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浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·鄞州期末）下列图形中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，符合题意，故A正确；
B是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意，故B错误；
C是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意，故C错误；
D既不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意，故D错误；
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可.中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．（2024八下·鄞州期末）二次根式中字母的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题可知，
，
解得．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数不小于零，进行解题即可．
3．（2024八下·鄞州期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的乘除法计算，根据二次根式的性质化简二次根式．
4．（2024八下·鄞州期末）中，，则的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．150°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对角相等，邻角互补，据此求解．
5．（2024八下·鄞州期末）用配方法解方程，下列变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：，
由完全平方公式得：，
故答案为：C．
【分析】先将方程转化为一元二次方程的一般形式，再配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式变形即可．
6．（2024八下·鄞州期末）用反证法证明命题“在中，，求证：”，应先假设（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在中，，求证：”，应先假设，
故答案为：A．
【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一 一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
7．（2024八下·鄞州期末）鄞州是诗书之城，据鄞州图书馆年度数据报告，2021年到馆读者134万人次，2023年人数增长至289万，设这两年到馆人数的年平均增长率为，可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
8．（2024八下·鄞州期末）甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（　　）
甲 178 179 180 181 182
乙 180 181 182 183
A．179 B．182 C．184 D．185
【答案】D
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：甲的平均数为：，
故甲的方差为：；
当乙为179或184时，乙的五个数是相邻的正整数，其方差与甲相等，即为2；
当乙为182时，乙的五个数的波动比相邻的正整数小，方差比2小；
当乙为185时，乙的五个数的波动比相邻的正整数大，方差比2大；
所以的值可能是185．
故答案为：D．
【分析】先计算出甲的平均数和方差，再根据方差的意义解答即可．
9．（2024八下·鄞州期末）反比例函数的图象经过点，，下列说法一定正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、，
函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，
当时，，
点位于第一象限，点位于第三象限，
；
当时，，
点，位于第一象限，
，
，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、，
函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，
，，
点，位于第三象限，
，
，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
当时，，
点位于第四象限，点位于第二象限，
，
当时，，
，
，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
，，
点，位于第二象限，
，
，正确，此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质：k>0时，每一分支y随x的增大而减小，k<0时，每一分支y随x的增大而增大，据此对各选项进行逐一分析即可．
10．（2024八下·鄞州期末）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两点，，点在边上运动（不与点，重合），连结点与的中点并延长交于点，连结，，，．在点从点运动到点的整个过程中，四边形的形状变化依次是（　　）
A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PAO=∠QCO，∠ABC=∠D=90°，AB=CD=6，BC=AD=8，
∴AC=，
∴EF=AC-AE-CF=10-2-2=6，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
当点P从点D开始动到如图位置时，四边形是平行四边形，如图所示：
∵AE=CF，
∴OE=OF，
在△APO和△CQO中，
，
∴△APO≌△CQO(ASA)，
∴OP=OQ，
∴四边形PEQF是平行四边形；
当点P运动到PD=，四边形PEQF是菱形，如图所示：
∵PD=，
∴AP=AD-PD=8-=，
在Rt△CDP中，PC==
∴AP=CP，
∴∠PAE=∠PCF，
在△APE和△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（SAS）
∴PE=PF，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
当点P运动到未达到中点M时，如图所示，
∴四边形是平行四边形，
当点P运动到AD的中点时，四边形是矩形，如图所示，
∵O为AC的中点，P为AD的中点，
∴OP∥CD，即PQ∥CD，
又∵DP∥CQ，∠D=90°，
∴四边形DPQC是矩形，
∴PQ=CD=6，
∴EF=PQ，
∴四边形是矩形；
当点P运动到过中点M后未到点A时，如图所示，
∴四边形是平行四边形，
综上所述：在点P从点D运动到点A的整个过程中，四边形的形状变化依次是平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形．
故答案为：C．
【分析】先根据已知条件和矩形的性质求得OA=OC，EF=6，∠PAO=∠QCO，∠ABC=∠D=90°，AB=CD=6，BC=AD=8，再根据勾股定理求得AC=10，然后证明，得，根据平行四边形的判定定理，即可证明四边形是平行四边形，然后根据点P的位置分情况讨论四边形的形状即可.
