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二次函数综合题型突破
题型一 抛物线与线段相关类
1.[2024天津]已知抛物线 (a、b,c为常数,a>0)的顶点为 P、且2a+b=0,对称轴与x轴相交于点 D、点 M(m、1)在抛物线上,m>1,O为坐标原点.
(1)当a=1,c=-1时,求该抛物线顶点 P 的坐标；
(2)当 时，求a的值；
(3)若N是抛物线上的点，且点 N 在第四象限，∠MDN=90°,DM=DN,点 E 在线段MN上,点F在线段DN上， ,当DE+MF取得最小值为 时，求a的值.
2.[2024湖南]已知二次函数 的图象经过点A(-2,5),点 P(x ,y ),Q(x ,y )是此二次函数的图象上的两个动点.
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点 B,点 P 在直线AB 的上方,过点 P 作PC⊥x轴于点 C,交AB 于点 D,连接AC,DQ,PQ,若 求证： 的值为定值；
(3)如图2，点P 在第二象限， 若点 M在直线 PQ 上,且横坐标为x -1,过点 M 作 MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值.
3.[2024江苏连云港]在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 (a,b为常数,a>0).
(1)若抛物线与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点，求抛物线对应的函数表达式.
(2)如图,当b=1时,过点 C(-1,a),D(1,a+2 )分别作y轴的平行线，交抛物线于点 M，N,连接MN,MD.求证:MD平分∠CMN.
(3)当a=1,b≤-2时,过直线y=x-1(1≤x≤3)上一点 G作y轴的平行线，交抛物线于点 H.若GH的最大值为4，求b的值.
4.[2024重庆A卷]如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点(-1,6),与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(A在B 的左侧),连接AC,BC,tan∠CBA=4.
(1)求抛物线的表达式.
(2)点P 是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴,垂足为E,交AC 于点 D.点 M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点 F为线段 BC的中点,连接AM,NF.当线段 PD 长度取得最大值时，求AM+MN+NF的最小值.
(3)将该抛物线沿射线 CA 方向平移，使得新抛物线经过(2)中线段 PD长度取得最大值时的点D，且与直线AC 相交于另一点 K.点Q 为新抛物线上的一个动点，当∠QDK=∠ACB时，直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标.
题型二 抛物线与面积相关类
5.[2024黑龙江大庆]如图，已知二次函数 2x+c的图象与x轴交于A、B 两点，A点坐标为(-1,0),与y轴交于点 C(0,3),点M 为抛物线顶点,点 E 为AB中点.
(1)求二次函数的表达式.
(2)在直线 BC 上方的抛物线上存在点 Q，使得∠QCB=2∠ABC,求点 Q 的坐标.
(3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点.
①若点 F 与点 C 重合,D(m,-12),且m>1,求证:D,E,F三点共线;
②若直线AD，BF交于点 P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D、E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由.
6.|2024 四川巴中]在平面直角坐标系中，抛物线 经过A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点 C，点P 是抛物线上一动点，且在直线 BC的上方.
(1)求抛物线的表达式.
(2)如图1,过点 P 作 PD⊥x轴,交直线 BC于点E,若PE=2ED,求点 P 的坐标.
(3)如图2,连接AC,PC,AP,AP 与 BC 交于点G,过点 P 作 PF∥AC 交 BC 于点 F.记△ACG,△PCG,△PGF的面积分别为S ,S ,S .当 取得最大值时,求 sin∠BCP 的值.
7.[2024内蒙古通辽]如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于点 C，D，抛物线 (k为常数)经过点D且交x轴于A，B两点.
(1)求抛物线表示的函数解析式；
(2)若点 P 为抛物线的顶点,连接AD,DP,CP,求四边形ACPD 的面积.
8.[2024四川遂宁]二次函数 的图象与x轴分别交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点 C(0,-3),P,Q 为抛物线上的两点.
(1)求二次函数的表达式.
(2)当P，C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ 是以点 P为直角顶点的直角三角形时，求点Q 的坐标.
