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[板块专题题库5-3-2]质数与合数（二）
1．如果都是质数，并且，则的最小值是　 　
2．（2022六上·竞赛）两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少。
3．将1999表示为两年质数之和：1999=+，在中填入质数。共有多少种表示法
4．（2022六上·竞赛）A，B，C为3个小于20的质数，，求这三个质数。
5．（2022.10.29·渝一） 把100分拆成三个质数（只能被1和它本身整除且大于1的自然数叫做质数）的和，共有　 　种方法．
6．（2022六上·竞赛）已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？
7．（2022六上·竞赛）7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？
8．（2022六上·竞赛）如果a，b均为质数，且，则a+b=　 　。
9．如果a，b均为质数，且3a＋7b＝55，则a＋b＝　 　。
10．（2022六上·竞赛）已知P，Q都是质数，并且，则P×Q=　 　。
11．都是质数，如果，那么　 　。
12．（2022六上·竞赛）三个质数△、□、○，如果□△1，△□○，那么△是多少？
13．（2023.12.07·育才）a，b，c都是质数，并且，，，那么　 　。
14．（2022六上·竞赛）已知P是质数，也是质数，求是多少？
15．当p和 +5都是质数时，+5=　 　。
16．（2022六上·竞赛）P是质数，，，都是质数。求P是多少？
17．（2022六上·竞赛）4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油．每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13。已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？
18．三个数都是质数，它们的倒数和的倒数是　 　。
19．（2022六上·竞赛）用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法。请将所有方法都列出来。
20．如果一些不同质数的平均数为21，那么它们中最大的一个数的最大可能值为　 　 ．
21．（2023.7.9·科学城巴蜀） 已知n， n+6， n+84， n+102， n+218都是质数， 那么n=　 　。
22．（2022六上·竞赛）将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？
23．将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？
24．（2022六上·竞赛）将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？
25．（2022六上·竞赛）甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是13，甲比乙大13岁，那么乙今年多大？
26．三位数满足：它的所有质因数之和是。这样的三位数有　 　个。
27．从20以内的质数中选出6个数，写在一个正方体的六个面上，使两个相对面的和都相等，所选的6个数是　 　
28．（2023.7.14·金溪八中）已知n个自然数之积是2007，这n个自然数之和也是2007，那么n的值最大是　 　。
答案解析部分
1．【答案】2
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【解答】解：根据质数的定义，可得
最小的质数是2。
然而，2是一个偶数，而除了2以外的所有质数都是奇数。
因此，如果想要找到满足a - b = c的质数c，那么c必须是偶数，也就是说c必须是2。
经过尝试，发现当a = 5和b = 3时，满足a - b=2的条件。
因此，满足题目条件的最小的质数c，即c=2。
故答案为：2
【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。然后，根据题目中给出的条件a - b = c，找出满足这个条件的最小的质数c，即可求解
2．【答案】解：2+37=39，2×37=74；
因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是 2 ，另一个是 37 ，乘积为 74 。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】是质数同时也是偶数的数只有2，据此解答。
3．【答案】解：根据质数的性质，质数中除了2以外都是奇数。
因此，要将1999表示为两个质数之和，其中一个质数必须是2，另一个质数为1999减去2的结果，即1997。
质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
用小于1997的所有质数去除1997，如果都不能整除，则1997为质数。
经过验证，发现1997不能被小于它本身的所有质数整除，因此1997是质数。
根据前面的分析和验证，可以得出结论：将1999表示为两个质数之和，只有一种表示方法，即