11．（2024八下·鄞州期末）一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是　 　．
【答案】4
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为x，
根据多边形的内角和公式可得：，
解得：，
所以，这个多边形的边数是4．
故答案为：4．
【分析】设该多边形的边数为x，根据多边形内角和公式列方程求解即可．
12．（2024八下·鄞州期末）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为　 　．
【答案】-12
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将代入中，可得，
解得：，
故答案为：．
【分析】直接将方程的解代入，得到关于a的一元一次方程，求解即可．
13．（2024八下·鄞州期末）观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：，
…
第n个等式∶
当时，．
故答案为：
【分析】通过观察，归纳总结出规律为，再把n=7代入即可求解．
14．（2024八下·鄞州期末）如图，菱形的顶点A，分别在轴，轴上，轴，，，反比例函数的图象经过点，则的值为　 　．
【答案】5
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；数形结合
【解析】【解答】解：设，相交于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
轴，
轴，
，
∵ 反比例函数的图象经过点，
∴将代入，得，
解得：．
故答案为：5．
【分析】设，相交于点M，根据菱形的性质可求出，，结合已知条件求得点B的坐标，代入反比例函数关系式求解即可解决问题.
15．（2024八下·鄞州期末）如图，在中，，，，分别是，边上的中点，点在的延长线上，，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接DE、CD，如图所示：
∵D、E分别是AB、AC边上的中点，AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，BD=2，
∴DE=BC，DE∥BC，
∵CF=BC，CF=3，
∴DE=CF，BC=6，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF=CD，
∵AC=BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴CD=，
∴EF=CD=，
故答案为：．
【分析】连接DE、CD，由D、E分别是AB、AC边上的中点，确定DE=CF，进而判断四边形DCFE为平行四边形，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理计算CD的长度，从而得到EF的长度.
16．（2024八下·鄞州期末）如图，在中，，，，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当平行于的一条边时，的长为　 　．
【答案】1或3
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=，∠B+∠C=90°，
（1）如图1，
根据题意可知，B'D∥AC，设AB'交BC于点E，则∠CAE=∠B'，
由折叠可得：△ABD≌△AB'D，
∴∠B=∠B'，B'D=BD，AB'=AB=3，
∴∠CAE=∠B，
∴∠CAE+∠C=90°，
∴∠AEB=∠B'ED=90°，AE⊥BC，
∴S△ABC==，
又∵S△ABC==×3×4=6，
∴=6，
解得：AE=，
∴B'E=AB'-AE=3-=，
∴BE=，
∴DE=BE-BD=-BD，
在Rt△DEB'中，DE2+B'E2=B'D2，
∴（-BD）2+（）2=BD2，
解得：BD=1；
（2）如图2，
根据题意可知：，则∠BAD=∠B'DA，
由折叠得：∠BDA=∠B'DA，
∴∠BAD=∠BDA，
∴BD=AB=3；
（3）∵点D在BC上，
∴不存在B'D∥BC得情况，
综上所述，BD的长为1或3.
故答案为：1或3．
【分析】根据 ，在中，，，，可得BC=5，然后分情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，即可得出结论．
17．（2024八下·鄞州期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质及二次根式的除法计算，再进行二次根式的减法运算，即得答案；
（2）根据平方差公式计算，即得答案．
18．（2024八下·鄞州期末）解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：
解得，
（2）解：
解得，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法求解，把3x移到左边，再提公因式x即可；
（2）用公式法求解即可．
19．（2024八下·鄞州期末）日平均气温是一天中凌晨2点，上午8点，下午2点，晚上8点四个时间的气温的平均值．下表是宁波市2024年5月份16日到25日“日平均气温”统计表（单位：）．
日期 16日 17日 18日 19日 20日 21日 22日 23日 24日 25日
日平均气温 20.5 21 22 一 23 22 23 23 25 25
查询得，5月19日4个时间段的气温分别为：．
（1）求19日的日平均气温．
（2）这十天的日平均气温的中位数是__________，众数是__________．
（3）气象学意义上进入夏天标准是连续5天“日平均气温”大于或等于，其中五天中首个日平均气温大于等于的日期作为入夏日，请判断2024年的入夏日期．
【答案】（1）解：19日的日平均气温===21.5（℃），
答：19日的日平均气温是21.5℃.
（2），
（3）解：由（1）可知：5月19日的平均气温是21.5℃＜22℃，5月20日的平均气温是23℃＞22℃，
且5月20日至5月24日的平均气温==23.2℃＞2℃，
根据气象学意义上进入夏天标准可知5月20日是2024年的入夏日.