(3)设P 的横坐标为m，Q的横坐标为m+1,试探究：△OPQ 的面积S 是否存在最小值.若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
题型三 抛物线与四边形相关类
9.[2024四川泸州]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 经过点A(3、0),与y轴交于点 B，且关于直线x=1对称.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)当-1≤x≤t时,y的取值范围是0≤y≤2t-1,求t的值.
(3)点C 是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形 若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由.
10.[2024宁夏]抛物线 与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点 C,点 P 是第四象限内抛物线上的一点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)如图1,过 P作 PD⊥x轴于点 D,交直线BC于点 E.设点 D 的横坐标为 m,当 PE= 时，求m的值.
(3)如图2,点 F(1,0),连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，在(2)的条件下，x轴上是否存在一点 H，使得以F，M，N，H为顶点的四边形是平行四边形 若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由.
11.[2024 四川广元]在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线F: 经过点A(-3,-1),与y轴交于点 B(0,2).
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接OC交 AB 于点 D,求CDDD的最大值及此时点 C的坐标；
(3)作抛物线F关于直线y=-1上一点的对称图象 F'，抛物线 F与 F'只有一个公共点 E(点E在y轴右侧)，G为直线AB 上一点，H为抛物线F'对称轴上一点，若以 B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标.
12.[2024黑龙江绥化]综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y= 与直线相交于A，B两点，其中点A(3,4),B(0,1).
(1)求该抛物线的函数解析式.
(2)过点 B作BC∥x轴交抛物线于点 C.连接AC,在抛物线上是否存在点 P 使 tan∠BCP= 若存在，请求出满足条件的所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.(提示：依题意补全图形，并解答)
(3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到y 平移后的抛物线与原抛物线相交于点 D，点E 为原抛物线对称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一点，当以点B，D，E，F为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点 F 的坐标.
题型四 抛物线与相似相关类
13.[2024内蒙古呼伦贝尔]如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过原点和点A(4，0).经过点A 的直线与该二次函数图象交于点B(1，3)、与y轴交于点 C.
(1)求二次函数的解析式及点 C 的坐标.
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点 P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点 D，设点 P 的横坐标为m.①m为何值时线段 PD 的长度最大 求出最大值.
②是否存在点 P,使得△BPD 与△AOC 相似 若存在，请求出点 P 坐标；若不存在，请说明理由.
14.[2024四川内江]如图，在平面直角坐标系中.一次函数y=-2x+6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点 B，抛物线 经过A,B两点，在第一象限的抛物线上取一点 D，过点D作DC⊥x轴于点 C,交AB 于点 E.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式.
(2)是否存在点 D,使得△BDE 和△ACE相似 若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合)，过点 F 作x轴的垂线交AB 于点G，连接DF，当四边形EGFD 为菱形时，求点 D的横坐标.
突破三 二次函数综合
L(1)(1,-2) (2)a=10 (3)a=1
解析:(1)∵2a+b=0,a=1,
∴b=-2a=-2,
又∵c=-1,
∴该抛物线的解析式为
∴该抛物线顶点 P 的坐标为(1,-2).
(2)如图,过点M(m,1)作MH⊥x轴,垂足为H，
则∠MHO=90°,HM=1,OH=m,在 Rt△MOH 中, M
解得 舍),
∴点M的坐标为
∵2a+b=0,即
∴抛物线 的对称轴为直线x=1.
∵对称轴与x轴相交于点 D，
∴OD=1,∠ODP=90°.
在 Rt△OPD 中,(
解得 (负值舍去)，
由a>0，得该抛物线顶点 P 的坐标为
∴该抛物线的解析式为
∵点 在该抛物线上，
∴a=10.
(3)过点 M(m,1)作 MH⊥x轴,垂足为H,
则∠MHO=90°,HM=1,OH=m,
∴DH=OH-OD=m-1,
在Rt△DMH中,
如图，过点N作NK⊥x轴，垂足为K，则∠DKN=90°,
∵∠MDN=90°,DM=DN,
∴∠MDH=90°-∠NDK=∠DNK,
又∵∠DHM=∠NKD=90°,DM=DN,
∴△DMH≌△NDK(AAS),
∴点N的坐标为(2,1-m),在 Rt△DMN中,∵DM=DN,
即MN= DM,∠DNM=∠DMN=45°.
