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浙江省嘉兴市清华附中嘉兴实验学校2024—2025学年九年级数学3月阶段中考模拟测
1．（2025·嘉兴模拟）在全球人工智能应用市场，DeepSeek的下载量以惊人的速度增长．截至2025年2月5日，DeepSeek的全球下载量约4000万．数据“4000万”用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·嘉兴模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·嘉兴模拟）如图是由5个完全相同的小正方体搭建的几何体，则它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·嘉兴模拟）中考立定跳远测试中，及格的标准是：男生1.85米，女生1.46米．女生李菲跳出了1.58米，记为米，男生张强跳出了2.35米，记作（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
5．（2025·嘉兴模拟） 下列说法正确的是（　　）
A．检测“神州十八号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B．任意画一个三角形，其外角和是是必然事件
C．数据6，5，8，9的中位数是7
D．甲、乙两组数据的方差分别是，则乙组数据比甲组数据稳定
6．（2025·嘉兴模拟）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·嘉兴模拟）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定
8．（2025·嘉兴模拟）如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2025·嘉兴模拟）如图，在直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线，相交于点D，反比例函数经过点D，交的延长线于点E，且，则点E的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·嘉兴模拟）二次函数 ，当 且 时，y的最小值为 ，最大值为 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·嘉兴模拟）分解因式：　 　．
12．（2025·嘉兴模拟）甲、乙两名同学分别从某月1号，2号和3号中选择一天去图书馆，则他们选中同一天的概率是　 　．
13．（2025·嘉兴模拟）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
14．（2025·嘉兴模拟）如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，，则的长是　 　．
15．（2025·嘉兴模拟）如图，在等腰直角三角形中，，点、在抛物线上，点在轴上，、两点的横坐标分别为1和，的值为　 　．
16．（2025·嘉兴模拟）如图，在中，，，点为的中点，点在边上，且满足，，垂足为，交于点，则的值为　 　．
17．（2025·嘉兴模拟）（1）计算：
（2）解不等式组：
18．（2025·嘉兴模拟）（1）如图1，已知，请你仅用无刻度的直尺作出边上的中线．
（2）如图2，已知中，，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线．
19．（2025·嘉兴模拟）某中学积极推进校园文学创作，要求每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件，学期末，学校为了解学生的投稿情况，随机抽取了部分学生，统计每人在本学期投稿的篇数，并绘制成如下统计图表：
投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5
人数 7 10 m 12 6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次所抽取的学生共有______名，表格中m的值为______，所抽取的学生在本学期投稿的篇数的中位数是______篇；
（2）水本次所抽取的学生在本学期投稿的篇数的平均数；
（3）若该校共有1500名学生，请估计该校学生在本学期投稿的篇数为5篇的学生有多少名？
20．（2025·嘉兴模拟）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的长．
21．（2025·嘉兴模拟）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：）
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）．
22．（2025·嘉兴模拟）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是_____，乙车行驶的速度是_____．
（2）求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是？请直接写出答案．
23．（2025·嘉兴模拟）如图，顶点为的抛物线经过点．设动点在对称轴上，纵坐标为，过点的直线与抛物线交于点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用含，的代数式表示与；
（3）若为定值，直线是否过确定的点？如过确定点，请求出点坐标：否则请说明理由．
24．（2025·嘉兴模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；
（3）在（2）的条件下，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4000万
=4000×1000
．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法的表示绝对值较大的数． 把一个数表示成a×10n的形式（1≤a<10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法 .
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，故不符合题意；
B、 ，故符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 ，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项法则计算求解即可。
3．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得，它的俯视图有2层，第1层正方形的个数为1，第2层正方形的个数为3，如图：
，
故答案为：A．
【分析】根据从上面看到的几何图形判断即可．
4．【答案】C
【知识点】有理数减法的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：
记作米
故答案为：C.
