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第12关 二次函数
基础练
考点 1 二次函数的图象与性质
1.[2024广东]若点(0,y ),(1,y ),(2,y )都在二次函数 的图象上，则 ( )
2.[2024福建]已知二次函数 的图象经过A( ,y ),B(3a,y )1两点，则下列判断正确的是 ( )
A.可以找到一个实数a，使得y >a
B.无论实数a取什么值，都有y >a
C.可以找到一个实数a，使得y <0
D.无论实数a取什么值，都有
3.[2024陕西]已知一个二次函数 的自变量x与函数y的几组对应值如下表：
x -4 -2 0 3 5
y -24 -8 0 -3 -15
则下列关于这个二次函数的结论正确的是 ( )
A.图象的开口向上
B.当x>0时，y的值随x值的增大而减小
C.图象经过第二、三、四象限
D.图象的对称轴是直线x=1
4.[2024四川眉山]定义运算:a b=(a+2b)(a-b),例如4 3=(4+2×3)(4-3),则函数y=(x+1) 2的最小值为 ( )
A.-21 B.-9 C.-7 D.-5
5.[2024甘肃武威二模]将二次函数 用配方法化成 的形式为y=
6.[2024山东滨州]将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为 .
7.[2024江苏苏州]二次函数 的图象过点A(0,m),B(1,-m),C(2,n),D(3,-m),其中m,n为常数,则m的值为 .
考点 2 二次函数的图象与a，b，c之间的关系8.[2024湖北]已知抛物线 (a,b,c为常数，a≠0)的顶点坐标为((-1,-2),与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是 ( )
A. a<0 B. c<0
C. a-b+c=-2
9.[2024江苏连云港]已知抛物线 b、c是常数,a<0)的顶点为(1,2).
小烨同学得出以下结论:①abc<0;②当x>1时,y随x的增大而减小；③若 的一个根为3，则 ④抛物线 是由抛物线 向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的.其中一定正确的是 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
10.[2024黑龙江牡丹江]在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B 两点,A(-3,0),B(1,0),与y轴交点C 的纵坐标在-3~-2之间，根据图象判断以下结论：①abc >0; ③若 且 则 ④直线 与抛物线 的一个交点为(m,n)(m≠0),则 其中正确的结论是 ( )
①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④
11.[2024四川广安]如图，二次函数 (a,b,c为常数,a≠0)的图象与x轴交于点 对称轴是直线 有以下结论：①abc<0;②若点(-1,y )和点(2,y )都在抛物线上，则.y <) (m为任意实数);④3a+4c=0.其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
12.2024山东烟台1已知二次函数. 的y与x的部分对应值如下表：
x -4 -3 -1 1 5
y 0 5 9 5 7
下列结论：①abc>0；②关于x 的一元二次方程 有两个相等的实数根；③当-43.
其中正确结论的序号为 .
考点 3 二次函数与方程、不等式之间的关系
13.[2024湖南衡阳一模]如图是二次函数 +bx+c 和一次函数 的图象，当 时，x的取值范围是 ( )
A. x<-1 B. x>2
C.-12
14.[2024 陕西西安一模]如表是二次函数 bx-5的部分自变量x与函数值y的对应值：
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y' -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程 的一个根x的取值范围是 ( )
A.1C.1.215.[2024吉林长春]若抛物线 (c是常数)与x轴没有交点，则c 的取值范围是
16.[2024山东济宁]将抛物线 向下平移k个单位长度，若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 .
17.[2024四川达州]抛物线 与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于 1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是 ( )
A. b+c>1 B. b=2
D. c<0
18.[2024四川乐山]已知二次函数 x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是( )
A.0C.2≤t≤4 D. t≥2
19.[2024 内蒙古赤峰]如图,正方形ABCD 的顶点A，C在抛物线 上，点D在y轴上.若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),下列结论正确的是 ( )
A. m+n=1 B. m-n=1
C. mn=1
20.[2024 黑龙江绥化]二次函数 0)的部分图象如图所示，对称轴为直线x=-1，则下列结论中：
(m为任意实数)；
③3a+c<1;
④若M(x ,y)、N(x ,y)是抛物线上不同的两个点，则
其中正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
21.[2024黑龙江牡丹江]将抛物线 向下平移5个单位长度后，经过点(-2，4)，则6a-3b-7=
22.[2024上海]对于一个二次函数 k(a≠0),存在一点 P(x',y'),使得: k≠0,则称 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 的“开口大小”为 .