∴ME=NF,
在△DMN的外部,作∠DNG=45°,且NG=DM,连接GF,GM,
得∠MNG=∠DNM+∠DNG=90°,
∴△GNF≌△DME(SAS),
∴GF=DE,
∴ DE+MF=GF+MF≥GM,
当点 F 落在线段GM上时,DE+MF 取得最小值. 即(
在 Rt △GMN 中,(
解得 (舍),
∴点 M 的坐标为(3,1),点 N 的坐标为(2,-2),
∵点M(3,1),N(2,-2)都在抛物线y= 上,2a+b=0,
∴1=9a-6a+c,-2=4a-4a+c,∴a=1.
(2)见解析
(3)
解析：(1)将点A的坐标代入二次函数表达式得5=-4+c,解得c=9,
故二次函数的表达式为
(2)证明:令( 得x=±3,则B(3,0),
由点A，B的坐标易得直线AB 的表达式为y=-x+3,
∴点 P,Q,D的坐标分别为(
为定值.
(3)由题意得点 P,Q 的坐标分别为(x ,
由点 P，Q的坐标易得直线 PQ 的表达式为
则
∵点P 在第二象限,∴x <0、
∴当 时，，MN取最大值，为 故线段MN长度的最大值为
(2)见解析 (3)-3
解析:(1)分别将A(-1,0),B(4,0)代入 得 解得
∴函数表达式为
(2)证明:连接CN,
∵b=1,
当x=-1时,y=a-2,
即点M(-1,a-2),
当x=1时,y=a,
即点N(1,a).
∵C(-1,a),N(1,a),
∴CN=2,CM=a-(a-2)=2,CM⊥CN,在Rt△CMN中,
∴DN=MN,
∴∠NDM=∠NMD.
∵DN∥CM,
∴∠NDM=∠CMD,
∴∠NMD=∠CMD,
∴MD平分∠CMN.
(3)设G(m,m-1),则. 1≤m≤3.
当a=1时,
令
解得
∵b≤-2,
∴点G在H的上方，如图1，
设GH=t,.则
其图象的对称轴为 日
①当 时，-5≤b≤-2,
由图2可知当 时，t取得最大值
解得b=-3或b=5(舍去).
②当 时,得b<-5,
由图3可知当m=3时，t取得最大值-9+3-3b=4,
解得 舍去).
综上所述，b的值为-3.
解析：(1)∵抛物线 与y轴交于点C，
∴点C的坐标为(0,4),即(OC=4.
在Rt△OBC中,∠COB=90°,tan∠CBA=
∴点 B 的坐标为(1,0).
将点(-1,6),(1,0)分别代入 +4,得
解这个方程组，得 所以该抛物线的表达式为
(2)在抛物线的表达式 中，由 解得
∴点A 的坐标为(-4,0),
∴直线AC的表达式为y=x+4,设 ,则D(m,m+4),
∵-1<0,
∴当m=-2时，线段 PD长度取最大值，为4,
此时点 P 的坐标为(-2,6),点E 的坐标为(-2,0),点D 的坐标为(-2,2).
∵MN⊥y轴,点M在直线x=-2上,
∴MN=EO=2.
如图,连接EF,设EF 交y轴于点 N,过点N作NM⊥DE,垂足为M,连接AM.
易知MN∥AE,MN=AE=2,
∴四边形AENM 为平行四边形.
∴AM=EN,
由两点之间线段最短，可知AM+NF的最小值为EF的长.
∴AM+MN+NF的最小值为 MN+EF.
∵点 F为线段BC的中点，
∴点F的坐标为(
过点F作FG⊥AB,垂足为 G,易得点 G的坐标为
在 Rt △EFG 中,
∴AM+MN+NF的最小值为
(3)满足条件的点 Q 的坐标是(-1，
(2)Q(1,4)
(3)①见解析 ②△ABP的面积为定值;
解析:(1)将.A(-1,0),C(0,3)代入y=
得
解得
∴二次函数的表达式为
(2)对于 令y=0,
得
解得
∴B(3,0),
∴OB=OC=3,
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠OCB=45°,
∵∠QCB=2∠ABC,
∴∠QCB=90°,如图，过点C 作CQ⊥BC 交抛物线于点Q,过点 Q 作QG⊥y轴于点 G,
∴△GCQ 是等腰直角三角形，
∴CG=GQ、
设 则 3)、
解得q=0(舍去)或q=1,∴Q(1,4).
