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第四章综合素质评价
一、选择题（每题3分，共30分）
1．[［2024·淄博］]下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2．如图，将沿方向平移，得到.若，，则的长为（ ）
（第2题）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3．如果点在第二象限，那么点关于原点的对称点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4．如图所示，在中， ，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接.当点，，在同一直线上时，旋转角的度数是（ ）
（第4题）
A. B. C. D.
5．如图，将绕点顺时针旋转 得到，则点的坐标是（ ）
（第5题）
A. B. C. D.
6．如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论不正确的是（ ）
（第6题）
A. B. C. D.
7．如图，将线段先向左平移，使点与原点重合，再将所得到的线段绕原点旋转 得到线段，则点的对应点的坐标是（ ）
（第7题）
A. B. C. D.
8．如图，已知四边形是由四边形平移得到的，若，，则的长可能是（ ）
（第8题）
A. 3 B. 5 C. 8 D. 11
9．在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于点，，将线段绕点沿顺时针方向旋转 得到线段，则点的坐标为（ ）
（第9题）
A. B. C. D.
10．如图，长方形的顶点，分别在轴、轴上，，，将长方形绕点顺时针旋转，每次都旋转 ，则第2 025次旋转结束时，点的坐标为（ ）
（第10题）
A. B. C. D.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．[［2024·江西］]在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
12．如图①，教室里有一个倒地的装垃圾的灰斗，与地面的夹角为 ， ，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图②），则灰斗柄绕点转动的角度为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第12题）
13．麒麟水乡景区是国家级景区,是集田园风光和水乡风情为一体的旅游景区，盛夏的麒麟水乡秀丽端庄，千亩荷花在微风中飘曳，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，景区工作人员拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥.若荷塘的周长为，且桥宽忽略不计，则小桥总长为_ _ _ _ _ _ .
（第13题）
14．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设黑色部分的面积为，正方形的边长为2，则_ _ _ _ _ _ .
（第14题）
15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限内，将沿轴正方向平移得到，若点的对应点在直线上，则点与其对应点之间的距离为_ _ _ _ .
（第15题）
16．如图，在中， ，，，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接，则的最小值是_ _ _ _ _ _ .
（第16题）
三、解答题（共72分）
17．（8分）如图，已知的顶点,,.若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点，，的对应点分别是，，.
（1） 画出，并直接写出点的坐标；
（2） 若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标.
18．（8分）如图，在直角三角形中， , ，将三角形沿方向平移得到三角形.
（1） 求的度数;
（2） 若,，求的长.
19．（8分）如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）.
20．[［2025·济南月考］]（12分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）.
（1） 若和关于原点成中心对称，画出；
（2） 将绕点顺时针旋转 ，画出旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3） 若在轴上存在一点，满足点到点与点的距离之和最小，请写出的最小值为 _ _ _ _ _ _ .
21．（12分）已知是等腰直角三角形， ，点是所在平面内任意一点，绕点逆时针旋转 得到，连接，，.
（1） 如图①，若点为内一点，求证：；
（2） 如图②，若点为边上一点，，，求的长.
2，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，过点作的垂线交射线于点.
（1） 如图①，当点在射线上时，求证：是的中点；
（2） 如图②，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明.
23．（12分）综合与实践：
【问题情境】在数学实践课上，老师让小组合作探究两个完全相同的含 角的三角板拼图间存在的关系.
如图，已知， ， ，.
【操作探究】
（1） 如图①，当点，，在同一条直线上时，直线与直线的位置关系是_ _ ；
（2） 如图②，将图①中的三角板绕点顺时针旋转 ，边与边交于点，请判断此时与的位置关系及的形状，并说明理由；
（3） 如图③，将图①中的三角板绕着点顺时针旋转，边与边交于点，当是以为腰的等腰三角形时，求的长.
第四章综合素质评价
一、选择题（每题3分，共30分）
1．[［2024·淄博］]下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2．如图，将沿方向平移，得到.若，，则的长为（ ）
（第2题）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
3．如果点在第二象限，那么点关于原点的对称点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
4．如图所示，在中， ，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接.当点，，在同一直线上时，旋转角的度数是（ ）
（第4题）
A. B. C. D.
【答案】A
5．如图，将绕点顺时针旋转 得到，则点的坐标是（ ）
（第5题）
A. B. C. D.
【答案】B
6．如图，将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，点旋转后的对应点恰好在直线上，则下列结论不正确的是（ ）
（第6题）
A. B. C. D.
【答案】A
【点拨】 将绕点逆时针旋转，旋转角为，得到，.又 点旋转后的对应点恰好在直线上，
，故选项正确；是的外角，，故选项不正确；为旋转角， ，故选项正确；， ， ，故选项正确．故选.
7．如图，将线段先向左平移，使点与原点重合，再将所得到的线段绕原点旋转 得到线段，则点的对应点的坐标是（ ）
（第7题）
A. B. C. D.
【答案】A
8．如图，已知四边形是由四边形平移得到的，若，，则的长可能是（ ）
（第8题）
A. 3 B. 5 C. 8 D. 11
【答案】C
【点拨】连接.
四边形是由四边形平移得到的，，，
，，
，即.故选.
9．在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于点，，将线段绕点沿顺时针方向旋转 得到线段，则点的坐标为（ ）
（第9题）
A. B. C. D.
【答案】A
【点拨】作于.
将代入，得，.
将代入，得，.
由旋转的性质可知, ,
.
又 ，.