1999=2+1997。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】由于1999是奇数，要将其表示为两个质数之和，根据质数中只有2是偶数的特点，其中一个质数必定是2，而另一个质数则为1999减去2的结果，即1997。最后，需要验证1997是否为质数。
4．【答案】解：因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是 2 ，另两个奇质数之和为 28 ，又因为这三个数都要小于 20 ，所以只能为 11 和 17 ，所以这三个质数分别是 2 ， 11 ， 17 。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；
不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；
20以内的质数共有8个，分别是2、3、5、7、11、13、17、19；是偶数的质数只有数字2。
5．【答案】3
【知识点】奇数和偶数；合数与质数的特征
【解析】【解答】解：100-2=98
相加和是98的两个质数有：61+37、67+31、19+79；
所以共有3种方法；
故答案为：3。
【分析】质数中除了2以外的数都是奇数，三个指数的和是100，根据奇+偶=奇，奇+奇=偶，可知这三个质数中一定有2，据此再推理出另外两个质数即可解答。
6．【答案】解：最小的合数是4，42=16。奇数与奇数的和是偶数，奇数与偶数的和是奇数，所以这3个质数中必然是一奇数两偶数，偶数是2，那么其余2个的和是14，只能一个是3一个是11，因此这3个质数的乘积是2×3×11=66。
答：这3个质数的乘积是66。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；是偶数的质数只有数字2。
7．【答案】解：因为7个质数的和是偶数，所以这7个质数不可能都是奇数。
偶数的质数只有2，因此这7个质数中必有一个是2；
又因为2是最小的质数，并且这7个连续质数是从大到小排列的；
所以 g=2，其他6个数从大到小依次是17、13、11、7、5、3，这样 d=7 。
【知识点】奇数和偶数；合数与质数的特征
【解析】【分析】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
8．【答案】7
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【解答】解：和是奇数，说明a、b一个奇数一个偶数，是质数同时还是偶数的数只有2；
当a=2时，b=（41-3×2）÷7=36÷7=5；
a+b=2+5=7。
故答案为：7。
【分析】能被2整除的数是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。
9．【答案】9
【知识点】互质数的特征；列方程解含有一个未知数的应用题
【解析】【解答】由于a、b都是质数，因此可以从最小的质数2开始尝试。
假设a=2，代入方程得3×2+7b=55，即7b=49，解得b=7。
由于2和7都是质数，因此a=2，b=7是方程3a+7b=55的一个解。
所以，a+b=9
故答案为：9
【分析】根据质数的定义：除了1和它本身外，没有其他因数的自然数。根据给定的代数方程3a+7b=55，找到满足该方程且a、b均为质数的解，求出a+b的值。
10．【答案】398
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【解答】解：通过观察发现题目中有2个未知数，但是都是质数，从结果上看2003是一个奇数，那么前面2个乘积必须为1个奇数1个偶数，那么P和Q中必须有一个是2才可以。由大小关系可以发现只能Q是2，解出P=199，P×Q=398。
故答案为：398。
【分析】本题考查质数与数字奇偶性的结合。不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。
11．【答案】7
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【解答】解：由于342是2的倍数，不是4的倍数，所以a+b与b+c为一奇一偶，则a或者c为质数2
令a=2，而342=2×3×3×19，则a+b=9或者a+b=3×19=57或者a+b=9×19=171，
对应的b为7或者55或者169，只有7是质数，所以b=7。
故答案为：7
【分析】对给定的数342进行质因数分解，得到其质因数分解的结果。然后，根据题目条件，因为a、b、c都是质数，并且(a+b)与(b+c)的乘积等于342。通过分析质因数分解的结果，即可推断出a、b、c的具体值。
12．【答案】解：除了2以外的质数都是奇数，这样的两个奇数相加必然得偶数不成立，所以△、□必有一个偶质数2，
又因为□ ＞ △ ＞ 1，所以△ 是 2。
答：△是2。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。
13．【答案】689
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【解答】解：a+b=33，且a、b都是质数，则a和b其中一个是奇数，另一个是偶数，而2是唯一的偶质数，则a=2，b=33-2=31
b+c=44，则c=44-31=13，c+d=66，则d=66-13=53，那么c×d=13×53=689
故答案为：689
【分析】a+b=33，且a、b都是质数，则a和b其中一个是奇数，另一个是偶数，而2是唯一的偶质数，则a=2，b=33-2=31，b+c=44，则c=44-31=13，c+d=66，则d=66-13=53，再根据c和d的值写出c×d的积即可。
