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第11关 反比例函数
基础练
考点 1 反比例函数的图象与性质
1.[2024湖南株洲一模]下列关系中，是反比例函数关系的是 ( )
A.圆的面积S与它的半径r之间的关系
B.用频率估计概率时，概率 P 与频率p的关系
C.电压U一定时，电流I与电阻R之间的关系
D.小明的身高h与年龄x之间的关系
2.[2024陕西榆林三模]在同一个平面直角坐标系中，函数 与y= ax+b的图象可能是( )
3.[2024湖北武汉]某反比例函数 具有下列性质：当x>0时，y随x的增大而减小.写出一个满足条件的k的值是 .
4.[2024四川遂宁改编]若反比例函数 的图象位于第一、三象限，则正整数 k的值是
5.[2024山东济宁]已知点.A(-2,y ),B(-1,y ),C(3,y )在反比例函数 的图象上，则y ,y ,y 的大小关系是 ( )
6.[2024贵州]已知点(1,3)在反比例函数 的图象上.
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点(-3,a),(1,b),(3,c)都在反比例函数的图象上，比较a，b，c的大小，并说明理由.
考点 2 反比例函数与几何知识的综合应用
7.[2024江苏苏州]如图，点A 为反比例函数y= 图象上的一点，连接AO，过点 O 作OA 的垂线与反比例函数 的图象交于点B，则 的值为 ( )
A. B. D.
8.[2024四川宜宾]如图,等腰三角形ABC 中,AB=AC，反比例函数 的图象经过点A、B及AC的中点M,BC∥x轴,AB与y轴交于点N，则MVB的值为 ( )
B . C. D.
9.[2024 四川广元]已知 与 的图象交于点A(2，m)，点B 为y轴上一点，将△OAB 沿OA 翻折,使点 B 恰好落在 0)的图象上点C处，则B点坐标为 .
10.如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB 为菱形， 且点A 在反比例函数 在第一象限的图象上，点B 在反比例函数 ≠0)在第一象限的图象上，则k= .
11.2024 福建如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数 的图象与⊙O 交于A，B 两点，且点A，B都在第一象限.若A(1，2)，则点B的坐标为 .
12.[2024甘肃兰州]如图，反比例函数 0)与一次函数y= mx+1的图象交于点A(2,3)，点B是反比例函数图象上一点，BC⊥x轴于点C，交一次函数的图象于点 D，连接AB.
(1)求反比例函数 与一次函数y= mx+1的表达式；
(2)当OC=4时,求△ABD的面积.
考点 3 反比例函数的实际应用
13.[2024河北]节能环保已成为人们的共识.淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天.下列说法错误的是 ( )
A.若x=5,则y=100
B.若y=125,则x=4
C.若x减小，则y也减小
D.若x减小一半，则y增大一倍
14.[2024江苏连云港]杠杆平衡时，“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.已知阻力和阻力臂分别为1 600 N和 0.5m ,动力为 F(N),动力臂为l(m)，则动力 F关于动力臂l的函数表达式为
15.[2024山西]机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数.已知一款机器狗载重后总质量m=60 kg时，它的最快移动速度v=6m/s；当其载重后总质量m=90kg时,它的最快移动速度 v= m/s.
16.[2024吉林]已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻 R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.
(1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量 R 的取值范围)；
(2)当电阻R为3Ω时，求此时的电流I.
提升练
17.反比例函数 的图象上有P(t,y ),Q(t+4，y )两点.下列选项中说法正确的是 ( )
A.当t<-4时,
B.当-4C.当-4D.当t>0时,(
18.[2024内蒙古通辽]如图，平面直角坐标系中，原点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心,EF∥x轴，点E在双曲线 (k为常数,k>0)上,将正六边形 ABCDEF 向上平移 个单位长度，点 D 恰好落在双曲线上，则k的值为 ( )
B.3
D.3
19.[2024吉林长春]如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，点A(4，2)在函数 0，x>0)的图象上.将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数 >0,x>0)的图象交于点 C.若 则点 B的坐标是 ( )
A.(0, ) B.(0,3) C.(0,4) D.(0,2
20.[2024内蒙古包头]若反比例函数 ,当1≤x≤3时,函数y 的最大值是a,函数y 的最大值是b，则(
21.[2024黑龙江齐齐哈尔]如图，反比例函数y= 的图象经过平行四边形ABCO 的顶点A,OC在x轴上,若点 B(-1,3),S ABCO=3,则实数k 的值为 .