【分析】与标准距离求差，根据记数规则解题即可．
5．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；中位数；方差
【解析】【解答】解：A、检测“神州十八号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，故不正确；
B、任意画一个三角形，其外角和是是必然事件，故不正确；
C、∵从小到大排列为5，6，8，9，∴数据6，5，8，9的中位数是，正确；
D、∵甲、乙两组数据的方差分别是，∴$${s}_{\mathrm{甲}}^{2}< {s}_{\mathrm{乙}}^{2}$$，则甲组数据比乙组数据稳定，故不正确；
故答案为：C．
【分析】根据调查范围较广，或具有破坏性的，适合抽样调查；调查范围较小，需要的数据更精确的，适合全面调查即可判断A选项；根据必然事件是在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生即可判断B选项；根据中位数的定义即可判断C选项；根据方差越小数据越稳定，据此即可判断D项．
6．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得：
；
故答案为：A．
【分析】设买甜果x个，苦果y个，根据题意列二元一次方程组即可．
7．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：，
，
解得，
的半径是，
，
直线与的位置关系是相交，
∴直线与有2个交点，
故答案为：B．
【分析】先解一元二次方程求出到圆的半径，根据圆心到直线的距离小于半径得到直线与圆相交，解答即可．
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：是的中位线，，，
∴AD=BD=AB=3，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，，AD=BD=AB，由平行线的性质“两直线平行内错角相等”和角平分线的定义可得，根据等腰三角形的判定“等角对等边”可得，然后由线段的构成EF=DE-DF即可求解．
9．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，作轴于，
，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵点A的坐标为，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵反比例函数经过点D，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，即，
故答案为：D．
【分析】作轴于，根据菱形的性质得到，然后利用正弦的定义求出点B的坐标，即可得到点D的坐标，代入解析式求出k的值，即可得到点E的坐标解题．
10．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数 的大致图象如解图，
∵ ，且 ，
∴ ， ，
①当 时，当 时，y取最小值，即 ，
解得 (舍去)或 ；
当 时，y取最大值，即 ，
解得 (舍去)或 (舍去)；
②当 时，当 时y取最小值，即 ，
解得 (舍去)或 ；
当 时，y取最大值，即 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】由 ，且 ，可得 ， ，分两种情况①当 时，得出当 时，y取最小值，当 时，y取最大值；②当 时，得出当 时y取最小值当 时，y取最大值，据此分别解答即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】先提公因式m，然后根据完全平方公式因式分解解题．
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 1 2 3
1 1，1 1，2 1，3
2 1，2 2，2 2，3
3 1，3 2，3 3，3
由表知，所有可能结果数共有9种，他们选中同一天的结果数有3种，
∴甲、乙恰好选择相邻两天的概率为．
故答案为：．
【分析】用列表法列举出所有等可能的结果数，由表知，所有可能结果数共有9种，他们选中同一天的结果数有3种，从而由概率公式即可求解．
13．【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
【分析】根据圆周角定理求出，然后根据解题即可．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴根据勾股定理得：，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据折叠得到，，然后利用矩形的性质，根据勾股定理列方程解题即可．
15．【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的概念；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解∶过A作于D，过B作轴于E，
∵点、在抛物线上，、两点的横坐标分别为1和，
∴点A、B的纵坐标为、，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，，
又，
∴，
解得，（不符合题意，舍去）
∴b的值为2，
故答案为：2．
【分析】过A作于D，过B作轴于E，求出A、B的坐标，根据即可得到，进而可得，，然后根据OE长列方程求出b值即可．
16．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交于点，过点作交的延长线于点，
∵，点为的中点，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】延长交于点，过点作交的延长线于点，设，根据同角的余角相等可得，然后根据正切的定义得到的长，即可得到长，然后解直角三角形求出AE长，然后推理得到，根据对应边成比例解题即可．
