【精品解析】浙江省嘉兴市清华附中嘉兴实验学校2024—2025学年九年级数学3月阶段中考模拟测

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浙江省嘉兴市清华附中嘉兴实验学校2024—2025学年九年级数学3月阶段中考模拟测
1.(2025·嘉兴模拟)在全球人工智能应用市场,DeepSeek的下载量以惊人的速度增长.截至2025年2月5日,DeepSeek的全球下载量约4000万.数据“4000万”用科学记数法可以表示为(  )
A. B. C. D.
2.(2025·嘉兴模拟)下列运算正确的是(  )
A. B.
C. D.
3.(2025·嘉兴模拟)如图是由5个完全相同的小正方体搭建的几何体,则它的俯视图是(  )
A. B. C. D.
4.(2025·嘉兴模拟)中考立定跳远测试中,及格的标准是:男生1.85米,女生1.46米.女生李菲跳出了1.58米,记为米,男生张强跳出了2.35米,记作(  )
A.米 B.米 C.米 D.米
5.(2025·嘉兴模拟) 下列说法正确的是(  )
A.检测“神州十八号”载人飞船零件的质量,应采用抽样调查
B.任意画一个三角形,其外角和是是必然事件
C.数据6,5,8,9的中位数是7
D.甲、乙两组数据的方差分别是,则乙组数据比甲组数据稳定
6.(2025·嘉兴模拟)数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一,书中记载着这样一个问题,大意是:999文钱买了甜果和苦果共1000个,11文钱可买9个甜果,4文钱可买7个苦果,问甜果,苦果各买了多少个?设买了甜果x个,苦果y个,则可列方程组为(  )
A. B.
C. D.
7.(2025·嘉兴模拟)已知的半径是一元二次方程的一个根,圆心O到直线的距离,则直线与的交点个数为(  )
A.1个 B.2个 C.没有交点 D.不能确定
8.(2025·嘉兴模拟)如图,的平分线交的中位线于点,若,,则的长为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2025·嘉兴模拟)如图,在直角坐标系中,有菱形,点A的坐标为,对角线,相交于点D,反比例函数经过点D,交的延长线于点E,且,则点E的坐标是(  )
A. B. C. D.
10.(2025·嘉兴模拟)二次函数 ,当 且 时,y的最小值为 ,最大值为 ,则 的值为(  )
A. B. C. D.
11.(2025·嘉兴模拟)分解因式:   .
12.(2025·嘉兴模拟)甲、乙两名同学分别从某月1号,2号和3号中选择一天去图书馆,则他们选中同一天的概率是   .
13.(2025·嘉兴模拟)如图,在中,,,则图中阴影部分的面积为   .(结果保留)
14.(2025·嘉兴模拟)如图,矩形中,点E在边上,将矩形沿直线折叠,点A恰好落在边的点F处.若,,则的长是   .
15.(2025·嘉兴模拟)如图,在等腰直角三角形中,,点、在抛物线上,点在轴上,、两点的横坐标分别为1和,的值为   .
16.(2025·嘉兴模拟)如图,在中,,,点为的中点,点在边上,且满足,,垂足为,交于点,则的值为   .
17.(2025·嘉兴模拟)(1)计算:
(2)解不等式组:
18.(2025·嘉兴模拟)(1)如图1,已知,请你仅用无刻度的直尺作出边上的中线.
(2)如图2,已知中,,请你仅用无刻度的直尺作出的平分线.
19.(2025·嘉兴模拟)某中学积极推进校园文学创作,要求每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件,学期末,学校为了解学生的投稿情况,随机抽取了部分学生,统计每人在本学期投稿的篇数,并绘制成如下统计图表:
投稿篇数(篇) 1 2 3 4 5
人数 7 10 m 12 6
根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次所抽取的学生共有______名,表格中m的值为______,所抽取的学生在本学期投稿的篇数的中位数是______篇;
(2)水本次所抽取的学生在本学期投稿的篇数的平均数;
(3)若该校共有1500名学生,请估计该校学生在本学期投稿的篇数为5篇的学生有多少名?
20.(2025·嘉兴模拟)如图,在菱形中,是的中点,连接并延长,交的延长线于点.
(1)求证:;
(2)连接,若,求的长.
21.(2025·嘉兴模拟)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一.如图是小红同学安装的化学实验装置,安装要求为试管略向下倾斜,试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管, ,试管倾斜角为.(参考数据:)
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度(结果精确到);
(2)实验时,当导气管紧贴水槽,延长交的延长线于点F,且(点C,D,N,F在一条直线上),经测得:,求线段的长度(结果精确到).
22.(2025·嘉兴模拟)在一条高速公路上依次有A,B,C三地,甲车从A地出发匀速驶向C地,到达C地休息后调头(调头时间忽略不计)按原路原速驶向B地,甲车从A地出发后,乙车从C地出发匀速驶向A地,两车同时到达目的地.两车距A地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示.请结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲车行驶的速度是_____,乙车行驶的速度是_____.
(2)求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式,并直接写出自变量x的取值范围;
(3)乙车出发多少小时,两车距各自出发地路程的差是?请直接写出答案.
23.(2025·嘉兴模拟)如图,顶点为的抛物线经过点.设动点在对称轴上,纵坐标为,过点的直线与抛物线交于点,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)用含,的代数式表示与;
(3)若为定值,直线是否过确定的点?如过确定点,请求出点坐标:否则请说明理由.
24.(2025·嘉兴模拟)如图,AB为⊙O的直径,C为圆上的一点,D为劣弧的中点,过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P,与AB的延长线交于点F,AD与BC交于点E.
(1)求证:;
(2)若⊙O的半径为,DE=1,求AE的长度;
(3)在(2)的条件下,求的面积.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解:4000万
=4000×1000