22.[2024 北京]在平面直角坐标系xOy中,若函数 的图象经过点(3,y )和(-3,y ),则: 的值是 .
23.[2024 山东威海]如图，在平面直角坐标系中，直线 与双曲线 交于点A(-1,m),B(2,-1),则满足 的x的取值范围为 .
24.[2024 黑龙江大庆]定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值函数”.该点称为“倍值点”.例如：“倍值函数” y=3x+1,其“倍值点”为(-1,-2).下列说法不正确的序号为 .
①函数y=2x+4是“倍值函数”;
②函数 的图象上的“倍值点”是(2，4)和(-2,-4);
③若关于x的函数 的图象上有两个“倍值点”，则m的取值范围是
④若关于x的函数 的图象上存在唯一的“倍值点”，且当-1≤m≤3时，n的最小值为k，则k的值为
25.[2024黑龙江绥化]如图,已知点A(-7,0),B(x,10),C(-17。y),在平行四边形ABCQ中,它的对角线OB 与反比例函数 的图象相交于点 D,且OD:OB=1:4,则k=
26.[2024江苏扬州]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点B在反比例函数 (x>0)的图象上,BC⊥x轴于点 C,∠BAC=30°,将△ABC 沿AB 翻折,若点 C 的对应点 D落在该反比例函数的图象上，则k 的值为
27.[2024山东聊城]列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系，下表是函数y=2x+b与 部分自变量与函数值的对应关系：
x - a 1
2x+b a 1
kx 7
(1)求a，b的值，并补全表格；
(2)结合表格，当y=2x+b的图象在 的图象上方时，直接写出x的取值范围.
28.[2024江苏盐城]小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图.
请根据图中信息，求：
(1)反比例函数表达式；
(2)点 C 坐标.
29.[2024河南]如图,矩形ABCD 的四个顶点都在格点(网格线的交点)上，对角线AC，BD相交于点 E，反比例函数 的图象经过点A.
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A 的三个格点，再画出反比例函数的图象；
(3)将矩形 ABCD 向左平移，当点 E 落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为
30.「2024四川巴中]如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与反比例函数 的图象交于A，B两点，点A的横坐标为1.
(1)求k的值及点B的坐标；
(2)点 P 是线段AB 上一点,点 M 在直线 OB上运动，当 时，求PM 的最小值.
31.[2024山东泰安]直线 与反比例函数 的图象相交于点A(-2,m),B(n,-1),与y轴交于点 C.
(1)求直线y 的表达式；
(2)若y >y ，请直接写出满足条件的x的取值范围；
(3)过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D，求△ACD的面积.
32.[2024宁夏]在同一平面直角坐标系中，函数y=2x+1的图象可以由函数y=2x的图象平移得到.依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究.
【动手操作】
列表：
描点、连线：在已画出函数 的图象的坐标系中画出函数 的图象.
【探究发现】
(1)将反比例函数 的图象向 平移 个单位长度得到函数 的图象.
(2)上述探究方法运用的数学思想是 ( )
A.整体思想 B.类比思想
C.分类讨论思想
【应用延伸】
(1)将反比例函数 的图象先 ,再 得到函数 的图象.
(2)函数 图象的对称中心的坐标为 .
33.[2024黑龙江大庆]如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A 在x轴的正半轴上.点B，C 在第一象限，四边形 OABC 是平行四边形，点C 在反比例函数 的图象上，点C的横坐标为2，点B 的纵坐标为3.
