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第13关 二次函数的应用
考点 1 抛物线与线段长、面积、角度
1.[2024江苏南京二模]如图，在水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向的坐标系中标记了4个格点，已知网格的单位长度为1，若二次函数 的图象经过其中的3个格点，则a的最大值为 ( )
A. B.1 C. D.
2.[2024黑龙江大庆校级模拟]如图，正方形ABCD的顶点 A,B与正方形 EFGH 的顶点 G,H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在 CD和y轴上，正方形的边AB 与 EF同时落在x轴上，若正方形 ABCD 的边长为 4，则正方形EFGH 的边长为 ( )
3.[2024辽宁]如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴相交于点A，B，点B的坐标为(3,0),若点 C(2,3)在抛物线上,则AB 的长为 .
4.[2024湖南永州二模]如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，在矩形ABCO 中，B 点坐标为(4，2),A、C分别在y轴、x轴上. D 点坐标为(1,0),连接AD,点 E、点 F 分别从A 点、B 点出发,在AB上相向而行，速度均为1单位/秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动.过E 点作 EG∥AD交x轴于H点,交y轴于 G点,连接 FG,FH,在运动过程中，△FGH的最大面积为 .
5.[2024新疆]如图,抛物线 与y轴交于点A，与x轴交于点 B，线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点 D 下方),且CD=3.当AD+BC的值最小时,点 C的坐标为 .
6.[2024湖北武汉]抛物线 交x轴于A，B两点(A在B的右边)，交y轴于点C.
(1)直接写出点A,B,C的坐标.
(2)如图(1),连接AC,BC,过第三象限的抛物线上的点P作直线 PQ∥AC，交y轴于点 Q.若BC平分线段 PQ,求点 P 的坐标.
(3)如图(2),点D 与原点 O 关于点 C 对称,过原点的直线 EF 交抛物线于E，F两点(点E在x轴下方)，线段DE交抛物线于另一点 G，连接FG.若∠EGF=90°,求直线 DE 的解析式.
7.[2024 重庆B卷]如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A(-1,0),B两点,交y轴于点 C、抛物线的对称轴是直线
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P 是直线 BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D、作PE⊥BC于点 E,求 的最大值及此时点P 的坐标；
(3)将抛物线沿射线BC方向平移 个单位，在 取得最大值的条件下，点F 为点 P平移后的对应点，连接AF 交y轴于点 M，点N为平移后的抛物线上一点、若∠NMF-∠ABC=45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标.
考点 2 二次函数的实际应用
8.[2024 山西介休校级模拟]中条山隧道位于山西省运城市盐湖区，这一隧道的建设开创了全省普通公路特长隧道工程建设的先河，也是全国单洞里程最长的隧道工程.图1是中条山隧道，其截面近似为抛物线型，图2为截面示意图，线段OA 表示水平的路面，以O 为坐标原点，OA所在直线为x轴，以过点 O 垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系.经测量，OA=12m,抛物线的顶点 P 到 OA 的距离为5m ,则抛物线的函数表达式为 ( )
9.[2024天津]从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是 有下列结论：
①小球从抛出到落地需要6s；
②小球运动中的高度可以是30m；
③小球运动2 s时的高度小于运动5s 时的高度.
其中，正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10.[2024广西]如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点P处)的高度OP是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m，高度是4m.若实心球落地点为 M，则 OM为 m.
11.[2024 甘肃]如图1 为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO 的水平距离x(单位：m)近似满足的函数关系 的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长 CD=4m ,高 DE=1.8m的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内(填“能”或“不能”).