17．【答案】解：（1）
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算零指数幂、算术平方根、负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后加减解题即可；
（2）求出两个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”口诀得到公共部分解题即可．
18．【答案】解：（1）如图，即为所所求作的中线；
∵，，，
∴，
∴，
∴为的中线；
（2）即为所求作的角平分线，如图所示：
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴平分．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，取格点D，连接即可；
（2）根据等腰三角形的性质，取格点F，连接，交于点E，连接，则即为所求．
19．【答案】（1）50；15；3
（2）解：平均数为：（篇）；
（3）解：样本中投稿5篇的学生有6名，所占比例为，
该校共有1500名学生，则估计投稿5篇的学生有名）．
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：已知投4篇的有12人，占比，
则抽取的学生总数为（名）；
因为总人数是50名，所以；
将投稿篇数从小到大排列，总人数50是偶数，中间的两个数是第25，26个数，都在投稿3篇的范围内，
所以中位数是3篇；
故答案为：50；15；3；
【分析】（1）利用投4篇的人数除以其占比求出总人数，再根据总人数减去其它篇数的人数求得的值，再利用中位数定义解答即可．
（2）利用加权平均数的计算公式解答即可．
（3）运用1500×样本中投稿5篇的学生所占比例得到全校投稿5篇的学生人数．
（1）解：已知投4篇的有12人，占比，
则抽取的学生总数为（名）；
因为总人数是50名，所以；
将投稿篇数从小到大排列，总人数50是偶数，中间的两个数是第25，26个数，都在投稿3篇的范围内，
所以中位数是3篇；
（2）解：平均数为：
（篇）；
（3）解：样本中投稿5篇的学生有6名，所占比例为，
该校共有1500名学生，则估计投稿5篇的学生有名）．
20．【答案】（1）证明：∵在菱形中，，
∴，
又∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
（2）解：∵在菱形中，，由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
是斜边上的中线，
．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得，再根据中点定义得到，利用AAS证明即可得到结论；
（2）根据菱形性质得到，然后根据直角三角形斜边上的中线性质解答即可．
（1）证明：∵在菱形中，，
∴，
又∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
（2）解：∵在菱形中，，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
是斜边上的中线，
．
21．【答案】（1）解：如图，过点E作于点G．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴．
（2）解：如图，过点B分别作于点H，于点P．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
易知，
在中，
，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（）．
答：的长度约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点E作于点G．可以得到为矩形，得到．然后利用余弦的定义求出EG长即可；
（2）过点B分别作于点H，于点P．得到是矩形，得，在中运用解直角三角形求出HE和BH长解题即可.
（1）解：如图，过点E作于点G．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴．
（2）解：如图，过点B分别作于点H，于点P．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
易知，
在中，
，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（）．
答：的长度约为．
22．【答案】（1），
（2）解：设线段所在直线的解析式为．
∵，在直线上，
∴．
解得：．
线段所在直线的解析式为．
（3）解：设乙车出发时，
∵在中，当时，，
∴，
∵乙车行驶速度为，甲车行驶速度为且两车同时到达目的地，
∴乙到达目的地时，甲距离A地的距离为，
∴，，
∴两车距各自出发地路程的差是，
当时，此时甲在到达C地前，
，
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，此时甲在C地休息，
，
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，此时甲在返回B地中，
解得：，（不合题意，舍去）
综上所述，乙车出发或，两车距各自出发地路程的差是．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图可得，即甲出发3时后与地相距，
∴甲车行驶速度为；
由题意可得，，即乙车出发行驶，
∴乙车行驶速度为，
故答案为：，；
【分析】（1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度；
（2）利用待定系数法求函数解析式；
（3）先求得点E、F坐标，然后分情况列方程求解．