14．【答案】解： p 是质数， 必定是合数，而且大于1，又由于 +1 是质数， 大于1， +1 一定是奇质数，则 一定是偶数。
所以 p 必定是偶质数，即 p=2 ，
+1997= +1997=32+1997=2029。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；是偶数的质数只有数字2。
15．【答案】37
【知识点】奇数和偶数；合数与质数的特征
【解析】【解答】解：由于质数中除了2都是奇数，若p为奇质数，则p3为奇数，此时p3+5为偶数（奇+奇=偶），而偶数中只有2是质数。因此p3+5=2无解，故p只能是偶质数2。
当p=2时，p3+5=8+5=13，13是质数，满足条件。
将p=2代入表达式得：25+5=32+5=37。
故答案为：37
【分析】首先，根据题目条件，知道p和p3+5都是质数，分析p的取值，由于p和p^3+5的奇偶性不同，推断出p只能是偶数，且由于p是质数，所以p只能等于2。接着，验证当p=2时，p3+5是否也为质数。最后，计算p5+5的值，得出答案。
16．【答案】解：由题意知 p 是一个奇数，因为 10÷3=3......1，14÷3=4......2 ，所以 p 是3的倍数，所以 p=3。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】本题也可以从最小的质数开始分析；
把p=2代入得到的12、16、102都不是质数，所以p不等于2；
把p=3代入得到 的13、17、103都是质数，所以p等于3。
17．【答案】解：由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（连瓶）共重（8+9+10+11+12+13）÷3=21 （千克）
而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于2是唯一的偶质数，只有两种可能：
（1） 油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重 千克，最重的两瓶内的油为 （千克），
（2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重 千克，最重的两瓶内的油为 （千克），这与油重之和 2千克矛盾。
因此最重的两瓶内共有 12 千克油。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】因为每瓶油都称3次，所以4瓶油的质量之和是3的倍数，经过计算，4瓶油（连瓶）计算得出的结果是合数，而且4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于2是唯一的偶质数，只有两种可能：
第一种： 油重之和为19千克，瓶重之和为2千克；
第二种：油重之和为2千克，瓶重之和为19千克。
然后得到两种情况下最重的两瓶内油的重量。
18．【答案】
【知识点】互质数的特征；倒数的认识
【解析】【解答】解：P与P+1和+2奇偶性不同，所以P只能是2，另外两个是3和5，所以它们的倒数和的倒数是
故答案为：
【分析】三个连续数p、p+1、p+3均为质数时，它们倒数之和的倒数。由于质数除2外均为奇数，需通过奇偶性分析确定p的值，进而计算倒数和的倒数。
19．【答案】解：因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2，又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数，另4个质数分别以1，3，7，9为个位数。6个质数可以是：{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5，7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}。即共有10种不同的方法。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。除了2以外，质数都是奇数。
20．【答案】89
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【解答】解：小于21的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，2+3+5+7+11+13+17+19=77，
所求的数最大，那么就尽量多的使用这8个小于21的质数，所有与21的差，都补给最大的那个数，
总和为：21×9=189，189﹣77=112，不是质数，
考虑从这8个里面去掉一个，这样总和就是21×8=168，168﹣77=91，
91加上原来8个数中的某个，都不是质数，那就考虑再去掉一个，总和21×7=147，147﹣77=70，
70加上原来8个数中的2个，既然为质数，又不可能是2，那么得到的质数一定是奇数，需要加上的2个，必然有一个是2，
70+2=72，72+19=91，不是质数，
72+17=89，是质数，那么满足要求的最大质数就是89，验证可知成立：3+5+7+11+13+17+23+89=168=21×8．
故答案为：89．
