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【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册专项突破六 以数轴、线段或角为载体的动态问题
1．如图，已知线段AB=8，C 是线段AB 上一动点，D 是线段AC的中点，E是线段BD 的中点，在点 C 从点A 向点B 运动的过程中，当C 恰好是线段DE 的中点时，线段AC 的长为(　　)
A．3.2 B．4 C．4.2 D．
2．如图，∠AOB 是平角，射线OM 从OA开始，先绕点O按顺时针方向向射线OB 旋转，到达OB 后再绕点O按逆时针方向朝射线OA 旋转，速度为6度/秒.射线ON 从OB 开始，以4度/秒的速度绕点O向OA 旋转，到当ON 到达OA 时，射线OM与ON 都停止运动.当∠BON=2∠MON 时，有以下t的值：①t=15；②t=22.5；③t=30；④t=45.其中正确的序号是(　　)
A．③ B．④ C．①②④ D．①②③
3．如图，C为线段AB 上一点，AB=30，AC 比BC 的 多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度在射线AB 上沿AB 方向运动，运动时间为t秒，M为BP 的中点，N 为QM 的中点， 有下列结论：①；②AB=4NQ；③当时，t=12.其中正确的有(　　)
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．如图，把∠APB 放在量角器上，读得射线PA，PB 分别经过刻度117 和153，把∠APB 绕点 P 按逆时针方向旋转得到 .有下列结论：①；②若射线 经过刻度27，则 与 互补；③若 则射线经过刻度45.其中正确的是(　　)
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．如图，已知 ，射线OM 从OA 出发，以每秒 的速度在 内部绕点O按逆时针方向旋转.若 和 中，有一个角是另一个角的2倍，则运动时间为　 　s.
6．已知数轴上点A 表示的数为-5，点O 表示的数为0.若有一只小乌龟从点 A 出发，以每分钟2个单位长度的速度向左做匀速运动，有一只小白兔从原点O出发，以每分钟5个单位长度的速度向左做匀速运动，但小白兔每走2分钟原地休息1分钟，小乌龟和小白兔同时出发，运动　 　分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度.
7．如图，在数轴上放置了两个完全相同的长方形ABCD，EFGH.现长方形ABCD，EFGH 分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，在运动过程中，两个长方形的重叠部分面积的最大值为　 　，且它的持续时间为　 　s.
8．小方同学设计了一个“魔法棒转不停”程序.如图，点O，A.在直线MN上，第一步， .绕点O 按顺时针方向旋转 至 ；第二步，绕点O按顺时针方向旋转2α至 ；第三步， 绕点O 按顺时针方向旋转3α至( 按此类推，在旋转的过程中，若碰到直线MN，则立即绕点O 反方向旋转.当 时，α等于　 　度.
9．如图，已知A，B，C 是数轴上三点，O为原点.点C 对应的数为6，，.
（1）求点A，B 对应的数.
（2）动点 P，Q分别同时从点A，C出发，分别以每秒6个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴的正方向运动.M为AP 的中点，点N 在线段CQ上，且 ，设运动时间为 （t＞0）.
①求点 M，N对应的数(用含 t 的代数式表示)；
②当t为何值时， ？
10．如图①，O 为直线AB 上一点，过点O作射线OC，使 ，将一三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方.
（1）将图①中的三角尺绕点O 按逆时针方向旋转至图②的位置，求 的度数.
（2）如图③，将图①中的三角尺绕点O以每秒 的速度按逆时针方向旋转α度.
①若经过t(s)后线段 ON 在的内部，且 ，求t的值；
②在三角尺转动时，射线OC 同时绕点O 以每秒4°的速度按矩时针方向旋转，当三角尺停止转动时，射线OC 也停止转动.经过t(s)直线ON恰好平分，请直接写出满足条件的的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵D是线段AC的中点，
∴AD=CD，
∵E是线段BD的中点 ，
∴BE=DE，
∵点C恰好是线段DE的中点，
∴CD=CE，
∴AD=CD=CE，
∵AB=AD+DC+CE+BE=3AD+BE=3AD+DE=3AD+2CD=5AD=8，
∴AD=1.6，
∴AC=2AD=3.2，
故答案为：A .