23．【答案】（1）解：由顶点为设抛物线的解析式为∶，
把代入得，
∴
∴；
（2）解：由题意可得直线过点，
∴，
∴，
∴，
由得
，
∴；
（3）解：由（2）得，
∴
点，在上，
∴，，
∴
∴
∵为定值，设定值为
∴
∴
∴，
∴
解得：或
∴或．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）把点C的坐标代入解析式得出，即可得到，联立两解析式，根据根与系数的关系即可解题果；
（3）代入两点的坐标求出p，q的值，计算，然后整体代入解答即可．
（1）解：由顶点为设抛物线的解析式为∶，
把代入得，
∴
∴；
（2）解：由题意可得直线过点，
∴，
∴，
∴，
由得
，
∴；
（3）解：由（2）得，
∴
点，在上，
∴，，
∴
∴
∵为定值，设定值为
∴
∴
∴，
∴
解得：或
∴或．
24．【答案】（1）解：证明：如图，连接，
为劣弧的中点，
，
，
又为⊙O的切线，
，
；
（2）解：如图，连接，，
设，则，
为劣弧的中点，
，
，
又，
，
，
，
，
为⊙O的直径，
，
又⊙O的半径为，
，
由得，
解得或（舍），
；
（3）解：如图，设与交于点，
由（2）知，
，，
在中，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
为⊙O的直径，
，
由（1）可知，，
四边形为矩形，
，，
．
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-SAS；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，即可得到结论；
（2）连接，，设，然后证明，根据对应边成比例求出CD2，BD2长，再在中根据勾股定理求出x值即可解题；
（3）连接，，设与交于点，根据余弦的定义求出，然后在中根据勾股定理求出，再证明为矩形，根据解答即可．
（1）解：证明：如图，连接，
为劣弧的中点，
，
，
又为⊙O的切线，
，
；
（2）解：如图，连接，，
设，则，
为劣弧的中点，
，
，
又，
，
，
，
，
为⊙O的直径，
，
又⊙O的半径为，
，
由得，
解得或（舍），
；
（3）解：如图，设与交于点，
由（2）知，
，，
在中，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
为⊙O的直径，
，
由（1）可知，，
四边形为矩形，
，，
．
1 / 1浙江省嘉兴市清华附中嘉兴实验学校2024—2025学年九年级数学3月阶段中考模拟测
1．（2025·嘉兴模拟）在全球人工智能应用市场，DeepSeek的下载量以惊人的速度增长．截至2025年2月5日，DeepSeek的全球下载量约4000万．数据“4000万”用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4000万
=4000×1000
．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法的表示绝对值较大的数． 把一个数表示成a×10n的形式（1≤a<10，n为整数），这种记数法叫做科学记数法 .
2．（2025·嘉兴模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，故不符合题意；
B、 ，故符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 ，故不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项法则计算求解即可。
3．（2025·嘉兴模拟）如图是由5个完全相同的小正方体搭建的几何体，则它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得，它的俯视图有2层，第1层正方形的个数为1，第2层正方形的个数为3，如图：
，
故答案为：A．
【分析】根据从上面看到的几何图形判断即可．
4．（2025·嘉兴模拟）中考立定跳远测试中，及格的标准是：男生1.85米，女生1.46米．女生李菲跳出了1.58米，记为米，男生张强跳出了2.35米，记作（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【知识点】有理数减法的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：
记作米
故答案为：C.
【分析】与标准距离求差，根据记数规则解题即可．
5．（2025·嘉兴模拟） 下列说法正确的是（　　）
A．检测“神州十八号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B．任意画一个三角形，其外角和是是必然事件
C．数据6，5，8，9的中位数是7
D．甲、乙两组数据的方差分别是，则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；中位数；方差
【解析】【解答】解：A、检测“神州十八号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，故不正确；
B、任意画一个三角形，其外角和是是必然事件，故不正确；
C、∵从小到大排列为5，6，8，9，∴数据6，5，8，9的中位数是，正确；
D、∵甲、乙两组数据的方差分别是，∴$${s}_{\mathrm{甲}}^{2}< {s}_{\mathrm{乙}}^{2}$$，则甲组数据比乙组数据稳定，故不正确；
故答案为：C．
【分析】根据调查范围较广，或具有破坏性的，适合抽样调查；调查范围较小，需要的数据更精确的，适合全面调查即可判断A选项；根据必然事件是在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生即可判断B选项；根据中位数的定义即可判断C选项；根据方差越小数据越稳定，据此即可判断D项．