【分析】首先列出比21小的质数，A={2，3，5，7，11，13，17，19}，要想使最大的质数最大，那么就要用尽量多A中的数，而尽量少的用A以外的质数，首先说明不可能含2，否则21×N=（N﹣1）个奇数+2，验证下无论N为奇数偶数等式都不能成立，3+5+7+11+13+17+19=75，21×7﹣75=72，其他所有质数都比21大，这意味着其他数﹣21≤72，即最大数≤93，小于93的最大质数是89，验证可知成立：3+5+7+11+13+17+23+89=168=21×8．
21．【答案】5
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【解答】解：当n=2时，n+6=8，不是质数；
当n=3时，n+6=9，也不是质数；
当n=5时，n+6=11，n+84=89，n+102=107，n+218=223，都是质数。
所以，n=5是正确的答案。
故答案为：5
【分析】从最小的质数2考虑，因为n为偶数，且n的个位不能为1、3、7、9，所以n只能是5。然后，通过验证，我们可以确定n=5。
22．【答案】解：最大的质数必大于5，
60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2
所以其中最大的质数是7。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】60÷10=6，而且要求最大的质数尽可能小，所以最大的质数必大于5，那么可以用7先加，即60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2，所以最大的质数是7。
23．【答案】解：因为50=2×8+3+31，
所以这个最大的质数是31；
答：这个最大的质数是31．
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】因为若使其中一个质数最大，那么其余的9个质数应最小，2是最小的质数，但当9个都是2时另一个数是32，又不符合题意，只能让一个是相对小的质数3，故可得出结论．
24．【答案】解：37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17
共有10种不同的拆法，其中3×5×29=435最小。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】本题可采用枚举法。枚举法的特征：
⒈数不大，种类比较少；
⒉没有规律，不能用排列组合等方法；
⒊能有方法做的时候建议不采用枚举的方法。
25．【答案】解：个位与十位数字之和为13，那么这样的质数在两位数中只有67，三位数中为167，再继续则不符合常理，所以甲乙年龄有可能分别为40，27岁，或者90，77岁，所以乙的年龄可能为27岁或77岁。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】13=4+9=5+8=6+7，因为这个数是质数，所以这个数是67或167，然后根据甲比乙大13岁得到甲和乙的年龄。
26．【答案】13
【知识点】枚举法；合数与质数的特征
【解析】【解答】解：26以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23。
两质因数组合：
3+23=26：可能的数为3×23=69（非三位数）、32×23=207、33×23=207×3=621；但207是三位数，621也是三位数，共2个；
7+19=26：可能的数为7×19=133（三位数），72×19=833；共2个；
三质因数组合：
2+5+19=26：可能的数为2×5×19=190，190×2=380，190×4=760，190×5=950；共4个；
2+7+17=26：可能的数为2×7×17=238，238×2=476，238×4=952；共3个；
2+11+13=26：可能的数为2×11×13=286，286×2=572；共2个；
四质因数组合：
如3+5+7+11=26，但26无法拆分为四个不同质数之和。
两质因数组合：2+2=4个；
三质因数组合：4+3+2=9个；
四质因数组合：0个；
总共有4+9=13个。
故答案为：13
【分析】列举26以内的质数，然后将这些质数拆分成不同个数的组合，再根据组合构造出对应的三位数，并排除重复或不符合条件的情况，最后统计总数，即可求解
27．【答案】5，7，11，13，17，19.
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【解答】解：由于这7个数的和为3+5+7+11+13+17+19=75，是3的倍数，而选出的6个数之和也是3的倍数，所以被剔除的那个数也是3的倍数，只能是3.所以选出的6个数是：5，7，11，13，17，19。
故答案为：5，7，11，13，17，19
【分析】20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19。显然2不能入选，否则会出现有的和为奇数，有的和为偶数的情况，那么还剩下3，5，7，11，13，17，19这7个数。从中选择6个，相当于从中剔除1个。也就是从7个数的和里面减去1个，剩下的和是3的倍数。
28．【答案】1781
【知识点】分解质因数
【解析】【解答】解：2007=3×3×223，
要使和为2007，且积仍为2007，我们想到了乘1，
即 2007=3×3×223×1×1×…×1，
由于2007-（3+3+223）=1778，
即乘上1778个1满足条件，此时有，
n的最大值是1778+3=1781。
故答案为：1781。