(3)①证明:点 F 与点 C 重合,则 F(0,3)、
∵点 E 为AB中点,A(-1,0),B(3,0),∴E(1,0),
设直线 EF 的解析式为y= kx+b(k≠0),将E(1,0),F(0,3)代入解析式,
得 解得
联立得
解得 或
∴D(5,-12)在直线EF上,即D,E,F三点共线.
②设D(x ,y ),F(x ,y ),
∵D,E,F三点共线,E(1,0),
∴设DF 的解析式为y=m(x-1),
联立得
消去y得，
∵A(-1,0),B(3,0),
∴设直线AD 的解析式为 直线BF 的解析式为
联立得 解得
而
不为定值，
∴P在直线y=8上运动，
∴P到x轴的距离为定值8，
∴△ABP 的面积为定值, 均随点P位置的变化而变化，不是定值.
(2)P(2,3)
解析：(1)∵抛物线
与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),
解得
∴抛物线表达式为
(2)∵当x=0时, ∴C(0,3),
设直线 BC的表达式为y= kx+n, 解得
∴直线 BC 的表达式为y=-x+3,设
∵PD⊥x轴于点D,
∴E(m,-m+3),D(m,0),
∵PE=2ED,
解得 (不合题意，舍去)，∴m=2,∴P(2,3).
(3)∵PF∥AC,∴△ACG∽△PFG,
如图,作AN∥BC交y轴于N,作PQ∥y轴交BC于Q,
∵直线 BC 的表达式为y=-x+3,AN∥BC,
∴设直线AN的表达式为y=-x+b',
将A(-1,0)代入y=-x+b',得0=-(-1)+b',解得b'=-1,
∴直线AN的表达式为y=-x-1,当x=0时,y=-1,
∴N(0,-1),
∴ON=1,CN=ON+CO=4,
∵AN∥BC,PQ∥y轴,PF∥AC,
∴ ∠PQF = ∠NCB = ∠ANC, ∠PFC=∠ACF,
∵ ∠PFC = ∠FPQ +∠PQF, ∠ACF =∠NCB+∠ACN,
∴∠FPQ=∠ACN,∴△CAN∽△PFQ,
设 则Q(n,-n+3),
∴当 时 有最大值，
此时
∵ON=OA=1,OB=OC=3,
∴∠OBC=∠ANC=45°,
∵∠ANC=∠PQF,∴∠OBC=∠PQF,
∴PC=COA,∴△CPQ∽△ACB,
∴∠BCP=∠CAB,
解析:(1)在 中,令x=0,得y=3,∴D(0,3),
∵抛物线 经过点D(0,3)、
解得k=4,
∴抛物线表示的函数解析式为 y=
(2)连接OP,
在 中,令y=0,得x=2,
∴C(2,0),∴OC=2,
在 中,令y=0,得(0= 解得x=6或x=-2,
∴A(-2,0),∴OA=2,由 可得抛物线顶点 P的坐标为(2,4),
∴四边形ACPD的面积为10.
8.((1)y=x -2x-3
(3)存在；S的最小值为-11/8
解析：(1)由题意得y=a(x+1)(x-3)=a·(x -2x-3),∵C(0,-3),∴-3a=-3.∴a=1,
∴二次函数的表达式为
(2)易知抛物线的对称轴为直线x=1，∵点P，C关于抛物线对称轴对称，C(0，-3),
∴P(2,-3),
设
整理得
解得 舍去)，
(3)由题意得 m -4),m≠0,m≠-1.