6．（2025·嘉兴模拟）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得：
；
故答案为：A．
【分析】设买甜果x个，苦果y个，根据题意列二元一次方程组即可．
7．（2025·嘉兴模拟）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：，
，
解得，
的半径是，
，
直线与的位置关系是相交，
∴直线与有2个交点，
故答案为：B．
【分析】先解一元二次方程求出到圆的半径，根据圆心到直线的距离小于半径得到直线与圆相交，解答即可．
8．（2025·嘉兴模拟）如图，的平分线交的中位线于点，若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：是的中位线，，，
∴AD=BD=AB=3，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，，AD=BD=AB，由平行线的性质“两直线平行内错角相等”和角平分线的定义可得，根据等腰三角形的判定“等角对等边”可得，然后由线段的构成EF=DE-DF即可求解．
9．（2025·嘉兴模拟）如图，在直角坐标系中，有菱形，点A的坐标为，对角线，相交于点D，反比例函数经过点D，交的延长线于点E，且，则点E的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，作轴于，
，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵点A的坐标为，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵反比例函数经过点D，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当时，，即，
故答案为：D．
【分析】作轴于，根据菱形的性质得到，然后利用正弦的定义求出点B的坐标，即可得到点D的坐标，代入解析式求出k的值，即可得到点E的坐标解题．
10．（2025·嘉兴模拟）二次函数 ，当 且 时，y的最小值为 ，最大值为 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数 的大致图象如解图，
∵ ，且 ，
∴ ， ，
①当 时，当 时，y取最小值，即 ，
解得 (舍去)或 ；
当 时，y取最大值，即 ，
解得 (舍去)或 (舍去)；
②当 时，当 时y取最小值，即 ，
解得 (舍去)或 ；
当 时，y取最大值，即 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】由 ，且 ，可得 ， ，分两种情况①当 时，得出当 时，y取最小值，当 时，y取最大值；②当 时，得出当 时y取最小值当 时，y取最大值，据此分别解答即可.
11．（2025·嘉兴模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：；
故答案为：．
【分析】先提公因式m，然后根据完全平方公式因式分解解题．
12．（2025·嘉兴模拟）甲、乙两名同学分别从某月1号，2号和3号中选择一天去图书馆，则他们选中同一天的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 1 2 3
1 1，1 1，2 1，3
2 1，2 2，2 2，3
3 1，3 2，3 3，3
由表知，所有可能结果数共有9种，他们选中同一天的结果数有3种，
∴甲、乙恰好选择相邻两天的概率为．
故答案为：．
【分析】用列表法列举出所有等可能的结果数，由表知，所有可能结果数共有9种，他们选中同一天的结果数有3种，从而由概率公式即可求解．
13．（2025·嘉兴模拟）如图，在中，，，则图中阴影部分的面积为　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
【分析】根据圆周角定理求出，然后根据解题即可．
14．（2025·嘉兴模拟）如图，矩形中，点E在边上，将矩形沿直线折叠，点A恰好落在边的点F处．若，，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知，，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴根据勾股定理得：，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据折叠得到，，然后利用矩形的性质，根据勾股定理列方程解题即可．
15．（2025·嘉兴模拟）如图，在等腰直角三角形中，，点、在抛物线上，点在轴上，、两点的横坐标分别为1和，的值为　 　．
【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的概念；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解∶过A作于D，过B作轴于E，
∵点、在抛物线上，、两点的横坐标分别为1和，
∴点A、B的纵坐标为、，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴，
在等腰直角三角形中，，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，，
又，
∴，
解得，（不符合题意，舍去）
∴b的值为2，
故答案为：2．
【分析】过A作于D，过B作轴于E，求出A、B的坐标，根据即可得到，进而可得，，然后根据OE长列方程求出b值即可．
16．（2025·嘉兴模拟）如图，在中，，，点为的中点，点在边上，且满足，，垂足为，交于点，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交于点，过点作交的延长线于点，