23.[2024湖北武汉]抛物线 是常数,a<0)经过(-1,1),(m,1)两点,且0①b>0;
②若0③若a=-1，则关于x的一元二次方程( c=2无实数解；
④点A(x ,y ),B(x ,y )在抛物线上，若 总有 则
其中正确的是 (填写序号).
24.[2024河南三模]某班数学兴趣小组对函数y 的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整.
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：
x … -3 - -2 -1 0 1 2 3
y 0 - m -4| -3 -4 -3 - 0
其中,m= .
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分.
(3)观察函数图象，写出两条该函数的性质：
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程 有 个实数根；
②函数图象与直线y=-3有 个交点，所以对应的方程 有 个实数根；
③关于x的方程. 有4个实数根时，a的取值范围是 ；
④不等式 的解集是 .
25.[2024云南曲靖一模]已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何非零实数，此方程总有两个实数根；
(2)若m=1,点 P(a,b)与Q(a+n,b)在抛物线 上(点P，Q不重合)，求代数式 的值.
26.|2024云南|已知抛物线 的对称轴是直线 设m是抛物线 与x轴交点的横坐标，记
(1)求b的值;
(2)比较M与 的大小.
27、[2024 广西]课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数 的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
(1)老师给出a=-4，求二次函数： -3的最小值.
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值.
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值.记录结果，并整理成下表：
a … -4 -2 0 2 4
x · * 2 0 -2 -4
y的最小值 … * -9 -3 -5 -15
注：*为②的计算结果.
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=-a，就能得到y的最小值.”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值.”
(2)请结合函数解析式 解释甲同学的说法是否合理.
(3)你认为乙同学的猜想是否正确 若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由.
28.[2024北京]在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线
(1)当a=1时，求抛物线的顶点坐标.
(2)已知.M(x ,y )和N(x ,y )是抛物线上的两点.若对于 都有y 29.[2024 安徽]已知抛物线 (b为常数)的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标大1.
(1)求b的值.
(2)点A(x ,y )在抛物线 上，点 在抛物线 上.
(i)若h=3t,.且x ≥0,t>0,求h的值；
(ii)若 求h的最大值.
30.[2024山东威海]已知抛物线 0)与x轴交点的坐标分别为(x ,0),(x ,0),且
(1)若抛物线 与x轴交点的坐标分别为(x ,0),(x ,0),且. 试判断下列每组数据的大小(填写<、=或>)：
(2)若 求b的取值范围.
(3)当0≤x≤1时, 最大值与最小值的差为 ，求b的值.
31.[2024吉林]小明利用一次函数和二次函数知识、设计了一个计算程序，其程序框图如图1所示，输入x的值为-2时，输出y的值为1；输入x的值为2时、输出y的值为3；输入x的值为3时，输出y的值为6.
(1)直接写出k、a、b的值.
(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图象，如图2.
1.当y随x的增大面增大时、求x的取值范围、
Ⅱ.若关于x的方程 (t为实数)在0用.若在函数图象上有点 P，Q(P与 Q 不重合)，P的横坐标为m，Q的横坐标为-m+1，小明对P，Q之间(含P，Q两点)的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化时，直接写出m 的取值范围.
32.[2024 湖北]在平面直角坐标系中，抛物线y= 与x轴交于点A(-1,0)和点 B,与y轴交于点 C.
(1)求b的值.
(2)如图，M 是第一象限抛物线上的点，∠MAB=∠ACO,求点M 的横坐标.
(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点 N.
设L的顶点横坐标为n，NC的长为d.
①求d关于n的函数解析式.
②L与x轴围成的区域记为U，U与△ABC 内部重合的区域(不含边界)记为W.当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围.