12.[2024广东]广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50 吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大 并求出其最大值.(题中“元”为人民币)
提升练
13.[2024陕西西安校级模拟]在平面直角坐标系xOy中，M是抛物线 在第三象限的部分上的一点，过点M作x轴和y轴的垂线，垂足分别为P，Q，则四边形OPMQ 的周长的最大值为 ( )
A.1 B.2 C.4 D.6
14.[2024 广东佛山校级模拟]据科学计算，运载“神十八”的长征二号F火箭在点火后第一秒内通过的路程为2km，第二秒结束时共通过了6 km的路程，第三秒结束时共通过了 12 km的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面240 km的高度时，火箭拐弯，则这一过程需要的时间大约是 ( )
A.10秒 B.13秒 C.15秒 D.20秒
15.[2024贵州遵义一模]如图1，质量为 m 的小球从高处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧(已知自然状态下，弹簧的初始长度为12 cm).从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中(不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变)，小球的速度v(cm/s)和弹簧被压缩的长度Δl(cm)之间的关系图象如图2所示.根据图象，下列说法正确的是 ( )
A.小球刚接触弹簧就开始减速
B.当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C.当小球的速度最大时，弹簧的长度为2cm
D.当小球下落至最低点时，弹簧的长度为6cm
16.[2024 内蒙古呼伦贝尔二模]已知抛物线 与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点 C，与x轴交于点 D，⊙C的半径为2，G为⊙C 上一动点，P 为AG的中点，则DP的最大值为 ( )
A. B.2 D.5
17.[2024四川资阳]已知二次函数 与 的图象均过点A(4、0)和坐标原点O，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA 的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B，C两点.给出下列结论：
①b=2;②PB=PC;③以O,A,B,C为顶点的四边形可以为正方形；④若点 B 的横坐标为1，点Q 在y 轴上(Q、B、C 三点不共线),则△BCQ 周长的最小值为：
其中，所有正确结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
18.[2024 吉林长 一模]如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从 O 点正上方发出，把球看成点、其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足表达式 已知球网与O 点的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距O点的水平距离为18 米.若排球不碰球网且不出界，则a的取值范围是 .(排球落在边界线上时为界内)
19.[2024江西]如图，一小球从斜坡O 点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数 刻画，斜坡可以用一次函数y 刻画，小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表：
(1)①m= ,n= ;
②小球的落点是A，求点A 的坐标.
(2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系：
①小球飞行的最大高度为 米；
②求 v的值.
20.[2024江苏扬州]如图，已知二次函数 bx+c的图象与x轴交于A(-2,0)、B(1,0)两点.
(1)求b、c的值;
(2)若点 P 在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点 P 的坐标.
21.[2024 黑龙江牡丹江]如图，二次函数 bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 C,点A 的坐标为(-1,0),点 C 的坐标为(0,-3),连接BC.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点P 是抛物线在第四象限部分上的任意一点，当△BCP 的面积最大时，BC 边上的高PN的值为 .
22.[2024河南]从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式 其中t(s)是物体运动的时间，v (m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
(1)小球被发射后 s时离地面的高度最大(用含v 的式子表示).
(2)若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度.
(3)按(2)中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已知实验楼高15 m，请判断他的说法是否正确，并说明理由.
23.[2024陕西]一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥，桥梁的缆索 L 与缆索 L 均呈抛物线型，桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面，如图所示，以O为原点，以直线 FF'为x轴，以桥塔AO 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
已知：缆索L 所在抛物线与缆索 L 所在抛物线关于y轴对称，桥塔AO 与桥塔BC 之间的距离OC=100m,AO=BC=17 m,缆索 L 的最低点P到 FF'的距离 PD=2m(桥塔的粗细忽略不计).
(1)求缆索 L 所在抛物线的函数表达式；
(2)点 E 在缆索 L 上,EF⊥FF',且 EF =2.6m,FO24.[2024 北京大兴区一模]某洒水车为绿化带浇水.图1是洒水车喷水区域的截面图，其上、下边缘都可以看作是抛物线的一部分、下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的.喷水口H距地面的竖直高度 OH 为1.5m，喷水区域的上、下边缘与地面交于A、B两点，上边缘抛物线的最高点C恰好在点B的正上方，已知OA=6m、OB=2m,CB=2m.建立如图2所示的平面直角坐标系.
(1)在① 两个表达式中，洒水车喷出水的上边缘抛物线的表达式为 ，下边缘抛物线的表达式为 (把表达式的序号填在对应横线上).
(2)如图3、洒水车沿着平行于绿化带的公路行驶、绿化带的横截面可以看作矩形 DEFG，水平宽度DE=3m,竖直高度 DG=0.5m .如图4，OD为喷水口距绿化带底部的最近水平距离(单位：m).若矩形 DEFG在喷水区域内，则称洒水车能浇灌到整个绿化带.
①当OD=2.6m时，判断洒水车能否浇灌到整个绿化带，并说明理由；
②若洒水车能浇灌到整个绿化带，则OD的取值范围是 .
25.[2024广东广州]已知抛物线 过点A(x ,2)和点 B(x ,2),直线 过点 C(3,1),交线段 AB 于点D,记△CDA的周长为 C ,△CDB 的周长为C ,且
(1)求抛物线 G的对称轴.
(2)求m的值.