【分析】根据中点的定义得到AD=CD，BE=DE，CD=CE，进而得出AD=CD=CE，再根据线段的和差求出AB=5AD=8，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】解：180÷6=30（秒），
180÷4=45（秒），
180÷（6+4）=18（秒），
（1）当0＜t＜18时，
∠BON=4t°，
∠MON=（180-6t-4t）°=（180-10t）°，
此时 ∠BON=2∠MON ，即 4t°=2（180-10t）°，
解得：t=15，
（2）当18＜t≤30时，
∠BON=4t°，
∠MON=（6t+4t-180）°=（10t-180）°，
此时 ∠BON=2∠MON ，即 4t°=2（10t-180）°，
解得：t=22.5，
（3）当30＜t≤45时，
∠BON=4t°，
∠MON=4t°-6（t-30）°=（180-2t）°，
此时 ∠BON=2∠MON ，即 4t°=2（180-2t）°，
解得：t=45，
综上所述，正确的序号为①②④，
故答案为：C .
【分析】根据射线OM和ON的旋转速度和条件，分0＜t＜18、18＜t≤30、30＜t≤45三个时间段进行讨论，求出t的值即可得出结论.
3．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；数形结合
【解析】【解答】解：设BC=x，则AC=+5，
∵AC+BC=AB， AB=30，
∴+5+x=30，
解得：x=20，
∴BC=20，AC=10，
∴ BC=2AC，故①正确，
∵AP=2t， BQ=t，
当0≤t≤15时，点P在线段AB上，此时BP=AB-AP=30-2t，
∵M为BP的中点，
∴MB=BP=15-t，
∵QM=MB+BQ，
∴QM=15，
又∵N为QM的中点，
∴NQ=QM=，
∴AB=4NQ；
当15此时BP=AP-AB=2t-30，
∵M为BP的中点，
∴BM=BP=t-15，
∵QM=BQ-BM，
∴QM=15，
又∵N为QM的中点，
∴NQ=QM=，
∴AB=4NQ；
当t>30时，点P在线段AB外，且点P在Q的右侧，如图②，
此时BP=AP-AB=2t-30，
∵M为BP的中点，
∴BM=BP=t-15，
∵QM=BQ-BM，
∴QM=15，
又∵N为QM的中点，
∴NQ=QM=，
∴AB=4NQ；
.综上所述，AB=4NQ，故②正确，
当0解得：t=12；
当15解得：t=20；
当t＞30，PB=BQ时，PB=AP-AB=2t-30，则 2t-30=t，
解得：t=20，与t＞30矛盾，舍去；
终上所述，当PB=BQ时，t=12或20，故③错误，
故答案为：B .
【分析】根据 AC 比BC 的 多5，可求出AC、BC的长度，然后分别求出当点P与Q重合时t=30s，当点P到达B时t=15s，最后分情况讨论点P与Q的位置即可.
4．【答案】D
【知识点】角的运算；旋转的性质；补角
【解析】【解答】解：根据题意可知：∠APB==153°-117°=36°，
∵∠APA'=∠A'PB'+∠APB'，∠BPB'=∠APB+∠APB'，
∴∠APA'=∠BPB'，故①正确，
若射线PA'经过刻度27，则∠OPA'=27°，则∠B'PA=∠OPA-∠OPA'-∠A'PB'=117°-27°-36°=54°，
∠A'PB=∠OPB-∠OPA'=153°-27°=126°，
∴∠B'PA+∠A'PB=180°，
∴∠B'PA与∠A'PB互补，故②正确，
若∠APB'=，则∠APA'=∠A'PB'+∠APB'=72°，
则∠OPA'=∠OPA-∠APA'=117°-72°=42°，
∴射线PA'经过刻度45°，故③正确，
综上所述，D①②③正确，
故答案为：D .
【分析】根据已知条件，求出∠APB==36°，即可判断①；求出∠B'PA与∠A'PB，即可判断②，求出∠OPA'，即可判断③.
5．【答案】3或6
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，此时∠AOM=5t°，∠BOM=45°-5t°，
当∠BOM=2∠AOM时，
即45°-5t°=2×5t°，
解得：t=3，
当∠AOM=2∠BOM时，
即5t°=2×（45°-5t°），
解得：t=6，
故答案为：3或6 .
