资源简介

第10关 一次函数
基础练
考点 1 一次函数的图象与性质
1.[2024甘肃兰州]一次函数y=2x-3 的图象不经过 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.[2024四川德阳]正比例函数y= kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是 ( )
A.
C.-1
3.[2024湖南长沙]对于一次函数y=2x-1,下列结论正确的是 ( )
A.它的图象与y轴交于点(0，-1)
B. y随x的增大而减小
C.当 时,y<0
D.它的图象经过第一、二、三象限
4.[2024辽宁]如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形AOBC 的顶点A在x轴负半轴上，顶点 B在直线 上，若点 B的横坐标是8，则点 C的坐标为 ( )
A.(-1,6) B.(-2,6) C.(-3,6) D.(-4,6)
5.[2024天津]若正比例函数y= kx(k是常数,k≠0)的图象经过第三、第一象限，则k的值可以是 (写出一个即可).
6.[2024吉林长春]已知直线y= kx+b(k,b 是常数)经过点(1，1)，且y随x的增大而减小，则b的值可以是 .(写出一个即可)
7.[2024江苏苏州]直线 与x轴交于点A，将直线l 绕点A 逆时针旋转15°，得到直线l ，则直线l 对应的函数表达式是 .
考点 2 一次函数与方程(组)、不等式之间的关系
8.[2024广东]已知不等式 kx+b<0 的解集是x<2，则一次函数y=kx+b的图象大致是 ( )
9.[2024内蒙古呼伦贝尔]点 P(x,y)在直线y= 上,坐标(x,y)是二元一次方程5x-6y=33的解，则点 P 的位置在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
10.[2024江苏扬州]如图,已知一次函数y= kx+b(k≠0)的图象分别与x、y轴交于A、B 两点,若OA=2,OB=1,则关于x的方程 kx+b=0的解为 .
11.[2024北京]在平面直角坐标系xOy中,函数y= kx+b(k≠0)与y=-kx+3的图象交于点(2,1)、
(1)求k,b的值;
(2)当x>2时、对于x的每一个值,函数y= mx(m≠0)的值既大于函数y=kx+b的值，也大于函数y=-kx+3的值，直接写出m的取值范围.
考点 3 一次函数的实际应用
12.2024河南濮阳二模]漏刻(如图)是我国古代的一种计时工具.据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用.李明依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h(cm)是时间t(min)的一次函数，如表是李明记录的部分数据，其中有一个h的值记录错误，错误的h值为 ( )
t(min) … 2 3 5 6
h(cm) … 2.0 2.4 3.0 3.6
A.2.0 B.2.4 C.3.0 D.3.6
13.[2024山东威海]同一条公路连接A,B,C三地，B地在A，C两地之间.甲、乙两车分别从A地、B地同时出发前往C 地.甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶.下图表示甲、乙两车之间的距离y(km)与时间x(h)的函数关系.下列结论正确的是 ( )
A.甲车行驶 h与乙车相遇
B、A,C两地相距220 km
C.甲车的速度是70 km/h
D.乙车中途休息36分钟
14.[2024湖北]铁的密度约为7.9 g/cm ,铁块的质量m(单位：g)与它的体积V(单位：cm )之间的函数关系式为m=7.9V.当 V=10 cm 时,m= g.
15.[2024 四川甘孜州]端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗.节日前夕，某商场购进A，B两种粽子共200盒进行销售.经了解，进价与标价如下表所示(单位：元/盒)：
种类 进价 标价
A 90 120
B 50 60
(1)设该商场购进A种粽子x盒，销售两种粽子所得的总利润为y元，求y关于x的函数解析式(不必写出自变量x的取值范围)；
(2)若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3 000元，请问至少需要购进A种粽子多少盒
16.[2024内蒙古包头]如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的.小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位：cm)随着碗的数量x(单位：个)的变化规律.下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据：
x/个 1 2 3 4
y/ cm 6 8.4 10.8 13.2
(1)依据小亮测量的数据，写出γ与x之间的函数表达式，并说明理由；
(2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8cm，求此时碗的数量最多为多少个.
