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期末综合素质评价
一、选择题（每题3分，共30分）
1．[［2024·青岛］]下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2．母题教材P4习题T2 下列从左到右的变形中属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
3．把分式中的，的值都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 不变 B. 缩小为原来的
C. 扩大到原来的2倍 D. 扩大到原来的3倍
4．[［2024·广元］]在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（ ）
A. 中位数是95 B. 方差是3 C. 众数是95 D. 平均数是94
5．[［2025·聊城模拟］]如果，那么代数式的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
6．[［2025·济宁月考］]如图，在中，的平分线交于点，若,，则的周长为（ ）
A. 46 B. 48 C. 50 D. 52
7．近年来，某市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线的平均速度比走路线的平均速度提高，时间节省了，求走路线和路线的平均速度分别是多少.设走路线的平均速度为，依题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8．若关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
9．如图，平行四边形绕点逆时针旋转 ，得到平行四边形，点恰好落在边上，和交于点，则的度数是（ ）
（第9题）
A. B. C. D.
10．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是,,的中点，交于点，连接，，则；；.上述结论中正确的是（ ）
（第10题）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题（每题3分，共18分）
11．母题教材P45复习题T6 如果分式有意义，那么的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
12．一个多边形的内角和比它的外角和多 ，则这个多边形的边数是_ _ _ _ .
13．小芳测得某市连续五天的日最低气温，整理后得出下表：
星期 一 二 三 四 五 方差 平均气温/
最低气温/ 1 3 2 5 3
由于不小心被墨迹污染了两个数据，这两个数据分别是_ _ _ _ ，_ _ _ _ .
14．如图，在中，,, ，将折叠，使得点与点重合，折痕交，于点，，则_ _ _ _ _ _ .
（第14题）
15．如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接，则线段的长度为_ _ _ _ _ _ .
16．若整数使关于的不等式组有且只有2个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为.
三、解答题（共72分）
17．（6分）
（1） ;
（2） .
18．（8分）已知.
（1） 化简；
（2） 请从，2，0，3，4中选取合适的整数代入，求出的值.
19．[［2025·济南钢城区期末］]（10分）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）.
（1） 作出关于原点成中心对称的，并写出三个顶点的坐标；
（2） 把（1）中的向上平移4个单位长度得到，画出；
（3） 若（2）中的与成中心对称，则对称中心的坐标为_ _ _ _ _ _ .
20．（12分）沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光伏发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现.光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”、“碳中和”的目标奠定了基础.2025年3月底，某地光伏发电项目投入建设.甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务.
（1） 若甲、乙两厂共生产4 000块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产的数量多250块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则乙厂每天生产的光伏板数量是多少？
（2） 若甲厂每天生产的光伏板比乙厂每天生产的多，甲、乙两厂各生产6 000块光伏板时，乙厂比甲厂多用2天时间，求甲、乙两厂每天各生产多少块光伏板？
21．[［2024·山东］]（12分）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目.为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用 表示），并将其分成如下四组：,，，.
下面给出了部分信息：
的成绩为81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89.
模型设计成绩的频数分布直方图
模型设计成绩的扇形统计图
根据以上信息解决下列问题：
（1） 请补全频数分布直方图；
（2） 所抽取学生的模型设计成绩的中位数是分；
（3） 请估计全校1 000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
（4） 根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按的比例确定这次活动个人的综合成绩.
某班甲、乙两名学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：
模型设计 科技小论文
甲的成绩 94 90
乙的成绩 90 95
通过计算判断甲、乙哪名学生的综合成绩更高.
22．（12分）如图，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，，连接.
（1） 求证：四边形是平行四边形.
（2） 判断线段，，之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论.
（3） 点是的边上的一点，若，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）.
，点，连接，，，且，，，将绕点顺时针旋转后得到,连接.
① 旋转角的度数为_ _ _ _ _ _ .
② 线段的长为_ _ _ _ .
③ 求的度数.
（2） 如图②，是等腰直角三角形内一点，连接，，，将绕点顺时针旋转后得到,连接，当，，满足什么条件时， ？请给出证明.