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（2）将这十天的日平均气温按从小到大排序为：20.5，21，21.5，22，22，23，23，23，25，25，
可知处于中间的两个数据分别为22和23，
这十天的日平均气温的中位数=，
根据这十天的日平均气温可知23℃出现了3次，出现次数最多，
这十天的日平均气温得众数为：23℃．
故答案为：，；
【分析】（1）根据算术平均数的计算公式计算即可解决问题；
（2）根据中位数和众数的定义进行求解即可；
（3）结合已知条件，根据气象学意义上进入夏天标准判断即可．
（1）解：19日的日平均气温：．
故答案为：21.5；
（2）解：十天的日平均气温排序为：20.5，21，21.5，22，22，23，23，23，25，25，
处于中间的两个数据为22和23，
中位数为：，
出现的次数最多，
众数为：．
故答案为：，；
（3）解：∵5.19日平均气温小于22℃， 5月20日以后的日平均气温大于22℃，
∴2024年的入夏日期是5月20日．
20．（2024八下·鄞州期末）如图，校园空地上有一面长为4米的墙．为了创建美丽校园，学校决定用这面墙和20米的围栏围成一个矩形花园．
（1）如图1，利用墙围成矩形花园，若围成的花园面积为32平方米，求花园的边长：
（2）如图2，用围栏补墙得到矩形花园，花园的面积可能为36平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设BC=xm，则AB=m，
根据题意可列方程为：x（）=32，
整理得：，
解得：（16＞4，不符合题意，舍去），，
当x=4时，=8m，
答：矩形花园的边长分别为4米和8米.
（2）解：设BC=ym时，花园的面积为36平方米，则AB=（m），
根据题意可列方程为：y（12-y）=36，
整理得：，
解得：
，
．
答：花园的面积能为36平方米，的长为6米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设BC=xm，则AB=m，根据围成的花园面积为32平方米，可列出关于的一元二次方程，结合墙长
（2）花BC=ym时，花园的面积为36平方米，则AB（m），根据围成的花园面积为36平方米，可列出关于的一元二次方程，解方程求解，再将其代入中，即可得出结论．
（1）解：设米，则米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：花园的边长为8米和4米；
（2）解：花园的面积能为36平方米，
设米，则米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
．
答：花园的面积能为36平方米，的长为6米．
21．（2024八下·鄞州期末）如图，菱形中，，点在对角线上，交于点，交于点．
（1）求的度数；
（2）连结，当时，判断与的数量关系并证明．
【答案】（1）解：根据题意可知：，，
∴四边形EBFP是平行四边形，
∴∠EPF=∠ABC，
∵∠ABC=100°，
∴∠EPF=100°.
（2）解：，
证明：连接PB，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠ACD=∠ACB=，点D与点B关于AC对称，
∴PB=PD，∠BPC=∠DPC=60°，
∵∠ABC=100°，
∴∠BCD=180°-∠ABC=80°，∠ACB==40°，
∴∠PBC=180°-∠BPC-∠ACB=80°，
∵PE∥BC，
∴∠APE=∠ACB=40°，
∴∠CPF=180°-∠APE-∠EPF=40°，
∴∠PFB=∠ACB+∠CPF=80°，
∴∠PFB=∠PBC，
∴PB=PF，
∴PD=PF.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定和判定即可解决问题；
（2）连接，根据菱形的对称性，证得，，∠PBC=80°，然后三角形内角和和外角和定理证明，得，即可解决问题．
（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：，理由如下：
连接，
四边形是菱形，
∴点B与点D关于对称，
∴，，
菱形中，，，
，
，
，
∴
，
由（1）知：四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴
，
，
．
22．（2024八下·鄞州期末）综合实践：自制密度秤测量液体密度．
问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点固定不变，左侧托盘固定在点，，托盘上放置质量为的砝码；右侧托盘点在上滑动，，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入的不同液体，滑动点，使天平保持平衡．（杠杆原理：砝码的质量杯中液体的质量．液体的质量液体的密度体积，）
问题解决：
（1）设右侧托盘液体的密度为，的长为，若，求关于的函数表达式．并求出的取值范围．
（2）若在纸杯中倒入的水时，滑动点，当点到达点处时，天平保持平衡：若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点从点向右滑动至点处，天平保持平衡．刻度显示：点处的读数正好是点处的读数的，求这种液体的密度．
【答案】（1）解：根据题意可列方程，得：50ρx=12×50，
解得：，
∵0＜x≤20，
∴，
答：的取值范是.
