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第25关 尺规作图
基础练
1.[2024河北]观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 BD 一定是△ABC的 ( )
A.角平分线 B.高线
C.中位线 D.中线
2.[2024山东烟台]某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB 的平分线的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.[2024 北京]下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法.
(1)如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA,OB于点C,D;
(2)作射线O'A',以点O'为圆心,OC 长为半径画弧,交O'A'于点 C'；以点C'为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D'；
(3)过点 D'作射线O'B'.则∠A'O'B'=∠AOB.
上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD 得到 其中判定△C'O'D'≌△COD的依据是 ( )
A.三边分别相等的两个三角形全等
B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
4.[2024湖南]如图,在锐角三角形ABC 中,AD是边 BC上的高,在 BA,BC 上分别截取线段BE,BF,使 BE=BF;分别以点 E,F 为圆心,大于 EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P,作射线 BP,交AD 于点 M,过点 M 作 MN⊥AB 于点 N.若 MN = 2,AD = 4MD,则 AM =
5.[2024陕西]如图，已知直线l和l外一点A.请用尺规作图法，求作一个等腰直角△ABC，使得顶点 B 和顶点 C 都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，保留作图痕迹，不写作法)
6.[2024四川成都]如图,在 ABCD中,按以下步骤作图：①以点 B 为圆心，以适当长为半径作弧,分别交 BA,BC于点M,N;②分别以M,N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC 内交于点 O;③作射线 BO,交AD 于点E,交 CD 延长线于点 F.若CD=3,DE=2,下列结论错误的是 ( )
A.∠ABE=∠CBE B. BC=5
C. DE=DF
7.[2024湖北]如图,AB 是半圆O 的直径,C为半圆O 上一点，以点 B 为圆心，适当长为半径画弧,交BA于点 M,交BC于点N,分别以点M,N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠ABC 的内部相交于点 D,画射线BD,连接AC.若∠CAB=50°,则∠CBD 的度数是 ( )
A.30° B.25° C.20° D.15°
8.[2024重庆A卷]在学习了矩形与菱形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的研究，他们发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图,在矩形 ABCD 中,点O 是对角线AC的中点.用尺规过点 O 作 AC 的垂线，分别交AB,CD 于点 E,F,连接AF,CE(不写作法,保留作图痕迹).
(2)已知:矩形 ABCD,点 E,F分别在AB,CD上,EF 经过对角线AC的中点O,且EF⊥AC.
求证：四边形AECF 是菱形.
证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB∥CD.
∴① ,∠FCO=∠EAO.
∵点O 是AC的中点,
∴② .
∴△CFO≌△AEO(AAS).
∴③ .
又∵OA=OC,
∴四边形AECF 是平行四边形.
∵EF⊥AC,
∴四边形 AECF 是菱形.
进一步思考，如果四边形ABCD 是平行四边形呢 请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：
④
9.[2024 河南]如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边AB上的中线,BE∥DC交AC的延长线于点 E.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A,且射线CM 交 BE 于点 F(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)证明(1)中得到的四边形 CDBF 是菱形.
10.[2024 江苏扬州]如图,已知∠PAQ 及AP边上一点 C.
(1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ 上求作点O,使得∠COQ=2∠CAQ;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,以点 O 为圆心,以OA为半径的圆交射线AQ 于点 B，用无刻度直尺和圆规在射线 CP上求作点M，使点M到点 C 的距离与点 M 到射线AQ 的距离相等；(保留作图痕迹，不写作法)
(3)在(1)(2)的条件下,若 求 BM 的长.
11.[2024 江西]如图,AC 为菱形 ABCD 的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹).
(1)如图1,过点 B作AC的垂线;
(2)如图2,点 E 为线段AB的中点,过点 B作AC的平行线.
12.[2024湖北武汉]如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条.
(1)在图(1)中,画射线 AD 交 BC 于点 D,使AD平分△ABC的面积;
(2)在(1)的基础上,在射线AD 上画点 E,使∠ECB=∠ACB;
(3)在图(2)中,先画点 F,使点 A 绕点 F 顺时针旋转90°到点 C,再画射线AF交 BC 于点 G;
(4)在(3)的基础上,将线段AB 绕点 G 旋转180°,画对应线段MN(点A 与点 M 对应,点 B与点N对应).
第25关 尺规作图
1. B 2. D 3. A 4.6
5.如图，△ABC 即为所求(作法不唯一)
6. D 解析：由尺规作图可得 BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE=∠CBE,故选项 A 中结论正确;在 ABCD 中,AB∥CD,∴∠ABE=∠F,∴ ∠CBE=∠F,∴ BC=CF,在 ABCD中,AD∥CB,∴ ∠DEF=∠CBE,∴∠DEF=∠F,∴DE=DF=2,
∴ CF=CD+DF=5=BC,故选项B、C中结论正确;∵AB∥CD,∴△ABE∽△DFE、 又在 ABCD中,AB=CD=3, 故选项D中结论错误.
7. C 解析:∵AB 为半圆O的直径.
∴∠ACB=90°,
∵∠CAB=50°,∴∠ABC=40°,
由作图知，BD 是∠ABC的平分线，
8.(1)如图
(2)①∠CFO=∠AEO;
②OC=OA;
③OF=OE;
④过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形
9.(1)如图.
(2)证明:由(1),得∠ECF=∠A.
∴CF∥AB.
∵BE∥DC,
∴四边形 CDBF是平行四边形.
∵CD是 Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴CD=BD.
∴ CDBF是菱形.
10.(1)见解析 (2)见解析(3)6 解析：(1)如图，点O 即为所求.