故答案为:B.
【分析】用科学记数法的表示绝对值较大的数. 把一个数表示成a×10n的形式(1≤a<10,n为整数),这种记数法叫做科学记数法 .
2.【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法;合并同类项法则及应用;积的乘方运算;幂的乘方运算
【解析】【解答】解:A、 ,故不符合题意;
B、 ,故符合题意;
C、 ,故不符合题意;
D、 ,故不符合题意;
故答案为:B.
【分析】利用幂的乘方,同底数幂的乘法,积的乘方,合并同类项法则计算求解即可。
3.【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解:由题意可得,它的俯视图有2层,第1层正方形的个数为1,第2层正方形的个数为3,如图:

故答案为:A.
【分析】根据从上面看到的几何图形判断即可.
4.【答案】C
【知识点】有理数减法的实际应用;用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解:
记作米
故答案为:C.
【分析】与标准距离求差,根据记数规则解题即可.
5.【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查;事件的分类;中位数;方差
【解析】【解答】解:A、检测“神州十八号”载人飞船零件的质量,应采用全面调查,故不正确;
B、任意画一个三角形,其外角和是是必然事件,故不正确;
C、∵从小到大排列为5,6,8,9,∴数据6,5,8,9的中位数是,正确;
D、∵甲、乙两组数据的方差分别是,∴$${s}_{\mathrm{甲}}^{2}< {s}_{\mathrm{乙}}^{2}$$,则甲组数据比乙组数据稳定,故不正确;
故答案为:C.
【分析】根据调查范围较广,或具有破坏性的,适合抽样调查;调查范围较小,需要的数据更精确的,适合全面调查即可判断A选项;根据必然事件是在一定的条件下重复进行试验时,有的事件在每次试验中必然会发生即可判断B选项;根据中位数的定义即可判断C选项;根据方差越小数据越稳定,据此即可判断D项.
6.【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题;列二元一次方程
【解析】【解答】解:设买了甜果x个,苦果y个,由题意,得:

故答案为:A.
【分析】设买甜果x个,苦果y个,根据题意列二元一次方程组即可.
7.【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程;直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:,

解得,
的半径是,

直线与的位置关系是相交,
∴直线与有2个交点,
故答案为:B.
【分析】先解一元二次方程求出到圆的半径,根据圆心到直线的距离小于半径得到直线与圆相交,解答即可.
8.【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:是的中位线,,,
∴AD=BD=AB=3,,,

平分,




故答案为:B.
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得,,AD=BD=AB,由平行线的性质“两直线平行内错角相等”和角平分线的定义可得,根据等腰三角形的判定“等角对等边”可得,然后由线段的构成EF=DE-DF即可求解.
9.【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式;菱形的性质;解直角三角形—三边关系(勾股定理);解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解:如图,作轴于,