【分析】设运动时间为y秒，分∠BOM=2∠AOM和∠AOM=2∠BOM两种情况，列方程求解即可.
6．【答案】1或4
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴的点常规运动模型；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意可知：OA=5，
设运动时间为t秒，
当t=1时，小乌龟所在点表示为：-5-2×1=-7，
小白兔所在点表示为：-5×1=-5，
此时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度，
当t=2时，小乌龟所在点表示为：-5-2×2=-9，
小白兔所在点表示为：-5×2=-10，
此时， 小乌龟和小白兔之间的距离为1个单位长度，
当t=3时，小乌龟所在点表示为：-5-2×3=-11，
小白兔每走2分钟原地休息1分钟， 故所在点表示为：-5×（3-1）=-10，
此时， 小乌龟和小白兔之间的距离为1个单位长度，
当t=4时，小乌龟所在点表示为：-5-2×4=-13，
小白兔每走2分钟原地休息1分钟， 故所在点表示为：-5×（4-1）=-15，
此时， 小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度，
当t≥5时，小乌龟追不上小白兔，不会再出现距离为2个单位长度的情况，
综上所述，当1或4分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度，
故答案为：1或4 .
【分析】根据题意可知，OA=1，设运动时间为t秒，根据题意依次列举t的值，分别进行求解即可.
7．【答案】9；0.5
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴的点常规运动模型；数形结合
【解析】【解答】解：当长方形EFGH的边EF在AB上时，S最大，
S的最大值为：3×3=9，
当点E与点A重合时，经过的时间为t，
-5+3t=1+t，
解得：t=3，
当点F与点B重合时，经过的时间为h，
-2+3h=5+h，
解得：h=3.5，
∴3.5-3=0.5，
∴整个运动过程中，S的最大值是9，持续时间是0.5秒；
故答案为：9；0.5 .
【分析】根据题意可知，当两个长方形完全重叠时，重叠部分面积最大，即3×3=9，当点E与点A重合时，表示开始完全重叠，当点F与点B重合时，表示结束完全重叠，据此列方程求解即可得出重叠的持续时间.
8．【答案】3或或
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】解：①OA1未反弹时，如图：
∵∠A2OA4=21°，
∴3α+4α=7α=21°，
∴α=3°，
此时=α+2α+3α+4α=10α=30°＜180°，满足题意；
②反弹后落在之间，如图：
，
∴，
∴=180°-3α-（10α-180°）=360°-13α，
∴360°-13α=21°，
∴α=（）°＜30°，
此时，不符合题意，舍去；
③反弹后落在之间，如图：
，
∴，
∴=180°-3α-（10α-180°）=360°-13α，
∴360°-13α=21°，
∴α=（）°＜30°，
此时，满足题意；
④反弹后落在之间，如图：
，
∴，
∴=180°-（10α-180°）=360°-10α，
∴=3α-（360°-10α）=13α-360°=21°，
∴α=（）°＜30°，满足题意；
∵α＜30°，
∴6α＜180°，
∴射线不可能反弹；
综上所述，α等于3或或度，
故答案为：3或或.
【分析】根据题意，由旋转的性质和角度的变化规律，可对射线进行讨论分析：①未反弹，②反弹后落在之间，③反弹后落在之间，④反弹后落在之间，分别求出每一种情况的答案，并结合实际情况，即可得到答案.
9．【答案】（1）解：因为点C 对应的数为6，BC=4，
所以点B 表示的数是6-4=2.
因为AB=12，
所以点 A 表示的数是2-12=-10.
（2）解：①因为动点 P，Q分别同时从点A，C出发，
分别以每秒6个单位长度和3个单位长度的速度，运动时间是t，
所以AP=6t，CQ=3t，
因为M为AP的中点，点N 在CQ上，且CN
所以
因为点A表示的数是-10，点C 表示的数是6，
所以点 M 表示的数是-10+3t.点 N 表示的数是6+t.
②因为OM=|-10+3t|，BN=BC+CN=4+t，OM=2BN，
所以|-10+3t|=2(4+1)=8+2r.