提升练
17.[2024山西]已知点.A(x ,y ),B(x ,y )都在正比例函数y=3x的图象上,若x A. y >y B. y 18.[2024山西]生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为 ( )
尾长x(cm) 6 8 10
体长y(cm) 45.5 60.5 75.5
A. y=7.5x+0.5 B. y=7.5x-0.5
C. y=15x D. y=15x+45.5
19.[2024陕西宝鸡校级模拟]在同一平面直角坐标系内，正比例函数y=kx与一次函数y=-3kx+k的图象可能为 ( )
20.[2024内蒙古通辽]如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数 与 (其中k k ≠0,k ,k ,b ,b 为常数)的图象分别为直线l ，l .下列结论正确的是 ( )
21.[2024河南开封二模]数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法.如图，一次函数y=-x-1与y= mx+n(m,n为常数,m≠0)的图象相交于点(1,-2),则不等式-x-1< mx+n的解集在数轴上表示正确的是 ( )
22.[2024宁夏银川校级模拟]在同一平面直角坐标系中,一次函数y= ax+b与y= mx+n(a其中正确结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
23.[2024 四川南充]当2≤x≤5时,一次函数 有最大值6，则实数 m 的值为 ( )
A.-3或0 B.0或1 C.-5或-3 D.-5或1
24.[2024 安徽马鞍山二模]已知非负数a,b,c满足 设S=a+2b+3c,则S的取值范围是 ( )
A.11≤S≤16 B.10≤S≤13
C.5≤S≤13 D.10≤S≤16
25.[2024 山东东营三模]如图,A(-2,1),B(2,3)是平面直角坐标系中的两点，若一次函数y=kx-1的图象与线段AB有交点，则k的取值范围是 .
26.[2024 北京海淀区校级模拟]等腰三角形ABC中,AB=AC,记AB为x,周长为y,定义(x,y)为这个三角形的坐标.如图所示，直线y=2x，y=3x. y=4x将第一象限划分为4个区域.下面四个结论：①对于任意等腰三角形ABC，其坐标对应的点不可能位于区域Ⅰ中；②对于任意等腰三角形ABC，其坐标对应的点可能位于区域Ⅳ中；③若三角形ABC 是等腰直角三角形，则其坐标对应的点位于区域Ⅲ中；④图中点 M所对应的等腰三角形的底边比点 N 所对应的等腰三角形的底边长.
其中所有正确结论的序号是 .
27.[2024四川广安]已知,直线 与x轴相交于点 A ，以OA 为边作等边三角形OA B ,点B 在第一象限内,过点 B 作x轴的平行线与直线l交于点A ，与y轴交于点 C ，以C A 为边作等边三角形 C A B (点 B 在点B 的上方)，以同样的方式依次作等边三角形C A B ,等边三角形C A B ,……,则点A 的横坐标为 .
28.[2024 浙江杭州校级模拟]已知一次函数y=ax+3a+1(a是常数,a≠0).
(1)无论a取何值，该一次函数图象始终过一个定点，直接写出这个定点的坐标；
(2)若当2≤x≤4时，该一次函数的最大值是6,求a的值.
29.[2024 黑龙江牡丹江]一条公路上依次有A、B、C三地，甲车从A 地出发，沿公路经 B 地到 C地，乙车从C 地出发，沿公路驶向 B地.甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早 时到达目的地.甲、乙两车之间的路程y km与两车行驶时间 xh的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车行驶的速度是 km/h，并在图中括号内填上正确的数；
(2)求图中线段 EF 所在直线的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(3)请直接写出两车出发多少小时时，乙车距B 地的路程是甲车距B 地路程的3倍.
30.[2024北京]小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯).在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来.新水杯(记为2号杯)示意图如图.当1号杯和2号杯中都有 V mL水时，小云分别记录了1 号杯的水面高度h (单位：cm)和2号杯的水面高度h (单位：cm)，部分数据如下：
V/mL 0 40 100 200 300 400 500
h / cm 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
h / cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
(1)补全表格(结果保留小数点后一位).
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画h 与V，h 与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象.
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 cm(结果保留小数点后一位)；
②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为 cm(结果保留小数点后一位).
31.[2024吉林]综合与实践
某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究.第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流.下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息、并解答“建立模型”中的问题.
【背景调查】
图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”、是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度、确定榫眼的位置，如图②所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美.
【收集数据】
小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为x mm，凳面的宽度为y mm，记录如下：
以对称轴为基准 向两边各取相同 的长度x/ mm 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7
霙面的宽度y/mm 115.5 132 148.5 165 181.5
【分析数据】
如图③，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点.
【建立模型】
请你帮助小组解决下列问题：
(1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上 如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由.
(2)当凳面宽度为213 mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少
第10关 一次函数
1. B 2. A 3. A
4. B 解析:当x=8时
∴点B的坐标为(8,6),
∵四边形 AOBC 是菱形,且 AO 在 x轴上，
∴BC=OB=10,且BC∥x轴,
∴点C的坐标为(-2,6).
5.1(答案不唯一)
6.2(答案不唯一)
解析:∵直线y= kx+b(k,b是常数)经过点(1,1),
∴1=k+b.
∵y随x的增大而减小，
∴k<0,
当k=-1时,1=-1+b,
解得b=2,
∴b的值可以是2(答案不唯一).
解析：如图所示，
将x=0代入y=x-1,得y=-1,
∴点B坐标为(0,-1).