∵四边形是菱形,
∴,
∴,
∵点A的坐标为,,
∴,,
∴,,
∴,
∴,
∵是的中点,
∴,
∵反比例函数经过点D,
∴,
∴,
∴反比例函数的解析式为,
当时,,即,
故答案为:D.
【分析】作轴于,根据菱形的性质得到,然后利用正弦的定义求出点B的坐标,即可得到点D的坐标,代入解析式求出k的值,即可得到点E的坐标解题.
10.【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象;二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解:二次函数 的大致图象如解图,
∵ ,且 ,
∴ , ,
①当 时,当 时,y取最小值,即 ,
解得 (舍去)或 ;
当 时,y取最大值,即 ,
解得 (舍去)或 (舍去);
②当 时,当 时y取最小值,即 ,
解得 (舍去)或 ;
当 时,y取最大值,即 ,
解得 ,
∴ .
故答案为:D.
【分析】由 ,且 ,可得 , ,分两种情况①当 时,得出当 时,y取最小值,当 时,y取最大值;②当 时,得出当 时y取最小值当 时,y取最大值,据此分别解答即可.
11.【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解:;
故答案为:.
【分析】先提公因式m,然后根据完全平方公式因式分解解题.
12.【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解:列表如下:
  1 2 3
1 1,1 1,2 1,3
2 1,2 2,2 2,3
3 1,3 2,3 3,3
由表知,所有可能结果数共有9种,他们选中同一天的结果数有3种,
∴甲、乙恰好选择相邻两天的概率为.
故答案为:.
【分析】用列表法列举出所有等可能的结果数,由表知,所有可能结果数共有9种,他们选中同一天的结果数有3种,从而由概率公式即可求解.
13.【答案】
【知识点】圆周角定理;扇形面积的计算
【解析】【解答】解:∵,
∴,
∵,
∴为等腰直角三角形,
∴,
故答案为:.
【分析】根据圆周角定理求出,然后根据解题即可.
14.【答案】
【知识点】勾股定理;矩形的性质;矩形翻折模型
【解析】【解答】解:由折叠的性质可知,,
∵四边形为矩形,
∴,,,
∴根据勾股定理得:,
设,则,
根据勾股定理得:,
∴,
解得:.
故答案为:.
【分析】根据折叠得到,,然后利用矩形的性质,根据勾股定理列方程解题即可.
15.【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-AAS;全等三角形中对应边的关系;等腰三角形的概念;二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解∶过A作于D,过B作轴于E,
∵点、在抛物线上,、两点的横坐标分别为1和,
∴点A、B的纵坐标为、,
∴,,
∴,,,,
∴,
∴,
在等腰直角三角形中,,,
∴,
∴,
又,,
∴,
∴,,
又,
∴,
解得,(不符合题意,舍去)
∴b的值为2,
故答案为:2.
【分析】过A作于D,过B作轴于E,求出A、B的坐标,根据即可得到,进而可得,,然后根据OE长列方程求出b值即可.
16.【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解:延长交于点,过点作交的延长线于点,
∵,点为的中点,
∴,
∵,
∴设,则,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴;
故答案为:.
【分析】延长交于点,过点作交的延长线于点,设,根据同角的余角相等可得,然后根据正切的定义得到的长,即可得到长,然后解直角三角形求出AE长,然后推理得到,根据对应边成比例解题即可.
17.【答案】解:(1)

(2),
解不等式①得:,
解不等式②得:,
∴不等式组的解集为.
【知识点】零指数幂;负整数指数幂;解一元一次不等式组;特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1)先运算零指数幂、算术平方根、负整数指数幂,代入特殊角的三角函数值,然后加减解题即可;
(2)求出两个不等式的解集,根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”口诀得到公共部分解题即可.
18.【答案】解:(1)如图,即为所所求作的中线;
∵,,,
∴,
∴,
∴为的中线;
(2)即为所求作的角平分线,如图所示:
∵,,,
∴,
∴,
∵,
∴平分.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质,取格点D,连接即可;
(2)根据等腰三角形的性质,取格点F,连接,交于点E,连接,则即为所求.
19.【答案】(1)50;15;3
(2)解:平均数为:(篇);
(3)解:样本中投稿5篇的学生有6名,所占比例为,
该校共有1500名学生,则估计投稿5篇的学生有名).
【知识点】扇形统计图;加权平均数及其计算;中位数;用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)解:已知投4篇的有12人,占比,
则抽取的学生总数为(名);
因为总人数是50名,所以;
将投稿篇数从小到大排列,总人数50是偶数,中间的两个数是第25,26个数,都在投稿3篇的范围内,
所以中位数是3篇;
故答案为:50;15;3;
【分析】(1)利用投4篇的人数除以其占比求出总人数,再根据总人数减去其它篇数的人数求得的值,再利用中位数定义解答即可.
(2)利用加权平均数的计算公式解答即可.
(3)运用1500×样本中投稿5篇的学生所占比例得到全校投稿5篇的学生人数.
(1)解:已知投4篇的有12人,占比,
则抽取的学生总数为(名);
因为总人数是50名,所以;
将投稿篇数从小到大排列,总人数50是偶数,中间的两个数是第25,26个数,都在投稿3篇的范围内,
所以中位数是3篇;
(2)解:平均数为:
(篇);
(3)解:样本中投稿5篇的学生有6名,所占比例为,
该校共有1500名学生,则估计投稿5篇的学生有名).
20.【答案】(1)证明:∵在菱形中,,
∴,
又∵是的中点,
∴,
∴,
∴,