由-10+3t=8+2t，得t=18；
由-10+3t=-(8+2r)，得
故当t=18或 时，OM=2BN.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴的的中点与n等分点模型；数形结合；分类讨论
【解析】【分析】（1）点B表示的数是6-4，点 A 表示的数是2-12，据此求解即可；
（2）①求出AN、CN，根据A、C表示的数求出M、N表示的数即可；
②求出OM、BN，得出方程，求出方程的解即可.
10．【答案】（1）解：因为∠BOC+∠AOC=180°，∠AOC：∠BOC=1：2，
所以∠AOC =60°，∠BOC = 120°.
由旋转可知∠BOM=60°，
所以
（2）解：①由(1)得∠AOC=60°，∠BOC=120°，
因为3∠NOC，
所以 解得t
②分三种情况讨论：
Ⅰ.由(1)得∠AOC=60°.
如解图①.
延长NO.
因为直线 ON 恰好平分锐角∠AOC，易知∠AOD=∠BON，
所以∠AOD=∠COD=∠BON，
所以 解得t=5.
Ⅱ.如解图②，
当ON 平分AOC，
所以∠AON=∠CON=
所以 解得：=20.
Ⅲ.如解图③，
当ON 平分∠AOC，
所以∠AON=∠CON=
所以 解得t=35.
综上所述，t的值为5或20或35.
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题；角n等分模型；分类讨论
【解析】【分析】（1）由已知先求出∠BOC的度数，由旋转得度数可以求出∠MOC的度数；
（2）①根据∠AOM=10°t-180°，∠NOC=10°t-90°-120°，结合∠AOM=3∠NOC，然后列方程求解即可；
②分三种情况讨论，分别设未知数列方程，据此求解即可.
1 / 1【奔跑吧期末】浙教版数学七年级上册专项突破六 以数轴、线段或角为载体的动态问题
1．如图，已知线段AB=8，C 是线段AB 上一动点，D 是线段AC的中点，E是线段BD 的中点，在点 C 从点A 向点B 运动的过程中，当C 恰好是线段DE 的中点时，线段AC 的长为(　　)
A．3.2 B．4 C．4.2 D．
【答案】A
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵D是线段AC的中点，
∴AD=CD，
∵E是线段BD的中点 ，
∴BE=DE，
∵点C恰好是线段DE的中点，
∴CD=CE，
∴AD=CD=CE，
∵AB=AD+DC+CE+BE=3AD+BE=3AD+DE=3AD+2CD=5AD=8，
∴AD=1.6，
∴AC=2AD=3.2，
故答案为：A .
【分析】根据中点的定义得到AD=CD，BE=DE，CD=CE，进而得出AD=CD=CE，再根据线段的和差求出AB=5AD=8，即可得出答案.
2．如图，∠AOB 是平角，射线OM 从OA开始，先绕点O按顺时针方向向射线OB 旋转，到达OB 后再绕点O按逆时针方向朝射线OA 旋转，速度为6度/秒.射线ON 从OB 开始，以4度/秒的速度绕点O向OA 旋转，到当ON 到达OA 时，射线OM与ON 都停止运动.当∠BON=2∠MON 时，有以下t的值：①t=15；②t=22.5；③t=30；④t=45.其中正确的序号是(　　)
A．③ B．④ C．①②④ D．①②③
【答案】C
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】解：180÷6=30（秒），
180÷4=45（秒），
180÷（6+4）=18（秒），
（1）当0＜t＜18时，
∠BON=4t°，
∠MON=（180-6t-4t）°=（180-10t）°，
此时 ∠BON=2∠MON ，即 4t°=2（180-10t）°，
解得：t=15，
（2）当18＜t≤30时，
∠BON=4t°，
∠MON=（6t+4t-180）°=（10t-180）°，
此时 ∠BON=2∠MON ，即 4t°=2（10t-180）°，
解得：t=22.5，
（3）当30＜t≤45时，
∠BON=4t°，
∠MON=4t°-6（t-30）°=（180-2t）°，
此时 ∠BON=2∠MON ，即 4t°=2（180-2t）°，
解得：t=45，
综上所述，正确的序号为①②④，
故答案为：C .