将y=0代入y=x-1,得x=1,
∴点A 的坐标为(1,0),
∴OA=OB=1,
∵∠AOB=90°,
∴∠OBA=∠OAB=45°.
由旋转可知,∠BAC=15°,
在Rt△AOC中,
则点C 的坐标为((0,- ).
设直线l 的函数表达式为.y= kx+b,则 解得
∴ 直线l 的函数表达式为
8. B 解析:A.由图象可得,不等式 kx+b<0的解集是x>-2，故本项不符合题意；
B.由图象可得，不等式 kx+b<0的解集是x<2，故本项符合题意；
C.由图象可得，不等式 kx+b<0的解集是x<-2，故本项不符合题意；
D.由图象可得，不等式 kx+b<0的解集是x>2，故本项不符合题意.
故选 B.
9. D 解析：解方程组 得
点 P 在第四象限.
10. x=-2
11.(1)k=1;b=-1
(2)m≥1
解析:(1)将(2,1)代入y=-kx+3,得-2k+3=1,
解得k=1,
将k=1,(2,1)代入函数y= kx+b中,得2+b=1,解得b=-1.
(2)∵k=1,b=-1,
∴两个一次函数的解析式分别为y=x-1,y=-x+3.
由题意知,当x>2时,直线y= mx(m≠0)在直线y=x-1和直线y=-x+3的上方，画出图象如下：
由图象得，当直线y=mx(m≠0)与直线y=x-1平行时符合题意，当直线y=mx(m≠0)与x轴的夹角大于直线y=x-1与x轴的夹角时也符合题意，
∴当x>2,直线y= mx(m≠0)在直线y=x-1和直线y=-x+3的上方时,m≥1.∴m的取值范围是m≥1.
12. C 解析:设过点(2,2.0)和点(3,2.4)的函数图象的解析式为h=kt+b， 解得
即h=0.4t+1.2,
当t=5时,h=0.4×5+1.2=3.2,
当t=6时,h=0.4×6+1.2=3.6,
由上可得,点(2,20),(3,2.4),(6,3.6)均在一次函数h=0.4t+1.2 的图象上,只有点(5、3.0)不在该函数图象上，故记录错误的h的值是3.0，故选 C.
13. A 解析:由题意得(0,20)表示甲、乙两车之间的初始距离为20km，
第一段线段上升，表示乙车的速度大于甲车的速度，
第二段线段下降，表示乙车从x=2时开始休息，
第三段线段上升，表示甲车追上乙车后，乙车继续休息，甲继续行驶，
(3，20)表示甲、乙两车之间的距离为20km，此时甲车到达某地，乙车停止休息，开始行驶，
(4，0)表示甲、乙两车出发4小时后同时到达 C 地.
乙车休息时间为3-2=1(h),故D 选项错误，
∵中间两段折线表示甲车行驶的路程为40+20=60(km),
∴甲车的速度为 60÷(3-2)= 60(km/h)，故C选项错误，
∴A,C两地相距4×60=240(km),故 B选项错误，
甲、乙中途相遇的时间为2+40÷60= (h),故A 选项正确.
14.79
15.解:(1)y=(120-90)x+(60-50)(200-x)=20x+2000.
答：y关于x的函数解析式为y=20x+2000.
(2)20x+2000≥3 000,解得x≥50.
答：至少需要购进A种粽子50盒.
16.(1)y=2.4x+3.6;理由见解析
(2)10个
解析：(1)由题表中的数据可知，y是x的一次函数，
设y= kx+b,
代入数据得
解得
∴y与x之间的函数表达式为y=2.4x+3.6.
(2)由题意得2.4x+3.6≤28.8,解得x≤10.5,
∴x的最大整数解为10.
答：碗的数量最多为10个.
17. B 18. A
19. D 解析:若k>0,则正比例函数y= kx的图象过第一、三象限，一次函数y=-3kx+k的图象过第一、二、四象限；若k<0，则正比例函数y=kx的图象过第二、四象限，一次函数y=-3kx+k的图象过第一、三、四象限.
结合选项可知，D选项正确.
20. A 解析:由图象可得, ，故选项 A 中结论正确； 故选项 B中结论错误； ，故选项 C中结论错误； 故选项 D中结论错误；故选 A.
21. A 解析:当x>1时,一次函数y=-x-1的图象在一次函数y=mx+n的图象的下方，
∴关于x的不等式-x-1< mx+n的解集是x>1.
在数轴上表示x>1，只有选项A正确，故选 A.
