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规律探究题型突破
题型一 数式变化类
1.[2024江苏扬州]1202年数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数:1,1,2,3,5,…,这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和.则在这一列数的前2024个数中，奇数的个数为 ( )
A.676 B.674 C.1348 D.1350
2.[2023四川内江]对于正数x，规定 例如 十算 f(99)+f(100)+f(101)= ( )
A.199 B.200 C.201 D.202
3.[2024河北]“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算.淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”,图1 表示 132×23,运算结果为3 036.图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是( )
A. “20”左边的数是16
B. “20”右边的“画”表示5
C.运算结果小于6000
D.运算结果可以表示为4 100a+1025
4.[2024宁夏]观察下列等式:
第1个：
第2个：
第3个：
第4个：
……
按照以上规律，第n个等式为 .
5.[2024四川成都]在综合实践活动中，数学兴趣小组对1~n这n个自然数中，任取两数之和大于n的取法种数k进行了探究，发现：当n=2时,只有{1,2}一种取法,即k=1;当n=3时,有{1,3}和|2,3}两种取法,即k=2;当n=4时,可得k=4;…….若n=6,则k的值为 ;若n=24,则k的值为 .
6.[2024北京东城区校级模拟]有灰、白各6张卡片，分别写有数字1至6，把它们像扑克牌那样洗过后，如图排成两行，数字朝下，排列规则如下：
①从左至右，按数字从小到大的顺序排列；
②灰、白卡片数字相同时，灰卡片放在左边.
将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则写有数字1的白卡片为标注字母 的卡片，标注字母d的卡片写有数字 .
题型二 图形变化类
7.[2024 黑龙江牡丹江]如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形、第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形、第3个图有10个三角形、……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是( )
A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025
8.[2024山东济宁]如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形，------按照此规律，第六幅图中正方形的个数为 ( )
A.90 B.91 C.92 D.93
9.[2024 重庆A卷]烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.第1种(如图①)有4个氢原子，第2种(如图②)有6个氢原子，第3种(如图③)有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是( )
A.20 B.22 C.24 D.26
10.[2024江苏盐城]发现问题
小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽.
提出问题
销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢
分析问题
某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽.该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d(n，k均为正整数，n>k≥3,d>0),如图1所示.
小明设计了如下三种铲籽方案.
方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为 ，共铲 行，则铲除全部籽的路径总长为 ；
方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为 ；
方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长.
解决问题
在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短 请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价.
题型三 点的坐标变化类
11.[2024 江苏盐城三模]如图，平面直角坐标系中,△A A A ,△A A A ,△A A A ,……都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，点A (-2，0)，A (-1,-1),A (0,0),……;；则根据图示规律，点A 的坐标为 ( )
A.(-1012,0) B.(-1014,0)
C.(-2,1 012) D.(1014,0)
12.[2024山东聊城]任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”.在平面直角坐标系xOy中，将点(x，y)中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数.例如，点(6，3)经过第1次运算得到点(3，10),经过第2 次运算得到点(10,5),以此类推，则点(1，4)经过2 024次运算后得到点
13.[2024 黑龙江龙东地区]如图，在平面直角坐标系中,正方形 OMNP 顶点 M 的坐标为(3,0),△OAB是等边三角形,点 B 坐标是(1,0),△OAB 在正方形 OMNP 内部紧靠正方形OMNP 的边(方向为O→M→N→P→O→M→…)做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A ，A 的坐标是(2，0)；第二次滚动后，A 的对应点记为A ,A 的坐标是(2,0);第三次滚动后，A 的对应点记为A ，A 的坐标是 如此下去，则A 的坐标是
14.[2024 黑龙江齐齐哈尔校级模拟]如图，在平面直角坐标系中,有一个 Rt△OAB,∠ABO=90°,∠AOB=30°,直角边 OB 在y轴非负半轴上,点A在第一象限,且OA=1,将 Rt△OAB 绕原点逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的两倍(即(OA =2OA),得到 Rt△OA B ;然后将Rt△OA B 绕原点 O 逆时针旋转30°,同时把各边长扩大为原来的两倍，得到Rt△OA B ；……，依此规律，得到 ,则B 024的坐标为 .
突破一 规律探究
1. D 解析:这列数为1,1,2,3,5,8,13,21、34，…，可以发现每3个数为一组，每一组前2个数为奇数，第3个数为偶数，∵2 024÷3=674……2,即前2 024个数中共有 674 组，且余2个数，∴奇数有674×2+2=1350(个).
方法技巧..
解答规律探究题的一般思路是由特殊到一般，即通过对特殊情况的研究，找出规律，进而推广到一般情形，再根据一般情形解决问题.
1C 解析:
……
f(100)+f(101)=2×100+1=201.
3. D 解析：设三位数从左到右数字分别为b，c，d，两位数从左到右数字分别为m,n.根据题图2可得 dm=20, dn=5, cn=2,所以m=4n,d:c=5:2,由于b,c,d,m,n都是一位数,所以d=5,c=2,进而可得m=4,n=1,所以“20”左边的数是8，“20”右边的“目”表示4，排除选项A、B；易得“a”上边的数是4a，则运算结果可以表示为1000(4a+1)+100a+10×2+5=4 100a+1025,选项 D正确;当a=2时，运算结果为 9 225，排除选项 C.故
30.(1) (2)
解析：(1)在5个空白的方格中随机选一个涂上阴影，阴影部分形成的图案是中心对称图形的概率为
(2)如图,5个空白方格分别用1,2,3,4,5表示.
