90°,
∴∠ACB+∠EBC=90°,
∴∠ABE=∠ACB>∠FCB,故本选项结论错误，不符合题意；
B.当△ABC 为等腰直角三角形时，∠BAC=∠ACB,AB≠AC,
∵AD是中线,
∴AD 不是角平分线，
又∵
∴∠GAC≠∠GCA,故本选项结论错误,不符合题意；
C.∵AD是△ABC的中线,
∴BD=DC,
当 FG=GC时,DG是△CBF的中位线,则GD∥BF，不成立，故本选项结论错误，不符合题意；
D.∵ ∠ACF = ∠BCF, ∠BFC= 90°-∠BCF,∠BHF=∠EHC=90°-∠ACF,
∴∠BFC=∠BHF,
∴BF=BH，故本选项结论正确，符合题意.
故选 D、
17. B 解析:设 AC,BD 交于点 O,连接OG,
∵四边形ABCD 是正方形，点 E为对角线BD的三等分点，
∴△ABE∽△GDE,
∴G是CD的中点,
又∵O是AC的中点，
∴OG∥BC∥AD,易知∠COD=90°,∠DOG=∠DBC=45°,∠COG=∠CAD=45°,
∴∠DOG=∠COG.
易知OE=OF,
∴△OEG≌△OFG、
18. C 解析:∵Rt△DAH≌Rt△ABE,
∴DH=AE=4,AH=BE=3,
∴EH=AE-AH=4-3=1,
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠DHE=90°,
19. C 解析:如图,作△CDB,使△CDB≌△BAC,作AE∥x轴交CD 于点E,取AE的中点 F,连接CF,OF.
∵△CBD≌△BCA,∴∠ABC=∠BCD,
∵∠ABC+∠ACB=90°,
∴∠ACB+∠BCD=90°,即∠ACD=90°,∵∠BAC=90°,
∴∠ACD+∠BAC=180°,∴CD∥AB,又∵AE∥x轴,
∴∠ABO=∠EAB=∠AEC,
又∵∠AOB=∠ACD=90°,
即AO·AE=AB·AC,
∴AB·AC=24,∴AO·AE=24.
又∵A(0,4),∴AO=4.
∴AE=24÷4=6.
在 Rt△AFO中,
即 (舍负).
∵OC≤OF+CF,即OC≤8,
∴OC的最大值是8.
20. B 解析:如图,过点 P 作PE⊥BC'于点E,PF⊥CC'于点 F.
由题中作图可知C'P平分∠BC'C,BC=
∴PE=PF,
解析:∵△ABE≌△CAD,∴BE=AD=4.
∵△DEF为等边三角形，
∴ED=DF=EF=2,∠DFE=60°,
∴BF=BE-EF=2=DF,
作CH⊥BG交BG的延长线于点 H.易知CD=2,
∵∠CDH=∠BDF=30°,
易 知 ∠ADG = ∠H = 90°, ∠AGD=∠CGH,
∴△AGD∽△CGH,
即
解析:连接OE,A'D,
∵AB 与A'B'关于直线l对称,
∴A'在BD 延长线上,
设AC=10k,则BD=6k,
∵四边形 ABCD 为菱形,∴OA=OC=5k,OB=OD=3k,
∵AB与A'B'关于直线l对称,
∴OA=OA'=5k,OB=OB'=3k,
∠A'=∠BAC=∠DAC=∠DCA,
∴△A'ED≌△CEB'(AAS),
∴DE=B'E,
∵OE=OE,OD=OB',
∴△DOE≌△B'OE(SSS),
解析：当 时，
时，
兰 时，
……
当 时
故当 时，
24.证明:(1)∵ D 为 BC 的中点,∴ BD=CD.
∵ BE∥AC,∴ ∠E = ∠DAC,∠DBE=∠C.
在△BDE和△CDA中, ∴△BDE≌△CDA(AAS).
(2)∵△BDE≌△CDA,∴ED=AD.
∵AD⊥BC,∴ BD 垂直平分AE,∴ BA=BE.
25.【发现结论】结论1.
结论2:AE=EG
【应用结论】(1)见解析 (2)见解析解析:【发现结论】结论 1:∵ BD 是∠ABC 的平分线,∴∠ABC=2∠ABE,
∵AE是∠CAM的平分线,
∴∠CAM=2∠EAM,
∵∠CAM=∠ACB+∠ABC,
∴2∠EAM=∠ACB+2∠ABE,
∵∠EAM=∠AEB+∠ABE,
∴2(∠AEB+∠ABE)=∠ACB+2∠ABE,
结论2：由结论1知，
∵∠ACB=90°,
∵EH⊥AF,
∴∠AEH=90°,
∴∠AEB=∠BEG=45°,
∵∠ABE=∠GBE,BE=BE,
∴△ABE≌△GBE(ASA),
∴AE=EG.
【应用结论】(1)证明:在 Rt△AFC中,∠EFG+∠EAH=90°,
在 Rt△AEH中,∠AHE+∠EAH=90°,
∴∠EFG=∠EHA,
在△EFG和△EHA中,
∴△EFG≌△EHA(AAS),
∴FG=HA.
(2)补全图形如图所示.
证明:在 Rt△AEG中,∵∠AEG=90°,∠EAG=45°,
∴∠EGA=45°,
由(1)得△EFG≌△EHA,
∴EF=EH,
∵∠FEH=90°,
∴∠EFH=∠EHF=45°,
∴∠AFN=∠FAN=45°,∠NGH=∠AGE=45°,
∴FN=AN,∠NGH=∠NHG=45°,
∴GN=HN,
又∵AN=AG+GN,

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