22. B 解析：①由函数图象可知，直线y=mx+n从左至右呈下降趋势，所以y的值随着x值的增大而减小，故①错误；②由函数图象可知，一次函数y=ax+b与y= mx+n(a③由函数图象可知，直线y=mx+n与x轴的交点坐标为(2，0)，所以方程 mx+n=0的解为x=2,故③正确;
④由函数图象可知，直线y=ax+b过点(0,-2),所以当x=0时, ax+b=-2,故④错误.故选 B.
23. A 解析:当m+1>0,即m>-1时,在2≤x≤5内，y随x的增大而增大，
∴当x=5时,y=6,即: 6，整理得
解得m=0或m=-5(舍去);
当m+1<0,即m<-1时,在2≤x≤5内,y随x的增大而减小，
∴当x=2时,y=6,即 6，整理得 解得m=-3或m=1(舍去).
∴实数m的值为-3或0.
24. A 解析:设 则a=2k+1,b=3k+2,c=3-4k,
∴S=a+2b+3c=(2k+1)+2(3k+2)+3(3-4k)=-4k+14,
∵-4<0,∴S随k的增大而减小,
∵a,b,c为非负数,
解得
∴当 时，S取最大值，最大值为
当 时，S取最小值，最小值为-4k+
∴S的取值范围是11≤8≤16.
25.k≤-1或k≥2
解析:把A(-2,1)代入y= kx-1得-2k-1=1,解得k=-1;
把B(2,3)代入y= kx-1得2k-1=3,解得k=2,
所以当一次函数y=kx-1的图象与线段AB有交点时,k≤-1或k≥2.
26.①③
解析：设等腰三角形ABC 的底边 BC=z,则y=2x+z,x>0,z>0.
①∵z>0,
∴y=2x+z>2x,
∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标对应的点都位于直线y=2x的上方，不可能位于区域Ⅰ中，故结论①正确；
②∵三角形任意两边之和大于第三边，∴2x>z,
∴y=2x+z<4x,
∴对于任意等腰三角形ABC，其坐标对应的点都位于直线y=4x的下方，不可能位于区域Ⅳ中，故结论②错误；
③若三角形ABC 是等腰直角三角形，则
即3x∴若三角形ABC 是等腰直角三角形，则其坐标对应的点位于区域Ⅲ中，故结论③正确；
④点M位于区域Ⅲ中,此时3x点N位于区域Ⅱ中,此时2x此时点M 所对应的等腰三角形的底边和点 N 所对应的等腰三角形的底边一样长，
故结论④错误.
故答案为①③.
解析：∵直线 与x轴交于点A 、
∴点A 坐标为(1,0),∴OA =1、过B 作 B M⊥x轴于点 M,过 B 作B N⊥x轴交A C 于点 D,交 x轴于点N,
∵△A B O为等边三角形,
当 时 解得
∴当 时，
解得
同理可得A 的横坐标为
∴点A 的横坐标为
28. (1)(-3,1)
解析：(1)∵一次函数y= ax+3a+1=a(x+3)+1,
∴当x=-3时,,y=1,
∴无论a取何值，该一次函数图象始终过定点(-3,1).
(2)若a>0,则y随x的增大而增大,∴当x=4时,y=4a+3a+1=6,解得
若a<0，则y随x的增大而减小，∴当x=2时,y=2a+3a+1=6,解得a=1(舍去),
综上所述
29.(1)70;300
(2)y=120x-300
或
解析：(1)由图可知，甲车 小时行驶的路程为(200-180) km,
∴甲车行驶的速度是 70(km/h).
填图如下.
(2)由图可知 E，F的坐标分别为( ,0),(4,180),
设线段EF所在直线的函数解析式为y= kx+b,
贝 解得
∴线段 EF 所在直线的函数解析式为y=120x-300.
(3)由题意知，A、C两地的距离为
乙车行驶的速度为 50(km/h),
C,B两地的距离为50×4=200(km),A,B两地的距离为300-200=100(km),设两车出发x小时时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍，
分两种情况，
甲、乙相遇前，
200-50x=3(100-70x),解得 甲、乙相遇后，
200-50x=3(70x-100),解得
综上，两车出发 h或 h时，乙车距B地的路程是甲车距B地路程的3倍.
30.(1)1.0 (2)见解析(3)①1.2②8.6
解析：(1)设V关于h 的函数关系式为V=kh (k≠0).
由题表中数据得100=2.5k,
解得k=40,∴ V=40h .
当V=40时,,40h =40,∴h =1.0.
(2)如图.
(3)①略.②略.
31.(1)它们在同一条直线上；这条直线所对应的函数解析式为y=5x+33
(2)36 mm
解析:(1)设y= kx+b,
则 解得
所以这条直线所对应的函数解析式为y=5x+33.
(2)当y=213mm时,213=5x+33,解得x=36,
所以当凳面宽度为213 mm时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是36 mm.

展开更多......

收起↑