选 D.
解析：第1个：
第2个：
第3个：
第4个：
……
按照以上规律，第n个等式为
5.9;144
解析：当n=2时
当n=3时,k=2;
当n=4时,
当n=5时,有|1,5},{2,5},|3,5},|4,5|,|2,4|,{3,4|六种取法,则k=4+2=6;
当n=6时,有{1,6|,{2,6},{3,6},{4,6},|5,6|,|2,5|,|3,5|,|4,5|,|3,4|九种取法，则
依此类推，当n为偶数时，,k=(n-1)+(n
∴当n=24时,
6. B;4
解析：卡片B(即标注字母B 的卡片，下同)与卡片c肯定有一张为白1(即写有数字1的白色卡片，下同)，
若卡片c为白1，则左边不可能有2张灰卡片，
∴白1为标注字母B 的卡片，
∴灰1为标注字母A的卡片；
∴卡片C与卡片c肯定有一张为白2，若卡片c为白2，则卡片a，b只能是灰1，灰2，而卡片A为灰1，矛盾，
∴卡片C为白2；
卡片F与卡片c肯定有一张为白3，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中阴影部分形成的图案是中心对称图形的结果数为4，
所以阴影部分形成的图案是中心对称图形的概率
若卡片F为白3，则卡片D，E只能是灰2，灰3，此时灰2在白2右边，与规则②矛盾，
∴卡片c为白3，
∴卡片a为黑2，卡片b为黑3；
卡片F与卡片e肯定有一张为白4，
若卡片F为白4，则卡片D，E只能是灰
3，灰4，与卡片b为灰3矛盾，
∴卡片e为白4，
∴卡片d为灰4.
故答案为B；4.
7. B 解析：第1个图中有4个三角形，即4=3×1+1,
第2个图中有7个三角形,即7=3×2+1,第3个图中有10个三角形，即10=3×3+1,
……,
按此规律排列下去，第n个图中有(3n+1)个三角形，
则第674个图中三角形的个数为3×674+1=2023.
8. B 解析：第一幅图中正方形的个数为1 ;
第二幅图中正方形的个数为 第三幅图中正方形的个数为 =14;
……,
第六幅图中正方形的个数为
9. B 解析：由题中所给模型图可知，
第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为4=1×2+2;
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为6=2×2+2;
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为8=3×2+2;
第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为10=4×2+2;
……,
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为2n+2，
当n=10时,2n+2=22.
即第10种化合物的分子结构模型中氯原子的个数为22
10.分析问题 方案1:(n-1)d 2k 2(n-1) dk
方案2:2(k-1) dn
方案
解决问题 方案3铲籽路径总长最短；比较过程见解析：销售员的操作方法使铲籽路径总长最短，减少了对菠萝的损耗
解析：分析问题
方案1：根据每行有n个籽，行上相邻两籽的间距为d、
∴每行铲的路径长为(n-1)d.
∵每列有k个籽，呈交错规律排列，
∴有2k行,即共铲2k行.
∴铲除全部籽的路径总长为2(n-1) dk.
方案2：根据每列有k个籽，列上相邻两籽的间距为d，
∴每列铲的路径长为(k-1)d，
∵每行有 n个籽，呈交错规律排列，
∴有2n列,
∴纵向铲除全部籽的路径总长为2(k-1) dn.
方案3：由题图4得斜着铲时路径上每相邻两个点之间的距离为 沿着斜着铲籽的路径展开菠萝侧面，
由每行有n个籽可知，
斜着铲除全部籽所需路径为 n条线段，由共有2k行可知每条线段长为 1)d,
∴斜着铲除全部籽的路径总长为
解决问题
2(n-1) dk-2(k-1) dn=2ndk-2dk-2ndk+2dn=2d(n-k)>0,
∴方案1的路径总长大于方案2的路径总长；
∵n>k≥3,
∴方案2的路径总长大于方案3的路径总长.
∴方案3铲籽路径总长最短，销售员的操作方法使铲籽路径总长最短，减少了对菠萝的损耗.
11. B 解析:由题图可知.
点A,的坐标为(-2.2).
点A 的坐标为(-2.4).
点A 的坐标为(-2,6).
…… ,
所以点AL的坐标为(-2.2n)(n为正整数),
当n=506时,
4n=2024,2n=1012,
所以点A 的坐标为(-2,1012),
因为-2-1012=-1014,
所以点A 的坐标为(-1014,0).
12.(2,1)
解析：由题意得，点(1，4)经过第1次运算后得到点(4，2)，第2次运算后得到点(2,1),第3次运算后得到点(1,4),第4次运算后得到点(4，2)，……，以三次为一循环,而2024=3×674+2,故第2024次运算后得到点(2,1).
13.(1,3)
解析：由题知，
点A 的坐标为(2,0),
点A 的坐标为(2,0),
点A 的坐标为
点A 的坐标为(3,2),
点A 的坐标为(3,2),
点A。的坐标为
点A,的坐标为(1,3),
点 As的坐标为(1,3),
点A，的坐标为
点A 的坐标为(0,1),
点A 的坐标为(0,1),
点A 的坐标为
点A 的坐标为(2,0),
……,
由此可见，点A 的坐标每12个循环一次，
因为2 024÷12=168……8、
所以点A 的坐标为(1,3).
解析:在 Rt△AOB 中,∠AOB=30°,OA=1,
由题意得，
…… 、
∵2024÷12=168……8.
轴夹角为30°.
∴点 B 的横坐标为、 纵坐标为-
故答案为(

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