(3)直线l绕点 C 以每秒3°的速度顺时针旋转t秒后(0≤t<45)得到直线l',当l'∥AB 时,直线l'交抛物线G于E，F两点.
①求t的值；
②设△AEF的面积为S，若对于任意的a>0，均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线 G的解析式.
26.[2024吉林长春]在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线 (c是常数)经过点(-2，-2).点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为m、-m，点C 的横坐标为-5m，点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连接AB、AC.
(1)求该抛物线对应的函数表达式.
(2)求证：当m 取不为零的任意实数时，tan∠CAB 的值始终为2.
(3)作AC 的垂直平分线交直线AB 于点 D，以AD 为边、AC 为对角线作菱形ADCE,连接DE.
①当 DE 与此抛物线的对称轴重合时，求菱形ADCE的面积;
②当此抛物线在菱形 ADCE 内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围.
27.[2024 湖南长沙]已知四个不同的点 A(x ,y ),C(x ,y ),B(x ,y ),D(x ,y )都在关于x的函数 (a,b,c是常数，a≠0)的图象上.
(1)当A，B两点的坐标分别为(-1,-4),(3,4)时，求代数式 的值.
(2)当A，B两点的坐标满足 时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由.
(3)当a>0时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足： 请问是否存在实数m(m>1),使得AB,CD,m·EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3 若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由(注：m·EF 表示一条长度等于 EF 的m倍的线段).
第13关 二次函数的应用
D 解析：建立平面直角坐标系如图所示，依题意可知，经过点A，B，C时，抛物线开口向上，a的值最大，
∵A(-1,0),B(2,0),
∴抛物线解析式为y=a(x+1)(x-2),将C(1,-3)代入得--3=-2a,解得
2. C 解析:∵正方形ABCD边长为4,∴抛物线顶点坐标为(0,4),B(2,0),设抛物线解析式为 将B点坐标代入得0=4a+4,解得a=-1,
∴抛物线解析式为 设G点坐标为( 则
整理得
解得 舍去)，(
∴正方形 EFGH 的边长:
3.4
解析：由题意，∵抛物线 过B(3,0),C(2,3),
∴抛物线为
∴抛物线的对称轴是直线x=1.
∵抛物线与x轴的一个交点为B(3，0)，
∴另一交点A 的坐标为(-1,0).
∴AB=3-(-1)=4.
4.4.5
解析:由题意可知A(0,2),
∴设直线AD 的解析式为y= kx+2,把D(1,0)代入得k+2=0,解得k=-2,
∴直线 AD 的解析式为y=-2x+2,
∵EG∥AD,
∴设直线 EG 的解析式为y=-2x+b,则G(0,b),
当y=2时,
当b=3时
∴ △FGH 的最大面积为4.5.
5.(4,1)
解析：如图，作A点关于对称轴的对称点A'，将A'向下平移3个单位，得到A"，连接A”B，交对称轴于点 C，
此时AD+BC的值最小,AD+BC=A"B,在 中,令x=0,得y=6,∴点A(0,6),
令y=0,得
解得x=2或x=6,
∴点B(2,0),
∵抛物线的对称轴为直线 ∴A'(8,6),∴A"(8,3),设直线A"B 的解析式为y= kx+b,代入 A”,B的 坐 标 得 解得
∴直线A"B 的解析式为 当x=4时,,y=1,∴C(4,1).
6.(1)A(1,0);B(-5,0);c(0,-
解析:(1)由 知，当x=0时, 则 当y=0时, 解得
∵A在B的右边，
∴A(1,0),B(-5,0).
(2)设直线AC的解析式为y= kx+b(k≠0),
将A (1,0), 代 入，得 解得
∴直线AC的解析式为
∵PQ∥AC,
∴设直线 PQ 的解析式为
∵P在第三象限的抛物线上，
∴设
设PQ的中点为 M，
目
设BC 所在直线的解析式为
将B(-5,0)代入得 解得
∴直线 BC 的解析式为
∵BC平分线段 PQ,
∴M在直线 BC上,
解得 舍去).(
当t=-2时,
(3)如图所示,过点 G作TS∥x轴,过点E，F分别作 TS 的垂线，垂足分别为T,S,
则∠T=∠S=∠EGF=90°.
∴△ETG∽△GSF.
即GS·TG=ET·FS.