∴;
(2)解:∵在菱形中,,由(1)可知,
∴,
∵,
∴,
是斜边上的中线,

【知识点】菱形的性质;三角形全等的判定-AAS;直角三角形斜边上的中线;全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质可得,再根据中点定义得到,利用AAS证明即可得到结论;
(2)根据菱形性质得到,然后根据直角三角形斜边上的中线性质解答即可.
(1)证明:∵在菱形中,,
∴,
又∵是的中点,
∴,
∴,
∴,

∴;
(2)解:∵在菱形中,,
由(1)可知,
∴,
∵,
∴,
是斜边上的中线,

21.【答案】(1)解:如图,过点E作于点G.
∵,
∴四边形为矩形,
∴.
∵,,
∴,
∴.
在中,,
∴.
(2)解:如图,过点B分别作于点H,于点P.
∵,
∴四边形是矩形,
∴.
易知,
在中,


∴,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴().
答:的长度约为.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)过点E作于点G.可以得到为矩形,得到.然后利用余弦的定义求出EG长即可;
(2)过点B分别作于点H,于点P.得到是矩形,得,在中运用解直角三角形求出HE和BH长解题即可.
(1)解:如图,过点E作于点G.
∵,
∴四边形为矩形,
∴.
∵,,
∴,
∴.
在中,,
∴.
(2)解:如图,过点B分别作于点H,于点P.
∵,
∴四边形是矩形,
∴.
易知,
在中,


∴,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴().
答:的长度约为.
22.【答案】(1),
(2)解:设线段所在直线的解析式为.
∵,在直线上,
∴.
解得:.
线段所在直线的解析式为.
(3)解:设乙车出发时,
∵在中,当时,,
∴,
∵乙车行驶速度为,甲车行驶速度为且两车同时到达目的地,
∴乙到达目的地时,甲距离A地的距离为,
∴,,
∴两车距各自出发地路程的差是,
当时,此时甲在到达C地前,

解得:,(不合题意,舍去);
当时,此时甲在C地休息,

解得:,(不合题意,舍去);
当时,此时甲在返回B地中,
解得:,(不合题意,舍去)
综上所述,乙车出发或,两车距各自出发地路程的差是.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题;通过函数图象获取信息;一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解:(1)由图可得,即甲出发3时后与地相距,
∴甲车行驶速度为;
由题意可得,,即乙车出发行驶,
∴乙车行驶速度为,
故答案为:,;
【分析】(1)结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度;
(2)利用待定系数法求函数解析式;
(3)先求得点E、F坐标,然后分情况列方程求解.
23.【答案】(1)解:由顶点为设抛物线的解析式为∶,
把代入得,

∴;
(2)解:由题意可得直线过点,
∴,
∴,
∴,
由得

∴;
(3)解:由(2)得,

点,在上,
∴,,


∵为定值,设定值为


∴,

解得:或
∴或.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理);待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可;
(2)把点C的坐标代入解析式得出,即可得到,联立两解析式,根据根与系数的关系即可解题果;
(3)代入两点的坐标求出p,q的值,计算,然后整体代入解答即可.
(1)解:由顶点为设抛物线的解析式为∶,
把代入得,

∴;
(2)解:由题意可得直线过点,
∴,
∴,
∴,
由得

∴;
(3)解:由(2)得,

点,在上,
∴,,


∵为定值,设定值为


∴,

解得:或
∴或.
24.【答案】(1)解:证明:如图,连接,
为劣弧的中点,


又为⊙O的切线,


(2)解:如图,连接,,
设,则,
为劣弧的中点,


又,




为⊙O的直径,

又⊙O的半径为,

由得,
解得或(舍),

(3)解:如图,设与交于点,
由(2)知,
,,
在中,




又,




为⊙O的直径,

由(1)可知,,
四边形为矩形,
,,

【知识点】勾股定理;切线的性质;解直角三角形—边角关系;相似三角形的判定-SAS;圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)连接,根据垂径定理得到,根据切线的性质得到,即可得到结论;
(2)连接,,设,然后证明,根据对应边成比例求出CD2,BD2长,再在中根据勾股定理求出x值即可解题;
(3)连接,,设与交于点,根据余弦的定义求出,然后在中根据勾股定理求出,再证明为矩形,根据解答即可.
(1)解:证明:如图,连接,
为劣弧的中点,