（2）解：设点N处的度数为a，则点M处的度数为，
则V=aρV，
解得：ρ=，
答：这种液体的密度为.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据杠杆平衡条件，砝码的质量乘OA的长度等于杯中液体的质量乘以OP的长度，列出函数解析式，解得，根据，求出的取值范围即可；
（2）根据题意，设点N处的度数为a，则点M处的度数为，根据杠杆平衡条件得出V=aρV，即可求得．
（1）解：根据杠杆平衡原理可得：，
即，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设点处的读数为，则点N处的读数为，
即，，
根据杠杆平衡条件得：，
，
∴，
即，
∵，
∴．
23．（2024八下·鄞州期末）如图1，点是正方形内部的一点，．连接，，过点作的垂线交的延长线于点．
（1）猜测的度数，并说明理由；
（2）若，求正方形的边长；
（3）如图2，过点作的垂线交于点．当恰好过的中点时，设正方形的边长为，用含的代数式表示．
【答案】（1）解：，
证明：设∠ADE=2α，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠CDA=90°，AB∥CD，
∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=90°-2α，
∵DE=DA
∴DE=DA=DC，
∴∠DEA===90°-α，∠DEC===45+α，
∴∠CEF=180°-∠DEA-∠DEC=180°-（90°-α）-（45+α）=45°.
（2）解：连接AC，如图所示：
由（1）可知：∠CEF=45°，
∵AE⊥CF，
∴△CEF是等腰三角形，
∴CF=EF，
∵AE=2EF=4，
∴CF=2，AF=AE+EF=6，
在Rt△AFC中，AC2=AF2+CF2=62+22，
在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=2AD2，
∴2AD2=62+22，
∴AD=.
答： 正方形的边长是.
（3）解：过点D作DM⊥AF，延长AF与DC的延长线交于点N，
如图2所示：
∵AB∥CD，
∴∠N=∠3，
∵点G是BC的中点，
∴CG=BG=，
在△NCG和△ABG中，
，
∴△NCG≌△ABG（AAS），
∴CN=AB=AD=a，NG=AG，
在△ABG中，由勾股定理得：AG==，
∴NG=AG=，
同理由三角形的面积公式得：CF=，
∵DE=DA，DM⊥AE，
∴AM=ME，∠1+∠2=90°，
∵∠3+∠2=∠DAC=90°，
∴∠1=∠3=∠N，
∵DM⊥AF，CF⊥AF，
∴∠CFN=∠AMD=90°，
在△NCF和△DAM中，
，
∴△NCF≌△DAM（AAS），
∴AM=CF=EF=，
∴AM=ME=EF，
∴点E为MF的中点，
∵EH⊥AF，
∴EH为梯形MFCD的中位线，
∴EH=（CF+DM），
在△ADM中，AM=，AD=a，
由勾股定理得：DM=，
∴EH=.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；梯形中位线定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）设，则∠CDE=90°-2α，再由DE=DA=DC可得∠DEA=90°-α，∠DEC=45+α，根据平角定义即可求出∠CEF；
（2）由（1）得∠CEF=45°，易得是等腰直角三角形，得到CF=2，AF=6，由勾股定理AC2=AF2+CF2=62+22，
AC2=AD2+CD2=2AD2，即2AD2=62+22，即可求出AD的长；
（3）过点D作DM⊥AF，延长AF与DC的延长线交于点N，证明△NCG≌△ABG，得到CN=AB=AD=a，NG=AG，进而求得NG=AG=，同理得CF=，然后证明△NCF≌△DAM，得出AM=CF=EF=，进而求出EH为梯形MFCD的中位线，则EH=（CF+DM），勾股定理求出DM的长，即可求得EH.