∵ 点 D 与原点 O 关于点 对称，
∴D(0,-5),
设直线 EF 的解析式为y=k x,直线 DE的解析式为：
联立直线 EF 与抛物线的解析式得
可得 即
联立直线 DE 与抛物线的解析式得 可得 即
设
∴ef=-5, eg=5,e+g=2k -4,
∴f=-g,
∵GS·TG=ET·FS,
将.f=-g代入得e+g=-5,
∴ 直线 DE 的解析式为
的最大值为 ；此时P的坐标为(5,-3)
解析:(1)∵点A(-1,0)在抛物线 +bx-3上，抛物线的对称轴是直线 x
解得
∴抛物线的表达式为
(2)如图,延长PE交x轴于G,过 P作PH∥y轴交BC于H,
在 中,令y=0,得0=
解得
∴B(6,0).
当x=0时,y=-3,
∴C(0,-3),
∵PH∥y轴,∴∠PHE=∠BCO,
由B(6,0),C(0,-3)得直线 BC 的解析式为
设 则
∵抛物线 的对称轴为直线
∴当 时，取 得最大值，最大值为 此时,J P(5、-3).
(3)将抛物线沿射线 BC 方向平移 单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，∴新的抛物线为y= 7,F的坐标为(3,-4),
如图，当N在y轴左侧时，过N作NK⊥y轴于K，
由A(-1,0),F(3,-4)得直线AF的解析式为y=-x-1,当x=0时,y=-1,
∴M(0,-1),
∴∠AMO=∠OAM=45°=∠FMK,
∵∠NMF-∠ABC=45°,
∴∠NMK+45°-∠ABC=45°,
∴∠NMK=∠ABC,
设
解得 或 舍去)，经检验 是原方程的解，且符合题意，
当N在y轴右侧时，易知点N在点 F右侧，点M 上方，过M作y轴的垂线MT，过N作NT⊥MT于T,
同理可得∠NMT=∠ABC,
设 则T(m,-1),同理可得
或 (舍去),经检验， 是原方程的解，且符合题意，
综上所述，所有符合条件的点 N 的坐标为
8. D 解析:∵OA=12 m,抛物线的顶点 P到OA的距离为5m，
∴抛物线顶点 P 的坐标为(6,5),
设抛物线的函数表达式为 +5,
将0(0,0)代入 得0=36a+5,
解得
∴抛物线的函数表达式为
9. C 解析:①令h=0,则 解得
∴小球从抛出到落地需要 6s，故①正确；
+45,
∵-5<0,
∴当t=3时，h有最大值，最大值为45，
∴小球运动中的高度可以是30m，故②正确；
③t=2时,h=30×2-5×4=40,
t=5时,h=30×5-5×25=25,
∴小球运动2s时的高度大于运动5s时的高度，故③错误.
正确结论的个数是2，故选 C.
10.3
解析：以点O 为坐标原点，直线OM为x轴，直线 OP 为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线解析式为 把 代入得 解得a=
∴抛物线解析式为
∵M 为抛物线与x轴的交点，令y= 解得 ·(不合题意，舍去)，.
11.能
解析:∵CD=4m,B(6,2.68),∴6-4=2,
在 中，
当x=2时,
2.12,
∵2.12>1.8,∴货车能完全停到车棚内.
12.解：设该果商定价为每吨x万元时，每天的利润为 w万元，销售收入为t万元，
则w=(x-2)[100+50(5-x)]
t=x[100+50(5-x)]
∵-50<0,
∴当x=4.5时，w取最大值，最大值为312.5,
当x=3.5时，t取最大值，最大值为612.5.
答：该果商定价为每吨4.5万元或3.5万元时才能使每天的“利润”或“销售收入”最大，其最大值分别为312.5万元,612.5万元.
13. D 解析:令y=0,则: 解得
∴抛物线与x轴的交点为(-2,0),(1,0),
设 则MQ=
设四边形 OPMQ的周长为L，
则
∵-2<0,∴m=-1时,L取最大值,为6.
14. C 解析：设二次函数的解析式为y=
则 解得
∴二次函数的解析式为
∴y=240时,
解得x=15或x=-16(不符合题意,舍去).∴需要的时间大约是15秒.
15. D 解析：由图象可知，弹簧被压缩2cm后小球开始减速，
故选项A 不符合题意；
由图象可知，当弹簧被压缩至最短时，小球的速度为0，
故选项 B不符合题意；
由图象可知小球速度最大时，弹簧被压缩2cm,
此时弹簧的长度为12-2=10(cm),故选项C不符合题意；
由图象可知，当小球下落至最低点时，
弹簧被压缩的长度为6cm，
此时弹簧的长度为12-6=6(cm),
故选项D符合题意.故选 D.