又为⊙O的切线,


(2)解:如图,连接,,
设,则,
为劣弧的中点,


又,




为⊙O的直径,

又⊙O的半径为,

由得,
解得或(舍),

(3)解:如图,设与交于点,
由(2)知,
,,
在中,




又,




为⊙O的直径,

由(1)可知,,
四边形为矩形,
,,

1 / 1浙江省嘉兴市清华附中嘉兴实验学校2024—2025学年九年级数学3月阶段中考模拟测
1.(2025·嘉兴模拟)在全球人工智能应用市场,DeepSeek的下载量以惊人的速度增长.截至2025年2月5日,DeepSeek的全球下载量约4000万.数据“4000万”用科学记数法可以表示为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解:4000万
=4000×1000

故答案为:B.
【分析】用科学记数法的表示绝对值较大的数. 把一个数表示成a×10n的形式(1≤a<10,n为整数),这种记数法叫做科学记数法 .
2.(2025·嘉兴模拟)下列运算正确的是(  )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法;合并同类项法则及应用;积的乘方运算;幂的乘方运算
【解析】【解答】解:A、 ,故不符合题意;
B、 ,故符合题意;
C、 ,故不符合题意;
D、 ,故不符合题意;
故答案为:B.
【分析】利用幂的乘方,同底数幂的乘法,积的乘方,合并同类项法则计算求解即可。
3.(2025·嘉兴模拟)如图是由5个完全相同的小正方体搭建的几何体,则它的俯视图是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解:由题意可得,它的俯视图有2层,第1层正方形的个数为1,第2层正方形的个数为3,如图:

故答案为:A.
【分析】根据从上面看到的几何图形判断即可.
4.(2025·嘉兴模拟)中考立定跳远测试中,及格的标准是:男生1.85米,女生1.46米.女生李菲跳出了1.58米,记为米,男生张强跳出了2.35米,记作(  )
A.米 B.米 C.米 D.米
【答案】C
【知识点】有理数减法的实际应用;用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解:
记作米
故答案为:C.
【分析】与标准距离求差,根据记数规则解题即可.
5.(2025·嘉兴模拟) 下列说法正确的是(  )
A.检测“神州十八号”载人飞船零件的质量,应采用抽样调查
B.任意画一个三角形,其外角和是是必然事件
C.数据6,5,8,9的中位数是7
D.甲、乙两组数据的方差分别是,则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查;事件的分类;中位数;方差
【解析】【解答】解:A、检测“神州十八号”载人飞船零件的质量,应采用全面调查,故不正确;
B、任意画一个三角形,其外角和是是必然事件,故不正确;
C、∵从小到大排列为5,6,8,9,∴数据6,5,8,9的中位数是,正确;
D、∵甲、乙两组数据的方差分别是,∴$${s}_{\mathrm{甲}}^{2}< {s}_{\mathrm{乙}}^{2}$$,则甲组数据比乙组数据稳定,故不正确;
故答案为:C.
【分析】根据调查范围较广,或具有破坏性的,适合抽样调查;调查范围较小,需要的数据更精确的,适合全面调查即可判断A选项;根据必然事件是在一定的条件下重复进行试验时,有的事件在每次试验中必然会发生即可判断B选项;根据中位数的定义即可判断C选项;根据方差越小数据越稳定,据此即可判断D项.
6.(2025·嘉兴模拟)数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一,书中记载着这样一个问题,大意是:999文钱买了甜果和苦果共1000个,11文钱可买9个甜果,4文钱可买7个苦果,问甜果,苦果各买了多少个?设买了甜果x个,苦果y个,则可列方程组为(  )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题;列二元一次方程
【解析】【解答】解:设买了甜果x个,苦果y个,由题意,得:

故答案为:A.
【分析】设买甜果x个,苦果y个,根据题意列二元一次方程组即可.
7.(2025·嘉兴模拟)已知的半径是一元二次方程的一个根,圆心O到直线的距离,则直线与的交点个数为(  )
A.1个 B.2个 C.没有交点 D.不能确定
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程;直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解:,

解得,
的半径是,

直线与的位置关系是相交,
∴直线与有2个交点,
故答案为:B.
【分析】先解一元二次方程求出到圆的半径,根据圆心到直线的距离小于半径得到直线与圆相交,解答即可.
8.(2025·嘉兴模拟)如图,的平分线交的中位线于点,若,,则的长为(  )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:是的中位线,,,
∴AD=BD=AB=3,,,

平分,




故答案为:B.
【分析】根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得,,AD=BD=AB,由平行线的性质“两直线平行内错角相等”和角平分线的定义可得,根据等腰三角形的判定“等角对等边”可得,然后由线段的构成EF=DE-DF即可求解.
9.(2025·嘉兴模拟)如图,在直角坐标系中,有菱形,点A的坐标为,对角线,相交于点D,反比例函数经过点D,交的延长线于点E,且,则点E的坐标是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式;菱形的性质;解直角三角形—三边关系(勾股定理);解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解:如图,作轴于,

