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全国视野新考法题型 突破
题型一 数学文化类
1.[2024 山东泰安]我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若……，……，试问买甜果苦果各几个
若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组 根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为 ( )
A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
2.[2024江苏扬州]《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100 米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走 100 米，速度快的人去追他.则速度快的人追上他需要 分钟.
3.[2024广东惠州二模]我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则 tanθ的值为 ( )
A. B. C. D.
4.[2024 黑龙江齐齐哈尔节选]综合与实践
如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2,在△ABC中,∠A=90°,将线段 BC 绕点 B 顺时针旋转 90°得到线段BD,作DE⊥AB交AB 的延长线于点 E.
(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段 AB 与DE 的数量关系是 ；
(2)【问题解决】如图3，连接CD 并延长交AB的延长线于点F,若AB=2,AC=6,求△BDF的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下,连接 CE 交BD于点N,则
5.[2024四川成都]中国古代运用“土圭之法”判别四季.夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数.某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB 垂直于地面，AB 长8尺.在夏至时，杆子AB 在太阳光线AC照射下产生的日影为 BC；在冬至时，杆子AB 在太阳光线AD 照射下产生的日影为 BD.已知∠ACB=73.4°,∠ADB=26.6°,求春分和秋分时日影长度.(结果精确到0.1尺；参考数据： 0.50, sin 73.4°≈0.96, cos 73.4°≈0.29, tan 73.4°≈3.35)
6.[2024甘肃]马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，影绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽奥雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2，已知⊙O 和圆上一点 M.作法如下：
①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A,B两点;
②延长MO交⊙O于点C;
即点A，B，C将⊙O的圆周三等分.
(1)请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将⊙O 的圆周三等分(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)根据(1)画出的图形,连接AB,AC,BC,若⊙O 的半径为 2cm ,则 △ABC 的周长为 cm.
题型二 学科融合类
7.[2024 四川达州]当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图所示),图中∠1=80°,∠2=40°,则∠3的度数为 ( )
A.30° B.40°
C.50° D.70°
8.[2024安徽合肥模拟]生物学家研究发现，人体许多特征都是由基因控制的，如人的眼皮性状由常染色体上的一对基因控制，双眼皮由显性基因A 控制，单眼皮由隐性基因a 控制.当一个人的基因型为 AA 或 Aa时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为 aa时，这个人就是单眼皮.父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女.若父母都是双眼皮，且他们的基因型都是 Aa，则他们的子女是双眼皮的概率为( )
A. B. C. D.
9.[2023山东滨州]由化学知识可知，用pH表示溶液酸碱性的强弱程度，当pH>7时溶液呈碱性，当pH<7 时溶液呈酸性.若将给定的 NaOH溶液加水稀释，则在下列图象中，能大致反映NaOH 溶液的 pH 与所加水的体积V之间对应关系的是 ( )
10.[2024四川广元]2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”.什么是阿秒 1阿秒是10 秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一.目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43 阿秒，将43阿秒用科学记数法表示为 秒.
11.[2024福建]无动力帆船是借助风力前行的.下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°,帆与航行方向的夹角∠PDQ 为30°,风对帆的作用力 F为400 N.根据物理知识，F可以分解为两个力 F 与F ，其中与帆平行的力F 不起作用，与帆垂直的力 F 又可以分解为两个力f 与f ，f 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f 与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F=AD=400，则jf =CD= .(单位:N)(参考数据:
[2024江苏南京二模]化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是 6H O，其中，等号左边“O”原子的个数是7×2=14,右边“O”原子的个数也是4×2+6×1=14.若己烷充分燃烧的化学方程式是 (a,b,c为常数)，则b的值是 .
13.[2024北京丰台区一模]小刚对诗仙李白的诗作《早发白帝城》中“朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还”的说法产生疑问：李白真能在一日之内从白帝城到达江陵吗 小刚通过查阅资料得知，白帝城在现今的重庆奉节，而江陵是现今的湖北荆州.假设李白乘坐的轻舟从奉节到宜昌的速度为14 km/h，从宜昌到荆州的速度为10 km/h.从奉节到荆州(途经宜昌)的水上路程为350 km.经过分析资料，小刚发现从奉节到宜昌的时间比从宜昌到荆州多1 h.
根据小刚的假设，回答下列问题：
(1)奉节到宜昌的水上路程是多少
(2)李白能在一日(24h)之内从白帝城到达江陵吗 说明理由.
14.[2024 广西玉林模拟]在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为 12 V 的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值.RL=2Ω)亮度的实验(如图)，已知串联电路中，电流与电阻 R，RL之间关系为 通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 a 3 4 6
I/A 4 3 2.4 2 b
(1)a= ,b= .