【分析】解答此题关键是将合数分解质因数，并根据质因数情况和题目要求确定还得乘多少个1；
把一个合数分解成若干个质数的乘积的形式，叫做分解质因数。
1 / 1[板块专题题库5-3-2]质数与合数（二）
1．如果都是质数，并且，则的最小值是　 　
【答案】2
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【解答】解：根据质数的定义，可得
最小的质数是2。
然而，2是一个偶数，而除了2以外的所有质数都是奇数。
因此，如果想要找到满足a - b = c的质数c，那么c必须是偶数，也就是说c必须是2。
经过尝试，发现当a = 5和b = 3时，满足a - b=2的条件。
因此，满足题目条件的最小的质数c，即c=2。
故答案为：2
【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。然后，根据题目中给出的条件a - b = c，找出满足这个条件的最小的质数c，即可求解
2．（2022六上·竞赛）两个质数之和为39，求这两个质数的乘积是多少。
【答案】解：2+37=39，2×37=74；
因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是 2 ，另一个是 37 ，乘积为 74 。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】是质数同时也是偶数的数只有2，据此解答。
3．将1999表示为两年质数之和：1999=+，在中填入质数。共有多少种表示法
【答案】解：根据质数的性质，质数中除了2以外都是奇数。
因此，要将1999表示为两个质数之和，其中一个质数必须是2，另一个质数为1999减去2的结果，即1997。
质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
用小于1997的所有质数去除1997，如果都不能整除，则1997为质数。
经过验证，发现1997不能被小于它本身的所有质数整除，因此1997是质数。
根据前面的分析和验证，可以得出结论：将1999表示为两个质数之和，只有一种表示方法，即
1999=2+1997。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】由于1999是奇数，要将其表示为两个质数之和，根据质数中只有2是偶数的特点，其中一个质数必定是2，而另一个质数则为1999减去2的结果，即1997。最后，需要验证1997是否为质数。
4．（2022六上·竞赛）A，B，C为3个小于20的质数，，求这三个质数。
【答案】解：因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是 2 ，另两个奇质数之和为 28 ，又因为这三个数都要小于 20 ，所以只能为 11 和 17 ，所以这三个质数分别是 2 ， 11 ， 17 。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；
不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；
20以内的质数共有8个，分别是2、3、5、7、11、13、17、19；是偶数的质数只有数字2。
5．（2022.10.29·渝一） 把100分拆成三个质数（只能被1和它本身整除且大于1的自然数叫做质数）的和，共有　 　种方法．
【答案】3
【知识点】奇数和偶数；合数与质数的特征
【解析】【解答】解：100-2=98
相加和是98的两个质数有：61+37、67+31、19+79；
所以共有3种方法；
故答案为：3。
【分析】质数中除了2以外的数都是奇数，三个指数的和是100，根据奇+偶=奇，奇+奇=偶，可知这三个质数中一定有2，据此再推理出另外两个质数即可解答。
6．（2022六上·竞赛）已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？
【答案】解：最小的合数是4，42=16。奇数与奇数的和是偶数，奇数与偶数的和是奇数，所以这3个质数中必然是一奇数两偶数，偶数是2，那么其余2个的和是14，只能一个是3一个是11，因此这3个质数的乘积是2×3×11=66。
答：这3个质数的乘积是66。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；是偶数的质数只有数字2。
7．（2022六上·竞赛）7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？
【答案】解：因为7个质数的和是偶数，所以这7个质数不可能都是奇数。
偶数的质数只有2，因此这7个质数中必有一个是2；
又因为2是最小的质数，并且这7个连续质数是从大到小排列的；
所以 g=2，其他6个数从大到小依次是17、13、11、7、5、3，这样 d=7 。
【知识点】奇数和偶数；合数与质数的特征
【解析】【分析】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
8．（2022六上·竞赛）如果a，b均为质数，且，则a+b=　 　。
【答案】7
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【解答】解：和是奇数，说明a、b一个奇数一个偶数，是质数同时还是偶数的数只有2；
当a=2时，b=（41-3×2）÷7=36÷7=5；
a+b=2+5=7。
故答案为：7。
