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期中综合素质评价
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式：，，，，，其中分式有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
3．下列分式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
4．若方程的根为，则的值是（ ）
A. 0 B. 3 C. D. 1
5．[［2024·日照］]某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
（第5题）
A. 9，9 B. 14，9 C. 14， D. 9，
6．[［2024·淄博］]数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试.如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（ ）
（第6题）
A. 95分， B. 96分， C. 95分，10 D. 96分，10
7．已知两个不等于0的实数，满足，则等于（ ）
A. B. C. 1 D. 2
8．若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A. 1 B. C. 1或0 D. 1或
9．数学活动课上，甲、乙两名同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
10．对于，定义：★，已知分式方程★的解满足不等式，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．[［2024·镇江］]使分式有意义的的取值范围是_ _ _ _ _ _ .
12．与的公因式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
13．如果是一个完全平方式，那么的值是_ _ _ _ _ _ _ _ .
14．某校学生会要在甲、乙两名候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示：
候选人 文化水平 艺术水平 组织能力
甲 80分 87分 82分
乙 80分 96分 76分
如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照，，的比例计入综合成绩，则应该录取.
15．[［2024·重庆］]若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为.
16．观察下列算式：
，，，， .
按照以上规律，写出第个算式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （用含正整数 的算式表示）.
三、解答题（共72分）
17．（6分）因式分解：
（1） ；
（2） .
18．（6分）解方程：
（1） ；
（2） .
19．（10分）
（1） 先化简，再求值：，其中满足.
（2） 化简，并求值，其中与2，3构成的三边且为整数.
2已式方程.
（1） 当时，求该方程的解；
（2） 若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求的值.
21．（12分）为了解，两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了，两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（单位：分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用 表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息：
A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是60，64，67，69，71，71，72，72，72，82.
B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是70，71，72，72，73.
两款智能玩具飞机运行最长时间统计表
平均数 70分钟 70分钟
中位数 71分钟 分钟
众数 分钟 67分钟
方差 30.4 26.6
款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1） 上述图表中，_ _ ，.
（2） 根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）.
（3） 若某玩具仓库有款智能玩具飞机200架、款智能玩具飞机120架，估计该仓库中两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？
22．（14分）【问题背景】2025年4月23日是第19个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有,两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高；
素材二：用18 000元购买种书架的数量比用9 000元购买种书架的数量多6个；
素材三：种书架数量不少于种书架数量的．
【问题解决】
（1） 问题一：求出,两种书架的单价；
（2） 问题二：设购买个种书架，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
（3） 问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，种书架每个降价元，种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21 120元，求的值．
23．（14分）【阅读材料】形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用.
（一）用配方法因式分解：.
解：原式.
（二）用配方法求代数式 的最小值.
解：原式.
，，的最小值为.
（1） 若代数式是完全平方式，则常数的值为；
（2） 因式分解：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） 用配方法求代数式的最小值；
【拓展应用】
（4） 若实数，满足，则的最小值为_ _ _ _ .
期中综合素质评价
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各式：，，，，，其中分式有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】C
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
3．下列分式从左到右的变形一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
4．若方程的根为，则的值是（ ）
A. 0 B. 3 C. D. 1
【答案】C
5．[［2024·日照］]某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）
（第5题）
A. 9，9 B. 14，9 C. 14， D. 9，
【答案】A
6．[［2024·淄博］]数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试.如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么其平均数和方差分别是（ ）
（第6题）
A. 95分， B. 96分， C. 95分，10 D. 96分，10
【答案】D
7．已知两个不等于0的实数，满足，则等于（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【点拨】. 两个不等于0的实数，满足，.
8．若关于的分式方程无解，则的值为（ ）
A. 1 B. C. 1或0 D. 1或
【答案】D
【点拨】方程两边乘，得，整理，得.
当，即时，方程为，方程无解，故分式方程也无解；
当时，. 分式方程无解，即产生增根， 令，得，
，解得，经检验，是分式方程的解.综上，当或1时，分式方程无解.
9．数学活动课上，甲、乙两名同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟，甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做个盒子，根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
10．对于，定义：★，已知分式方程★的解满足不等式，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【点拨】★，★， 原方程为，解得，经检验，是原分式方程的解.把代入，得，解得.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．[［2024·镇江］]使分式有意义的的取值范围是_ _ _ _ _ _ .