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为P (x ,y ),P (x ,y ),则 P P 中点坐标为
(1)求反比例函数的表达式.
(2)如图2，点D 是AB边的中点，且在反比例函数 图象上，求平行四边形 OABC 的面积.
(3)如图3，将直线 向上平移6个单位得到直线l ，直线l 与函数 图象交于M ,M 两点,点 P 为 M M 的中点,过点M 作M N⊥l 于点 N.请直接写出P 点坐标和 的值.
第11关 反比例函数
1. C 解析：A.圆的面积S与半径r的关系式为S=πr ，是二次函数关系，故不符合题意；
B.用频率估计概率时，概率 P 与频率p的关系不是反比例函数关系，故不符合题意；
C.电压U一定时，电流I与电阻R之间的关系式为 电流I与电阻R之间的关系是反比例函数关系，故符合题意；
D.小明的身高h与年龄x之间没有特定关系，故不符合题意.
故选C.
2. B 解析:若a>0,b>0,则反比例函数图象位于第一、三象限，一次函数图象经过第一、二、三象限，故选项 B符合题意，易知A，C，D均不符合题意.
3.1(答案不唯一) 4.1
5. C 解析:∵k<0,
的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，
∵-2<-1<0<3,
∴y 理由见解析
解析:(1)将(1,3)代入
得
(2)将(-3,a),(1,b),(3,c)代入 y
得a=-1,b=3,c=1,∴b>c>a.
7. A 解析:如图,作AG⊥x轴,垂足为 G,BH⊥x轴、垂足为H,
∵点A 在反比例函数 的图象上，点B 在反比例函数 的图象上，
∵∠AOB=90°,∠OHB=90°,
∴ ∠AOG+∠BOH=90°,∠HBO+∠BOH=90°,
∴∠AOG=∠HBO,又∵∠AGO=∠OHB,
∴△AGO∽△OHB,
方法技巧..
在直角坐标系中遇到“斜直角”问题，通常通过作垂线段构造“K型图”解决问题.
8. B 解析:过A 作 BC的垂线,垂足为 D,设BC与y轴交于E点，如图，
在等腰三角形ABC中,∵AD⊥BC,AB=AC,∴D 是BC的中点,
设A(a,b),B(b,b,b).
∴BD=DC=a-b,
∵AC的中点为M,
即
由点M在反比例函数的图象上得
整理得k(3a+b)(a-b)=0,∵a≠b,k≠0,∴3a+b=0,
∴b=-3a,
由题意知,AD∥NE,
9.(0,4)
解析：∵点A在 的图象上，
∴A(2,2 ).
又点A在反比例函数 的图象上，
∴反比例函数的解析式为 连接BC,由翻折的性质得,BC⊥OA,
∴可设BC所在直线的解析式为 +b,
∴B(0,b).
设BC所在直线与直线OA 的交点为 P，联立得
又点B与点 C关于直线OA对称，B(0，b),
又点C在反比例函数 的图象上，
∴b=4或b=-4(舍去).
∴B(0,4).
10.8
解析:如图,过点A 作AD⊥x轴于点 D,过点 B作BE⊥x轴于点 E,
∴设AD=4x,则(OD=3x,
∵点A在反比例函数 在第一象限的图象上，
∴4x·3x=3,
解得 负值舍去)，
∵四边形AOCB为菱形，
∴AB=OA,AB∥x轴.
即(4.2),
∵点B在反比例函数 在第一象限的图象上，∴k=4×2=8.
11.(2,1)
解析：∵反比例函数 的图象与⊙O都关于直线y=x对称，A，B两点都在第一象限，
∴A，B两点也关于直线y=x对称，
∵A(1,2),∴B(2,1).
12.(1)反比例函数的表达式为 次函数的表达式为y=x+1 (2)
解析：(1)∵反比例函数 与一次函数y=mx+1的图象交于点A(2，3),
∴k=2×3=6,3=2m+1,解得m=1,
∴反比例函数的表达式为 一次函数的表达式为：y=x+1.