第12关 二次函数
1. A
2. C 解析:∵二次函数 的图象过点A( ,y ),B(3a,y ), 当.y >a时， 即 此式不成立，故A，B选项均不正确，当y <0时, 故 C选项正确，D选项不正确.
3. D 解析：由题意得 解得
∴二次函数的解析式为
∵a=-1<0,
∴抛物线的开口向下，故A 选项不符合题意；
∴当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小，故B选项不符合题意；
令y=0,得
解得
∴抛物线与x轴的交点坐标为(0，0)和(2,0).
又∵抛物线的顶点坐标为(1，1)，
∴抛物线经过第一、三、四象限，故C 选项不符合题意；
抛物线的对称轴为直线：x=1,故 D 选项符合题意.
4. B 解析：由题意得，
y=(x+1) 2=(x+1+2×2)(x+1-2)=(x
∴函数y=(x+1) 2的最小值为-9.
6.(1,2)
解析：将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为
∴平移后抛物线的顶点坐标为(1，2).
方法总结..
平移规律可以用八个字概括，即“左加右减，上加下减”，利用平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，进而可求得平移后抛物线的顶点坐标.
解析：将A(0,m),B(1,-m),D(3,-m)代入
把C(2,n)代入
得
8. C
9. B 解析:①由题意得 当x=1时,y=a+b+c=a-2a+c=2,
∴c=2+a,
∵a<0,∴b>0,
但c的正负不确定，故abc的正负不确定，故①错误；
②抛物线 (a,b,c为常数，a<0)的顶点为(1,2),
∴当x>1时，y随x的增大而减小，故②正确；
③当x=3时,9a+3b+c=0,
又∵b=-2a,c=2+a,
∴9a-6a+2+a=0,解得 故③正确；
④根据顶点坐标可知原抛物线表达式可改写为 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位可得y 故④错误.故选 B.
10. A 解析:由抛物线 与x轴的交点为((-3,0),(1,0),得. ∴b=2a,c=-3a,
故①正确；
∵点C的纵坐标在-3~-2之间，
∴-3<-3a<-2,即
故②正确；
即
又· 故③错误；
解得x =0(舍),
故④正确.故选 A.
11. B 解析：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴左侧，∴a<0，c
∴abc>0,故①错误;
∵对称轴是直线 点(-1,y )和点(2，y )都在抛物线上，
又∵
故②错误；
∵当x=m时, 当 时，函数取最大值，为
∴对于任意实数m，有
故③正确；
∵当 时,y=0,
∴9a-6b+4c=0,即3a+4c=0,故④正确.故选 B.
12.①②④
解析:由x=-3和x=1时,y=5知图象的对称轴为直线x=-1，易知抛物线开口向下，由表格作出如图所示的抛物线.
由图象可知a<0,b<0,c>0,
∴abc>0,故①正确;
∵抛物线顶点为(-1，9)，则抛物线与直线y=9有一个公共点，
∴关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，故②正确；
由图象可知当-4∴点(m,y ),(-m-2,y )关于对称轴直找x=-1对称,
∴y =y ,故④正确;
根据图象的对称性可知抛物线过点(2，0),
∵直线y=-x+2经过点(2,0)和(-3,5)，在同一直角坐标系中作出该直线，由图象可知⑤中x的取值范围是x<-3或x>2、故⑤错误.
综上，正确的结论为①②④.
13. D14. B
16. k≥3
解析：抛物线 向下平移k个单位后得到的抛物线的解析式为y=
∵平移后的抛物线与x轴有公共点，
0,∴k≥3.
17. A 解析:设抛物线 与x轴的两个交点分别为(x ,0)和(x ,0),且x <1,
由题意知
由根与系数的关系可得， =-c,
∴-c-b+1<0,
∴b+c>1.
18. C 解析:
∴抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-1).
∵1-(-1)=3-1,
∴x=-1和x=3时对应的函数值相等.
∵-1≤x≤t-1,当x=-1时,函数取得最大值，
∴t-1≤3,
又∵当x=1时，函数取得最小值，
∴t-1≥1,
∴1≤t-1≤3,
解得2≤t≤4.
19. B 解析:分别过点A 和点 C 作y轴的垂线，垂足分别为M 和N，
将A，C两点的横坐标代入函数解析式得，
点A 坐标为 点 C 坐标为
+4.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD,∠ADC=90°,
∴ ∠CDN +∠ADM = ∠ADM+∠DAM=90°,
∴∠CDN=∠DAM.