16. A 解析:连接BG,∵P为AG的中点,D为AB的中点,∴ PD 是△ABG的中位线,∴ 当BG的值最大时，DP的值最大.
由圆的性质可知，当G，C，B三点共线时，BG的值最大.
由题意可知C(5,3),B(9,0),
∴ BG的最大值为：2+5=7,
∴DP 的最大值为
17. D 解析:①∵二次函数 与 的图象均过点A(4，0)和坐标原点O，P为线段OA的中点，
∴P(2，0)，两个函数图象的对称轴均为直线 故①正确；
②如图,过点 B作 BD⊥x轴于点 D,过点C作CE⊥x轴于点E,
∴∠CEP=∠BDP=90°,由函数图象的对称性可知PE=DP，
∴△CEP≌△BDP(ASA),
∴PB=PC,故②正确;
③如图，当点B，C分别为两个函数图象的顶点时，BC⊥OA，点B，C的横坐标均为2,
由②知PB=PC,又∵P是OA 的中点,∴四边形 OBAC为平行四边形，
由①可知两个函数的解析式分别为y=
∴B(2,2),C(2,-2),
∴BC=2-(-2)=4,
∵点A(4,0),∴OA=4,∴BC=OA,∴平行四边形OBAC 是矩形，
又∵BC⊥OA,
∴四边形 OBAC 为正方形，故③正确；
④如图，作点B 关于y轴的对称点 B'，连接B'C交y轴于点 Q,此时△BCQ 的周长最小,最小值=B'C+BC,
∵点 B 的横坐标为1，
点C的横坐标为3，
∴△BCQ 周长的最小值为： 故④正确.故选 D.
18.1.89解析：根据题意得，当x=9时，
解得a>1.89;
当x=18时,
≤0,
解得a≤2.16.
∴a的取值范围是1.8919.(1)①3;6
(2)①8(填“π)= 亦可) ②4
解析:(1)①略.
②设
将(2,6)代入,得(
解得
得
解得x =0(舍)
将 代入 得
∴点A 的坐标是
(2)①略.
解得
图象的对称轴为 由题意可知
20.(1)b=-1;c=2
(2)(-3,-4)或(2,-4)
解析:(1)把A(-2,0),B(1,0)代入y=
得 解得
(2)由(1)知，二次函数解析式为y=
设点 P坐标为(
∵△PAB 的面积为6,AB=1-(-2)=3, +2|=6,
即 或
∴m=-3:或m=2,
∴P(-3,-4)或P(2,-4).
解析:(1)把(-1,0)和(0,-3)代入解析式得 解得
∴该二次函数的解析式为 -3.
(2)令y=0,则 解得
∴点B 的坐标为(6,0),
设直线 BC 的解析式为y=mx+n,将点B. C的 坐 标 代 入得 解得
∴直线 BC 的解析式为 过点 P作 PD⊥x轴交BC于点 D,设点 P 的坐标为为 则点D 的坐标为
+3x,
∴S△PBC的最大值为
22.(1)
(2)20m/s
(3)小明的说法不正确；理由见解析
解析：
∴当 时，小球离地面的高度最大.
(2)根据题意，得当 时，,h=20.
解得 v =20(负值舍去).
∴小球被发射时的速度为20 m/s.
(3)由(2),得
当h=15时,
解方程，得
∵3-1=2(s),
∴小明的说法不正确.
(2)40m
解析:(1)∵AO=17m,
∴点A(0,17),
又OC=100m,AO=BC=17 m,PD=2m,
∴ P(50,2).
故可设缆索 L 所在抛物线的解析式为
将(0，17)代入抛物线解析式，得17=
∴2500a+2=17.
∴缆索 L 所在抛物线的函数表达式为
(2)∵缆索 L 所在抛物线与缆索 L 所在抛物线关于y轴对称，
∴缆索 L 所在抛物线为
令y=2.6,!则 ∴x=-40或x=-60.
又EF⊥FF',FO24.(1)②;①(2)①不能；理由见解析
解析:(1)由题意知,C(2,2),故设上边缘抛物线的表达式为y=a(x-
又上边缘抛物线过点(6，0)，
∴上边缘抛物线的表达式为
∵下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴设下边缘抛物线的表达式为 y=
又下边缘抛物线过点(2，0)，
∴m=2或m=-6,
由题意知m=-6不合题意，
∴m=2.
∴下边缘抛物线的表达式为
(2)①由题意可得OE=2.6+3=5.6.