∵四边形是菱形,
∴,
∴,
∵点A的坐标为,,
∴,,
∴,,
∴,
∴,
∵是的中点,
∴,
∵反比例函数经过点D,
∴,
∴,
∴反比例函数的解析式为,
当时,,即,
故答案为:D.
【分析】作轴于,根据菱形的性质得到,然后利用正弦的定义求出点B的坐标,即可得到点D的坐标,代入解析式求出k的值,即可得到点E的坐标解题.
10.(2025·嘉兴模拟)二次函数 ,当 且 时,y的最小值为 ,最大值为 ,则 的值为(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象;二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解:二次函数 的大致图象如解图,
∵ ,且 ,
∴ , ,
①当 时,当 时,y取最小值,即 ,
解得 (舍去)或 ;
当 时,y取最大值,即 ,
解得 (舍去)或 (舍去);
②当 时,当 时y取最小值,即 ,
解得 (舍去)或 ;
当 时,y取最大值,即 ,
解得 ,
∴ .
故答案为:D.
【分析】由 ,且 ,可得 , ,分两种情况①当 时,得出当 时,y取最小值,当 时,y取最大值;②当 时,得出当 时y取最小值当 时,y取最大值,据此分别解答即可.
11.(2025·嘉兴模拟)分解因式:   .
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解:;
故答案为:.
【分析】先提公因式m,然后根据完全平方公式因式分解解题.
12.(2025·嘉兴模拟)甲、乙两名同学分别从某月1号,2号和3号中选择一天去图书馆,则他们选中同一天的概率是   .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解:列表如下:
  1 2 3
1 1,1 1,2 1,3
2 1,2 2,2 2,3
3 1,3 2,3 3,3
由表知,所有可能结果数共有9种,他们选中同一天的结果数有3种,
∴甲、乙恰好选择相邻两天的概率为.
故答案为:.
【分析】用列表法列举出所有等可能的结果数,由表知,所有可能结果数共有9种,他们选中同一天的结果数有3种,从而由概率公式即可求解.
13.(2025·嘉兴模拟)如图,在中,,,则图中阴影部分的面积为   .(结果保留)
【答案】
【知识点】圆周角定理;扇形面积的计算
【解析】【解答】解:∵,
∴,
∵,
∴为等腰直角三角形,
∴,
故答案为:.
【分析】根据圆周角定理求出,然后根据解题即可.
14.(2025·嘉兴模拟)如图,矩形中,点E在边上,将矩形沿直线折叠,点A恰好落在边的点F处.若,,则的长是   .
【答案】
【知识点】勾股定理;矩形的性质;矩形翻折模型
【解析】【解答】解:由折叠的性质可知,,
∵四边形为矩形,
∴,,,
∴根据勾股定理得:,
设,则,
根据勾股定理得:,
∴,
解得:.
故答案为:.
【分析】根据折叠得到,,然后利用矩形的性质,根据勾股定理列方程解题即可.
15.(2025·嘉兴模拟)如图,在等腰直角三角形中,,点、在抛物线上,点在轴上,、两点的横坐标分别为1和,的值为   .
【答案】2
【知识点】三角形全等的判定-AAS;全等三角形中对应边的关系;等腰三角形的概念;二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解∶过A作于D,过B作轴于E,
∵点、在抛物线上,、两点的横坐标分别为1和,
∴点A、B的纵坐标为、,
∴,,
∴,,,,
∴,
∴,
在等腰直角三角形中,,,
∴,
∴,
又,,
∴,
∴,,
又,
∴,
解得,(不符合题意,舍去)
∴b的值为2,
故答案为:2.
【分析】过A作于D,过B作轴于E,求出A、B的坐标,根据即可得到,进而可得,,然后根据OE长列方程求出b值即可.
16.(2025·嘉兴模拟)如图,在中,,,点为的中点,点在边上,且满足,,垂足为,交于点,则的值为   .
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解:延长交于点,过点作交的延长线于点,
∵,点为的中点,
∴,
∵,
∴设,则,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴;
故答案为:.
【分析】延长交于点,过点作交的延长线于点,设,根据同角的余角相等可得,然后根据正切的定义得到的长,即可得到长,然后解直角三角形求出AE长,然后推理得到,根据对应边成比例解题即可.
17.(2025·嘉兴模拟)(1)计算:
(2)解不等式组:
【答案】解:(1)