【分析】能被2整除的数是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。
9．如果a，b均为质数，且3a＋7b＝55，则a＋b＝　 　。
【答案】9
【知识点】互质数的特征；列方程解含有一个未知数的应用题
【解析】【解答】由于a、b都是质数，因此可以从最小的质数2开始尝试。
假设a=2，代入方程得3×2+7b=55，即7b=49，解得b=7。
由于2和7都是质数，因此a=2，b=7是方程3a+7b=55的一个解。
所以，a+b=9
故答案为：9
【分析】根据质数的定义：除了1和它本身外，没有其他因数的自然数。根据给定的代数方程3a+7b=55，找到满足该方程且a、b均为质数的解，求出a+b的值。
10．（2022六上·竞赛）已知P，Q都是质数，并且，则P×Q=　 　。
【答案】398
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【解答】解：通过观察发现题目中有2个未知数，但是都是质数，从结果上看2003是一个奇数，那么前面2个乘积必须为1个奇数1个偶数，那么P和Q中必须有一个是2才可以。由大小关系可以发现只能Q是2，解出P=199，P×Q=398。
故答案为：398。
【分析】本题考查质数与数字奇偶性的结合。不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。
11．都是质数，如果，那么　 　。
【答案】7
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【解答】解：由于342是2的倍数，不是4的倍数，所以a+b与b+c为一奇一偶，则a或者c为质数2
令a=2，而342=2×3×3×19，则a+b=9或者a+b=3×19=57或者a+b=9×19=171，
对应的b为7或者55或者169，只有7是质数，所以b=7。
故答案为：7
【分析】对给定的数342进行质因数分解，得到其质因数分解的结果。然后，根据题目条件，因为a、b、c都是质数，并且(a+b)与(b+c)的乘积等于342。通过分析质因数分解的结果，即可推断出a、b、c的具体值。
12．（2022六上·竞赛）三个质数△、□、○，如果□△1，△□○，那么△是多少？
【答案】解：除了2以外的质数都是奇数，这样的两个奇数相加必然得偶数不成立，所以△、□必有一个偶质数2，
又因为□ ＞ △ ＞ 1，所以△ 是 2。
答：△是2。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。
13．（2023.12.07·育才）a，b，c都是质数，并且，，，那么　 　。
【答案】689
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【解答】解：a+b=33，且a、b都是质数，则a和b其中一个是奇数，另一个是偶数，而2是唯一的偶质数，则a=2，b=33-2=31
b+c=44，则c=44-31=13，c+d=66，则d=66-13=53，那么c×d=13×53=689
故答案为：689
【分析】a+b=33，且a、b都是质数，则a和b其中一个是奇数，另一个是偶数，而2是唯一的偶质数，则a=2，b=33-2=31，b+c=44，则c=44-31=13，c+d=66，则d=66-13=53，再根据c和d的值写出c×d的积即可。
14．（2022六上·竞赛）已知P是质数，也是质数，求是多少？
【答案】解： p 是质数， 必定是合数，而且大于1，又由于 +1 是质数， 大于1， +1 一定是奇质数，则 一定是偶数。
所以 p 必定是偶质数，即 p=2 ，
+1997= +1997=32+1997=2029。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；是偶数的质数只有数字2。
15．当p和 +5都是质数时，+5=　 　。
【答案】37
【知识点】奇数和偶数；合数与质数的特征
【解析】【解答】解：由于质数中除了2都是奇数，若p为奇质数，则p3为奇数，此时p3+5为偶数（奇+奇=偶），而偶数中只有2是质数。因此p3+5=2无解，故p只能是偶质数2。
当p=2时，p3+5=8+5=13，13是质数，满足条件。
将p=2代入表达式得：25+5=32+5=37。
故答案为：37
【分析】首先，根据题目条件，知道p和p3+5都是质数，分析p的取值，由于p和p^3+5的奇偶性不同，推断出p只能是偶数，且由于p是质数，所以p只能等于2。接着，验证当p=2时，p3+5是否也为质数。最后，计算p5+5的值，得出答案。
16．（2022六上·竞赛）P是质数，，，都是质数。求P是多少？
【答案】解：由题意知 p 是一个奇数，因为 10÷3=3......1，14÷3=4......2 ，所以 p 是3的倍数，所以 p=3。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】本题也可以从最小的质数开始分析；
把p=2代入得到的12、16、102都不是质数，所以p不等于2；
把p=3代入得到 的13、17、103都是质数，所以p等于3。
17．（2022六上·竞赛）4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油．每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8，9，10，11，12，13。已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？