(2)将x=4代入y=x+1得y=5,∴D(4,5),
将：x=4代入 得
13. C 解析:由题意可得:xy=500.若x=5,则y=100,选项 A中说法正确;若y=125,则x=4,选项 B中说法正确;若x减小，则y增大，选项C中说法错误；若x减小为- x，则y变为2y，选项D中说法正确.故选C.
(2)12 A
解析:(1)设
由题意得K=RI=9×4=36,∴这个反比例函数的解析式为
(2)电阻R为3Ω时,
17. A 解析:∵反比例函数 中,k=4>0，∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
A.当1<-4时,t+4<0,
∵1<1+4,∴y B.当-40,点P(t,y )在第三象限，点(Q(t+4,y )在第一象限,
故B，C中说法错误，不符合题意；
D.当t>0时,t+4>0,
∵t∴y >y >0,故 D 中说法错误,不符合题意.
故选A.
18. A 解析:如图,作 DG⊥EF 交 FE 的延长线于点G，DG交双曲线于点 H，
∵原点O 为正六边形ABCDEF 的中心,EF∥x轴,
∴∠EDG=30°,
∵将正六边形ABCDEF 向上平移 单位长度，点D 恰好落在双曲线上，
设正六边形ABCDEF的边长为a，则(E| a, a),H(a, ),
∵点 E，H都在双曲线 上，
∴a=4,∴H(4, ),∴k=4
19. B 解析:∵点A(4,2)在函数 >0,x>0)的图象上,
设直线 OA 的解析式为y=tx,
设直线 OA 向上平移m个单位得到直线BC,
∴B(0,m),直线 BC 的解析式为 y=
设点 C 坐标为 把点C坐标代入直线 BC 的解析式得
过点C作CH⊥y轴于H,
则
解得a=2(负值舍去)， 3.∴B(0,3).
20.
解析：∵反比例函数 中.,2>0,当1≤x≤3时,函数y 的最大值是a,
∴当1≤x≤3时,y 随x的增大而减小,∴
∵反比例函数 中,-3<0,,当1≤x≤3时，函数y 的最大值是b，
∴当1≤x≤3时,y 随x的增大而增大,.
21.-6
解析：延长AB交y轴于点 D，
∵B(-1,3),S□ABCO=3,
∴OD=3,OC·OD=3,∴OC=1,
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB=OC=1,AB∥OC,∴A(-2,3),
∵点A在反比例函数 的图象上，
∴k=-6.
22.0 23.-1≤x<0或x≥2
24.①③④
解析:由题意,对于①,令y=2x=2x+4,此时方程无解，
∴y=2x+4不是“倍值函数”,故①错误.对于②，令
∴x=2或x=-2,
图象上的“倍值点”为(2，4)，(-2,-4),故②正确.
对于③，令
∵函数 的图象上有两个“倍值点”。
且m-1≠0,
∴m的取值范围是 且m≠1,故③错误.
对于④，令
的图象上存在唯一的“倍值点”，
∴n关于m的函数图象的对称轴是直线m=k,当m=k时,n的最小值为2k.
又∵ 的图象上存在唯一的“倍值点”，且当-1≤m≤3时，n的最小值为k，
∴当-1≤k≤3时,2k=k,
∴k=0;
当k>3时,
∴此时无解；
当.k<-1时,
(舍去)或
综上，,k=0或 故④错误.
故答案为①③④.
25.-15
解析:作 BE⊥x轴,CF⊥x轴,DG⊥x轴,垂足分别为E,F,G,
∵点A(-7,0),B(x,10),C(-17,y),
∴BE=10,OF=17,OA=7,
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴EF=BC=OA=7,
∴OE=17+7=24,
由作图可知BE∥DG,
∴△ODG∽△OBE,
∵OD:OB=1:4,
∵点D 在反比例函数 的图象上，
26.2
解析:过点D 作DE⊥x轴于点E,设BC=a.