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数 (x≥0)，结合表格信息，探究函数 0)的图象与性质.
①在平面直角坐标系中画出函数 0)的图象；
②函数 的图象是由函数 的图象向 平移2个单位得到的.
(3)【应用】下列关于函数 的性质：
①图象关于点(-2,0)对称;
②y随x的增大而减小；
③图象关于直线y=-x+2对称；
④y的取值范围为y≠0.
其中正确的是 (填写序号).
(4)【拓展】不等式 的 解 集为 .
题型三 综合与实践类
15.[2024 广西]综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略.
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干.重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标.
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5kg 水.
浓度关系式： 其中d的、d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量(单位：kg).
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%.
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%，需要多少清水
(2)如果把4k g清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标
(3)比较(1)和(2)的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法.
16.[2024河南]综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究.
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.
(1)操作判断
用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 (填序号).
(2)性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.
如图2，四边形ABCD 是邻等对补四边形，AB=AD，AC是它的一条对角线.
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若 BC=m,DC=n,∠BCD=2θ,求 AC 的长(用含m,n,θ的式子表示).
(3)拓展应用
如图3,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,分别在边 BC,AC上取点 M,N,使四边形ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出 BN的长.
17.[2024山西]综合与实践
问题情境：如图1，矩形 MNKL 是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB 组成的封闭图形，点A，B在矩形的边 MN上.现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案.
方案设计：如图2，AB=6米，AB 的垂直平分线与抛物线交于点 P，与AB交于点O，点P 是抛物线的顶点，且PO=9米.欣欣设计的方案如下：
第一步:在线段 OP 上确定点 C,使∠ACB=90°.用篱笆沿线段AC,BC分隔出△ABC区域,种植串串红；
第二步：在线段 CP 上取点 F(不与 C，P重合)，过点F作AB 的平行线，交抛物线于点D，E.用篱笆沿 DE,CF将线段AC,BC 与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季.
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长.为此，欣欣在图2中以AB所在直线为x轴，OP 所在直线为y轴建立平面直角坐标系.请按照她的方法解决问题：
(1)在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式.
(2)求6米材料恰好用完时DE 与 CF的长.
(3)种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上.直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值.
突破四 全国视野新考法
LD 2.2.5 3. A
1(1)AB=DE (2)10(3)
解析:(1)略.
(2)∵线段 BC绕点 B 顺时针旋转90°得到线段 BD,
∴BC=BD,∠CBD=90°,
∵∠A=∠BED=90°,
∴△ABC≌△EDB(AAS),
∴DE=AB,BE=AC,
∵AB=2,AC=6,∴DE=2,BE=6,
∴AE=AB+BE=8,
∵∠DEB+∠A=180°,∴DE∥AC,
∴△DEF∽△CAF,
即
∴EF=4,∴ BF=BE+EF=10,
(3)过 N 作 NM⊥AE 于点 M,∴ MN∥AC,
∴△EMN∽△EAC,∴MNC=EMA,即 易得MN∥DE,
∴△BMN∽△BED, 即 解得
易得△BMN∽△CAB,
5.9.2尺
解析:∵∠ACB=73.4°,杆子AB 垂直于地面,AB长8尺,
∵∠ADB=26.6°,
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数，
(尺).
答：春分和秋分时日影长度约为9.2尺.
6.(1)见解析 (2)6
解析:(1)如图,点A,B,C将⊙O 的圆周三等分.
(2)设CM交AB于点 E,连接AO,BO.
∴AB=CB=AC,∠AOB=120°.
易得
∴∠AOM=∠BOM=60°,
∵OA=OB,
∴△ABC的周长为( 6 cm.
7. B 8. D
9. B 解析:∵ NaOH 溶液呈碱性,∴最初pH>7，随着所加水的体积增加，溶液碱性越来越弱，pH 逐渐减小，但溶液始终呈碱性，pH不会小于或等于7.故选 B.
10.4.3×10 11.128
12.12
解析：由题意知
∴7a=c,
将7a=c,6a=b代入19×2=2b+c,
得38=12a+7a,解得(a=2,
∴b=6a=6×2=12.
13.(1)210km (2)不能;理由见解析解析：(1)设奉节到宜昌的水上路程为xkm,
根据题意得 解得x=210.
答：奉节到宜昌的水上路程为210 km. ∵29>24,
∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵.
14.(1)2;1.5(2)①见解析 ②左
(3)①④ (4)-2解析:(1)略.
(2)①根据表格数据描点、连线，在平面直角坐标系中画出函数 的图象如下：
②略.