（1），证明如下：
在正方形中，，，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
（2）由（1）知，，
∵
∴是等腰直角三角形．
∴，
连接．
∵，，
由勾股定理可知．，
∴正方形的边长为．
（3）作．
∵，，
∴，
∵，，
∴，．
∴．
∵．
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
连接，，
∵，
∴．
1 / 1浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·鄞州期末）下列图形中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·鄞州期末）二次根式中字母的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·鄞州期末）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·鄞州期末）中，，则的度数是（　　）
A．20° B．30° C．40° D．150°
5．（2024八下·鄞州期末）用配方法解方程，下列变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·鄞州期末）用反证法证明命题“在中，，求证：”，应先假设（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八下·鄞州期末）鄞州是诗书之城，据鄞州图书馆年度数据报告，2021年到馆读者134万人次，2023年人数增长至289万，设这两年到馆人数的年平均增长率为，可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八下·鄞州期末）甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（　　）
甲 178 179 180 181 182
乙 180 181 182 183
A．179 B．182 C．184 D．185
9．（2024八下·鄞州期末）反比例函数的图象经过点，，下列说法一定正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
10．（2024八下·鄞州期末）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两点，，点在边上运动（不与点，重合），连结点与的中点并延长交于点，连结，，，．在点从点运动到点的整个过程中，四边形的形状变化依次是（　　）
A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形
11．（2024八下·鄞州期末）一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是　 　．
12．（2024八下·鄞州期末）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为　 　．
13．（2024八下·鄞州期末）观察下列各式：①；②；③；④；…，则第7个等式是　 　．
14．（2024八下·鄞州期末）如图，菱形的顶点A，分别在轴，轴上，轴，，，反比例函数的图象经过点，则的值为　 　．
15．（2024八下·鄞州期末）如图，在中，，，，分别是，边上的中点，点在的延长线上，，若，则的长为　 　．
16．（2024八下·鄞州期末）如图，在中，，，，点是边上一点，将沿直线折叠，点的对应点为点，当平行于的一条边时，的长为　 　．
17．（2024八下·鄞州期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2024八下·鄞州期末）解方程：
（1）；
（2）
19．（2024八下·鄞州期末）日平均气温是一天中凌晨2点，上午8点，下午2点，晚上8点四个时间的气温的平均值．下表是宁波市2024年5月份16日到25日“日平均气温”统计表（单位：）．
日期 16日 17日 18日 19日 20日 21日 22日 23日 24日 25日
日平均气温 20.5 21 22 一 23 22 23 23 25 25
查询得，5月19日4个时间段的气温分别为：．
（1）求19日的日平均气温．
（2）这十天的日平均气温的中位数是__________，众数是__________．
（3）气象学意义上进入夏天标准是连续5天“日平均气温”大于或等于，其中五天中首个日平均气温大于等于的日期作为入夏日，请判断2024年的入夏日期．
20．（2024八下·鄞州期末）如图，校园空地上有一面长为4米的墙．为了创建美丽校园，学校决定用这面墙和20米的围栏围成一个矩形花园．
（1）如图1，利用墙围成矩形花园，若围成的花园面积为32平方米，求花园的边长：
（2）如图2，用围栏补墙得到矩形花园，花园的面积可能为36平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
21．（2024八下·鄞州期末）如图，菱形中，，点在对角线上，交于点，交于点．
（1）求的度数；
（2）连结，当时，判断与的数量关系并证明．
22．（2024八下·鄞州期末）综合实践：自制密度秤测量液体密度．
问题情境：实验小组利用天平制作了一台密度秤．如图，支点固定不变，左侧托盘固定在点，，托盘上放置质量为的砝码；右侧托盘点在上滑动，，托盘上放置纸杯，实验时分别向杯中倒入的不同液体，滑动点，使天平保持平衡．（杠杆原理：砝码的质量杯中液体的质量．液体的质量液体的密度体积，）
问题解决：
（1）设右侧托盘液体的密度为，的长为，若，求关于的函数表达式．并求出的取值范围．
（2）若在纸杯中倒入的水时，滑动点，当点到达点处时，天平保持平衡：若向纸杯中倒入等体积的某种液体后，点从点向右滑动至点处，天平保持平衡．刻度显示：点处的读数正好是点处的读数的，求这种液体的密度．
23．（2024八下·鄞州期末）如图1，点是正方形内部的一点，．连接，，过点作的垂线交的延长线于点．
（1）猜测的度数，并说明理由；
（2）若，求正方形的边长；
（3）如图2，过点作的垂线交于点．当恰好过的中点时，设正方形的边长为，用含的代数式表示．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，符合题意，故A正确；
B是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意，故B错误；
C是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意，故C错误；
D既不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意，故D错误；
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可.中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题可知，
，
解得．
故答案为：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数不小于零，进行解题即可．
3．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的乘除法计算，根据二次根式的性质化简二次根式．