由翻折可知AC=AD,∠DAB=∠BAC=30°,
∴∠DAC=60°,
∴∠ADE=30°,
又∵BC⊥x轴,
∵点A 的坐标为(1,0),
∴OA=1,
∵点B 与点 D 在反比例函数 的图象上，
解得 舍),
27.(1)a=-2;b=5;补全表格见解析
(2)x>1或
解 析:(1)由表 格 中 的 数 据
得
解得
当x=1时,2x+b=2×1+5=7,
k=1×7=7,
补全表格如下.
x -72 a 1
2x+b a 1 7
kx -2 - 7
(2)由表中数据可知，两个函数图象的交点坐标分别为 (1,7),如图，画出相应草图，观察可得y=2x+5的图象在 的图象上方时，x>1或
反比例函数的自变量x≠0，其图象在两个象限内，故(2)应分类讨论.
解析：(1)由题图可知点A 的坐标为(-3,2),
设反比例函数的表达式为 0),将A(-3,2)代入,得
∴k=-6,
∴反比例函数的表达式为
(2)设直线 OA 的解析式为y= tx(t≠0),把A(-3,2)代入,得
∴直线 OA 的解析式为
∵BC∥OA,
∴直线 BC的解析式为 令 整理得 0，解得 或x=6.
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为
(2)见解析 (3)
解析：(1)∵反比例函数 的图象经过点A(3,2),
∴这个反比例函数的表达式为
(2)如图.
(3)由图可知点 E 原来的坐标是(6，4)，当点E向左平移到反比例函数的图象上时，纵坐标还是4，代入 得x 故平移距离为
30.(1)k=3;B(-3,-1)
解析:(1)把x=1代入y=x+2,得y=3,
∴A(1,3),
∴k=1×3=3,
∴反比例函数的解析式为
联立解析式得
解得 或
∴B(-3,-1).
∴P是AB的中点,∴P(-1,1),易得OB所在直线的解析式为 当PM取得最小值时,PM⊥OB,
∴设此时PM 所在直线的解析式为y=-3x+b,
代入P(-1,1)得3+b=1,解得b=-2,
∴PM 所在直线的解析式为y=-3x-2,
联立解析式得
解得
∴ PM 的 最 小 值 为
(2)x<-2或(0解析：(1)分别将A(-2,m)、B(n,-1)
代入
得-2m=-8,-n=-8,
解得m=4,n=8,
∴A(-2,4),B(8,-1),
把A(-2,4),B(8,-1)分别代入y = kx+b,
得 解得
∴直线y 的表达式为
(2)略.
当 时
得
∴D点坐标为
32.【动手操作】
描点、连线画出函数图象如图
【探究发现】
(1)左;1 (2)B
【应用延伸】
(1)向右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度 (2)(2,-1)
33.(1)y= (2)9 (3)P(4,3);
解析：(1)∵四边形OABC 是平行四边形，点C的横坐标为2，点B 的纵坐标为3,
∴C(2,3),
∵点C(2，3)在反比例函数 的图象上，
∴k=6,
∴反比例函数的表达式为
(2)设点A坐标为(m,0),
∵C(2,3),
∵四边形OABC是平行四边形，
∵点D是AB边的中点，点 B 的纵坐标为3,
∴点 D 的纵坐标为-
∵点D在反比例函数 的图象上，∴D(4, ),
由中点坐标公式可得点 B 的坐标为(8-m,3),易知8-m>m、 解得m=3或m=5(舍去),
(3)∵将直线 向上平移6个单位得到直线l ，
∴直线l 的解析式为
设直线l 与x轴交于点 G，与y轴交于点E,则E(0,6),∴OE=6.
如图,作OF⊥l 交l 于点 F,
∵M N⊥l ,将l 平移得到l ,
∴M N=OF,
在函数 中,当y=0时,x=8,
∴G(8,0),
∴OG=8,
在 Rt△EOG中，由勾股定理得
由三角形面积公式可得
联立反比例函数与直线l 的解析式得
解得
∵点 P为M M 的中点,
∴P(4,3),

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