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第9 关 平面直角坐标系与函数
基础练
考点 1 平面直角坐标系内点的坐标特征
1.[2024广西]如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P 的坐标为(2，1)，则点 Q 的坐标为 ( )
A.(3,0) B.(0,2)
C.(3,2) D.(1,2)
2.[2024贵州]为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团.小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为(-2,0),(0,0),则“技”所在的象限为 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.[2024四川广元]如果单项式 与单项式 的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点(m，n)在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
4.[2024四川甘孜州]如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现.按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为(1,90°),(2,240°),则点 C 的位置可以表示为
5.[2024 黑龙江绥化]如图,已知 A (3,- ),A (4,0),A (6,0),A (7, ),A (9, ),A (10,0),A (11,- )……,依此规律,则点A 的坐标为 .
考点 2 函数及自变量的取值范围
6.[2024广西钦州校级模拟]水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆的周长C与r的关系式为 C=2πr.下列判断正确的是 ( )
A.2 是变量 B.π是变量
C. r是变量 D. C是常量
7.[2024广西]激光测距仪L发出的激光束以3×10 km/s的速度射向目标M，ts后测距仪L收到M反射回的激光束，则L到 M 的距离 d km与时间 ts的关系式为 ( )
8.[2024浙江舟山一模]已知220=IR,则I关于 R的函数为 .
9.[2024 山东滨州]若函数 的解析式在实数范围内有意义，则自变量x的取值范围是
考点 3 函数图象及其应用
10.[2024湖北武汉]如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体、向水槽匀速注水.下列图象能大致反映水槽中水的深度h 与注水时间t的函数关系的是 ( )
11、[2024 江苏泰州校级模拟]水滴进玻璃容器(滴水速度相同)的实验中，水的高度随滴水时间变化的情况如图，下面符合条件的示意图是 ( )
12.2024 海海化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的.实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是 ( )
A.加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B.未加入絮凝剂时，净水率为0
C.絮凝剂的体积每增加0.1mL，净水率的增加量相等
D.加入絮凝剂的体积是0.2mL时，净水率达到76.54%
13.[2024湖北咸宁一模]如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.根据人体构造学的研究成果，一般情况下人的指距d(单位：cm)和身高h(单位：cm)具有一定的对应关系.下表是指距与身高的一组对应数据：
指距d/ cm 18 19 20 21
身高h/ cm 142±2 151±2 160±2 169±2
若小涵的身高是187 cm，他的指距是 ( )
A.22 cm B.23 cm
C.24 cm D.25 cm
14.[2024 安徽]如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=2,BD是边AC上的高.点 E,F分别在边AB，BC上(不与端点重合)，且DE⊥DF.设AE=x,四边形 DEBF 的面积为y,则y关于x的函数图象为 ( )
15.[2024湖南岳阳二模]甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示，则乙组每天挖掘 m.
16.[2024湖北孝感校级模拟]杆秤是我国传统的计重工具，其历史由来已久.如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离得出秤盘上所放物体的质量.称重时，若记秤砣到秤纽的水平距离为x(厘米)，秤盘所放物体质量为y(千克)，其部分对应数据如下表.
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组
x(厘米) 1 3 4 6 11 12
y(千克) 0.75 1.25 1.50 2.25 3.25 3.50
(1)在图2中，通过描点的方法，判断哪一组数据是错误的；
(2)根据(1)中描出的点，选择合适的函数模型，利用这种函数关系求当秤盘所放物体质量为5千克时秤砣到秤纽的水平距离.
提升练
17.[2024江西]将常温中的温度计插入一杯60℃的热水(恒温)中，温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为 ( )
18.[2024河北]平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”.将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数(当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移)，每次平移1个单位长度.
例：“和点”P(2，1)按上述规则连续平移3次后，
到达点P (2，2)，其平移过程如下：
P(2, 1)右P (3, 1)上,P (3, 2)车P (2, 2).
余0 余1 余2
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q (-1,9),则点 Q 的坐标为 ( )
A.(6,1)或(7,1) B.(15,-7)或(8,0)
C.(6,0)或(8,0) D.(5,1)或(7,1)
19.[2024贵州]小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“目”“◎”“△”三种物体，如图所示，天平都保持平衡.若设“□”与“◎”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是 ( )
A. x=y B. x=2y
C. x=4y D. x=5y
20.[2024湖南益阳一模]在平面直角坐标系中，点 到原点的距离为 ( )
A.1 B. C. D.3
21.[2024河南]把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流/与使用电器的总功率 P 的函数图象(如图1)，插线板电源线产生的热量Q 与I的函数图象(如图2).下列结论中错误的是 ( )
A.当P=440 W时,I=2 A
B. Q 随1的增大而增大
C. I每增加I A,Q 的增加量相同
D. P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
22.[2024 内服古呼和浩特一模]下列关于两个变量关系的四种说法中，正确的是 ( )
①圆的周长C是半径r的函数；
②表达式 中。y是x的函数；
③如表，n是m的函数；
nn -3 -2 -1 1 2 3
n -2 -3 -6 8 3 2
④如图，折线表示y是x的函数.