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：在中，，，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对角相等，邻角互补，据此求解．
5．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：，
由完全平方公式得：，
故答案为：C．
【分析】先将方程转化为一元二次方程的一般形式，再配方：方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，再利用完全平方公式变形即可．
6．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在中，，求证：”，应先假设，
故答案为：A．
【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一 一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
7．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
8．【答案】D
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：甲的平均数为：，
故甲的方差为：；
当乙为179或184时，乙的五个数是相邻的正整数，其方差与甲相等，即为2；
当乙为182时，乙的五个数的波动比相邻的正整数小，方差比2小；
当乙为185时，乙的五个数的波动比相邻的正整数大，方差比2大；
所以的值可能是185．
故答案为：D．
【分析】先计算出甲的平均数和方差，再根据方差的意义解答即可．
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A、，
函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，
当时，，
点位于第一象限，点位于第三象限，
；
当时，，
点，位于第一象限，
，
，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、，
函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，
，，
点，位于第三象限，
，
，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
当时，，
点位于第四象限，点位于第二象限，
，
当时，，
，
，原说法错误，故此选项不符合题意；
D、，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大，
，，
点，位于第二象限，
，
，正确，此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质：k>0时，每一分支y随x的增大而减小，k<0时，每一分支y随x的增大而增大，据此对各选项进行逐一分析即可．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠PAO=∠QCO，∠ABC=∠D=90°，AB=CD=6，BC=AD=8，
∴AC=，
∴EF=AC-AE-CF=10-2-2=6，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
当点P从点D开始动到如图位置时，四边形是平行四边形，如图所示：
∵AE=CF，
∴OE=OF，
在△APO和△CQO中，
，
∴△APO≌△CQO(ASA)，
∴OP=OQ，
∴四边形PEQF是平行四边形；
当点P运动到PD=，四边形PEQF是菱形，如图所示：
∵PD=，
∴AP=AD-PD=8-=，
在Rt△CDP中，PC==
∴AP=CP，
∴∠PAE=∠PCF，
在△APE和△CPF中，
，
∴△APE≌△CPF（SAS）
∴PE=PF，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
当点P运动到未达到中点M时，如图所示，
∴四边形是平行四边形，
当点P运动到AD的中点时，四边形是矩形，如图所示，
∵O为AC的中点，P为AD的中点，
∴OP∥CD，即PQ∥CD，
又∵DP∥CQ，∠D=90°，
∴四边形DPQC是矩形，
∴PQ=CD=6，
∴EF=PQ，
∴四边形是矩形；
当点P运动到过中点M后未到点A时，如图所示，
∴四边形是平行四边形，
综上所述：在点P从点D运动到点A的整个过程中，四边形的形状变化依次是平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形．
故答案为：C．
【分析】先根据已知条件和矩形的性质求得OA=OC，EF=6，∠PAO=∠QCO，∠ABC=∠D=90°，AB=CD=6，BC=AD=8，再根据勾股定理求得AC=10，然后证明，得，根据平行四边形的判定定理，即可证明四边形是平行四边形，然后根据点P的位置分情况讨论四边形的形状即可.
11．【答案】4
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为x，
根据多边形的内角和公式可得：，
解得：，
所以，这个多边形的边数是4．
故答案为：4．
【分析】设该多边形的边数为x，根据多边形内角和公式列方程求解即可．
12．【答案】-12
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将代入中，可得，
解得：，
故答案为：．
【分析】直接将方程的解代入，得到关于a的一元一次方程，求解即可．
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：，
…
第n个等式∶
当时，．
故答案为：
【分析】通过观察，归纳总结出规律为，再把n=7代入即可求解．
14．【答案】5
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；数形结合
【解析】【解答】解：设，相交于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
轴，
轴，
，
∵ 反比例函数的图象经过点，
∴将代入，得，
解得：．
故答案为：5．
【分析】设，相交于点M，根据菱形的性质可求出，，结合已知条件求得点B的坐标，代入反比例函数关系式求解即可解决问题.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接DE、CD，如图所示：
∵D、E分别是AB、AC边上的中点，AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，BD=2，
∴DE=BC，DE∥BC，
∵CF=BC，CF=3，
∴DE=CF，BC=6，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF=CD，
∵AC=BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴CD=，
∴EF=CD=，
故答案为：．
【分析】连接DE、CD，由D、E分别是AB、AC边上的中点，确定DE=CF，进而判断四边形DCFE为平行四边形，然后利用等腰三角形的性质和勾股定理计算CD的长度，从而得到EF的长度.