(2),
解不等式①得:,
解不等式②得:,
∴不等式组的解集为.
【知识点】零指数幂;负整数指数幂;解一元一次不等式组;特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】(1)先运算零指数幂、算术平方根、负整数指数幂,代入特殊角的三角函数值,然后加减解题即可;
(2)求出两个不等式的解集,根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”口诀得到公共部分解题即可.
18.(2025·嘉兴模拟)(1)如图1,已知,请你仅用无刻度的直尺作出边上的中线.
(2)如图2,已知中,,请你仅用无刻度的直尺作出的平分线.
【答案】解:(1)如图,即为所所求作的中线;
∵,,,
∴,
∴,
∴为的中线;
(2)即为所求作的角平分线,如图所示:
∵,,,
∴,
∴,
∵,
∴平分.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质,取格点D,连接即可;
(2)根据等腰三角形的性质,取格点F,连接,交于点E,连接,则即为所求.
19.(2025·嘉兴模拟)某中学积极推进校园文学创作,要求每名学生每学期向校报编辑部至少投1篇稿件,学期末,学校为了解学生的投稿情况,随机抽取了部分学生,统计每人在本学期投稿的篇数,并绘制成如下统计图表:
投稿篇数(篇) 1 2 3 4 5
人数 7 10 m 12 6
根据以上信息,解答下列问题:
(1)本次所抽取的学生共有______名,表格中m的值为______,所抽取的学生在本学期投稿的篇数的中位数是______篇;
(2)水本次所抽取的学生在本学期投稿的篇数的平均数;
(3)若该校共有1500名学生,请估计该校学生在本学期投稿的篇数为5篇的学生有多少名?
【答案】(1)50;15;3
(2)解:平均数为:(篇);
(3)解:样本中投稿5篇的学生有6名,所占比例为,
该校共有1500名学生,则估计投稿5篇的学生有名).
【知识点】扇形统计图;加权平均数及其计算;中位数;用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)解:已知投4篇的有12人,占比,
则抽取的学生总数为(名);
因为总人数是50名,所以;
将投稿篇数从小到大排列,总人数50是偶数,中间的两个数是第25,26个数,都在投稿3篇的范围内,
所以中位数是3篇;
故答案为:50;15;3;
【分析】(1)利用投4篇的人数除以其占比求出总人数,再根据总人数减去其它篇数的人数求得的值,再利用中位数定义解答即可.
(2)利用加权平均数的计算公式解答即可.
(3)运用1500×样本中投稿5篇的学生所占比例得到全校投稿5篇的学生人数.
(1)解:已知投4篇的有12人,占比,
则抽取的学生总数为(名);
因为总人数是50名,所以;
将投稿篇数从小到大排列,总人数50是偶数,中间的两个数是第25,26个数,都在投稿3篇的范围内,
所以中位数是3篇;
(2)解:平均数为:
(篇);
(3)解:样本中投稿5篇的学生有6名,所占比例为,
该校共有1500名学生,则估计投稿5篇的学生有名).
20.(2025·嘉兴模拟)如图,在菱形中,是的中点,连接并延长,交的延长线于点.
(1)求证:;
(2)连接,若,求的长.
【答案】(1)证明:∵在菱形中,,
∴,
又∵是的中点,
∴,
∴,
∴,

∴;
(2)解:∵在菱形中,,由(1)可知,
∴,
∵,
∴,
是斜边上的中线,

【知识点】菱形的性质;三角形全等的判定-AAS;直角三角形斜边上的中线;全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据菱形的性质可得,再根据中点定义得到,利用AAS证明即可得到结论;
(2)根据菱形性质得到,然后根据直角三角形斜边上的中线性质解答即可.
(1)证明:∵在菱形中,,
∴,
又∵是的中点,
∴,
∴,
∴,

∴;
(2)解:∵在菱形中,,
由(1)可知,
∴,
∵,
∴,
是斜边上的中线,

21.(2025·嘉兴模拟)实验是培养学生的创新能力的重要途径之一.如图是小红同学安装的化学实验装置,安装要求为试管略向下倾斜,试管夹应固定在距试管口的三分之一处.已知试管, ,试管倾斜角为.(参考数据:)
(1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度(结果精确到);
(2)实验时,当导气管紧贴水槽,延长交的延长线于点F,且(点C,D,N,F在一条直线上),经测得:,求线段的长度(结果精确到).
【答案】(1)解:如图,过点E作于点G.
∵,
∴四边形为矩形,
∴.
∵,,
∴,
∴.
在中,,
∴.
(2)解:如图,过点B分别作于点H,于点P.
∵,
∴四边形是矩形,
∴.
易知,
在中,


∴,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴().
答:的长度约为.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)过点E作于点G.可以得到为矩形,得到.然后利用余弦的定义求出EG长即可;
(2)过点B分别作于点H,于点P.得到是矩形,得,在中运用解直角三角形求出HE和BH长解题即可.
(1)解:如图,过点E作于点G.
∵,
∴四边形为矩形,
∴.
∵,,
∴,
∴.
在中,,
∴.
(2)解:如图,过点B分别作于点H,于点P.
∵,
∴四边形是矩形,
∴.
易知,
在中,