A.①③ B.②④
C.①②③ D.①②③④
23.[2024江苏盐城三模]已知y ,y 均为关于x的函数,当x=a时,函数值分别为b ,b ,若当024.[2024湖北武汉]如图，小好同学用计算机软件绘制函数 的图象，发现它关于点(1,0)中心对称.若点 A (0.1,y ),A (0.2,y ),A (0.3,y ),…,A (1.9,y ),A (2，y )都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则 +y 的值是 ( )
A.-1 B.-0.729
C.0 D.1
25.[2024 贵州安顺二模]如图,CD是直线x=1上长度固定为1 的一条动线段.已知点A(-1，0),B(0,3),则BC+AD 的最小值是 ( )
B.2
C.3.
26.[2024 甘肃兰州]如图1,在菱形 ABCD 中,∠ABC=60°,连接BD,点M从B出发沿BD方向以 的速度运动至D，同时点N从 B出发沿BC方向以1 cm/s的速度运动至C，设运动时间为x(s),△BMN的面积为y(cm ). y与x的函数图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长为 ( )
C.4 cm D.8cm
27.[2024 山东烟台]如图，水平放置的矩形ABCD中,AB=6cm,BC=8cm.菱形 EFGH 的顶点 E，G在同一水平线上，点G与AB 的中点重合，. 现将菱形EFGH 以1 cm/s的速度沿 BC方向匀速运动,当点E运动到 CD 上时停止.在这个运动过程中,菱形 EFGH 与矩形 ABCD 重叠部分的面积S(cm )与运动时间t(s)之间的函数关系图象大致是 ( )
28.[2024 山东青岛二模]如图是一个蝴蝶标本，将其放在平面直角坐标系中，若蝴蝶两个“翅膀顶端"A,B两点的坐标分别为(-3,2),(3,2),则蝴蝶“翅膀尾部”点C 的坐标为 .
29.[2024 河南郑州校级模拟]谚语“冰冻三尺非一日之寒”体现了冰的厚度随时间变化的过程，在该变化过程中因变量是 .
30.[2024黑龙江牡丹江]函数 中，自变量x的取值范围是 .
31.[2024 湖南娄底校级模拟]y与x之间的函数关系可记为y=f(x).例如：函数 可记为 若对于自变量取值范围内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数;若对于自变量取值范围内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数.例如:f(x)=x 是偶函数,f(x)=x是奇函数.已知函数f(x)是奇函数，当x>0时， 那么f(-4)= .
32.[2024吉林松原二模]小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外漏水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明将一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如表的一组数据：
时间t(单位：分钟) 1 2 3 4 5 …
总水量y(单位：毫升) 7 12 17 22 27
(1)探究：根据上表中的数据，请判断 和y=kt+b(k，b为常数)哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系，并求出y关于t的表达式；
(2)应用:
①请你估计小明在第20分钟测量时量筒中的总水量是多少毫升；
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估计这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一人饮用多少天.
33.[2024 北京东城区校级模拟]《国家纺织产品基本安全技术规范》规定，纺织产品标签上应标明所符合的基本安全技术要求类别(A类、B类或C类).
A类：婴幼儿纺织产品应符合A类要求，婴幼几纺织产品是指年龄在36个月及以下的婴幼儿使用的纺织产品. A类要求甲醛含量不超过20 mg/ kg.
B类：直接接触皮肤的产品应至少符合B类要求，指在穿着或使用时，产品的大部分面积直接与人体皮肤接触的纺织产品. B类要求甲醛含量不超过75 mg/ kg.
C类：非直接接触皮肤的产品应至少符合C类要求，指在穿着或使用时，不直接与人体皮肤接触，或仅有小部分面积直接与人体皮肤接触的纺织产品. C类要求甲醛含量不超过300 mg/ kg.