16．【答案】1或3
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC=，∠B+∠C=90°，
（1）如图1，
根据题意可知，B'D∥AC，设AB'交BC于点E，则∠CAE=∠B'，
由折叠可得：△ABD≌△AB'D，
∴∠B=∠B'，B'D=BD，AB'=AB=3，
∴∠CAE=∠B，
∴∠CAE+∠C=90°，
∴∠AEB=∠B'ED=90°，AE⊥BC，
∴S△ABC==，
又∵S△ABC==×3×4=6，
∴=6，
解得：AE=，
∴B'E=AB'-AE=3-=，
∴BE=，
∴DE=BE-BD=-BD，
在Rt△DEB'中，DE2+B'E2=B'D2，
∴（-BD）2+（）2=BD2，
解得：BD=1；
（2）如图2，
根据题意可知：，则∠BAD=∠B'DA，
由折叠得：∠BDA=∠B'DA，
∴∠BAD=∠BDA，
∴BD=AB=3；
（3）∵点D在BC上，
∴不存在B'D∥BC得情况，
综上所述，BD的长为1或3.
故答案为：1或3．
【分析】根据 ，在中，，，，可得BC=5，然后分情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，即可得出结论．
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质及二次根式的除法计算，再进行二次根式的减法运算，即得答案；
（2）根据平方差公式计算，即得答案．
18．【答案】（1）解：
解得，
（2）解：
解得，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）用因式分解法求解，把3x移到左边，再提公因式x即可；
（2）用公式法求解即可．
19．【答案】（1）解：19日的日平均气温===21.5（℃），
答：19日的日平均气温是21.5℃.
（2），
（3）解：由（1）可知：5月19日的平均气温是21.5℃＜22℃，5月20日的平均气温是23℃＞22℃，
且5月20日至5月24日的平均气温==23.2℃＞2℃，
根据气象学意义上进入夏天标准可知5月20日是2024年的入夏日.
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（2）将这十天的日平均气温按从小到大排序为：20.5，21，21.5，22，22，23，23，23，25，25，
可知处于中间的两个数据分别为22和23，
这十天的日平均气温的中位数=，
根据这十天的日平均气温可知23℃出现了3次，出现次数最多，
这十天的日平均气温得众数为：23℃．
故答案为：，；
【分析】（1）根据算术平均数的计算公式计算即可解决问题；
（2）根据中位数和众数的定义进行求解即可；
（3）结合已知条件，根据气象学意义上进入夏天标准判断即可．
（1）解：19日的日平均气温：．
故答案为：21.5；
（2）解：十天的日平均气温排序为：20.5，21，21.5，22，22，23，23，23，25，25，
处于中间的两个数据为22和23，
中位数为：，
出现的次数最多，
众数为：．
故答案为：，；
（3）解：∵5.19日平均气温小于22℃， 5月20日以后的日平均气温大于22℃，
∴2024年的入夏日期是5月20日．
20．【答案】（1）解：设BC=xm，则AB=m，
根据题意可列方程为：x（）=32，
整理得：，
解得：（16＞4，不符合题意，舍去），，
当x=4时，=8m，
答：矩形花园的边长分别为4米和8米.
（2）解：设BC=ym时，花园的面积为36平方米，则AB=（m），
根据题意可列方程为：y（12-y）=36，
整理得：，
解得：
，
．
答：花园的面积能为36平方米，的长为6米．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设BC=xm，则AB=m，根据围成的花园面积为32平方米，可列出关于的一元二次方程，结合墙长
（2）花BC=ym时，花园的面积为36平方米，则AB（m），根据围成的花园面积为36平方米，可列出关于的一元二次方程，解方程求解，再将其代入中，即可得出结论．
（1）解：设米，则米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：花园的边长为8米和4米；
（2）解：花园的面积能为36平方米，
设米，则米，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
．
答：花园的面积能为36平方米，的长为6米．
21．【答案】（1）解：根据题意可知：，，
∴四边形EBFP是平行四边形，
∴∠EPF=∠ABC，
∵∠ABC=100°，
∴∠EPF=100°.
（2）解：，
证明：连接PB，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠ACD=∠ACB=，点D与点B关于AC对称，
∴PB=PD，∠BPC=∠DPC=60°，
∵∠ABC=100°，
∴∠BCD=180°-∠ABC=80°，∠ACB==40°，
∴∠PBC=180°-∠BPC-∠ACB=80°，
∵PE∥BC，
∴∠APE=∠ACB=40°，
∴∠CPF=180°-∠APE-∠EPF=40°，
∴∠PFB=∠ACB+∠CPF=80°，
∴∠PFB=∠PBC，
∴PB=PF，
∴PD=PF.