【答案】解：由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是4瓶油（连瓶）重量之和的3倍，即4瓶油（连瓶）共重（8+9+10+11+12+13）÷3=21 （千克）
而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于2是唯一的偶质数，只有两种可能：
（1） 油重之和为19千克，瓶重之和为2千克，每只瓶重 千克，最重的两瓶内的油为 （千克），
（2）油重之和为2千克，瓶重之和为19千克，每只瓶重 千克，最重的两瓶内的油为 （千克），这与油重之和 2千克矛盾。
因此最重的两瓶内共有 12 千克油。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】因为每瓶油都称3次，所以4瓶油的质量之和是3的倍数，经过计算，4瓶油（连瓶）计算得出的结果是合数，而且4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于2是唯一的偶质数，只有两种可能：
第一种： 油重之和为19千克，瓶重之和为2千克；
第二种：油重之和为2千克，瓶重之和为19千克。
然后得到两种情况下最重的两瓶内油的重量。
18．三个数都是质数，它们的倒数和的倒数是　 　。
【答案】
【知识点】互质数的特征；倒数的认识
【解析】【解答】解：P与P+1和+2奇偶性不同，所以P只能是2，另外两个是3和5，所以它们的倒数和的倒数是
故答案为：
【分析】三个连续数p、p+1、p+3均为质数时，它们倒数之和的倒数。由于质数除2外均为奇数，需通过奇偶性分析确定p的值，进而计算倒数和的倒数。
19．（2022六上·竞赛）用0，1，2，…，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500，那么共有多少种不同的组成6个质数的方法。请将所有方法都列出来。
【答案】解：因为0～9中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2，又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数，另4个质数分别以1，3，7，9为个位数。6个质数可以是：{2，3，5，7，41，89}，{2，3，5，7，61，89}，{2，3，5，7，89，401}，{2，3，5，7，89，461}，{2，3，5，7，61，409}，{2，3，5，47，61，89}，{2，3，5，41，67，89}，{2，3，5，67，89，401}，{2，5，7，43，61，89}，{2，5，7，61，83，409}。即共有10种不同的方法。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。除了2以外，质数都是奇数。
20．如果一些不同质数的平均数为21，那么它们中最大的一个数的最大可能值为　 　 ．
【答案】89
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【解答】解：小于21的质数：2，3，5，7，11，13，17，19，2+3+5+7+11+13+17+19=77，
所求的数最大，那么就尽量多的使用这8个小于21的质数，所有与21的差，都补给最大的那个数，
总和为：21×9=189，189﹣77=112，不是质数，
考虑从这8个里面去掉一个，这样总和就是21×8=168，168﹣77=91，
91加上原来8个数中的某个，都不是质数，那就考虑再去掉一个，总和21×7=147，147﹣77=70，
70加上原来8个数中的2个，既然为质数，又不可能是2，那么得到的质数一定是奇数，需要加上的2个，必然有一个是2，
70+2=72，72+19=91，不是质数，
72+17=89，是质数，那么满足要求的最大质数就是89，验证可知成立：3+5+7+11+13+17+23+89=168=21×8．
故答案为：89．
【分析】首先列出比21小的质数，A={2，3，5，7，11，13，17，19}，要想使最大的质数最大，那么就要用尽量多A中的数，而尽量少的用A以外的质数，首先说明不可能含2，否则21×N=（N﹣1）个奇数+2，验证下无论N为奇数偶数等式都不能成立，3+5+7+11+13+17+19=75，21×7﹣75=72，其他所有质数都比21大，这意味着其他数﹣21≤72，即最大数≤93，小于93的最大质数是89，验证可知成立：3+5+7+11+13+17+23+89=168=21×8．
21．（2023.7.9·科学城巴蜀） 已知n， n+6， n+84， n+102， n+218都是质数， 那么n=　 　。
【答案】5
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【解答】解：当n=2时，n+6=8，不是质数；
当n=3时，n+6=9，也不是质数；
当n=5时，n+6=11，n+84=89，n+102=107，n+218=223，都是质数。
所以，n=5是正确的答案。
故答案为：5
【分析】从最小的质数2考虑，因为n为偶数，且n的个位不能为1、3、7、9，所以n只能是5。然后，通过验证，我们可以确定n=5。
22．（2022六上·竞赛）将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？
【答案】解：最大的质数必大于5，
