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微专题5 二次函数图象中的斜三角形面积问题
1.[2024四川资阳]已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且B(4，0),BC=4
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1，点P 是抛物线在第一象限内的一点,连接PB、PC、过点 P作 PD⊥x轴于点 D,交BC于点 K.记△PBC,△BDK的面积分别为S ,S ,求 的最大值、
(3)如图2,连接AC、点 E为线段AC的中点,过点E作EF⊥AC交x轴于点 F.抛物线上是否存在点 Q.使∠QFE=2∠OCA 若存在,求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
2.[2024 内蒙古包头]如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于A(1，0),B两点(点A 在点 B 左侧),顶点为 M(2,d),连接AM.
(1)求该抛物线的函数表达式.
(2)如图1，若C 是 y轴正半轴上一点，连接AC,CM.当点 C 的坐标为(0, 时，求证：∠ACM=∠BAM.
(3)如图2,连接BM,将△ABM 沿x轴折叠,折叠后点M 落在第四象限的点M'处，过点 B 的直线与线段AM'相交于点D，与y轴负半轴相交于点 E.当 时,3S△ABD与2S△M'BD;是否相等 请说明理由.
3.[2024四川凉山州]如图，抛物线 与直线y=x+2相交于A(-2,0),B(3,m)两点,与x轴相交于另一点 C.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点(不与A，B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线 AB 于点 E,当PE=2ED时,求 P 点坐标.
(3)抛物线上是否存在点M 使△ABM 的面积等于△ABC 面积的一半 若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
4.[2024山东济宁]已知二次函数 的图象经过(0,-3),(-b,c)两点,其中a,b,c为常数,且 ab>0.
(1)求a,c的值.
(2)若该二次函数的最小值是-4，且它的图象与x轴交于点A,B(点A 在点 B 的左侧),与y轴交于点 C.
①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标.
②如图，在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线AC交于点 E,连接 PC,CB,BE.是否存在点 P,使 若存在，求此时点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由.
微专题5 二次函数图象中的斜三角形面积问题
(2)S -S 的最大值为
(3) 存在;
解析:(1)∵B(4,0),∴OB=4,
∵∠BOC=90°,BC=4
∴C(0,4),
把B(4,0),C(0,4)代入函数解析式得 解得
(2)∵B(4,0),C(0,4),
∴设直线 BC 的解析式为.y= kx+4(k≠
0),把B(4,0)代入,得k=-1,
∴y=-x+4,
设
则K(m,-m+4),D(m,0),
DK=-m+4,DB=4-m,
∴当 时， 的最大值为
(3)令 解得 =4,
∴A(-2,0),
∵C(0,4),点E为AC的中点,
∴E(-1,2),
如图，连接CF,∵ FE⊥AC,AE=CE=
∴AF=CF,
∴∠AFE=∠CFE,
设OF=a,则CF=AF=a+2,
在 Rt△COF中,由勾股定理,得
∴a=3,
∴F(3,0),CF=5,
∵FE⊥AC,∠AOC=90°,
∴∠AFE=∠OCA=90°-∠CAF,
∴∠AFE=∠OCA=∠CFE,
①取点 E 关于x轴的对称点 E ，连接FE 交抛物线于点 Q ，则∠Q FE =2∠EFA=2∠OCA,E (-1,-2).
设FE 的解析式为
则 解得
联立得
②取 E 关于 CF的对称点 E ,连接 EE 交CF 于点 G，连接FE 交抛物线于点Q ,则∠Q FE=2∠CFE=2∠OCA,EG⊥CF,
∵CE= ,CF=5,
∴EG=2,
过点G作GH⊥x轴,则
∵E(-1,2),
设直线E F 的解析式为
则 解得
联立得
解 得
综上
(2)见解析
(3)相等；理由见解析
解析:(1)∵顶点为M(2,d),
∴b=8,
将A(1,0)代入
得-2+8+c=0,
解得c=-6,
∴抛物线的函数表达式为 -6.
(2)证明:∵ +2,
∴M(2,2),
过点M作MN⊥x轴于点 N,
∵A(1,0),C(0,）
∴ △ACM 是直角三角形,且∠CAM=90°,
∴tan∠ACM=2,
在 Rt△AMN中,tan∠MAB=2,
∴∠ACM=∠BAM.
(3)∵M(2,2),
∴由折叠可知M'(2,-2),
过点D作DH⊥x轴交于点H，
可得OE∥DH,
当y=0时,
解得x=1或x=3,
∴B(3,0),
解得
设直线 AM'的解析式为y= kx+m,
解得
∴直线AM'的解析式为y=-2x+2,
设点 B 到 AM'的距离为h,
則
(2)(1,9)
(3)存在；M的坐 标为 或 或 或
解析:(1)把B(3,m)代入y=x+2得m=3+2=5,
∴B(3,5),
把A(-2,0),B(3,5)代入
解得
∴抛物线的解析式为
(2)设 则E(t,t+2),D(t,0),
∵PE=2DE,
解得t=1或t=-2(舍去),
∴P的坐标为(1,9).
(3)在抛物线上取一点 M，过M作MK∥y轴交直线AB于K,连接BC,BM,如图,
在 中，令y=0,得 2x+8,
解得x=-2或x=4,
∴A(-2,0),C(4,0).
∴AC=6,
∵B(3,5),
设 则K(n、n+2).
61,
∵△ABM 的面积等于△ABC 面积的一半，
或
或 或 n = 或
∴抛物线上存在点 M，使△ABM 的面积等于△ABC 面积的一半，M 的坐标为 或 或 或
4.(1)a=1;c=-3
(2)①y=x +2x-3;A(-3,0);B(1,0)
②存在；点P 横坐标为 或 或
解析:(1)将(0,-3)代入二次函数解析式得c=-3,
将(-b,-3)代入上式得 -3,
整理得
∵ab>0,∴a=1.
(2)①由(1)知
根据题意，得 解得b=2或b=-2(舍去).
令y=0,解得
∴A(-3,0),B(1,0).
②存在.设直线 AC 的解析式为 (k≠0).
由题意得C(0,-3),
把A(-3,0),C(0,-3)代入y= kx+b',得 解得
∴y=-x-3.
设 则D(t.0),E(t,-1-3).
(i)当P在x轴下方时，
=-2t.
整理得
解得
(ii)当P在x轴上方时,
3)]·(-t)
整理得
解得 舍去)、
综上所述，点P 的横坐标为 或 j
易错警示..
②只说明了点 P在y轴左侧，未说明点P与x轴的位置关系，因此需分类讨论.

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