把x=5.6代入上边缘抛物线表达式，得
所以矩形 DEFG不全在喷水区域内.
所以洒水车不能浇灌到整个绿化带.
②∵EF=DG=0.5,
∴点 F的纵坐标为0.5.
令
得x=2±2
∵x>0,
对于
当x>2时，y随x的增大而减小，∴当2≤x≤6时,要使y≥0.5,则
∵当0≤x≤2时,y随x的增大而增大,且x=0时,y=1.5>0.5,
∴当0≤x≤6时,要使y≥0.5,则0≤x
∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴OD 的最大值为 对于下边缘抛物线，当点B 和点 D 重合时，OD有最小值，为2，
综上所述，OD 的取值范围是2≤OD≤
25.(1)直线x=3
(2)1或-1
(3)①15 ②k的最大值为 6x+2
解析:(1)∵抛物线
∴抛物线的对称轴为直线 (2)如图,
∴点A 在点 B 的左边,AD+AC+CD=CD+BC+BD+2.
由(1)知抛物线的对称轴为直线x=3，
∴点C在抛物线的对称轴上，
∴CA=CB,∴AD=BD+2.
设D(p,2),
又∵
∴p=4,
∴D(4,2),
把C(3,1),D(4,2)代入 得
解得m=1或m=-1.
(3)①如图,
由(2)知m=±1,
∴直线l:y=x+n,
∴∠DCF=45°,
∴3t=45,解得t=15.
当y=1时.
∵4>0,
∴当a=1时,EF取最小值,为4 此时
∵对于任意的a>0，均有S≥k成立，
∴k的最大值为2 此时抛物线G的解析式为
(2)见解析
(3)①9 ②m≤-3或-1≤m<0或0解析：(1)∵抛物线 经过点(-2,-2),∴4-4+c=-2,
(2)证明：由题知 B(-m,m -2m-2),C(-5m,m +2m-2),
过点B作BH⊥AC于点H,则H(-m,m +2m-2),
在 Rt△ABH中,∠AHB=90°,
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，
∵A(m,m +2m-2),C(-5m,m +2m-
2)，直线DE与对称轴重合，
解得
∴AC=|m-(-5m)|=3.
由(2)知tan∠CAB=2,即
∴DE=2AC=6,
②当m<0时，如图1，由图象可知，当AE过顶点(-1，-3)时，抛物线在菱形内部的部分对应的函数值y随x的增大而增大.
易知∠CAB=∠CAE,
由图2可得 即
即 ∴m=-1或m=-3,
由图象可知-1≤m<0或m≤-3.
当m>0时，如图3，由图象可知，当 CD过顶点(-1，-3)时，抛物线在菱形内部的部分对应的函数值y随x的增大而增大.
同理得 即 即 或
由图象可知(
综上所述,m≤-3或-1≤m<0或0(2)此函数图象与x轴有两个公共点；理由见解析
(3)存在两个m的值符合题意；当m= 时，该函数的最小值为 当m= 时，该函数的最小值为-2a
解析:(1)将A(-1,-4),B(3,4)代入y 得
②-①得8a+4b=8,即2a+b=2.
所以
(2)由 得(a+2y )(a+2y )=0.
可得 或
当a>0时, 此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象与x轴有两个公共点；
当a<0时, 此抛物线开口向下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x轴也有两个公共点.
综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点.
(3)因为a>0,所以该函数图象开口向上.
由 得(a+ 可得.
由 得(a- 可得
所以直线AB，CD均与x轴平行.
设E(x ,0),F(x ,0).
由图象可知 即 因为
所以 的两根为x ,x ,可得
同理， 的两根为x ,x ,可得
同理 的两根为x ,x ,可得m
由于m>1，结合图象与计算可得AB若存在实数m(m>1),使得AB,CD,m·EF这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段AB不可能是该直角三角形的斜边.
①当线段 CD 为斜边时,因为 m·EF>AB,
所以必须同时满足：
化简可得 且m
联立解得 所以 解得 (负舍)>1，符合要求.
所以 此时该函数的最小值为
②当以线段m·EF为斜边时，必有AB 同理，化简可得2(b 解得. (舍负).
因为以线段 EF为斜边，且有一个内角为60°,而CD>AB,
所以( 即
化简得 符合要求.
所以 此时该函数的最小值为
综上所述，存在两个m的值符合题意.当 时，该函数的最小值为 当 时，该函数的最小值为-2a.

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