60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2
所以其中最大的质数是7。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】60÷10=6，而且要求最大的质数尽可能小，所以最大的质数必大于5，那么可以用7先加，即60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2，所以最大的质数是7。
23．将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？
【答案】解：因为50=2×8+3+31，
所以这个最大的质数是31；
答：这个最大的质数是31．
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】因为若使其中一个质数最大，那么其余的9个质数应最小，2是最小的质数，但当9个都是2时另一个数是32，又不符合题意，只能让一个是相对小的质数3，故可得出结论．
24．（2022六上·竞赛）将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？
【答案】解：37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17
共有10种不同的拆法，其中3×5×29=435最小。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】本题可采用枚举法。枚举法的特征：
⒈数不大，种类比较少；
⒉没有规律，不能用排列组合等方法；
⒊能有方法做的时候建议不采用枚举的方法。
25．（2022六上·竞赛）甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是13，甲比乙大13岁，那么乙今年多大？
【答案】解：个位与十位数字之和为13，那么这样的质数在两位数中只有67，三位数中为167，再继续则不符合常理，所以甲乙年龄有可能分别为40，27岁，或者90，77岁，所以乙的年龄可能为27岁或77岁。
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【分析】13=4+9=5+8=6+7，因为这个数是质数，所以这个数是67或167，然后根据甲比乙大13岁得到甲和乙的年龄。
26．三位数满足：它的所有质因数之和是。这样的三位数有　 　个。
【答案】13
【知识点】枚举法；合数与质数的特征
【解析】【解答】解：26以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23。
两质因数组合：
3+23=26：可能的数为3×23=69（非三位数）、32×23=207、33×23=207×3=621；但207是三位数，621也是三位数，共2个；
7+19=26：可能的数为7×19=133（三位数），72×19=833；共2个；
三质因数组合：
2+5+19=26：可能的数为2×5×19=190，190×2=380，190×4=760，190×5=950；共4个；
2+7+17=26：可能的数为2×7×17=238，238×2=476，238×4=952；共3个；
2+11+13=26：可能的数为2×11×13=286，286×2=572；共2个；
四质因数组合：
如3+5+7+11=26，但26无法拆分为四个不同质数之和。
两质因数组合：2+2=4个；
三质因数组合：4+3+2=9个；
四质因数组合：0个；
总共有4+9=13个。
故答案为：13
【分析】列举26以内的质数，然后将这些质数拆分成不同个数的组合，再根据组合构造出对应的三位数，并排除重复或不符合条件的情况，最后统计总数，即可求解
27．从20以内的质数中选出6个数，写在一个正方体的六个面上，使两个相对面的和都相等，所选的6个数是　 　
【答案】5，7，11，13，17，19.
【知识点】合数与质数的特征
【解析】【解答】解：由于这7个数的和为3+5+7+11+13+17+19=75，是3的倍数，而选出的6个数之和也是3的倍数，所以被剔除的那个数也是3的倍数，只能是3.所以选出的6个数是：5，7，11，13，17，19。
故答案为：5，7，11，13，17，19
【分析】20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19。显然2不能入选，否则会出现有的和为奇数，有的和为偶数的情况，那么还剩下3，5，7，11，13，17，19这7个数。从中选择6个，相当于从中剔除1个。也就是从7个数的和里面减去1个，剩下的和是3的倍数。
28．（2023.7.14·金溪八中）已知n个自然数之积是2007，这n个自然数之和也是2007，那么n的值最大是　 　。
【答案】1781
【知识点】分解质因数
【解析】【解答】解：2007=3×3×223，
要使和为2007，且积仍为2007，我们想到了乘1，
即 2007=3×3×223×1×1×…×1，
由于2007-（3+3+223）=1778，
即乘上1778个1满足条件，此时有，
n的最大值是1778+3=1781。
故答案为：1781。
【分析】解答此题关键是将合数分解质因数，并根据质因数情况和题目要求确定还得乘多少个1；
把一个合数分解成若干个质数的乘积的形式，叫做分解质因数。
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