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定和判定即可解决问题；
（2）连接，根据菱形的对称性，证得，，∠PBC=80°，然后三角形内角和和外角和定理证明，得，即可解决问题．
（1）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）解：，理由如下：
连接，
四边形是菱形，
∴点B与点D关于对称，
∴，，
菱形中，，，
，
，
，
∴
，
由（1）知：四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴
，
，
．
22．【答案】（1）解：根据题意可列方程，得：50ρx=12×50，
解得：，
∵0＜x≤20，
∴，
答：的取值范是.
（2）解：设点N处的度数为a，则点M处的度数为，
则V=aρV，
解得：ρ=，
答：这种液体的密度为.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据杠杆平衡条件，砝码的质量乘OA的长度等于杯中液体的质量乘以OP的长度，列出函数解析式，解得，根据，求出的取值范围即可；
（2）根据题意，设点N处的度数为a，则点M处的度数为，根据杠杆平衡条件得出V=aρV，即可求得．
（1）解：根据杠杆平衡原理可得：，
即，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设点处的读数为，则点N处的读数为，
即，，
根据杠杆平衡条件得：，
，
∴，
即，
∵，
∴．
23．【答案】（1）解：，
证明：设∠ADE=2α，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠B=∠BCD=∠CDA=90°，AB∥CD，
∴∠CDE=∠CDA-∠ADE=90°-2α，
∵DE=DA
∴DE=DA=DC，
∴∠DEA===90°-α，∠DEC===45+α，
∴∠CEF=180°-∠DEA-∠DEC=180°-（90°-α）-（45+α）=45°.
（2）解：连接AC，如图所示：
由（1）可知：∠CEF=45°，
∵AE⊥CF，
∴△CEF是等腰三角形，
∴CF=EF，
∵AE=2EF=4，
∴CF=2，AF=AE+EF=6，
在Rt△AFC中，AC2=AF2+CF2=62+22，
在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=2AD2，
∴2AD2=62+22，
∴AD=.
答： 正方形的边长是.
（3）解：过点D作DM⊥AF，延长AF与DC的延长线交于点N，
如图2所示：
∵AB∥CD，
∴∠N=∠3，
∵点G是BC的中点，
∴CG=BG=，
在△NCG和△ABG中，
，
∴△NCG≌△ABG（AAS），
∴CN=AB=AD=a，NG=AG，
在△ABG中，由勾股定理得：AG==，
∴NG=AG=，
同理由三角形的面积公式得：CF=，
∵DE=DA，DM⊥AE，
∴AM=ME，∠1+∠2=90°，
∵∠3+∠2=∠DAC=90°，
∴∠1=∠3=∠N，
∵DM⊥AF，CF⊥AF，
∴∠CFN=∠AMD=90°，
在△NCF和△DAM中，
，
∴△NCF≌△DAM（AAS），
∴AM=CF=EF=，
∴AM=ME=EF，
∴点E为MF的中点，
∵EH⊥AF，
∴EH为梯形MFCD的中位线，
∴EH=（CF+DM），
在△ADM中，AM=，AD=a，
由勾股定理得：DM=，
∴EH=.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；梯形中位线定理；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）设，则∠CDE=90°-2α，再由DE=DA=DC可得∠DEA=90°-α，∠DEC=45+α，根据平角定义即可求出∠CEF；
（2）由（1）得∠CEF=45°，易得是等腰直角三角形，得到CF=2，AF=6，由勾股定理AC2=AF2+CF2=62+22，
AC2=AD2+CD2=2AD2，即2AD2=62+22，即可求出AD的长；
（3）过点D作DM⊥AF，延长AF与DC的延长线交于点N，证明△NCG≌△ABG，得到CN=AB=AD=a，NG=AG，进而求得NG=AG=，同理得CF=，然后证明△NCF≌△DAM，得出AM=CF=EF=，进而求出EH为梯形MFCD的中位线，则EH=（CF+DM），勾股定理求出DM的长，即可求得EH.
（1），证明如下：
在正方形中，，，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
（2）由（1）知，，
∵
∴是等腰直角三角形．
∴，
连接．
∵，，
由勾股定理可知．，
∴正方形的边长为．
（3）作．
∵，，
∴，
∵，，
∴，．
∴．
∵．
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
连接，，
∵，
∴．
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