设直线 OQ 的表达式为y= kx,将 代入y= kx,得 k(m+1),
∴ 直线 OQ 的表达式为
过点 P作x轴的垂线，交OQ 于点N，
∴△OPQ 的面积S存在最小值，最小值为
(3)存在;3 -2或2
解析:(1)∵A(3,0),抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线和x轴的另外一个交点为(-1，0)，则抛物线的解析式为
=2，∴抛物线的解析式为
(2)当-1≤x≤t<1时,
二次函数在x=-1时取得最小值，
在x=t时取得最大值，
即
解得t=2或t=-2,
∵-1∴此种情况不成立.
当-1≤x≤t,1≤t≤3时,
二次函数在x=-1时取得最小值，ymin=0,
在x=1时取得最大值， =4=2t-1,
解得t=2.5.
当-1≤x≤t,t>3时,
二次函数在x=t时取得最小值，ymin∴此种情况不成立.
综上,t=2.5.
(3)由抛物线的解析式知,点B(0,3),①如图，当BC为菱形的对角线时，对应的菱形为BDCE'.
则BD=CD,
由点A，B的坐标得，直线AB 的表达式为y=-x+3,
设点 点D(x,-x+3).
则
解得 或x=0(舍去).
则
②当 BD 为菱形的对角线时，对应的菱形为菱形BCDE,则CD=BC,
∴x=2或x=0(舍去),
则(
综上，菱形的边长为 或2.
(3) 存在; 或( ,o)或 或(( .0)
解析:(1)把A(-1,0)代入 -2得 解得 抛物线的解析式为
(2)把y=0代入
得
解得x=-1或x=4,∴B(4,0).
当x=0时,y=-2,
∴C(0,-2).
BC 的解析式为
根据题意，得点 D 的坐标为(m，0).
把x=m代入
得
把x=m·代入 得
∵DP⊥x轴,∴PD∥y轴,
∴△BDE∽△BOC,
∴BD: BO=BE:BC,
即 BE·BO=BC、BD、
解得 或m=4(舍).
(3)∵C(0,-2),F(1,0),
∴直线 CF的解析式为：y=2x-2,
当 时
∵点N是x轴上方抛物线上的一点，
∴当y=3时, 解得x=-2或.x=5.
当N(-2,3)时,
∴H的坐标为 或
当N(5,3)时,
∴H的坐标为 或 / ).
综上，点H 的坐标为( 或 或 或
(2)最大值为
(3)(-2,0)或(4,6)或(2,4)
解析:(1)将.A(-3,-1),B(0,2)代入y
得 解得
∴抛物线的函数表达式为 +2.
(2)过点 C 作 x轴的垂线交 AB 于点M,则CM∥y轴,
∴△CDM∽△ODB,
设直线 AB 的解析式为y= mx+n,
把A(-3,-1),B(0,2)代入解析式得
解得
∴直线AB 的解析式为y=x+2,
设 则M(t,t+2),
∴当 时 的值最大，为 此时点C的坐标为
(3)由中心对称可知，抛物线 F与F'的公共点E 为直线y=-1与抛物线 F的右交点，
令 解得x=-3或x=1,∴E(1,-1),
∵抛物线 的顶点坐标为(-1,3),
∴抛物线 F'的顶点坐标为(3,-5),
∴抛物线F'的对称轴为直线x=3，
∴点H 的横坐标为3.
由(2)知直线AB 的解析式为：y=x+2,∴设G(x,x+2),
当BE为平行四边形的对角线时，,x+3=1,解得x=-2,
∴G(-2,0);
当BG为平行四边形的对角线时,x=3+1=4,
∴G(4,6);
当 BH为平行四边形的对角线时，,x+1=3,解得x=2,
∴G(2,4).
综上所述,G点坐标为(-2,0)或(4,6)或(2,4).
(2)存在;
(3)(-1,3)或(1,-2)或(3,4- )或(3,4+
解析：(1)∵抛物线 过点A(3,4),B(0,1),
解得
∴该抛物线的函数解析式为 +1.