期末综合素质评价
一、选择题（每题3分，共30分）
1．[［2024·青岛］]下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
2．母题教材P4习题T2 下列从左到右的变形中属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
3．把分式中的，的值都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A. 不变 B. 缩小为原来的
C. 扩大到原来的2倍 D. 扩大到原来的3倍
【答案】C
4．[［2024·广元］]在“五·四”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：91，96，95，92，94，95，95，分析这组数据，下列说法错误的是（ ）
A. 中位数是95 B. 方差是3 C. 众数是95 D. 平均数是94
【答案】B
5．[［2025·聊城模拟］]如果，那么代数式的值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】B
6．[［2025·济宁月考］]如图，在中，的平分线交于点，若,，则的周长为（ ）
A. 46 B. 48 C. 50 D. 52
【答案】D
7．近年来，某市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线的平均速度比走路线的平均速度提高，时间节省了，求走路线和路线的平均速度分别是多少.设走路线的平均速度为，依题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【点拨】 走路线的平均速度比走路线提高了，且走路线的平均速度为，
走路线的平均速度为.
根据题意，得.
8．若关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且 D. 且
【答案】C
【点拨】，去分母，方程两边同时乘以，得，解得. 该方程的解是负数，，解得是该方程的增根， 当时，，解得，当时，，解得，综上所述，的取值范围是且．
9．如图，平行四边形绕点逆时针旋转 ，得到平行四边形，点恰好落在边上，和交于点，则的度数是（ ）
（第9题）
A. B. C. D.
【答案】D
【点拨】 四边形为平行四边形，
.
.
由旋转的性质，得, ，，
，
， ，
.
.
故选.
10．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，，分别是,,的中点，交于点，连接，，则；；.上述结论中正确的是（ ）
（第10题）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
【答案】A
【点拨】 四边形是平行四边形，．
又，．又为的中点，．故①正确；
如图，连接，，
是的中点，．
，分别是，的中点，，.
四边形是平行四边形，，，,
四边形是平行四边形，.故②正确；
是的中点，．
是的中点，．
平行四边形的对角线，交于点，
是的中点，．
是的中点，是的中点，．
．故③不正确．故选．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．母题教材P45复习题T6 如果分式有意义，那么的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
12．一个多边形的内角和比它的外角和多 ，则这个多边形的边数是_ _ _ _ .
【答案】
13．小芳测得某市连续五天的日最低气温，整理后得出下表：
星期 一 二 三 四 五 方差 平均气温/
最低气温/ 1 3 2 5 3
由于不小心被墨迹污染了两个数据，这两个数据分别是_ _ _ _ ，_ _ _ _ .
【答案】4； 2
14．如图，在中，,, ，将折叠，使得点与点重合，折痕交，于点，，则_ _ _ _ _ _ .
（第14题）
【答案】
【点拨】设，作于点，则 .
,, ，
由折叠的性质可知,， .
，，
，
，解得，.
15．如图，在平面直角坐标系中，点，点，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接，则线段的长度为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
【点拨】如图，过点作轴于点，则 .
，，
，.
，
， ，
.
又， .
，
，，
，
.
16．若整数使关于的不等式组有且只有2个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数的和为.
【答案】10
【点拨】不等式的解集为，
不等式的解集为.
关于的不等式组有且只有2个偶数解，
，解得为整数，可取1,2,3,4,5,6.
将分式方程的两边都乘以，得
，解得.
当时，即，解得.
又 关于的分式方程有整数解，
为偶数，或，
符合条件的所有整数的和为．
三、解答题（共72分）
17．（6分）
（1） ;
（2） .
【答案】
（1） 【解】方程两边都乘，得，解得，
检验：当时，，所以是分式方程的解，
即分式方程的解是．
（2） 方程两边同时乘以，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化1，得，
将代入，
原分式方程无解．
18．（8分）已知.
（1） 化简；
（2） 请从，2，0，3，4中选取合适的整数代入，求出的值.
【答案】
（1） 【解】原式
.
（2） 当，或0时，无意义，可以为3或4，
当时，；
或当时，．
19．[［2025·济南钢城区期末］]（10分）在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）.
