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微专题11 最短路径问题
1.[2024河南平顶山二模]如图1,在菱形ABCD中,对角线AC,BD 交于点 O,∠ACB=60°,AM= 点 P 沿 BD 从点 B匀速运动到点D.设点 P 的运动时间为x，PM+PN=y,图2是点 P 运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标a的值为 ( )
A.2 B. C. D.3
2.[2023 内蒙古通辽]如图,在扇形AOB 中,∠AOB=60°,OD 平分∠AOB 交AB于点 D,点 C 是半径OB 上一动点，若OA=1，则阴影部分周长的最小值为 ( )
3.[2024 黑龙江绥化]如图,已知∠AOB=50°,点 P为∠AOB 内部一点，点M，点N分别为射线OA，射线 OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时,则∠MPN= .
4.[2024四川泸州校级模拟]如图，在直角坐标系中,A(-2,0),B(0,2),C是OB的中点,点D 在第二象限，且四边形AOCD 为矩形，P是CD上一个动点,过点P作PH⊥OA于H,Q 是点B关于点A 的对称点,则 BP+PH+HQ 的最小值为
5.[2024江苏扬州]如图,点A、B、M、E、F依次在直线l上，点A、B固定不动，且AB=2，分别以AB、EF 为边在直线l同侧作正方形 ABCD、正方形EFGH,∠PMN=90°,直角边MP恒过点 C,直角边 MN恒过点 H.
(1)如图1,若BE=10,EF=12,求点 M 与点 B之间的距离；
(2)如图1,若BE=10,当点M在点B、E之间运动时，求HE的最大值；
(3)如图2,若BF=22,当点E在点B、F之间运动时，点M 随之运动，连接CH，点O 是CH的中点,连接 HB,MO,则 2OM+HB 的最小值为
C 解析:如图,作点 N 关于 BD 的对称点N',连接MN',NN',PN',MN,
∵四边形 ABCD为菱形,
：点N'在 CD上，由对称可得BD垂直平分NN',∴ PN=PN',
∴PM+PN=PM+PN',
:当M、P,N'三点共线时,PM+PN的值最小、为MN'的长，
四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=3,
AC⊥BD.
在Rt△BCO 中,BO=BC·sin∠OCB=3×
∵∠MAN=∠BAD,
∴△AMN∽△ABD,
∴∠AMN=∠ABD,AMB=M/D= 即
∴MN∥BD,MN=
∵AC⊥BD,NN'⊥BD,
∴NN'∥AC,∴△DNN'∽△DAC,
貝
∵MN∥BD,NN'⊥BD,
∴MN⊥NN',即∠MNN'=90°,
∴在 Rt△MNN'中,
∴PM+PN的最小值为 ,即(
1A 解析:如图,作点 D 关于 OB 的对称点D',连接AD',CD',OD',
则CD=CD',OD=OD',∠DOB=∠BOD', ∵当A,C,D'三点共线时，AC+CD 的值最小，即阴影部分的周长最小，最小值为AD'的长+AD的长.
∵OD平分∠AOB,∠AOB=60°,
∴∠BOD'=30°,∴∠AOD'=90°,在 Rt△OAD'中,OD'=OD=OA=1,∴AD' 又AD的长 阴影部分周长的最小值为
3.80°
解析：作点 P 关于 OA 的对称点 E，连接OP,EP,EO,EM,如图,
∴ EM = MP,∠MPO = ∠OEM,∠EOM=∠MOP,
作P点关于 OB 的对称点 F,连接 NF,PF,OF,EF,
∴ PN = FN, ∠OPN = ∠OFN, ∠PON=∠NOF,
∴ PM+PN+MN=EM+NF+MN≥EF,
∴当E,M,N,F共线时,△PMN周长最小, 此 时 ∠OEM = ∠OEF, ∠OFN=∠OFE,
又∵∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF,∠AOB=∠MOP+∠PON=50°,
∴∠EOF=2∠AOB=100°,
∴在△EOF中,∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°,
∴ ∠OEM+∠OFN=180°-100°=80°,
∵∠MPO=∠OEM,∠OPN=∠OFN,
∴∠MPO+∠OPN=80°,
∴∠MPN=∠MPO+∠OPN=80°.
4.6
解析：连接CH，
∵A(-2,0),B(0,2),∴OB=2,OA=2,
∵C是OB的中点,∴BC=OC=1,
∵∠PHO=∠COH=∠DCO=90°,
∴四边形 PHOC 是矩形,
∴PH=OC=BC=1,
∵PH⊥OA,BO⊥OA,∴PH∥BC,
∴四边形 PBCH是平行四边形，
∴BP=CH,∴BP+PH+HQ=CH+HQ+1,要使CH+HQ 的值最小,只需C,H,Q 三点共线即可，
∵点Q 是点 B关于点A 的对称点，
∴Q(-4,-2),
又∵点C(0,1),
∴ 根 据 勾 股 定 理 可 得 CQ = 此时,BP+PH+HQ=CH+HQ+PH=CQ+1=5+1=6,
即BP+PH+HQ 的最小值为6.
5.(1)4或6 (2)12.5
解析:(1)由题易得∠CBM=∠CMH=∠HEM=90°,
∴ ∠CMB +∠BCM = ∠CMB +∠HME=90°,
∴∠BCM=∠HME,
∴ △MCB∽△HME,
∵BC=AB=2,EH=EF=12,BE=10,
BM=4或6,
∴点M 与点B之间的距离是4或6.
(2)由(1)知
设EH=y,BM=x,
∵BE=10,
∴EM=10-x,
∴当x=5时,,y最大值=12.5,即HE的最大值为12.5.
(3)∵∠CMH=90°,O是CH的中点,
∴CH=2OM,
∴2OM+HB=CH+BH,
如图,连接 FH,则点 H 在∠EFG的平分线上，作点 B关于 FH的对称点 B'，连接B'C交 FH的延长线于 H',则当H在 H'处时,CH+HB 的值最小,最小值为 B'C的长.
过点C作CQ⊥B'F于点 Q.
∵∠BFH=∠B'FH=45°,
∴B'在 FG的延长线上,易知∠CBF=∠BFQ=∠FQC=90°,
∴四边形CBFQ 为矩形,
∴FQ=BC=2,CQ=BF=22,由对称得BF=B'F=22,
在 Rt△B'CQ 中,
即CH+BH的最小值为：
∴2OM+HB的最小值为

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