(3)画出函数 的图象：
①图象关于点(-2，0)对称，正确；
②当x>-2或x<-2时,y随x的增大而减小，故错误；
③图象关于直线y=-x-2对称，故错误；
④y的取值范围为y≠0，正确.
故答案为①④.
(4)略.
15.(1)9.5kg
(2)能达到洗衣目标
(3)见解析
解析：(1)由题意可知 若只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,则d后=0.01%,代入浓度关系式得 解得w=9.5,
经检验，w=9.5是原分式方程的解，且符合题意.
答：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要9.5kg清水.
(2)第一次漂洗后浓度为 0.04%,
第二次漂洗后浓度为 0.008%<0.01%,
所以如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，能达到洗衣目标.
(3)(1)和(2)的漂洗结果，都能达到洗衣目标，但(2)的漂洗过程用水更少，故分两次漂洗更节约水.
16.(1)②④
(2)①∠ACD=∠ACB;理由见解析
或
解析:(1)略.
(2)①延长 CB 至点 E,使 BE=DC.连接AE.
∵四边形ABCD 是邻等对补四边形，
∴ ∠ABC+∠D=180°.
∵∠ABC+∠ABE=180°,
∴∠ABE=∠D.
∵AB=AD,∴△ABE≌△ADC.
∴∠E=∠ACD,AE=AC.
∴∠E=∠ACB.∴∠ACD=∠ACB.
②过点A作AF⊥EC,垂足为点 F.
∵AE=AC,
∵∠BCD=2θ,∴∠ACB=∠ACD=θ.
在Rt△AFC中,
(3)∵四边形ABMN 是邻等对补四边形,∠ABC=90°,
∴∠ANM=90°,∠A+∠BMN=180°.
易知当AB=AN时,BM=MN;当 BM=MN时,AB=AN,均不符合题意.
如图所示，有两种情况：
(i)如图1,当AB=BM=3时,作NE⊥BC于E点,
=1,
(ii)如图2,当AN=MN时,作 NE⊥BC于E点，
易证
设(CN=x,则 在Rt△CMN中,
解得 或x=20(舍).
综上， j
17.(1)坐标系见解析;
(2)DE的长为4米;CF的长为2米(3)
解析：(1)建立如图所示的平面直角坐标系.
∵OP所在直线是AB 的垂直平分线，且AB=6,
∴点 B 的坐标为(3,0).
∵OP=9,∴点 P的坐标为(0.9).
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为
∵点B(3,0)在抛物线 上.
∴9a+9=0,解得a=-1.
∴抛物线的函数表达式为 (-3≤x≤3).
(2)∵点D,E在抛物线. 上.
∴设点 E 的坐标为(
∵DE∥AB,交y轴于点 F,
∵ 在 Rt △ABC 中,∠ACB = 90°. OA=OB,
根据题意，得DE+CF=6,
解得 (不符合题意，舍去),
∴m=2.∴DE=2m=4,CF=-m +6=2.答：DE的长为4米，CF的长为2米.
(3)设矩形位于抛物线上的两个顶点分别为J，I，位于AC，BC上的两个顶点分别为G,H,如图.
设点I的横坐标为n，则点I坐标为(n，
点J坐标为(
设BC所在直线的解析式为y= kx+b,把B(3,0),C(0,3)代入得
解得
∴点H坐标为(n,-n+3),
∴矩形 JIHG 的周长=2JI+2IH =4n+
∴当 时，矩形 JIHG 的周长有最大值，最大值为
突破四 全国视野新考法
LD 2.2.5 3. A
1(1)AB=DE (2)10(3)
解析:(1)略.
(2)∵线段 BC绕点 B 顺时针旋转90°得到线段 BD,
∴BC=BD,∠CBD=90°,
∵∠A=∠BED=90°,
∴△ABC≌△EDB(AAS),
∴DE=AB,BE=AC,
∵AB=2,AC=6,∴DE=2,BE=6,
∴AE=AB+BE=8,
∵∠DEB+∠A=180°,∴DE∥AC,
∴△DEF∽△CAF,
即
∴EF=4,∴ BF=BE+EF=10,
(3)过 N 作 NM⊥AE 于点 M,∴ MN∥AC,
∴△EMN∽△EAC,∴MNC=EMA,即 易得MN∥DE,
∴△BMN∽△BED, 即 解得
易得△BMN∽△CAB,
5.9.2尺
解析:∵∠ACB=73.4°,杆子AB 垂直于地面,AB长8尺,
∵∠ADB=26.6°,
∵春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数，
(尺).
答：春分和秋分时日影长度约为9.2尺.
6.(1)见解析 (2)6
解析:(1)如图,点A,B,C将⊙O 的圆周三等分.
(2)设CM交AB于点 E,连接AO,BO.