为了去除衣物上的甲醛(记作“P”)，某小组研究了衣物上P 的含量(单位：mg/kg)与浸泡时
长(单位：h)的关系.该小组选取甲、乙两类衣物样品、将样品分成多份，进行浸泡处理，检测处理后样品中 P 的含量.所得数据如下：
浸泡时长(h) 甲类衣物中P的含量(mg/ kg) 乙类衣物中 P的含量(mg/ kg)
0 79 80
2 32 37
4 25 31
6 21 29
8 18 28
10 17 27
12 16 27
(1)设浸泡时长为x，甲，乙两类衣物中 P 的含量分别为y ，y ，在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x,y ),(x,y ),并画出y ，y 的图象；
(2)结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当浸泡时长为5 h时，甲，乙两类衣物中P的含量的差约为 mg/kg(精确到个位)；
(3)若浸泡时长不超过12 h，则经过浸泡处理后可能达到 A 类标准的衣物为 (填“甲类”或“乙类”)，该类衣物达到A 类标准至少需要浸泡 h(精确到个位).
第9关 平面直角坐标系与函数1. C 2. A 3. D 4.(3,30°)
5.(2891,-
解析：由题知，
点A 的坐标为(
点A 的坐标为
点A 的坐标为(4,0),
点A 的坐标为(6,0),
点A 的坐标为(7， ),
点A。的坐标为(9， ),
点A,的坐标为(10,0),
点A 的坐标为(
点A，的坐标为((13,- ),
点A 的坐标为(14,0).
点A 的坐标为(16、0).
点A 的坐标为(17, ),
点A 的坐标为(19, ).
点A 的坐标为(20.0).
……,
由此可见，以7个点为一循环，每过七个点，点A。的横坐标增加10，且纵坐标按- ,- ,0,0, ,，0循环出现，
因为2024÷7=289余1,
所以1+289×10=2891,
则点A 的坐标为(2891,- ).
6. C7. A8. J= /R 9. x≠1
10. D 11. D 12. D
13. B 解析:设
由题表可知,d每增加 1 cm,h 增加9 cm,
∴h 是d的一次函数.
设h = kd+b(k、b为常数,且k≠0).
将(d=18,h =142和d=20,h =160分别代入
得 解得
∴h =9d-20,∴h=9d-20±2.
∴9d-22≤h≤9d-18,当h=187时,得9d-22≤187≤9d-18,解得
14. A 解析:∵DE⊥DF,BD⊥AC,∠ABC= 90°,∴ ∠ADE +∠EDB = ∠BDF +∠EDB=90°,
∠A+∠C = ∠DBF+∠C = 90°,∠C+∠CBD=∠ABD+∠CBD=90°,∴ ∠ADE=∠BDF,∠A=∠DBF,∠C=∠ABD,
在 Rt△ABC 中,
即 分别作 DM⊥AB 于M点,DN⊥BC 于N点,则 DM
15.4
解析：两组的工作效率和为210÷30=7(m/天).
甲组的工作效率为(300-210)÷(60-30)=3(m/天),
∴乙组的工作效率为7-3=4(m/天),即乙组每天挖掘4m.
16.(1)描点见解析;第4组
(2)18厘米
解析：(1)在图中根据6组数据描点.
可以发现.x=6,y=2.25,即第4组数据是错误的.
(2)设x、y的函数关系式为y= kx+b.
将第1组和第2组数据分别代入，得 解得
∴x、y的函数关系式为y=0.25x+0.5.当y=5时,5=0.25x+0.5,解得x=18.
∴当秤盘所放物体质量为5千克时秤砣到秤纽的水平距离是18厘米.
17. C 解析：将常温中的温度计插入一杯60℃的热水(恒温)中，则温度计的读数增大到60℃后保持不变，故C选项中的图象符合题意.
18. D 解析：方法一：当点 Q 的横、纵坐标之和为6时，例如Q 的坐标为(5，1)或(6，0)，其横、纵坐标之和除以3先余0，再余1，然后余2，之后余1、余2循环，所以当点 Q 坐标为(5，1)时，按规则连续平移16次后,到达点 Q (-1,9);当点 Q 坐标为(6,0)时,按规则连续平移16次后,到达点Q (0,8),排除选项 C.
当点 Q 的横、纵坐标的和为8 时，例如Q的坐标为(7,1)或(8,0)或(15,-7),其横、纵坐标之和除以3先余2，再余1，然后余2、余1循环，所以当点 Q 坐标为(7，1)时，按规则连续平移16次后,到达点 Q (-1,9);当点 Q 坐标为(8，0)时，按规则连续平移16次后，到达点 Q (0,8);当点 Q 坐标为(15,-7)时，按上述规则连续平移16次后，到达点Q (7,1),排除选项 B.故选项 D正确.
当点 Q 的坐标为(6，1)时，按规则连续平移16次后，到达点(Q (-2,9),排除选项A.故选 D.