∴,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴().
答:的长度约为.
22.(2025·嘉兴模拟)在一条高速公路上依次有A,B,C三地,甲车从A地出发匀速驶向C地,到达C地休息后调头(调头时间忽略不计)按原路原速驶向B地,甲车从A地出发后,乙车从C地出发匀速驶向A地,两车同时到达目的地.两车距A地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示.请结合图象信息,解答下列问题:
(1)甲车行驶的速度是_____,乙车行驶的速度是_____.
(2)求图中线段所表示的y与x之间的函数解析式,并直接写出自变量x的取值范围;
(3)乙车出发多少小时,两车距各自出发地路程的差是?请直接写出答案.
【答案】(1),
(2)解:设线段所在直线的解析式为.
∵,在直线上,
∴.
解得:.
线段所在直线的解析式为.
(3)解:设乙车出发时,
∵在中,当时,,
∴,
∵乙车行驶速度为,甲车行驶速度为且两车同时到达目的地,
∴乙到达目的地时,甲距离A地的距离为,
∴,,
∴两车距各自出发地路程的差是,
当时,此时甲在到达C地前,

解得:,(不合题意,舍去);
当时,此时甲在C地休息,

解得:,(不合题意,舍去);
当时,此时甲在返回B地中,
解得:,(不合题意,舍去)
综上所述,乙车出发或,两车距各自出发地路程的差是.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题;通过函数图象获取信息;一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解:(1)由图可得,即甲出发3时后与地相距,
∴甲车行驶速度为;
由题意可得,,即乙车出发行驶,
∴乙车行驶速度为,
故答案为:,;
【分析】(1)结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度;
(2)利用待定系数法求函数解析式;
(3)先求得点E、F坐标,然后分情况列方程求解.
23.(2025·嘉兴模拟)如图,顶点为的抛物线经过点.设动点在对称轴上,纵坐标为,过点的直线与抛物线交于点,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)用含,的代数式表示与;
(3)若为定值,直线是否过确定的点?如过确定点,请求出点坐标:否则请说明理由.
【答案】(1)解:由顶点为设抛物线的解析式为∶,
把代入得,

∴;
(2)解:由题意可得直线过点,
∴,
∴,
∴,
由得

∴;
(3)解:由(2)得,

点,在上,
∴,,


∵为定值,设定值为


∴,

解得:或
∴或.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理);待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可;
(2)把点C的坐标代入解析式得出,即可得到,联立两解析式,根据根与系数的关系即可解题果;
(3)代入两点的坐标求出p,q的值,计算,然后整体代入解答即可.
(1)解:由顶点为设抛物线的解析式为∶,
把代入得,

∴;
(2)解:由题意可得直线过点,
∴,
∴,
∴,
由得

∴;
(3)解:由(2)得,

点,在上,
∴,,


∵为定值,设定值为


∴,

解得:或
∴或.
24.(2025·嘉兴模拟)如图,AB为⊙O的直径,C为圆上的一点,D为劣弧的中点,过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P,与AB的延长线交于点F,AD与BC交于点E.
(1)求证:;
(2)若⊙O的半径为,DE=1,求AE的长度;
(3)在(2)的条件下,求的面积.
【答案】(1)解:证明:如图,连接,
为劣弧的中点,


又为⊙O的切线,


(2)解:如图,连接,,
设,则,
为劣弧的中点,


又,




为⊙O的直径,

又⊙O的半径为,

由得,
解得或(舍),

(3)解:如图,设与交于点,
由(2)知,
,,
在中,




又,




为⊙O的直径,

由(1)可知,,
四边形为矩形,
,,

【知识点】勾股定理;切线的性质;解直角三角形—边角关系;相似三角形的判定-SAS;圆与三角形的综合
【解析】【分析】(1)连接,根据垂径定理得到,根据切线的性质得到,即可得到结论;
(2)连接,,设,然后证明,根据对应边成比例求出CD2,BD2长,再在中根据勾股定理求出x值即可解题;
(3)连接,,设与交于点,根据余弦的定义求出,然后在中根据勾股定理求出,再证明为矩形,根据解答即可.
(1)解:证明:如图,连接,
为劣弧的中点,


又为⊙O的切线,


(2)解:如图,连接,,
设,则,
为劣弧的中点,


又,




为⊙O的直径,

又⊙O的半径为,

由得,
解得或(舍),

(3)解:如图,设与交于点,
由(2)知,
,,
在中,




又,




为⊙O的直径,

由(1)可知,,
四边形为矩形,
,,

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