（1） 作出关于原点成中心对称的，并写出三个顶点的坐标；
（2） 把（1）中的向上平移4个单位长度得到，画出；
（3） 若（2）中的与成中心对称，则对称中心的坐标为_ _ _ _ _ _ .
【答案】
（1） 【解】如图，即为所求，
，，.
（2） 如图，即为所求.
（3）
20．（12分）沙漠化制约着我国西部的发展，我国一直在探索和尝试将科技与治沙相结合的模式，光伏发电与沙漠治理相结合是“中国智慧”和“中国建设”的体现.光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”、“碳中和”的目标奠定了基础.2025年3月底，某地光伏发电项目投入建设.甲、乙两厂承包了部分光伏板的生产任务.
（1） 若甲、乙两厂共生产4 000块光伏板，甲厂每天生产的光伏板数量比乙厂每天生产的数量多250块，甲厂生产2天、乙厂生产3天共同完成了这批生产任务，则乙厂每天生产的光伏板数量是多少？
（2） 若甲厂每天生产的光伏板比乙厂每天生产的多，甲、乙两厂各生产6 000块光伏板时，乙厂比甲厂多用2天时间，求甲、乙两厂每天各生产多少块光伏板？
【答案】
（1） 【解】设乙厂每天生产光伏板块，则甲厂每天生产光伏板块，
根据题意得，
解得，
答：乙厂每天生产光伏板700块.
（2） 设乙厂每天生产光伏板块，则甲厂每天生产光伏板块，
根据题意得，解得，
经检验是原方程的解，且符合题意.
所以，
答：甲厂每天各生产600块光伏板，乙厂每天生产500块光伏板.
21．[［2024·山东］]（12分）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目.为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用 表示），并将其分成如下四组：,，，.
下面给出了部分信息：
的成绩为81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89.
模型设计成绩的频数分布直方图
模型设计成绩的扇形统计图
根据以上信息解决下列问题：
（1） 请补全频数分布直方图；
（2） 所抽取学生的模型设计成绩的中位数是分；
（3） 请估计全校1 000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；
（4） 根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按的比例确定这次活动个人的综合成绩.
某班甲、乙两名学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：
模型设计 科技小论文
甲的成绩 94 90
乙的成绩 90 95
通过计算判断甲、乙哪名学生的综合成绩更高.
【答案】
（1） 【解】，而成绩在范围内的有20人，
成绩在范围内的有（人）.
补全图形如下：
（2） 83
（3） 全校1 000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为
（人）.
（4） 甲的成绩为（分），
乙的成绩为（分）.
，甲的综合成绩更高.
【解析】
（2） 【点拨】，而的成绩为81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．个人的成绩按照从小到大排列后，排在第25个、第26个的数据分别是83,83， 中位数为（分）.
22．（12分）如图，在中，点是边的中点，点在内，平分，，点在边上，，连接.
（1） 求证：四边形是平行四边形.
（2） 判断线段，，之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论.
（3） 点是的边上的一点，若，请直接写出的面积（不需要写出解答过程）.
【答案】
（1） 【解】延长交于点，
， .
平分，.
在和中，
，.
又 点是边的中点，
为的中位线，.
又， 四边形是平行四边形．
（2） 四边形是平行四边形，.
为的中位线，.
，，
．
（3） .
23．（12分）
（1） 如图①，是等边三角形内一点，连接，，，且，，，将绕点顺时针旋转后得到,连接.
① 旋转角的度数为_ _ _ _ _ _ .
② 线段的长为_ _ _ _ .
③ 求的度数.
（2） 如图②，是等腰直角三角形内一点，连接，，，将绕点顺时针旋转后得到,连接，当，，满足什么条件时， ？请给出证明.
【答案】①
② 4
③ 【解】为等边三角形， .
是由绕点顺时针旋转后得到的,,，
，， ，
为等边三角形， ，.
在中，,,.
,.
为直角三角形， .
.
（2） 当时， .
证明：是由绕点顺时针旋转后得到的, ,,.
为等腰直角三角形..
当时，为直角三角形，即 ,
.
当，，满足时， .
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