【分析】根据射线OM和ON的旋转速度和条件，分0＜t＜18、18＜t≤30、30＜t≤45三个时间段进行讨论，求出t的值即可得出结论.
3．如图，C为线段AB 上一点，AB=30，AC 比BC 的 多5，P，Q两点分别从A，B两点同时出发，分别以2个单位长度/秒和1个单位长度/秒的速度在射线AB 上沿AB 方向运动，运动时间为t秒，M为BP 的中点，N 为QM 的中点， 有下列结论：①；②AB=4NQ；③当时，t=12.其中正确的有(　　)
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；线段的和、差、倍、分的简单计算；数形结合
【解析】【解答】解：设BC=x，则AC=+5，
∵AC+BC=AB， AB=30，
∴+5+x=30，
解得：x=20，
∴BC=20，AC=10，
∴ BC=2AC，故①正确，
∵AP=2t， BQ=t，
当0≤t≤15时，点P在线段AB上，此时BP=AB-AP=30-2t，
∵M为BP的中点，
∴MB=BP=15-t，
∵QM=MB+BQ，
∴QM=15，
又∵N为QM的中点，
∴NQ=QM=，
∴AB=4NQ；
当15此时BP=AP-AB=2t-30，
∵M为BP的中点，
∴BM=BP=t-15，
∵QM=BQ-BM，
∴QM=15，
又∵N为QM的中点，
∴NQ=QM=，
∴AB=4NQ；
当t>30时，点P在线段AB外，且点P在Q的右侧，如图②，
此时BP=AP-AB=2t-30，
∵M为BP的中点，
∴BM=BP=t-15，
∵QM=BQ-BM，
∴QM=15，
又∵N为QM的中点，
∴NQ=QM=，
∴AB=4NQ；
.综上所述，AB=4NQ，故②正确，
当0解得：t=12；
当15解得：t=20；
当t＞30，PB=BQ时，PB=AP-AB=2t-30，则 2t-30=t，
解得：t=20，与t＞30矛盾，舍去；
终上所述，当PB=BQ时，t=12或20，故③错误，
故答案为：B .
【分析】根据 AC 比BC 的 多5，可求出AC、BC的长度，然后分别求出当点P与Q重合时t=30s，当点P到达B时t=15s，最后分情况讨论点P与Q的位置即可.
4．如图，把∠APB 放在量角器上，读得射线PA，PB 分别经过刻度117 和153，把∠APB 绕点 P 按逆时针方向旋转得到 .有下列结论：①；②若射线 经过刻度27，则 与 互补；③若 则射线经过刻度45.其中正确的是(　　)
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】角的运算；旋转的性质；补角
【解析】【解答】解：根据题意可知：∠APB==153°-117°=36°，
∵∠APA'=∠A'PB'+∠APB'，∠BPB'=∠APB+∠APB'，
∴∠APA'=∠BPB'，故①正确，
若射线PA'经过刻度27，则∠OPA'=27°，则∠B'PA=∠OPA-∠OPA'-∠A'PB'=117°-27°-36°=54°，
∠A'PB=∠OPB-∠OPA'=153°-27°=126°，
∴∠B'PA+∠A'PB=180°，
∴∠B'PA与∠A'PB互补，故②正确，
若∠APB'=，则∠APA'=∠A'PB'+∠APB'=72°，
则∠OPA'=∠OPA-∠APA'=117°-72°=42°，
∴射线PA'经过刻度45°，故③正确，
综上所述，D①②③正确，
故答案为：D .
【分析】根据已知条件，求出∠APB==36°，即可判断①；求出∠B'PA与∠A'PB，即可判断②，求出∠OPA'，即可判断③.
5．如图，已知 ，射线OM 从OA 出发，以每秒 的速度在 内部绕点O按逆时针方向旋转.若 和 中，有一个角是另一个角的2倍，则运动时间为　 　s.
【答案】3或6
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒，此时∠AOM=5t°，∠BOM=45°-5t°，
当∠BOM=2∠AOM时，
即45°-5t°=2×5t°，
解得：t=3，
当∠AOM=2∠BOM时，
即5t°=2×（45°-5t°），
解得：t=6，
故答案为：3或6 .
