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(共28张PPT)
第二章 二次函数
2.3 确定二次函数的表达式
1.用一般式(三点式)确定二次函数表达式
2.用顶点式确定二次函数表达式
3.用交点式确定二次函数表达式（重点、难点）
学习目标
新课导入
1. 一次函数的表达式是什么 如何求出它的表达式
一次函数的表达式y=kx+b,只需知道一次函数图象上
两个点的坐标,利用待定系数法求出系数k、b.
2. 已知二次函数图象上的几个点的坐标,可以求出这个
二次函数的表达式
新课讲解
求二次函数y=ax2+bx+c的表达式,关键是求出a、b、
c的值.由已知条件(如二次函数图象上的三个点的坐标)
可以列出关于a、b、c的三元一次方程组,求出三个待定
系数a、b、c就可以写出二次函数的表达式.
新课讲解
例
如图 26.2-20， 抛 物 线 y=ax2+bx+c 经 过 A（ -1，0），B（ 0， -3）， C（3，0）三点 .
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）若该抛物线的顶点为 D，求 sin ∠ BOD的值 .
新课讲解
(1) ∵抛物线经过 A（ -1， 0）， B（ 0， -3）， C（ 3， 0）三点，∴将 A， B， C 三点的坐标代入 y=ax2+bx+c 中，得
解：
∴该抛物线对应的函数表达式为 y=x2-2x-3.
新课讲解
(2) ∵ y=x2-2x-3=（ x-1） 2-4，
∴抛物线的顶点坐标为（ 1， -4） .
如图 26.2-20，过点 D 作 DH ⊥ y 轴于点 H.
在 Rt △ ODH 中，∵ DH=1， OH=4，
∴由勾股定理，得
∴sin∠ BOD=
新课讲解
已知抛物线的顶点坐标、对称轴或函数的最值时，
通常运用顶点式y＝a(x－h)2＋k来确定二次函数的表
达式；
新课讲解
例
已知一个二次函数图象的顶点坐标为
且经过点(－2，0)．求该二次函数的表达式．
由于已知顶点坐标为 故可设顶点式
y＝a(x－h)2＋k，从而代入得y＝a(x－1)2－
再将(－2，0)代入求出a的值．
分析：
新课讲解
设二次函数的表达式为y＝a(x－h)2＋k.
∵顶点坐标为
∴y＝a(x－1)2－
把(－2，0)代入得：0＝a·(－2－1)2－
解得a＝
∴该二次函数的表达式为y＝ (x－1)2－
即y＝ x2－x－4.
解：
新课讲解
在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问
题时，使用交点式较为方便。设函数表达式为y=a(x-
x1)(x-x2) ，找到函数图象与x轴的两个交点，分别记横
坐标为x1和x2,代入公式，再有一个在抛物线上的点的坐
标，即可求出a的值.
新课讲解
例
已知抛物线与 x 轴的交点是 A（ -2，0）， B（1， 0） ，且抛物线经过点 C（2，8） . 求该抛物线对应的函数表达式 .
紧扣交点式的函数表达式以及需要的条件，利用待定系数法求函数表达式 .
分析：
新课讲解
∵抛物线与 x 轴的交点是 A（ -2， 0）， B（ 1， 0），
∴可设抛物线对应的函数表达式为 y=a（ x+2）（ x-1） .
又∵抛物线经过点 C（ 2， 8），
∴把点 C 的坐标代入 y=a（ x+2）（ x-1）中，得 8=a（ 2+2）×（ 2-1），
∴ a=2.
∴抛物线对应的函数表达式为 y=2（ x+2）（ x-1），即 y=2x2+2x-4.
解：
课堂小结
设
列
解
答
步骤
类型
一般式（三点式）
顶点式
交点式
待定系数法求二次函数表达式
当堂小练
已知：二次函数的图像的对称轴为直线x= –3，并且函数有最大值为5，图像经过点(–1,–3)，求这个函数的解析式。
解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是（－3，5），
所以设y=a(x+3) ＋5
又抛物线经过点（－1，－3），得
－3=a(－1+3) ＋5
∴a=－2
∴所求的函数解析式为y= –2(x+3) ＋5
即y= –2x –12x–13
拓展与延伸
一个二次函数的图象过点（0,1）,它的顶点坐标是（8,9）,求这个二次函数的关系式。
因为它的图象过点（0,1）,
所以1=a（0-8）2+9.
解得
所以所求函数关系式为
解：设函数关系式为y=a（x-8）2-9.
1．(人教9上P42改编、北师9下P42改编)已知抛物线过点A(0，3)，B(1，4)，C(2，7)，求这个抛物线的解析式．
解：设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
根据题意得，解得，
所以抛物线的解析式为y＝x2＋3．
课后练习
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标是(2，1)，且经过点(1，－2)，求这个二次函数的解析式．
解：设二次函数的解析式为y＝a(x－2)2＋1，
把点(1，－2)代入解析式，解得a＝－3，
∴二次函数解析式为y＝－3(x－2)2＋1＝－3x2＋12x－11．
3．已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(－3，0)，(1，0)，且与y轴的交点坐标为(0，－3)，求这个二次函数的解析式．
解：设二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，
把(0，－3)代入得a·3·(－1)＝－3，
解得a＝1，
所以二次函数的解析式为y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3．
4．【例1】(人教9上P42改编、北师9下P45改编)已知二次函数的图象过三个点(0，－3)，(1，0)，(2，5)，求这个二次函数的解析式．
解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
根据题意得，解得，
所以二次函数的解析式为y＝x2＋2x－3．
5．【例2】(北师9下P43改编)如图是某抛物线的图象，其中点A为顶点，点B为图象与y轴的交点，求点
A，B的坐标及该抛物线的解析式．
解：由图象得点A(2，－4)，
点B(0，4)，设抛物线的解析式为
y＝a(x－2)2－4，
把点B(0，4)代入解析式，解得a＝2，∴抛物线的解析式为y＝2(x－2)2－4＝2x2－8x＋4．
6．(2024咸阳一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，－3)，求抛物线的解析式．
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)，
B(3，0)，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，
∵抛物线与y轴相交于点C(0，－3)，
∴把(0，－3)代入得a(0＋1)(0－3)＝－3，解得a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3．
7．已知二次函数的图象过三个点A(0，－1)，B(1，0)，C(－1，2)，求这个二次函数的解析式．
解：设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则，解得，
故这个二次函数的解析式为y＝2x2－x－1．
8．已知抛物线的图象过坐标原点，且顶点坐标是(1，－2)，求这个抛物线的解析式．
解：设这个抛物线的解析式为y＝a(x－1)2－2，
∵抛物线的图象过坐标原点，
∴0＝a(0－1)2－2，解得a＝2，
故这个抛物线的解析式为y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x．
★9． 0.50 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴相交于点C(0，2)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)判定△ABC的形状．
解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－4)，
把(0，2)代入得a·1·(－4)＝2，解得a＝－，
∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－4)＝－x2＋x＋2．
(2)点A，B，C的坐标分别为(－1，0)，(4，0)，(0，2)，
则AC＝，BC＝2，AB＝5，
有AB2＝AC2＋BC2，
∴△ABC为直角三角形．
请完成课本本节对应习题
布置作业
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