又∵∠CND=∠DMA=90°,
∴△CDN≌△DAM(AAS)、
∴DM=CN=n,DN=AM=m,
∴MN=DM+DN=m+n,
又∵
即(m+n)(m-n)=m+n,
∵m>n>0,
∴m+n≠0,
∴m-n=1.
20. B 解析：∵抛物线开口向下，∴a<0.
又抛物线的对称轴是直线 ∴b=2a<0.
又抛物线交y轴于正半轴，∴c>0.
故①错误.
当x=-1时,y取最大值,为a-b+c,
∴对于任意实数m，当x=m时， + bm+c≤a-b+c.
故②正确.
由图象可得,当x=1时,y=a+b+c<0,又b=2a,
∴3a+c<0<1,故③正确.
由题意得M(x ,y),N(x ,y)关于直线x=-1对称,
故④错误.
综上，正确的结论有2个.
21.2
解析：抛物线 向下平移5个单位长度后得到 把(-2,4)代入,得4=4a-2b-2,
∴2a-b=3,
∴6a-3b-7=3(2a-b)-7=3×3-7=2.
22.4
解析：∵抛物线
∴抛物线 的“开口大小”为
23.②③④
解析：∵ (a,b,c是常数，a<0)经过(-1,1),(m,1)两点,且0∴对称轴为直线
∵a<0,∴b<0,故①错误.
∵0∴m-(-1)>1,即(-1,1).(m,1)两点之间的距离大于1.
又∵a<0、
∴x=m-1时、y>1.
∴若0当a=-1时，抛物线解析式为 bx+c,
把(-1,1)代入,得-1-b+c=1,
∴c=b+2.
整理得 =0,
∴当a=-1时, 即-1∴若a=-1，则关于x的一元二次方程 无实数解，故③正确.
∵a<0,∴抛物线开口向下，
∴AB 中点的横坐标
∴点A(x ,y )离直线. 较远，
∵总有y ∴对称轴与直线 重合或在直线 左侧， 解得 故④正确.
24.(1)-3 (2)见解析 (3)函数图象关于y轴对称；当x>1时，y随x的增大而增大 (4)①2;2②3;3③-43
解析:(1)当x=-2时, |-2|-3=-3,
∴m=-3.
(2)画出图象如图所示.
(3)观察函数图象，可得出：①函数图象关于y轴对称；②当x>1时，y随x的增大而增大.
(4)①观察函数图象可知：当x=-3或x=3时,y=0,
∴该函数图象与x轴有2个交点，即对应的方程 有2个实数根.
②观察函数图象可知：函数 -3的图象与直线y=-3有3个交点,故对应的方程： 有3个实数根.
③观察图象可知：关于x的方程 2lxl-3=a有4个实数根时,a的取值范围是-4④不等式. 的解集是x<-3或x>3.
25.(1)见解析
(2)16
解析：(1)证明：由题意可得
∴无论m为何非零实数，此方程总有两个实数根.
(2)当m=1时,抛物线为 ∴对称轴为直线
由题意可知，P，Q关于直线x=2对称， 即2a=4-n.
26.(1)-3
(2)当 时， 当m= 时
解析：(1)抛物线的对称轴是直线x=
(2)∵m是抛物线 与x轴交点的横坐标，
或
当 时.
当 时，
②当x=-a时,y有最小值；此时y=-23
(2)合理，理由见解析
(3)正确；y的最大值为
解析:(1)①当a=-4时,
∴当x=4时,y有最小值,为-23.
∵1>0,∴当x=-a时,y有最小值,为
∴甲同学的说法合理.
(3)乙同学的猜想正确.
由(2)可知当x=-a时，y有最小值，为
∵-1<0，∴抛物线的开口向下，并且y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小.∴y的最小值中存在最大值，为
解后反思.
数形结合思想主要指的是数与形之间的一一对应关系，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.
28.(1)(1,-1) (2)0解析:(1)把a=1代入 得，
∴抛物线的顶点坐标为(1，-1).