【分析】设运动时间为y秒，分∠BOM=2∠AOM和∠AOM=2∠BOM两种情况，列方程求解即可.
6．已知数轴上点A 表示的数为-5，点O 表示的数为0.若有一只小乌龟从点 A 出发，以每分钟2个单位长度的速度向左做匀速运动，有一只小白兔从原点O出发，以每分钟5个单位长度的速度向左做匀速运动，但小白兔每走2分钟原地休息1分钟，小乌龟和小白兔同时出发，运动　 　分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度.
【答案】1或4
【知识点】有理数在数轴上的表示；数轴的点常规运动模型；数形结合；分类讨论
【解析】【解答】解：根据题意可知：OA=5，
设运动时间为t秒，
当t=1时，小乌龟所在点表示为：-5-2×1=-7，
小白兔所在点表示为：-5×1=-5，
此时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度，
当t=2时，小乌龟所在点表示为：-5-2×2=-9，
小白兔所在点表示为：-5×2=-10，
此时， 小乌龟和小白兔之间的距离为1个单位长度，
当t=3时，小乌龟所在点表示为：-5-2×3=-11，
小白兔每走2分钟原地休息1分钟， 故所在点表示为：-5×（3-1）=-10，
此时， 小乌龟和小白兔之间的距离为1个单位长度，
当t=4时，小乌龟所在点表示为：-5-2×4=-13，
小白兔每走2分钟原地休息1分钟， 故所在点表示为：-5×（4-1）=-15，
此时， 小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度，
当t≥5时，小乌龟追不上小白兔，不会再出现距离为2个单位长度的情况，
综上所述，当1或4分钟时，小乌龟和小白兔之间的距离为2个单位长度，
故答案为：1或4 .
【分析】根据题意可知，OA=1，设运动时间为t秒，根据题意依次列举t的值，分别进行求解即可.
7．如图，在数轴上放置了两个完全相同的长方形ABCD，EFGH.现长方形ABCD，EFGH 分别以每秒1个单位长度、3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，在运动过程中，两个长方形的重叠部分面积的最大值为　 　，且它的持续时间为　 　s.
【答案】9；0.5
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴的点常规运动模型；数形结合
【解析】【解答】解：当长方形EFGH的边EF在AB上时，S最大，
S的最大值为：3×3=9，
当点E与点A重合时，经过的时间为t，
-5+3t=1+t，
解得：t=3，
当点F与点B重合时，经过的时间为h，
-2+3h=5+h，
解得：h=3.5，
∴3.5-3=0.5，
∴整个运动过程中，S的最大值是9，持续时间是0.5秒；
故答案为：9；0.5 .
【分析】根据题意可知，当两个长方形完全重叠时，重叠部分面积最大，即3×3=9，当点E与点A重合时，表示开始完全重叠，当点F与点B重合时，表示结束完全重叠，据此列方程求解即可得出重叠的持续时间.
8．小方同学设计了一个“魔法棒转不停”程序.如图，点O，A.在直线MN上，第一步， .绕点O 按顺时针方向旋转 至 ；第二步，绕点O按顺时针方向旋转2α至 ；第三步， 绕点O 按顺时针方向旋转3α至( 按此类推，在旋转的过程中，若碰到直线MN，则立即绕点O 反方向旋转.当 时，α等于　 　度.
【答案】3或或
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题；分类讨论
【解析】【解答】解：①OA1未反弹时，如图：
∵∠A2OA4=21°，
∴3α+4α=7α=21°，
∴α=3°，
此时=α+2α+3α+4α=10α=30°＜180°，满足题意；
②反弹后落在之间，如图：
，
∴，
∴=180°-3α-（10α-180°）=360°-13α，
∴360°-13α=21°，
∴α=（）°＜30°，
此时，不符合题意，舍去；
③反弹后落在之间，如图：
，
∴，
∴=180°-3α-（10α-180°）=360°-13α，
∴360°-13α=21°，
∴α=（）°＜30°，
此时，满足题意；
④反弹后落在之间，如图：
，
∴，
∴=180°-（10α-180°）=360°-10α，
∴=3α-（360°-10α）=13α-360°=21°，
∴α=（）°＜30°，满足题意；
∵α＜30°，
∴6α＜180°，
∴射线不可能反弹；
综上所述，α等于3或或度，
故答案为：3或或.