(2)∵BC∥x轴,且B(0,1),
∴点 C的纵坐标为1，
令
解得x =0(舍去),
∴C(4,1),
过点A作AQ⊥BC于Q,设直线CP交y轴于点M，如图，
在Rt△ACQ中,
∵A(3,4),∴Q(3,1),
∵BC=4,∠CBM=90°,
∴ | yx-1|=2,∴yu=3:或yw=-1,
∴M (0,3),M (0,-1),
∴直线 CM 的解析式为 直线CM 的解析式为
由 解得 (舍去),
由 解得 舍去)，
∴原抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为(2,5),
∵将该抛物线向左平移2个单位长度得到新抛物线：
联立得 解得
∴D(1,4),
设E(2,t),F(m,n),
当BD，EF为对角线时，
则
解得
当BE，DF为对角线时，
则
解得 ,
∴F(1,4)(与点 D 重合,不符合题意,舍去)或F(1,-2);
当BF，DE为对角线时，
则 解得
∴F(3、4- )或F(3、4+ ).
综上所述,点F的坐标为(-1,3)或(1,-2)或( 或
(2)①当 时，PD 的长度最大；最大值为-
②存在;(3、3)或(2,4)
解析：(1)∵二次函数图象经过O(0，0),A(4,0),B(1,3),
∴ 将 三 点 坐 标 代 入 解 析 式 得 解得
∴二次函数的解析式为 设直线AB 的解析式为y= kx+n,将A，B两点坐标代入得 解得
∴直线AB 的解析式为y=-x+4,
∵点C是直线AB与y轴的交点，令x=0,则y=4,
∴C(0,4).
(2)①∵点 P在直线AB上方,∴1≤m≤4,
由题知P(m,-m +4m),D(m,-m+4),
∵-1<0,
∴当 时，PD 的长度最大，最大值为
②∵PE⊥x轴,∴ PE∥OC,∴∠ADE=∠ACO.又∵∠PDB=∠ADE,
∴∠BDP=∠ACO,
∵△AOC 是直角三角形,
∴要使△BPD与△AOC相似,只要保证△BPD是直角三角形即可.
a.当△BPD∽△AOC时,
∵∠AOC=90°,∴∠BPD=90°,
此时BP∥x轴，B，P关于抛物线对称轴对称，
∴P(3,3);
b.当△PBD∽△AOC时,∠PBD=∠AOC=90°,∴AB⊥PB,由直线AB 的解析式为y=-x+4,B(1,3),
易得直线 BP 的解析式为y=x+2,
联立得
解得 或 . P(2,4).
综上,存在点 P 使△BPD 与△AOC 相似,点P的坐标为(3,3)或(2,4).
(2) 存在:点 D 的坐标为(1,6)或
或
解析:(1)令y=0,则-2x+6=0,则x=3;
令x=0,则y=6,∴A(3,0),B(0,6),把A(3,0),B(0,6)代入 得 解得
∴抛物线所对应的函数表达式为y=
(2)设点 则E(t,-2t+6),C(t,0),
∴EC=-2t+6,AC=3-t,DE=-t +3t,
∵ △BDE 和 △ACE 相似, ∠BED=∠AEC,
∴△ACE∽△BDE 或△ACE∽△DBE.
①如图,当∠BDE = ∠ACE = 90°时,△ACE∽△BDE,
∴BD∥AC,∴点 D 纵坐标为6,
,解得t=0(舍去)或t=1,∴D(1,6);
②如图,当△ACE∽△DBE 时,∠BDE=∠CAE,
过B作BH⊥DC于H,
∴∠BHD=90°,H(t,6),
解得t=0(舍去)或
综上所述，点D 的坐标为(1.6)或
(3)如图,∵四边形EGFD 为菱形.
∴DE∥FG,DE=FG,ED=EG,设点D(m,-m +m+6),E(m.-2m+6),
即(m-n)(m+n-3)=0,
∵m-n≠0,∴m+n-3=0,即n=3-m,
∵A(3,0),B(0,6),∴AO=3,BO=6,
过点 G作GK⊥DE于K.
∴KG∥AC,
∴∠EGK=∠BAC,
即
∵DE=EG,
①当3-2m>0,即 时，
整理得
解得 舍去),m (
②当3-2m<0,|即 时，
整理得
解得 (舍去),m
综 上， 或 m
即点 D 的 横 坐 标为 主

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