【答案】
12．与的公因式是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
13．如果是一个完全平方式，那么的值是_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】5或
【点拨】，
，解得或．
14．某校学生会要在甲、乙两名候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示：
候选人 文化水平 艺术水平 组织能力
甲 80分 87分 82分
乙 80分 96分 76分
如果想录取一名组织能力较强的候选人，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照，，的比例计入综合成绩，则应该录取.
【答案】甲
15．[［2024·重庆］]若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为.
【答案】16
【点拨】解不等式①，得，解不等式②，得. 关于的不等式组至少有2个整数解，，解得.
解方程，得. 关于的分式方程的解为非负整数，
且，是偶数，解得且，是偶数，且，是偶数，
所有满足条件的整数的值之和是.
16．观察下列算式：
，，，， .
按照以上规律，写出第个算式：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ （用含正整数 的算式表示）.
【答案】
【点拨】，
，
，
，
….
按照以上规律，可知.
三、解答题（共72分）
17．（6分）因式分解：
（1） ；
（2） .
【答案】（1） 【解】.
（2） .
18．（6分）解方程：
（1） ；
（2） .
【答案】
（1） 【解】,去分母，得，去括号，得，移项，得，合并同类项，得，
系数化为1，得，经检验，是原方程的根．
（2） ，去分母，得，去括号，得，移项，合并同类项，得，经检验，使得分母无意义，是原方程的增根，故原方程无解．
19．（10分）
（1） 先化简，再求值：，其中满足.
（2） 化简，并求值，其中与2，3构成的三边且为整数.
【答案】（1） 【解】.当时，， 原式.
（2） .
与2，3构成的三边且为整数，，即且为整数. 分式要有意义，且， 当时，原式．
20．（10分）已知关于的分式方程.
（1） 当时，求该方程的解；
（2） 若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求的值.
【答案】（1） 当时，分式方程为，解得.检验：当时，，是原方程的解.
（2） ，整理，得 方程的解是增根， 方程的解为，，解得.
21．（12分）为了解，两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了，两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（单位：分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用 表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息：
A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是60，64，67，69，71，71，72，72，72，82.
B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是70，71，72，72，73.
两款智能玩具飞机运行最长时间统计表
平均数 70分钟 70分钟
中位数 71分钟 分钟
众数 分钟 67分钟
方差 30.4 26.6
款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1） 上述图表中，_ _ ，.
（2） 根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）.
（3） 若某玩具仓库有款智能玩具飞机200架、款智能玩具飞机120架，估计该仓库中两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？
【答案】（1） 72；70.5；10
（2） 【解】款智能玩具飞机运行性能更好.因为款智能玩具飞机运行最长时间的方差比款智能玩具飞机运行最长时间的方差小，所以运行最长时间比较稳定.（答案不唯一）
（3） 200架款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有（架），120架款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有（架），（架）.
答：该仓库中两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架.
22．（14分）【问题背景】2025年4月23日是第19个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有,两种书架可供选择，种书架的单价比种书架单价高；
素材二：用18 000元购买种书架的数量比用9 000元购买种书架的数量多6个；
素材三：种书架数量不少于种书架数量的．
【问题解决】
（1） 问题一：求出,两种书架的单价；
（2） 问题二：设购买个种书架，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
（3） 问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，种书架每个降价元，种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21 120元，求的值．
【答案】
（1） 【解】设种书架的单价为元，则种书架的单价为元．
由题意得，，解得，
经检验，是该分式方程的解，且符合题意，
．
答：，两种书架的单价分别为1 200元，元．
（2） 购买个种书架时，购买总费用，即，由题意得，应满足，解得，随着的增大而增大，当时，的值最小，最小值为，此时 费用最少时购买种书架8个，种书架12个．
（3） 由题意得，，解得．
23．（14分）【阅读材料】形如的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法.配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用.
（一）用配方法因式分解：.
解：原式.
（二）用配方法求代数式 的最小值.
解：原式.
，，的最小值为.
（1） 若代数式是完全平方式，则常数的值为；
（2） 因式分解：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
（3） 用配方法求代数式的最小值；
【拓展应用】
（4） 若实数，满足，则的最小值为_ _ _ _ .
【答案】（1） 25
（2）
（3） 【解】，，的最小值为4．
（4） 3
【解析】
（4） 【点拨】，，，的最小值为3．
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