∵，点为的中点，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】延长交于点，过点作交的延长线于点，设，根据同角的余角相等可得，然后根据正切的定义得到的长，即可得到长，然后解直角三角形求出AE长，然后推理得到，根据对应边成比例解题即可．
17．（2025·嘉兴模拟）（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】解：（1）
；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先运算零指数幂、算术平方根、负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后加减解题即可；
（2）求出两个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”口诀得到公共部分解题即可．
18．（2025·嘉兴模拟）（1）如图1，已知，请你仅用无刻度的直尺作出边上的中线．
（2）如图2，已知中，，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线．
【答案】解：（1）如图，即为所所求作的中线；
∵，，，
∴，
∴，
∴为的中线；
（2）即为所求作的角平分线，如图所示：
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴平分．
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，取格点D，连接即可；
（2）根据等腰三角形的性质，取格点F，连接，交于点E，连接，则即为所求．
19．（2025·嘉兴模拟）某中学积极推进校园文学创作，要求每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件，学期末，学校为了解学生的投稿情况，随机抽取了部分学生，统计每人在本学期投稿的篇数，并绘制成如下统计图表：
投稿篇数（篇） 1 2 3 4 5
人数 7 10 m 12 6
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次所抽取的学生共有______名，表格中m的值为______，所抽取的学生在本学期投稿的篇数的中位数是______篇；
（2）水本次所抽取的学生在本学期投稿的篇数的平均数；
（3）若该校共有1500名学生，请估计该校学生在本学期投稿的篇数为5篇的学生有多少名？
【答案】（1）50；15；3
（2）解：平均数为：（篇）；
（3）解：样本中投稿5篇的学生有6名，所占比例为，
该校共有1500名学生，则估计投稿5篇的学生有名）．
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：已知投4篇的有12人，占比，
则抽取的学生总数为（名）；
因为总人数是50名，所以；
将投稿篇数从小到大排列，总人数50是偶数，中间的两个数是第25，26个数，都在投稿3篇的范围内，
所以中位数是3篇；
故答案为：50；15；3；
【分析】（1）利用投4篇的人数除以其占比求出总人数，再根据总人数减去其它篇数的人数求得的值，再利用中位数定义解答即可．
（2）利用加权平均数的计算公式解答即可．
（3）运用1500×样本中投稿5篇的学生所占比例得到全校投稿5篇的学生人数．
（1）解：已知投4篇的有12人，占比，
则抽取的学生总数为（名）；
因为总人数是50名，所以；
将投稿篇数从小到大排列，总人数50是偶数，中间的两个数是第25，26个数，都在投稿3篇的范围内，
所以中位数是3篇；
（2）解：平均数为：
（篇）；
（3）解：样本中投稿5篇的学生有6名，所占比例为，
该校共有1500名学生，则估计投稿5篇的学生有名）．
20．（2025·嘉兴模拟）如图，在菱形中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵在菱形中，，
∴，
又∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
（2）解：∵在菱形中，，由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
是斜边上的中线，
．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得，再根据中点定义得到，利用AAS证明即可得到结论；
（2）根据菱形性质得到，然后根据直角三角形斜边上的中线性质解答即可．
（1）证明：∵在菱形中，，
∴，
又∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
（2）解：∵在菱形中，，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
是斜边上的中线，
．
21．（2025·嘉兴模拟）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：）
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）．
【答案】（1）解：如图，过点E作于点G．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴．
（2）解：如图，过点B分别作于点H，于点P．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
易知，
在中，
，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（）．
答：的长度约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点E作于点G．可以得到为矩形，得到．然后利用余弦的定义求出EG长即可；
（2）过点B分别作于点H，于点P．得到是矩形，得，在中运用解直角三角形求出HE和BH长解题即可.