(2)如图，点M 即为所求.
(3)由(1)作图可知OA=OC=OB,
∴易得∠ACB=90°,
设BC=3k,则AB=5k,∴AC=4k,过M作MH⊥AQ 于点 H,由(2)作图可知BM平分∠CBQ,又MC⊥CB,
∴ ∠MBC=∠MBH,∠MCB=∠BHM=90°,CM=MH、
∴△MBC≌△MBH,
∴BC=BH=3k.
∴AH=AB+BH=8k.
且
∴MH=6k,
∴CM=12=MH=6k,
∴k=2,
∴BH=6,
11.(1)如图所示
(2)如图所示(作图不唯一)
12.(1)如图所示(答案不唯一)
(2)如图所示，点E 即为所求(答案不唯一)
(3)如图所示
(4)如图所示(答案不唯一)
微专题11 最短路径问题
C 解析:如图,作点 N 关于 BD 的对称点N',连接MN',NN',PN',MN,
∵四边形 ABCD为菱形,
：点N'在 CD上，由对称可得BD垂直平分NN',∴ PN=PN',
∴PM+PN=PM+PN',
:当M、P,N'三点共线时,PM+PN的值最小、为MN'的长，
四边形ABCD为菱形，
∴AB=BC=3,
AC⊥BD.
在Rt△BCO 中,BO=BC·sin∠OCB=3×
∵∠MAN=∠BAD,
∴△AMN∽△ABD,
∴∠AMN=∠ABD,AMB=M/D= 即
∴MN∥BD,MN=
∵AC⊥BD,NN'⊥BD,
∴NN'∥AC,∴△DNN'∽△DAC,
貝
∵MN∥BD,NN'⊥BD,
∴MN⊥NN',即∠MNN'=90°,
∴在 Rt△MNN'中,
∴PM+PN的最小值为 ,即(
1A 解析:如图,作点 D 关于 OB 的对称点D',连接AD',CD',OD',
则CD=CD',OD=OD',∠DOB=∠BOD', ∵当A,C,D'三点共线时，AC+CD 的值最小，即阴影部分的周长最小，最小值为AD'的长+AD的长.
∵OD平分∠AOB,∠AOB=60°,
∴∠BOD'=30°,∴∠AOD'=90°,在 Rt△OAD'中,OD'=OD=OA=1,∴AD' 又AD的长 阴影部分周长的最小值为
3.80°
解析：作点 P 关于 OA 的对称点 E，连接OP,EP,EO,EM,如图,
∴ EM = MP,∠MPO = ∠OEM,∠EOM=∠MOP,
作P点关于 OB 的对称点 F,连接 NF,PF,OF,EF,
∴ PN = FN, ∠OPN = ∠OFN, ∠PON=∠NOF,
∴ PM+PN+MN=EM+NF+MN≥EF,
∴当E,M,N,F共线时,△PMN周长最小, 此 时 ∠OEM = ∠OEF, ∠OFN=∠OFE,
又∵∠EOF=∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF,∠AOB=∠MOP+∠PON=50°,
∴∠EOF=2∠AOB=100°,
∴在△EOF中,∠OEM+∠OFN+∠EOF=180°,
∴ ∠OEM+∠OFN=180°-100°=80°,
∵∠MPO=∠OEM,∠OPN=∠OFN,
∴∠MPO+∠OPN=80°,
∴∠MPN=∠MPO+∠OPN=80°.
4.6
解析：连接CH，
∵A(-2,0),B(0,2),∴OB=2,OA=2,
∵C是OB的中点,∴BC=OC=1,
∵∠PHO=∠COH=∠DCO=90°,
∴四边形 PHOC 是矩形,
∴PH=OC=BC=1,
∵PH⊥OA,BO⊥OA,∴PH∥BC,
∴四边形 PBCH是平行四边形，
∴BP=CH,∴BP+PH+HQ=CH+HQ+1,要使CH+HQ 的值最小,只需C,H,Q 三点共线即可，
∵点Q 是点 B关于点A 的对称点，
∴Q(-4,-2),
又∵点C(0,1),
∴ 根 据 勾 股 定 理 可 得 CQ = 此时,BP+PH+HQ=CH+HQ+PH=CQ+1=5+1=6,
即BP+PH+HQ 的最小值为6.
5.(1)4或6 (2)12.5
解析:(1)由题易得∠CBM=∠CMH=∠HEM=90°,
∴ ∠CMB +∠BCM = ∠CMB +∠HME=90°,
∴∠BCM=∠HME,
∴ △MCB∽△HME,
∵BC=AB=2,EH=EF=12,BE=10,
BM=4或6,
∴点M 与点B之间的距离是4或6.
(2)由(1)知
设EH=y,BM=x,
∵BE=10,
∴EM=10-x,
∴当x=5时,,y最大值=12.5,即HE的最大值为12.5.
(3)∵∠CMH=90°,O是CH的中点,
∴CH=2OM,
∴2OM+HB=CH+BH,
如图,连接 FH,则点 H 在∠EFG的平分线上，作点 B关于 FH的对称点 B'，连接B'C交 FH的延长线于 H',则当H在 H'处时,CH+HB 的值最小,最小值为 B'C的长.
过点C作CQ⊥B'F于点 Q.
∵∠BFH=∠B'FH=45°,
∴B'在 FG的延长线上,易知∠CBF=∠BFQ=∠FQC=90°,
∴四边形CBFQ 为矩形,
∴FQ=BC=2,CQ=BF=22,由对称得BF=B'F=22,
在 Rt△B'CQ 中,
即CH+BH的最小值为：
∴2OM+HB的最小值为

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