抛物线的对称轴为直线x=a，分两种情况讨论：
①当a>0时,如图,由y ∴0②当a<0时,如图,由y 解得a<-4.
综上,029.(1)4 (2)(i)3 (ii)
解析：(1)因为抛物线 的顶点横坐标为-b/2,抛物线 的顶点横坐标为1，
所以由条件得 解得b=4.
(2)因为点A(x ,y )在抛物线 2x上，所以
又点 在抛物线 上，则
于是 整理得
(i)因为h=3t,所以 4t，整理得
又x ≥0,t>0,所以 故t=1,从而h=3.
(ii)将 代入 4t，整理得
配方得
因为-3<0，所以当 即 时，h取最大值
30.(1)①= ②< ③>
(2)-4或
解析：(1)由题意得 的两根分别为 的两根分别为：x ，x ，由根与系数的关系知：
同理
(2)∵抛物线 经过(1,0),
∴1+b+c=0.∴c=-b-1.
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴△>0.
∴b≠-2.
∴当x=2时,y<0,当x=3时,y>0.
解得-4当 时,y=
分情况讨论：
①当 时,b≤-2.
当x=0时,y最大值=c.当x=1 时,y最小值=1+b+c.
解得
∵b≤-2,
不符合题意，舍去.
②当 时,-2当x=0时,y最大值=c.当 时，y最小值
解得
∵-2③当 时,-1当x=1时，,y最大值=1+b+c.当 时，
解得
综上所述 或
思路分析..
二次函数图象与x轴交点问题常转化为一元二次方程根的问题来解决，第(3)问由于函数解析式中含有未知参数b，因此需根据对称轴的位置分类讨论.
31.(1)k=1;a=1;b=-2
(2)Ⅰ. x<0或x≥1 Ⅱ. t<2或t≥11Ⅲ.-1≤m≤0或1≤m≤2
解析.(1)…=-2<0.
3=1,解得k=1,
∵x=2>0,x=3>0,
将.x=2,y=3和x=3,y=6分别代入y= 得
解得
(2)Ⅰ.∵k=1,a=1,b=-2,
∴一次函数解析式为y=x+3,二次函数解析式为
当x≥0时, 其图象开口向上，
∴x≥1时，y随着x的增大而增大；当x<0时,y=x+3,k=1>0,
∴x<0时，y随着x的增大而增大.综上，x的取值范围为x<0或x≥1.
在0∴抛物线 与直线y=t在0∵对于 当x=1|时，,y=2,
∴顶点为(1,2),
如图，
∴当t<2时，抛物线 与直线y=t在0当x=4时,y=16-8+3=11,
∴当t≥11时,抛物线 与直线y=t在0∴当t<2或t≥11时,抛物线 3与直线y=t在0∴点 P、Q关于直线 对称，当x=1时,y=1-2+3=2,当x=0时,y=3,
∵图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，当x=2时，y=3，当x=-1时,y=2,
∴①当 时，如图，
由题意得
∴1≤m≤2;
②当 时，如图.
由题意得
∴-1≤m≤0.
综上,-1≤m≤0或1≤m≤2.
32.(1)2
(2)
或
解析：(1)∵抛物线 交x轴于A(-1,0),
∴0=-1-b+3,解得b=2.
(2)∵b=2,
令y=0,则
解得x=-1或x=3,
令x=0,则y=3,
∴B(3,0),C(0,3).
作MN⊥x轴于点 N,
设
∵∠MAB=∠ACO,∠MNA=∠AOC,
∴△MAN∽△ACO,
即
解得 或m=-1(舍去).
∴点M 的横坐标为-
(3)①∵将抛物线沿水平方向平移、
∴抛物线顶点的纵坐标不变，是4，
∴图象L的解析式为
由题意知C、N不重合,则n≠±1, ),
②由①得
则d关于n的函数图象如图，
∵d随n的增大而增大，
∴-11.
△ABC(不含边界)中含(0,1),(0,2),(1,1)三个整数点.
当-1∴当x=0时,,yL>2,当x=1时,yL≤1,
即
又-1当n>1时，W内应恰有2个整数点(0，1),(1,1),
∴当x=0时,11,
即 又n>1,
综上，n的取值范围为、 或-1<

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