在和中，
，，.故选．
10．如图，长方形的顶点，分别在轴、轴上，，，将长方形绕点顺时针旋转，每次都旋转 ，则第2 025次旋转结束时，点的坐标为（ ）
（第10题）
A. B. C. D.
【答案】A
【点拨】如图，过点作轴于点，连接，则 .
， ，
.
又 ，
，
，.
，
在中，，
，，.
长方形绕点顺时针旋转，每次都旋转 ，
第1次旋转结束时，点的坐标为；
第2次旋转结束时，点的坐标为；
第3次旋转结束时，点的坐标为；
第4次旋转结束时，点的坐标为；….
发现规律：点的坐标每4次为一个循环.
，
第2 025次旋转结束时，点的坐标为.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．[［2024·江西］]在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
12．如图①，教室里有一个倒地的装垃圾的灰斗，与地面的夹角为 ， ，小贤同学将它扶起平放在地面上（如图②），则灰斗柄绕点转动的角度为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第12题）
【答案】
13．麒麟水乡景区是国家级景区,是集田园风光和水乡风情为一体的旅游景区，盛夏的麒麟水乡秀丽端庄，千亩荷花在微风中飘曳，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，景区工作人员拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥.若荷塘的周长为，且桥宽忽略不计，则小桥总长为_ _ _ _ _ _ .
（第13题）
【答案】
14．如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设黑色部分的面积为，正方形的边长为2，则_ _ _ _ _ _ .
（第14题）
【答案】
15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限内，将沿轴正方向平移得到，若点的对应点在直线上，则点与其对应点之间的距离为_ _ _ _ .
（第15题）
【答案】5
【点拨】设点与其对应点之间的距离为，则沿轴正方向平移个单位长度得到 点的坐标为，
点的对应点的坐标为.又 点在直线上，
，解得，即点与其对应点之间的距离为5.
16．如图，在中， ，，，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接，则的最小值是_ _ _ _ _ _ .
（第16题）
【答案】
【点拨】如图，在上截取，连接，过点作于点,连接.
是等腰直角三角形，
，.
又，
.
由旋转得， ，
.
，
.
.
又 ，
，
，，
，
即，
即为等腰直角三角形. .
又 点为定点， 点在射线上运动.
过点作于点，
当点与点重合时，最小，即为的长.
易得，的最小值是.
三、解答题（共72分）
17．（8分）如图，已知的顶点,,.若向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，且点，，的对应点分别是，，.
（1） 画出，并直接写出点的坐标；
（2） 若内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标.
【答案】
（1） 【解】如图，即为所求，点的坐标为.
（2） 点的坐标为.
18．（8分）如图，在直角三角形中， , ，将三角形沿方向平移得到三角形.
（1） 求的度数;
（2） 若,，求的长.
【答案】（1） 【解】 在中， ， ， ， 由平移的性质，得 .
（2） 由平移的性质，得，，，．
19．（8分）如图，将边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成符合要求的四边形，请在下列网格中画出你拼成的四边形（注：①网格中每个小正方形的边长为1；②所拼的图形不得与原图形相同；③四边形的各顶点都在格点上）.
【解】如图所示（答案不唯一）.
20．[［2025·济南月考］]（12分）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）.
（1） 若和关于原点成中心对称，画出；
（2） 将绕点顺时针旋转 ，画出旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3） 若在轴上存在一点，满足点到点与点的距离之和最小，请写出的最小值为 _ _ _ _ _ _ .
【答案】
（1） 【解】如图所示，即为所求.
（2） 如图所示，即为所求，.
（3）
【解析】
（3） 【点拨】如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，，．
21．（12分）已知是等腰直角三角形， ，点是所在平面内任意一点，绕点逆时针旋转 得到，连接，，.
（1） 如图①，若点为内一点，求证：；
（2） 如图②，若点为边上一点，，，求的长.
【答案】
（1） 【证明】是等腰直角三角形， ，.
绕点逆时针旋转 得到，，，，即.
在和中，，.
（2） 【解】是等腰直角三角形， ， .
同（1）易证， ，，
.
在中，由勾股定理，得，，.
22．[［2024·北京］]（12分）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，过点作的垂线交射线于点.
（1） 如图①，当点在射线上时，求证：是的中点；
（2） 如图②，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明.
【答案】
（1） 【证明】如图①，连接，
①
由题意，得， ，
.
，
.
又 ，
，.
， ，
.
是的中点.
（2） 【解】，证明如下：
如图②，在射线上取点，连接，使得，取的中点，连接，，
②
， ，
.
.
又，，
， ，
.
， ， .
是的中点，，，
， ，，.
又，，．
23．（12分）综合与实践：
【问题情境】在数学实践课上，老师让小组合作探究两个完全相同的含 角的三角板拼图间存在的关系.
如图，已知， ， ，.
【操作探究】
（1） 如图①，当点，，在同一条直线上时，直线与直线的位置关系是_ _ ；
（2） 如图②，将图①中的三角板绕点顺时针旋转 ，边与边交于点，请判断此时与的位置关系及的形状，并说明理由；
（3） 如图③，将图①中的三角板绕着点顺时针旋转，边与边交于点，当是以为腰的等腰三角形时，求的长.
【答案】（1） 垂直
（2） 【解】，是等边三角形，理由：由旋转的性质得 .
又 ， .
又 ，，.
， .
， .
， ，
，是等边三角形.
（3） 在中， ， ，，.
当是以为腰的等腰三角形时，分以下两种情况：当时，
易知，.
当时，则，，
，.综上，的长为或4.
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