方法二：由题述规律可得，当余数为1时，将会出现余1、余2循环；当余数为2时，将会出现余2、余1 循环.因为Q (-1、9)的横、纵坐标之和除以3的余数为2，所以由 Q 平移至 Q 会左移7次、上移8次,所以 Q (6,1).若Q 经过上移得到Q ,则Q(6,0),余数为0,与题述的余数为0时右移矛盾，所以Q(6，0)不符合题意；若Q 经过右移得到Q ,则Q(5,1),余数为0,与题述的余数为0时右移相符，所以Q(5，1)符合题意；若Q 经过左移得到 Q ，则Q(7，1)，余数为2，与题述的余数为2时左移相符，所以 Q(7，1)符合题意.所以点 Q的坐标为(5,1)或(7,1).
19. C 20. C 21. C 22. C
23. D 解析:A 选项,
当0故此选项不合题意；
B选项，
当0故此选项不合题意；
C选项，
当 时
故此选项不合题意；
D选项，
当0故此选项符合题意.
故选 D.
24. D 解析:∵这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，
∵函数 的图象关于点(1,0)中心对称,
∵A (1,0),∴y =0,
将x=2代入. 得y =1,
=1.
25. A 解析：将点 A 向上平移1个单位长度得点M,连接CM,AM,
∵CD=AM=1,且CD∥AM,
∴四边形AMCD是平行四边形，
∴MC=AD,
∴BC+AD 的最小值即为 BC+MC 的最小值.
作点M 关于直线x=1的对称点 N，连接BN,
则 BC+MC的最小值即为BN的长.
∵A(-1,0),∴点M 的坐标为(-1,1),
∴点 N的坐标为(3,1),
∴BC+AD的最小值为
26. C 解析:根据题意可知,BN=x cm,BM
∵四边形ABCD 为菱形,∠ABC=60°,
∴∠DBC=30°,
过点M作MH⊥BC于点 H,连接AC交BD于O,如图,
则 设菱形的边长为a cm，
∴BD=2BO=2BC·cos∠OBC=2·a·
∴点M 和点 N 同时到达点 D 和点 C,此时△BMN的面积达到最大值4 令
解得x=4(负值舍去)，
∴BC=4cm.
27. D 解析:如图,连接HF,EG交于点O,
∵四边形 EFGH 是菱形.
∴HE=EF,
又∵∠HEF=60°,
∴ △HFE 是等边三角形,∠OEF=30°,
EG=2EO=2EF·cos30°=6,
6
设运动过程中，EC与矩形的边的交点为 P.
如图，当0∵二次项系数大于0，∴图象是一段开口向上的抛物线；
如图,当3EP=6-t,
则
∵二次项系数小于0，∴图象是一段开口向下的抛物线；
∵EG=6cm∴当6≤t≤8时, 图象是一段水平线段；
如图，当8∵二次项系数小于0，∴图象是一段开口向下的抛物线；
如图,当11≤t<14 时,同理可得 S=
∵二次项系数大于0，∴图象是一段开口向上的抛物线.
故选 D.
28.(-1,-2) 29.冰的厚度
30.x≥-3且x≠0
31.-81
解析:∵f(x)是奇函数,
∴f(-4)=-f(4),
∵f(4)=5×4 +1=81,∴f(-4)=-81.
32.(1)y= kt+b(k,b为常数);y=5t+2
(2)①102毫升 ②144天
解析:(1)根据题表中的数据,y= kt+b(k，b为常数)能正确反映总水量y与时间t的函数关系，
∵当t=1时,y=7,当t=2时,y=12,
∴y=5t+2.
(2)①当t=20时,y=5×20+2=102,则估计小明在第20分钟测量时量筒中的总水量是102毫升.
②当t=24×60=1440时,y=5×1440+2=7202,
当t=0时,y=2,
天).
答：估计这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一人饮用144天.
33.(1)见解析
(2)7(答案不唯一)
(3)甲类;7
解析：(1)描点并画出y ,y 的图象如下.
(2)观察函数图象可得，当浸泡时长为5 h 时，甲类衣物中 P 的含量约为23 mg/kg,乙类衣物中 P 的含量约为30 mg/ kg,
∴甲，乙两类衣物中 P的含量的差约为7 mg/ kg.
(3)A类标准要求衣物中的甲醛含量不超过20 mg/kg，由实验数据及函数图象可知若浸泡时长不超过12 h，则经过浸泡处理后可能达到 A 类标准的衣物为甲类，由实验数据及图象可知，需至少浸泡7h才能达到A 类标准.

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