∴AB=CB=AC,∠AOB=120°.
易得
∴∠AOM=∠BOM=60°,
∵OA=OB,
∴△ABC的周长为( 6 cm.
7. B 8. D
9. B 解析:∵ NaOH 溶液呈碱性,∴最初pH>7，随着所加水的体积增加，溶液碱性越来越弱，pH 逐渐减小，但溶液始终呈碱性，pH不会小于或等于7.故选 B.
10.4.3×10 11.128
12.12
解析：由题意知
∴7a=c,
将7a=c,6a=b代入19×2=2b+c,
得38=12a+7a,解得(a=2,
∴b=6a=6×2=12.
13.(1)210km (2)不能;理由见解析解析：(1)设奉节到宜昌的水上路程为xkm,
根据题意得 解得x=210.
答：奉节到宜昌的水上路程为210 km. ∵29>24,
∴李白不能在一日之内从白帝城到达江陵.
14.(1)2;1.5(2)①见解析 ②左
(3)①④ (4)-2解析:(1)略.
(2)①根据表格数据描点、连线，在平面直角坐标系中画出函数 的图象如下：
②略.
(3)画出函数 的图象：
①图象关于点(-2，0)对称，正确；
②当x>-2或x<-2时,y随x的增大而减小，故错误；
③图象关于直线y=-x-2对称，故错误；
④y的取值范围为y≠0，正确.
故答案为①④.
(4)略.
15.(1)9.5kg
(2)能达到洗衣目标
(3)见解析
解析：(1)由题意可知 若只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,则d后=0.01%,代入浓度关系式得 解得w=9.5,
经检验，w=9.5是原分式方程的解，且符合题意.
答：如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要9.5kg清水.
(2)第一次漂洗后浓度为 0.04%,
第二次漂洗后浓度为 0.008%<0.01%,
所以如果把4kg清水均分，进行两次漂洗，能达到洗衣目标.
(3)(1)和(2)的漂洗结果，都能达到洗衣目标，但(2)的漂洗过程用水更少，故分两次漂洗更节约水.
16.(1)②④
(2)①∠ACD=∠ACB;理由见解析
或
解析:(1)略.
(2)①延长 CB 至点 E,使 BE=DC.连接AE.
∵四边形ABCD 是邻等对补四边形，
∴ ∠ABC+∠D=180°.
∵∠ABC+∠ABE=180°,
∴∠ABE=∠D.
∵AB=AD,∴△ABE≌△ADC.
∴∠E=∠ACD,AE=AC.
∴∠E=∠ACB.∴∠ACD=∠ACB.
②过点A作AF⊥EC,垂足为点 F.
∵AE=AC,
∵∠BCD=2θ,∴∠ACB=∠ACD=θ.
在Rt△AFC中,
(3)∵四边形ABMN 是邻等对补四边形,∠ABC=90°,
∴∠ANM=90°,∠A+∠BMN=180°.
易知当AB=AN时,BM=MN;当 BM=MN时,AB=AN,均不符合题意.
如图所示，有两种情况：
(i)如图1,当AB=BM=3时,作NE⊥BC于E点,
=1,
(ii)如图2,当AN=MN时,作 NE⊥BC于E点，
易证
设(CN=x,则 在Rt△CMN中,
解得 或x=20(舍).
综上， j
17.(1)坐标系见解析;
(2)DE的长为4米;CF的长为2米(3)
解析：(1)建立如图所示的平面直角坐标系.
∵OP所在直线是AB 的垂直平分线，且AB=6,
∴点 B 的坐标为(3,0).
∵OP=9,∴点 P的坐标为(0.9).
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为
∵点B(3,0)在抛物线 上.
∴9a+9=0,解得a=-1.
∴抛物线的函数表达式为 (-3≤x≤3).
(2)∵点D,E在抛物线. 上.
∴设点 E 的坐标为(
∵DE∥AB,交y轴于点 F,
∵ 在 Rt △ABC 中,∠ACB = 90°. OA=OB,
根据题意，得DE+CF=6,
解得 (不符合题意，舍去),
∴m=2.∴DE=2m=4,CF=-m +6=2.答：DE的长为4米，CF的长为2米.
(3)设矩形位于抛物线上的两个顶点分别为J，I，位于AC，BC上的两个顶点分别为G,H,如图.
设点I的横坐标为n，则点I坐标为(n，
点J坐标为(
设BC所在直线的解析式为y= kx+b,把B(3,0),C(0,3)代入得
解得
∴点H坐标为(n,-n+3),
∴矩形 JIHG 的周长=2JI+2IH =4n+
∴当 时，矩形 JIHG 的周长有最大值，最大值为

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