（1）解：如图，过点E作于点G．
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∵，，
∴，
∴．
在中，，
∴．
（2）解：如图，过点B分别作于点H，于点P．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
易知，
在中，
，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴（）．
答：的长度约为．
22．（2025·嘉兴模拟）在一条高速公路上依次有A，B，C三地，甲车从A地出发匀速驶向C地，到达C地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向B地，甲车从A地出发后，乙车从C地出发匀速驶向A地，两车同时到达目的地．两车距A地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）甲车行驶的速度是_____，乙车行驶的速度是_____．
（2）求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）乙车出发多少小时，两车距各自出发地路程的差是？请直接写出答案．
【答案】（1），
（2）解：设线段所在直线的解析式为．
∵，在直线上，
∴．
解得：．
线段所在直线的解析式为．
（3）解：设乙车出发时，
∵在中，当时，，
∴，
∵乙车行驶速度为，甲车行驶速度为且两车同时到达目的地，
∴乙到达目的地时，甲距离A地的距离为，
∴，，
∴两车距各自出发地路程的差是，
当时，此时甲在到达C地前，
，
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，此时甲在C地休息，
，
解得：，（不合题意，舍去）；
当时，此时甲在返回B地中，
解得：，（不合题意，舍去）
综上所述，乙车出发或，两车距各自出发地路程的差是．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图可得，即甲出发3时后与地相距，
∴甲车行驶速度为；
由题意可得，，即乙车出发行驶，
∴乙车行驶速度为，
故答案为：，；
【分析】（1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度；
（2）利用待定系数法求函数解析式；
（3）先求得点E、F坐标，然后分情况列方程求解．
23．（2025·嘉兴模拟）如图，顶点为的抛物线经过点．设动点在对称轴上，纵坐标为，过点的直线与抛物线交于点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）用含，的代数式表示与；
（3）若为定值，直线是否过确定的点？如过确定点，请求出点坐标：否则请说明理由．
【答案】（1）解：由顶点为设抛物线的解析式为∶，
把代入得，
∴
∴；
（2）解：由题意可得直线过点，
∴，
∴，
∴，
由得
，
∴；
（3）解：由（2）得，
∴
点，在上，
∴，，
∴
∴
∵为定值，设定值为
∴
∴
∴，
∴
解得：或
∴或．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）把点C的坐标代入解析式得出，即可得到，联立两解析式，根据根与系数的关系即可解题果；
（3）代入两点的坐标求出p，q的值，计算，然后整体代入解答即可．
（1）解：由顶点为设抛物线的解析式为∶，
把代入得，
∴
∴；
（2）解：由题意可得直线过点，
∴，
∴，
∴，
由得
，
∴；
（3）解：由（2）得，
∴
点，在上，
∴，，
∴
∴
∵为定值，设定值为
∴
∴
∴，
∴
解得：或
∴或．
24．（2025·嘉兴模拟）如图，AB为⊙O的直径，C为圆上的一点，D为劣弧的中点，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P，与AB的延长线交于点F，AD与BC交于点E．
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为，DE＝1，求AE的长度；
（3）在（2）的条件下，求的面积．
【答案】（1）解：证明：如图，连接，
为劣弧的中点，
，
，
又为⊙O的切线，
，
；
（2）解：如图，连接，，
设，则，
为劣弧的中点，
，
，
又，
，
，
，
，
为⊙O的直径，
，
又⊙O的半径为，
，
由得，
解得或（舍），
；
（3）解：如图，设与交于点，
由（2）知，
，，
在中，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
为⊙O的直径，
，
由（1）可知，，
四边形为矩形，
，，
．
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-SAS；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，即可得到结论；
（2）连接，，设，然后证明，根据对应边成比例求出CD2，BD2长，再在中根据勾股定理求出x值即可解题；
（3）连接，，设与交于点，根据余弦的定义求出，然后在中根据勾股定理求出，再证明为矩形，根据解答即可．
（1）解：证明：如图，连接，
为劣弧的中点，
，
，
又为⊙O的切线，
，
；
（2）解：如图，连接，，
设，则，
为劣弧的中点，
，
，
又，
，
，
，
，
为⊙O的直径，
，
又⊙O的半径为，
，
由得，
解得或（舍），
；
（3）解：如图，设与交于点，
由（2）知，
，，
在中，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
为⊙O的直径，
，
由（1）可知，，
四边形为矩形，
，，
．
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