【分析】根据题意，由旋转的性质和角度的变化规律，可对射线进行讨论分析：①未反弹，②反弹后落在之间，③反弹后落在之间，④反弹后落在之间，分别求出每一种情况的答案，并结合实际情况，即可得到答案.
9．如图，已知A，B，C 是数轴上三点，O为原点.点C 对应的数为6，，.
（1）求点A，B 对应的数.
（2）动点 P，Q分别同时从点A，C出发，分别以每秒6个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴的正方向运动.M为AP 的中点，点N 在线段CQ上，且 ，设运动时间为 （t＞0）.
①求点 M，N对应的数(用含 t 的代数式表示)；
②当t为何值时， ？
【答案】（1）解：因为点C 对应的数为6，BC=4，
所以点B 表示的数是6-4=2.
因为AB=12，
所以点 A 表示的数是2-12=-10.
（2）解：①因为动点 P，Q分别同时从点A，C出发，
分别以每秒6个单位长度和3个单位长度的速度，运动时间是t，
所以AP=6t，CQ=3t，
因为M为AP的中点，点N 在CQ上，且CN
所以
因为点A表示的数是-10，点C 表示的数是6，
所以点 M 表示的数是-10+3t.点 N 表示的数是6+t.
②因为OM=|-10+3t|，BN=BC+CN=4+t，OM=2BN，
所以|-10+3t|=2(4+1)=8+2r.
由-10+3t=8+2t，得t=18；
由-10+3t=-(8+2r)，得
故当t=18或 时，OM=2BN.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；数轴的的中点与n等分点模型；数形结合；分类讨论
【解析】【分析】（1）点B表示的数是6-4，点 A 表示的数是2-12，据此求解即可；
（2）①求出AN、CN，根据A、C表示的数求出M、N表示的数即可；
②求出OM、BN，得出方程，求出方程的解即可.
10．如图①，O 为直线AB 上一点，过点O作射线OC，使 ，将一三角尺的直角顶点放在点O处，一边OM 在射线OB 上，另一边ON 在直线AB 的下方.
（1）将图①中的三角尺绕点O 按逆时针方向旋转至图②的位置，求 的度数.
（2）如图③，将图①中的三角尺绕点O以每秒 的速度按逆时针方向旋转α度.
①若经过t(s)后线段 ON 在的内部，且 ，求t的值；
②在三角尺转动时，射线OC 同时绕点O 以每秒4°的速度按矩时针方向旋转，当三角尺停止转动时，射线OC 也停止转动.经过t(s)直线ON恰好平分，请直接写出满足条件的的值.
【答案】（1）解：因为∠BOC+∠AOC=180°，∠AOC：∠BOC=1：2，
所以∠AOC =60°，∠BOC = 120°.
由旋转可知∠BOM=60°，
所以
（2）解：①由(1)得∠AOC=60°，∠BOC=120°，
因为3∠NOC，
所以 解得t
②分三种情况讨论：
Ⅰ.由(1)得∠AOC=60°.
如解图①.
延长NO.
因为直线 ON 恰好平分锐角∠AOC，易知∠AOD=∠BON，
所以∠AOD=∠COD=∠BON，
所以 解得t=5.
Ⅱ.如解图②，
当ON 平分AOC，
所以∠AON=∠CON=
所以 解得：=20.
Ⅲ.如解图③，
当ON 平分∠AOC，
所以∠AON=∠CON=
所以 解得t=35.
综上所述，t的值为5或20或35.
【知识点】角的运算；旋转的性质；一元一次方程的实际应用-行程问题；角n等分模型；分类讨论
【解析】【分析】（1）由已知先求出∠BOC的度数，由旋转得度数可以求出∠MOC的度数；
（2）①根据∠AOM=10°t-180°，∠NOC=10°t-90°-120°，结合∠AOM=3∠NOC，然后列方程求解即可；
②分三种情况讨论，分别设未知数列方程，据此求解即可.
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